Okruh 9 · Funkcie

Mocninová funkcia, lineárna lomená funkcia

Grafy a vlastnosti funkcií $y = x^n$ a $y = x^{-n}$ a lineárnej lomenej funkcie, ktorej grafom je hyperbola.

asi 90 min · 8 častí · 21 úloh

0 z 8 častí · 0 z 21 úloh

V skratke

Funkcia $y = x^n$ s párnym $n$ je párna, nie je prostá, $\mathrm{H}(f) = \langle 0; \infty)$ a minimum $0$ má v bode $x = 0$ .
Funkcia $y = x^n$ s nepárnym $n$ je nepárna, prostá, rastúca na celom $\mathbb{R}$ a $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$ .
Funkcia $y = x^{-n}$ nie je definovaná v nule, $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$ a osi $x$ a $y$ sú asymptoty jej grafu.
Lineárna lomená funkcia $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ , kde $c \neq 0$ a $ad \neq bc$ , má graf hyperbolu so stredom $\left[-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right]$ a asymptotami $x = -\frac{d}{c}$ , $y = \frac{a}{c}$ .
Úpravou na tvar $y = \frac{k}{x - m} + p$ vidíš posun grafu $y = \frac{k}{x}$ : pri $k > 0$ funkcia na každom z dvoch intervalov klesá, pri $k < 0$ rastie.
Monotónnosť pri $y = x^{-n}$ aj pri hyperbole platí na každom intervale zvlášť, nie na zjednotení $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ .

Časť 1prečítaná

Čo je mocninová funkcia

Mocninová funkcia s prirodzeným mocniteľom: Je to funkcia daná predpisom $f: y = x^n$ , kde $n \in \mathbb{N}$ . Je to elementárna funkcia jednej premennej, v ktorej predpise je len jeden člen, a to mocnina premennej $x$ .
Mocninová funkcia so záporným celočíselným mocniteľom: Je to funkcia daná predpisom $f: y = x^{-n}$ , kde $n \in \mathbb{N}$ . Keďže $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ , pre $x = 0$ nie je definovaná.
Nepriama úmernosť: Funkciu $f: y = x^{-1} = \frac{1}{x}$ nazývame nepriama úmernosť. Všeobecnejšie je nepriamou úmernosťou každá funkcia $y = \frac{k}{x}$ , kde $k \neq 0$ . Podrobnejšie ju nájdeš pri lineárnej lomenej funkcii.

Mocnina

\displaystyle \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{b \text{ činiteľov}} = a^b

Číslo $a$ je základ mocniny (mocnenec) a číslo $b$ je exponent (mocniteľ).

Keď sa exponent nedá napísať hore, napríklad v počítači, mocnina sa často zapisuje ako $\texttt{a\^{}b}$ alebo $\texttt{a**b}$ .

Vlastnosti mocninovej funkcie závisia od toho, či je mocniteľ kladný alebo záporný a či je párny alebo nepárny. Preto rozlišujeme štyri druhy. V ďalších častiach je pri každom druhu aj násobok $k \neq 0$ , teda funkcia $f(x) = k \cdot x^n$ . Najčastejšie počítaš s $k = 1$ , pri $k < 0$ sa graf preklopí podľa osi $x$ .

Časť 2prečítaná

Kladný párny mocniteľ

Predpis

\displaystyle f(x) = k \cdot x^{n}, \qquad \allowbreak n \in \{2; 4; 6; \dots\},\ \allowbreak k \in \mathbb{R} - \{0\}

Párny mocniteľ môžeš zapísať ako $n = 2a$ , kde $a \in \mathbb{N}$ .

Graf funkcie y = x^n pre párne n: krivka podobná parabole, súmerná podľa osi y, s vrcholom v bode [0; 0]. Obe vetvy idú nahor. — Graf funkcie $y = x^n$ pre párne $n$ : krivka podobná parabole, súmerná podľa osi $y$ , s vrcholom v bode $[0; 0]$ . Obe vetvy idú nahor.

Vlastnosť	$k > 0$	$k < 0$
Definičný obor	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$
Obor hodnôt	$\mathrm{H}(f) = \langle 0; \infty)$	$\mathrm{H}(f) = (-\infty; 0 \rangle$
Monotónnosť	klesajúca na $(-\infty; 0 \rangle$ , rastúca na $\langle 0; \infty)$	rastúca na $(-\infty; 0 \rangle$ , klesajúca na $\langle 0; \infty)$
Ohraničenosť	zdola ohraničená číslom $0$ , zhora nie	zhora ohraničená číslom $0$ , zdola nie
Extrém	minimum $0$ v bode $x = 0$	maximum $0$ v bode $x = 0$

Definičný obor

$k > 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$
$k < 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$

Obor hodnôt

$k > 0$: $\mathrm{H}(f) = \langle 0; \infty)$
$k < 0$: $\mathrm{H}(f) = (-\infty; 0 \rangle$

Monotónnosť

$k > 0$: klesajúca na $(-\infty; 0 \rangle$ , rastúca na $\langle 0; \infty)$
$k < 0$: rastúca na $(-\infty; 0 \rangle$ , klesajúca na $\langle 0; \infty)$

Ohraničenosť

$k > 0$: zdola ohraničená číslom $0$ , zhora nie
$k < 0$: zhora ohraničená číslom $0$ , zdola nie

Extrém

$k > 0$: minimum $0$ v bode $x = 0$
$k < 0$: maximum $0$ v bode $x = 0$

Ďalšie vlastnosti

Je párna a nie je nepárna, lebo $k \cdot (-x)^n = k \cdot x^n$ . Graf je súmerný podľa osi $y$ .
Nie je prostá: implikácia $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ neplatí, lebo pre každé $a \neq 0$ je $-a \neq a$ , ale $f(-a) = f(a)$ .
Nie je periodická so žiadnou periódou.
Keďže nie je prostá, inverzná funkcia na celom $\mathrm{D}(f)$ neexistuje. Existuje na časti definičného oboru, kde je prostá, napríklad na $\langle 0; \infty)$ : tam je $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{\frac{x}{k}}$ .
Je spojitá a diferencovateľná na celom $\mathbb{R}$ .

Časť 3prečítaná

Kladný nepárny mocniteľ

Predpis

\displaystyle f(x) = k \cdot x^{n}, \qquad \allowbreak n \in \{1; 3; 5; \dots\},\ \allowbreak k \in \mathbb{R} - \{0\}

Nepárny mocniteľ môžeš zapísať ako $n = 2a + 1$ , kde $a \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ . Pre $n = 1$ je grafom priamka $y = kx$ .

Graf funkcie y = x^n pre nepárne n \geq 3: krivka prechádza bodom [0; 0] a je súmerná podľa začiatku súradnicovej sústavy. Vľavo ide nadol, vpravo nahor a okolo nuly je takmer vodorovná. — Graf funkcie $y = x^n$ pre nepárne $n \geq 3$ : krivka prechádza bodom $[0; 0]$ a je súmerná podľa začiatku súradnicovej sústavy. Vľavo ide nadol, vpravo nahor a okolo nuly je takmer vodorovná.

Vlastnosť	$k > 0$	$k < 0$
Definičný obor	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$
Obor hodnôt	$\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$	$\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$
Monotónnosť	rastúca na celom $\mathbb{R}$	klesajúca na celom $\mathbb{R}$

Definičný obor

$k > 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$
$k < 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$

Obor hodnôt

$k > 0$: $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$
$k < 0$: $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$

Monotónnosť

$k > 0$: rastúca na celom $\mathbb{R}$
$k < 0$: klesajúca na celom $\mathbb{R}$

Ďalšie vlastnosti

Je prostá.
Nie je ohraničená zdola ani zhora, preto nemá ani maximum, ani minimum.
Je nepárna, lebo $k \cdot (-x)^n = -k \cdot x^n$ . Graf je súmerný podľa začiatku súradnicovej sústavy.
Nie je periodická so žiadnou periódou.
Je prostá, preto existuje inverzná funkcia na celom $\mathbb{R}$ : $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{\frac{x}{k}}$ .
Je spojitá a diferencovateľná na celom $\mathbb{R}$ .

Časť 4prečítaná

Záporný párny mocniteľ

Predpis

\displaystyle f(x) = k \cdot x^{-n} = \frac{k}{x^n}, \qquad \allowbreak n \in \{2; 4; 6; \dots\},\ \allowbreak k \in \mathbb{R} - \{0\}

Graf funkcie y = x^{-n} pre párne n: dve vetvy nad osou x, súmerné podľa osi y. Pri x blízko nuly idú nahor do nekonečna, pre veľké |x| sa približujú k osi x. — Graf funkcie $y = x^{-n}$ pre párne $n$ : dve vetvy nad osou $x$ , súmerné podľa osi $y$ . Pri $x$ blízko nuly idú nahor do nekonečna, pre veľké $|x|$ sa približujú k osi $x$ .

Vlastnosť	$k > 0$	$k < 0$
Definičný obor	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$
Obor hodnôt	$\mathrm{H}(f) = (0; \infty)$	$\mathrm{H}(f) = (-\infty; 0)$
Monotónnosť	rastúca na $(-\infty; 0)$ , klesajúca na $(0; \infty)$	klesajúca na $(-\infty; 0)$ , rastúca na $(0; \infty)$
Ohraničenosť	zdola ohraničená číslom $0$ , zhora nie	zhora ohraničená číslom $0$ , zdola nie

Definičný obor

$k > 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$
$k < 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$

Obor hodnôt

$k > 0$: $\mathrm{H}(f) = (0; \infty)$
$k < 0$: $\mathrm{H}(f) = (-\infty; 0)$

Monotónnosť

$k > 0$: rastúca na $(-\infty; 0)$ , klesajúca na $(0; \infty)$
$k < 0$: klesajúca na $(-\infty; 0)$ , rastúca na $(0; \infty)$

Ohraničenosť

$k > 0$: zdola ohraničená číslom $0$ , zhora nie
$k < 0$: zhora ohraničená číslom $0$ , zdola nie

Ďalšie vlastnosti

Nie je prostá: implikácia $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ neplatí, lebo $f(-a) = f(a)$ pre každé $a \neq 0$ .
Nemá maximum ani minimum. Hodnotu $0$ nenadobudne nikdy, len sa k nej približuje.
Je párna a nie je nepárna, lebo $k \cdot (-x)^{-n} = k \cdot x^{-n}$ .
Nie je periodická so žiadnou periódou.
Inverzná funkcia existuje len na časti definičného oboru, kde je funkcia prostá, napríklad na $(0; \infty)$ : tam je $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{\frac{k}{x}}$ .
V bode $x = 0$ nie je definovaná, preto má graf dve oddelené vetvy. Na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$ je spojitá.
Os $x$ aj os $y$ sú asymptoty grafu: vetvy sa k nim približujú, ale nikdy ich nepretnú.

Časť 5prečítaná

Záporný nepárny mocniteľ

Predpis

\displaystyle f(x) = k \cdot x^{-n} = \frac{k}{x^n}, \qquad \allowbreak n \in \{1; 3; 5; \dots\},\ \allowbreak k \in \mathbb{R} - \{0\}

Pre $n = 1$ dostaneš nepriamu úmernosť $y = \frac{k}{x}$ .

Graf funkcie y = x^{-n} pre nepárne n: hyperbola s jednou vetvou v I. kvadrante a druhou v III. kvadrante, súmerná podľa začiatku. Osi x a y sú jej asymptoty. — Graf funkcie $y = x^{-n}$ pre nepárne $n$ : hyperbola s jednou vetvou v I. kvadrante a druhou v III. kvadrante, súmerná podľa začiatku. Osi $x$ a $y$ sú jej asymptoty.

Vlastnosť	$k > 0$	$k < 0$
Definičný obor	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$	$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$
Obor hodnôt	$\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$	$\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$
Monotónnosť	klesajúca na $(-\infty; 0)$ a zvlášť aj na $(0; \infty)$	rastúca na $(-\infty; 0)$ a zvlášť aj na $(0; \infty)$
Vetvy grafu	v I. a III. kvadrante	v II. a IV. kvadrante

Definičný obor

$k > 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$
$k < 0$: $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$

Obor hodnôt

$k > 0$: $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$
$k < 0$: $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$

Monotónnosť

$k > 0$: klesajúca na $(-\infty; 0)$ a zvlášť aj na $(0; \infty)$
$k < 0$: rastúca na $(-\infty; 0)$ a zvlášť aj na $(0; \infty)$

Vetvy grafu

$k > 0$: v I. a III. kvadrante
$k < 0$: v II. a IV. kvadrante

Ďalšie vlastnosti

Je prostá.
Nie je ohraničená zdola ani zhora, preto nemá maximum ani minimum.
Je nepárna, graf je súmerný podľa začiatku súradnicovej sústavy.
Nie je periodická so žiadnou periódou.
Je prostá, preto existuje inverzná funkcia na celom $\mathrm{D}(f)$ : $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{\frac{k}{x}}$ .
V bode $x = 0$ nie je definovaná. Na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$ je spojitá.

Časť 6prečítaná

Posunutý graf a absolútna hodnota

V úlohách často dostaneš funkciu, ktorá vznikne zo základnej mocninovej funkcie posunutím alebo preklopením. Graf nemusíš rátať bod po bode, stačí upraviť známy graf.

Predpis	Čo sa stane s grafom $y = f(x)$
$y = f(x) + p$	posunie sa o $p$ nahor (pri $p < 0$ o $\|p\|$ nadol)
$y = f(x - m)$	posunie sa o $m$ doprava (pri $m < 0$ o $\|m\|$ doľava)
$y = -f(x)$	preklopí sa podľa osi $x$
$y = \|f(x)\|$	časť pod osou $x$ sa preklopí nad os $x$ , zvyšok ostane

y = f(x) + p

posunie sa o

p

nahor (pri

p < 0

|p|

nadol)

y = f(x - m)

posunie sa o

m

doprava (pri

m < 0

|m|

doľava)

y = -f(x)

preklopí sa podľa osi

x

y = |f(x)|

časť pod osou

x

sa preklopí nad os

x

, zvyšok ostane

Posunutím sa mení aj definičný obor alebo obor hodnôt: napríklad $y = (x - 1)^{-2}$ nie je definovaná pre $x = 1$ a $y = x^4 - 2$ má $\mathrm{H}(f) = \langle -2; \infty)$ . Posunutá funkcia už spravidla nie je párna ani nepárna.

Časť 7prečítaná

Lineárna lomená funkcia

Lineárna lomená funkcia: Je to každá funkcia daná predpisom $f: y = \frac{ax + b}{cx + d}$ , kde $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ , $c \neq 0$ a $ad \neq bc$ , teda $ad - bc \neq 0$ .

Grafom lineárnej lomenej funkcie je rovnoosá hyperbola so stredom v bode $S = \left[-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right]$ . Jej asymptoty sú priamky, ku ktorým sa vetvy hyperboly približujú, ale nikdy ich nepretnú. Prechádzajú stredom hyperboly a sú rovnobežné so súradnicovými osami.

Rovnice asymptot

\displaystyle x = -\frac{d}{c}, \qquad \allowbreak y = \frac{a}{c}

Na náčrt grafu je najlepšie upraviť predpis na tvar, z ktorého vidíš posunutie nepriamej úmernosti. Čitateľ doplníš na násobok menovateľa a zlomok rozdelíš:

Tvar s posunutím

\displaystyle y = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{k}{x - m} + p, \qquad \allowbreak m = -\frac{d}{c},\ \ \allowbreak p = \frac{a}{c},\ \ \allowbreak k = \frac{bc - ad}{c^2}

Graf je graf nepriamej úmernosti $y = \frac{k}{x}$ posunutý o $m$ v smere osi $x$ a o $p$ v smere osi $y$ . Stred hyperboly je bod $[m; p]$ .

Vlastnosti lineárnej lomenej funkcie

$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \left\{-\frac{d}{c}\right\}$ a $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \left\{\frac{a}{c}\right\}$ .
Pri $k > 0$ (teda $bc - ad > 0$ ) je klesajúca na každom z intervalov $\left(-\infty; -\frac{d}{c}\right)$ a $\left(-\frac{d}{c}; \infty\right)$ , pri $k < 0$ je na každom z nich rastúca.
Je prostá, nie je ohraničená zdola ani zhora a nemá maximum ani minimum.
Párna nie je nikdy. Nepárna je len vtedy, keď je stred hyperboly v bode $[0; 0]$ , teda pri $y = \frac{k}{x}$ .

Príklad grafu lineárnej lomenej funkcie, ktorá je rastúca na každom z dvoch intervalov definičného oboru (k < 0). Zvislá asymptota leží kúsok vpravo od osi y, medzi x = 0 a x = 1, vodorovná medzi y = -2 a y = -3. Ľavá vetva stúpa od vodorovnej asymptoty nahor, pravá stúpa zdola k nej. — Príklad grafu lineárnej lomenej funkcie, ktorá je rastúca na každom z dvoch intervalov definičného oboru ( $k < 0$ ). Zvislá asymptota leží kúsok vpravo od osi $y$ , medzi $x = 0$ a $x = 1$ , vodorovná medzi $y = -2$ a $y = -3$ . Ľavá vetva stúpa od vodorovnej asymptoty nahor, pravá stúpa zdola k nej.

Príklad grafu lineárnej lomenej funkcie, ktorá je klesajúca na každom z dvoch intervalov definičného oboru (k > 0). Zvislá asymptota leží medzi x = 1 a x = 2, vodorovná medzi y = 1 a y = 2. Ľavá vetva klesá od vodorovnej asymptoty nadol, pravá klesá zhora k nej. — Príklad grafu lineárnej lomenej funkcie, ktorá je klesajúca na každom z dvoch intervalov definičného oboru ( $k > 0$ ). Zvislá asymptota leží medzi $x = 1$ a $x = 2$ , vodorovná medzi $y = 1$ a $y = 2$ . Ľavá vetva klesá od vodorovnej asymptoty nadol, pravá klesá zhora k nej.

Nepriama úmernosť ako lineárna lomená funkcia: Ak v predpise $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ zvolíš $a = 0$ a $d = 0$ , dostaneš $y = \frac{b}{cx} = \frac{k}{x}$ , kde $k = \frac{b}{c} \neq 0$ . To je nepriama úmernosť. Stred jej hyperboly je v bode $[0; 0]$ a asymptotami sú súradnicové osi.

Vlastnosti nepriamej úmernosti

y = \frac{k}{x}

Vlastnosť	$k > 0$	$k < 0$
$\mathrm{D}(f)$	$(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$	$(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$
$\mathrm{H}(f)$	$(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$	$(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$
Párnosť	nepárna	nepárna
Ohraničenosť	nie je ohraničená zhora ani zdola	nie je ohraničená zhora ani zdola
Monotónnosť	klesajúca na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$	rastúca na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$
Prostá	áno	áno
Extrémy	nemá maximum ani minimum	nemá maximum ani minimum
Vetvy grafu	v I. a III. kvadrante	v II. a IV. kvadrante

\mathrm{D}(f)

$k > 0$: $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$
$k < 0$: $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$

\mathrm{H}(f)

$k > 0$: $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$
$k < 0$: $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$

Párnosť

$k > 0$: nepárna
$k < 0$: nepárna

Ohraničenosť

$k > 0$: nie je ohraničená zhora ani zdola
$k < 0$: nie je ohraničená zhora ani zdola

Monotónnosť

$k > 0$: klesajúca na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$
$k < 0$: rastúca na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$

Prostá

$k > 0$: áno
$k < 0$: áno

Extrémy

$k > 0$: nemá maximum ani minimum
$k < 0$: nemá maximum ani minimum

Vetvy grafu

$k > 0$: v I. a III. kvadrante
$k < 0$: v II. a IV. kvadrante

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Posunutá mocninová funkcia

Načrtni graf funkcie $f: y = (x - 2)^4 + 1$ a urči jej vlastnosti.

Graf vznikne z grafu $y = x^4$ posunutím o $2$ doprava a o $1$ nahor. Vrchol sa presunie z bodu $[0; 0]$ do bodu $[2; 1]$ .
Výraz $(x - 2)^4$ je vždy nezáporný a nulu nadobudne len pre $x = 2$ . Preto platí:
$\displaystyle f(x) = (x - 2)^4 + 1 \geq 1, \qquad \allowbreak f(2) = 1$
$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(f) = \langle 1; \infty)$ . Minimum $1$ má v bode $x = 2$ , je ohraničená zdola, zhora nie.
Je klesajúca na $(-\infty; 2 \rangle$ a rastúca na $\langle 2; \infty)$ . Nie je prostá, lebo napríklad $f(1) = f(3) = 2$ .
Nie je párna ani nepárna: $f(-1) = 82$ a $f(1) = 2$ , teda $f(-1) \neq f(1)$ aj $f(-1) \neq -f(1)$ .

Výsledok: $\mathrm{H}(f) = \langle 1; \infty)$ , minimum $1$ v bode $x = 2$ , klesajúca na $(-\infty; 2 \rangle$ , rastúca na $\langle 2; \infty)$ .

Riešený príklad

Stred a asymptoty hyperboly

Urči stred, asymptoty, definičný obor, obor hodnôt a monotónnosť funkcie $f: y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ .

Overíme podmienky: $c = 1 \neq 0$ a $ad - bc = 3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 = 7 \neq 0$ . Ide teda o lineárnu lomenú funkciu.
Čitateľ doplníme na násobok menovateľa:
$\displaystyle \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2}$
Graf je graf funkcie $y = -\frac{7}{x}$ posunutý o $2$ doľava a o $3$ nahor. Stred hyperboly je $S = [-2; 3]$ , asymptoty sú $x = -2$ a $y = 3$ .
$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{-2\}$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{3\}$ . Keďže $k = -7 < 0$ , funkcia je rastúca na $(-\infty; -2)$ aj na $(-2; \infty)$ .
Na náčrt sa hodia priesečníky s osami: $f(0) = -\frac{1}{2}$ , teda bod $\left[0; -\frac{1}{2}\right]$ , a $f(x) = 0$ pre $x = \frac{1}{3}$ , teda bod $\left[\frac{1}{3}; 0\right]$ .

Výsledok: Stred $[-2; 3]$ , asymptoty $x = -2$ a $y = 3$ , $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{-2\}$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{3\}$ , rastúca na každom z intervalov $(-\infty; -2)$ a $(-2; \infty)$ .

Riešený príklad

Kde je lomená funkcia záporná

Urči všetky $x \in \mathrm{D}(f)$ , pre ktoré je $f(x) < 0$ , ak $f(x) = 2 - \frac{x + 1}{x - 2}$ .

Definičný obor je $\mathbb{R} - \{2\}$ . Celý výraz prevedieme na jeden zlomok:
$\displaystyle f(x) = \frac{2(x - 2) - (x + 1)}{x - 2} = \frac{x - 5}{x - 2}$
Zlomok je záporný, keď majú čitateľ a menovateľ opačné znamienka. Nulové body $x = 2$ a $x = 5$ rozdelia číselnú os na tri intervaly:
$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c} & (-\infty; 2) & (2; 5) & (5; \infty) \\ \hline x - 5 & - & - & + \\ x - 2 & - & + & + \\ \hline f(x) & + & - & + \end{array}$
Funkcia je záporná len na intervale $(2; 5)$ . Bod $x = 5$ nepatrí, lebo $f(5) = 0$ , a bod $x = 2$ nepatrí do definičného oboru.

Výsledok: $x \in (2; 5)$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 21

Urči obor definície nasledujúcich funkcií:

a)
$f_1(x) = x^3$ ; $f_2(x) = x^3 + 1$ ; $f_3(x) = (x + 1)^3$
b)
$f_1(x) = x^4$ ; $f_2(x) = x^4 - 2$ ; $f_3(x) = (x - 2)^4$
c)
$f_1(x) = x^{-2}$ ; $f_2(x) = x^{-2} - 1$ ; $f_3(x) = (x - 1)^{-2}$
d)
$f_1(x) = x^{-3}$ ; $f_2(x) = x^{-3} + 2$ ; $f_3(x) = (x + 2)^{-3}$

Pri zápornom mocniteli je

x^{-n} = \frac{1}{x^n}

, takže základ mocniny sa nesmie rovnať nule.

a) $\mathrm{D}(f_1) = \mathrm{D}(f_2) = \mathrm{D}(f_3) = \mathbb{R}$
b) $\mathrm{D}(f_1) = \mathrm{D}(f_2) = \mathrm{D}(f_3) = \mathbb{R}$
c) $\mathrm{D}(f_1) = \mathrm{D}(f_2) = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{D}(f_3) = \mathbb{R} - \{1\}$
d) $\mathrm{D}(f_1) = \mathrm{D}(f_2) = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{D}(f_3) = \mathbb{R} - \{-2\}$

Dané sú funkcie

f_1(x) = x

;

f_2(x) = x^2

;

f_3(x) = x^3

;

f_4(x) = x^4

;

f_5(x) = x^5

;

f_6(x) = x^6

;

f_7(x) = x^7

;

f_8(x) = x^8

a)
Rozdeľ ich do skupín podľa rovnakého oboru funkčných hodnôt.
b)
Rozdeľ ich do skupín podľa toho, či sú párne alebo nepárne.
c)
Rozdeľ ich do skupín podľa toho, či sú prosté alebo neprosté.
d)
Urči ich intervaly monotónnosti.
e)
Urči, ktoré z nich sú ohraničené zdola a ktoré zhora.
f)
Urči ich maximum, prípadne minimum.

Funkcie rozdeľ na tie s párnym a tie s nepárnym mocniteľom. V každej skupine majú všetky rovnaké vlastnosti.

a) $\mathrm{H} = \mathbb{R}$ : $f_1, f_3, f_5, f_7$ . $\mathrm{H} = \langle 0; \infty)$ : $f_2, f_4, f_6, f_8$ .
b)Párne: $f_2, f_4, f_6, f_8$ . Nepárne: $f_1, f_3, f_5, f_7$ .
c)Prosté: $f_1, f_3, f_5, f_7$ . Neprosté: $f_2, f_4, f_6, f_8$ .
d) $f_1, f_3, f_5, f_7$ sú rastúce na celom $\mathbb{R}$ . $f_2, f_4, f_6, f_8$ sú klesajúce na $(-\infty; 0 \rangle$ a rastúce na $\langle 0; \infty)$ .
e) $f_2, f_4, f_6, f_8$ sú ohraničené zdola (napríklad číslom $0$ ), zhora nie. $f_1, f_3, f_5, f_7$ nie sú ohraničené zdola ani zhora. Zhora nie je ohraničená žiadna z nich.
f) $f_2, f_4, f_6, f_8$ majú minimum $0$ v bode $x = 0$ a maximum nemajú. $f_1, f_3, f_5, f_7$ nemajú maximum ani minimum.

Načrtni graf funkcie a zisti jej vlastnosti:

a)
$y = x^{123}$
b)
$y = x^3 + 5$

Exponent

123

je nepárny, takže graf vyzerá ako graf

y = x^3

, len je pri nule plochší a pre

|x| > 1

strmší.

a) $\mathrm{D}(f) = \mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$ , nepárna, rastúca na $\mathbb{R}$ , prostá, nie je ohraničená zdola ani zhora, nemá maximum ani minimum. Graf má tvar ako graf $y = x^3$ a prechádza bodmi $[-1; -1]$ , $[0; 0]$ a $[1; 1]$ .
b) $\mathrm{D}(f) = \mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$ , nie je párna ani nepárna, rastúca na $\mathbb{R}$ , prostá, nie je ohraničená zdola ani zhora, nemá maximum ani minimum. Graf je graf $y = x^3$ posunutý o $5$ nahor a os $y$ pretína v bode $[0; 5]$ .

Pre funkciu

f: y = x^4

urči všetky hodnoty premennej

x \in (0; \infty)

, pre ktoré platí:

a)
$f(x) = 4$
b)
$f(x) = 9$
c)
$f(x) = 2$

Rovnica

x^4 = c

pre

c > 0

má dve riešenia

\pm\sqrt[4]{c}

, v intervale

(0; \infty)

je však len kladné. Všimni si, že

\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}

a) $x = \sqrt{2}$
b) $x = \sqrt{3}$
c) $x = \sqrt[4]{2}$

Pre ktorú hodnotu

a

je funkcia

f: y = (2a - 3) \cdot x^3

rastúca?

Funkcia

y = k \cdot x^3

je rastúca práve vtedy, keď

k > 0

. Pri

a = \frac{3}{2}

je konštantná.

a \in \left(\frac{3}{2}; \infty\right)

Urči

\mathrm{D}(f)

\mathrm{H}(f)

a všetky vlastnosti funkcie

f: y = (x - 1)^6 + 2

x \in \langle 0; 2)

Graf je graf

y = x^6

posunutý o

1

doprava a o

2

nahor. Nechaj z neho len časť nad intervalom

\langle 0; 2)

a pamätaj, že bod

x = 2

do intervalu nepatrí.

\mathrm{D}(f) = \langle 0; 2)

\mathrm{H}(f) = \langle 2; 3 \rangle

. Nie je párna ani nepárna a nie je prostá. Je klesajúca na

\langle 0; 1 \rangle

a rastúca na

\langle 1; 2)

. Minimum

2

má v bode

x = 1

a maximum

3

v bode

x = 0

. Je ohraničená zdola číslom

2

aj zhora číslom

3

Urči intervaly, na ktorých sú dané funkcie rastúce (klesajúce).

a)
$f_1: y = x^4 - 3$ , $x \in (-2; 1)$
b)
$f_2: y = (x - 1)^3 + 1$
c)
$f_3: y = -x^3 - 2$ , $x \in \langle 1; 3)$
d)
$f_4: y = -(x + 2)^4 - 5$ , $x \in (-3; 0 \rangle$

Zisti, kam sa posunul vrchol grafu (pri párnom mocniteli) a či mínus pred mocninou graf neprevracia. Potom výsledok obmedz na daný interval.

a)klesajúca na $(-2; 0 \rangle$ , rastúca na $\langle 0; 1)$
b)rastúca na celom $\mathbb{R}$
c)klesajúca na celom intervale $\langle 1; 3)$
d)rastúca na $(-3; -2 \rangle$ , klesajúca na $\langle -2; 0 \rangle$

Načrtni graf a opíš vlastnosti nasledujúcich funkcií:

a)
$f_1(x) = x^3$ ; $f_2(x) = x^3 + 1$ ; $f_3(x) = (x + 1)^3$
b)
$f_1(x) = x^4$ ; $f_2(x) = x^4 - 2$ ; $f_3(x) = (x - 2)^4$

Nakresli základný graf

y = x^3

, prípadne

y = x^4

, a ostatné dva dostaneš jeho posunutím.

a)Všetky tri majú $\mathrm{D} = \mathrm{H} = \mathbb{R}$ , sú rastúce na $\mathbb{R}$ , prosté, nie sú ohraničené zdola ani zhora a nemajú maximum ani minimum. $f_1$ je nepárna, $f_2$ a $f_3$ nie sú párne ani nepárne. Graf $f_2$ je graf $f_1$ posunutý o $1$ nahor, graf $f_3$ je posunutý o $1$ doľava.
b)Všetky tri majú $\mathrm{D} = \mathbb{R}$ , nie sú prosté, sú ohraničené zdola a zhora nie. $f_1$ : $\mathrm{H} = \langle 0; \infty)$ , párna, klesajúca na $(-\infty; 0 \rangle$ , rastúca na $\langle 0; \infty)$ , minimum $0$ v bode $x = 0$ . $f_2$ (posun o $2$ nadol): $\mathrm{H} = \langle -2; \infty)$ , párna, rovnaká monotónnosť, minimum $-2$ v bode $x = 0$ . $f_3$ (posun o $2$ doprava): $\mathrm{H} = \langle 0; \infty)$ , nie je párna ani nepárna, klesajúca na $(-\infty; 2 \rangle$ , rastúca na $\langle 2; \infty)$ , minimum $0$ v bode $x = 2$ .

Urči inverznú funkciu k funkcii

f: y = x^3

(ak existuje), nájdi jej definičný obor aj obor hodnôt a porovnaj ich s definičným oborom a oborom hodnôt danej funkcie.

Z rovnice

y = x^3

vyjadri

x

a potom premenné

x

y

vymeň.

Existuje, lebo

f

je prostá:

f^{-1}: y = \sqrt[3]{x}

. Platí

\mathrm{D}(f^{-1}) = \mathbb{R} = \mathrm{H}(f)

\mathrm{H}(f^{-1}) = \mathbb{R} = \mathrm{D}(f)

. Pri inverznej funkcii sa definičný obor a obor hodnôt vždy vymenia, tu sú všetky rovné

\mathbb{R}

10.

Načrtni graf a opíš vlastnosti nasledujúcich funkcií:

a)
$f_1(x) = -x^4$ ; $f_2(x) = x^{-4}$ ; $f_3(x) = -x^{-4}$
b)
$f_1(x) = -x^5$ ; $f_2(x) = x^{-5}$ ; $f_3(x) = -x^{-5}$

Mínus pred funkciou preklopí graf podľa osi

x

. Graf

y = x^{-4}

má obe vetvy nad osou

x

, graf

y = x^{-5}

má vetvy v I. a III. kvadrante.

a) $f_1$ : $\mathrm{D} = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H} = (-\infty; 0 \rangle$ , rastúca na $(-\infty; 0 \rangle$ , klesajúca na $\langle 0; \infty)$ , zhora ohraničená, maximum $0$ v bode $x = 0$ . $f_2$ : $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{H} = (0; \infty)$ , rastúca na $(-\infty; 0)$ , klesajúca na $(0; \infty)$ , zdola ohraničená, bez extrémov. $f_3$ : $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{H} = (-\infty; 0)$ , klesajúca na $(-\infty; 0)$ , rastúca na $(0; \infty)$ , zhora ohraničená, bez extrémov. Všetky tri sú párne a nie sú prosté.
b) $f_1$ : $\mathrm{D} = \mathrm{H} = \mathbb{R}$ , klesajúca na $\mathbb{R}$ . $f_2$ : $\mathrm{D} = \mathrm{H} = \mathbb{R} - \{0\}$ , klesajúca na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$ . $f_3$ : $\mathrm{D} = \mathrm{H} = \mathbb{R} - \{0\}$ , rastúca na $(-\infty; 0)$ aj na $(0; \infty)$ . Všetky tri sú nepárne a prosté, nie sú ohraničené zdola ani zhora a nemajú maximum ani minimum.

11.

Urči definičný obor funkcie

\displaystyle y = \frac{\sqrt{x^3}}{x^6 - 1} + \sqrt{x^5 - x^7}

Podmienky sú

x^3 \geq 0

x^6 \neq 1

x^5 - x^7 = x^5(1 - x^2) \geq 0

. Z prvej máš

x \geq 0

, potom z tretej

x \leq 1

a druhá vylúči

x = 1

\mathrm{D} = \langle 0; 1)

12.

Zostroj graf funkcie

g: y = |x^4 - 2|

Najprv nakresli graf

y = x^4 - 2

, teda graf

y = x^4

posunutý o

2

nadol. Os

x

pretína v bodoch

\left[-\sqrt[4]{2}; 0\right]

\left[\sqrt[4]{2}; 0\right]

. Časť grafu pod osou

x

, teda pre

x \in \left(-\sqrt[4]{2}; \sqrt[4]{2}\right)

, preklop nad os

x

. Vrchol

[0; -2]

sa tak zmení na bod

[0; 2]

13.

Rozhodni, či je funkcia

f: y = \frac{1}{\sqrt{x}}

ohraničená.

\mathrm{D}(f) = (0; \infty)

. Sleduj, čo sa deje s hodnotami, keď sa

x

blíži k nule.

Nie je ohraničená. Je ohraničená zdola, lebo všetky jej hodnoty sú kladné, ale zhora nie: pre

x

blízko nuly sú hodnoty ľubovoľne veľké, napríklad

f\left(\frac{1}{10\,000}\right) = 100

14.

Načrtni v tej istej súradnicovej sústave grafy funkcií

f_1

až

f_7

. Urči aj obor definície a obor hodnôt každej z nich.

a)
$f_1(x) = \frac{1}{x}$
b)
$f_2(x) = -\frac{1}{x}$
c)
$f_3(x) = -\frac{1}{x} - 1$
d)
$f_4(x) = -\frac{x + 1}{x}$
e)
$f_5(x) = -\frac{1}{x + 2}$
f)
$f_6(x) = -\frac{1}{x + 2} - 1$
g)
$f_7(x) = -\frac{x + 3}{x + 2}$

Každý graf vznikne z grafu

f_1

: mínus pred zlomkom ho preklopí podľa osi

x

-1

na konci ho posunie o

1

nadol a

x + 2

v menovateli o

2

doľava.

a) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{H} = \mathbb{R} - \{0\}$
b) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{H} = \mathbb{R} - \{0\}$
c) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{H} = \mathbb{R} - \{-1\}$
d) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{0\}$ , $\mathrm{H} = \mathbb{R} - \{-1\}$ . Je to tá istá funkcia ako $f_3$ , lebo $-\frac{x + 1}{x} = -1 - \frac{1}{x}$ .
e) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{-2\}$ , $\mathrm{H} = \mathbb{R} - \{0\}$
f) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{-2\}$ , $\mathrm{H} = \mathbb{R} - \{-1\}$
g) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{-2\}$ , $\mathrm{H} = \mathbb{R} - \{-1\}$ . Je to tá istá funkcia ako $f_6$ , lebo $-\frac{x + 3}{x + 2} = -1 - \frac{1}{x + 2}$ .

15.

Daná je funkcia

f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}

. Urči:

a)
$f(x)$ pre $x \in \{-5; -3; -1; 1; 2; 5\}$
b)
$x$ pre $f(x) \in \{-5; -3; -1; 1; 2; 5\}$

V časti b) rieš rovnicu

\frac{x - 1}{x - 2} = c

. Vyjde

x = \frac{2c - 1}{c - 1}

, preto hodnotu

c = 1

funkcia nenadobudne.

a) $f(-5) = \frac{6}{7}$ , $f(-3) = \frac{4}{5}$ , $f(-1) = \frac{2}{3}$ , $f(1) = 0$ , $f(2)$ neexistuje, lebo $2 \notin \mathrm{D}(f)$ , a $f(5) = \frac{4}{3}$
b) $f(x) = -5$ pre $x = \frac{11}{6}$ , $f(x) = -3$ pre $x = \frac{7}{4}$ , $f(x) = -1$ pre $x = \frac{3}{2}$ , $f(x) = 1$ pre žiadne $x$ , lebo $1 \notin \mathrm{H}(f)$ , $f(x) = 2$ pre $x = 3$ a $f(x) = 5$ pre $x = \frac{9}{4}$

16.

Urči obor definície funkcie:

a)
$f_1(x) = 1 - \frac{2x - 3}{3x - 1}$
b)
$f_2(x) = 1 + \frac{6x - 7}{4x - 2}$
c)
$f_3(x) = -\frac{6x - 4}{6 - 9x}$
d)
$f_4(x) = \frac{2}{3} + \frac{2x + 3}{x - 1}$
e)
$f_5(x) = \frac{-x + 2}{3x - 1} - 2$
f)
$f_6(x) = \frac{2x - 4}{-x + 2} + 3$

Stačí vylúčiť čísla, pre ktoré je menovateľ zlomku rovný nule.

a) $\mathrm{D}(f_1) = \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{3}\right\}$
b) $\mathrm{D}(f_2) = \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{2}\right\}$
c) $\mathrm{D}(f_3) = \mathbb{R} - \left\{\frac{2}{3}\right\}$
d) $\mathrm{D}(f_4) = \mathbb{R} - \{1\}$
e) $\mathrm{D}(f_5) = \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{3}\right\}$
f) $\mathrm{D}(f_6) = \mathbb{R} - \{2\}$

17.

Urči všetky

x \in \mathrm{D}(f)

, pre ktoré je

f(x) > 0

a)
$f_1(x) = \frac{2x - 3}{3x - 1}$
b)
$f_2(x) = \frac{6x - 7}{4x - 2}$
c)
$f_3(x) = \frac{6x - 4}{6 - 9x}$
d)
$f_4(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$
e)
$f_5(x) = \frac{-x + 2}{3x - 1}$
f)
$f_6(x) = \frac{2x - 4}{-x + 2}$

Urči nulové body čitateľa a menovateľa a znamienko zlomku na intervaloch medzi nimi. V častiach c) a f) skús zlomok najprv skrátiť.

a) $x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{3}{2}; \infty\right)$
b) $x \in \left(-\infty; \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{7}{6}; \infty\right)$
c)Pre žiadne $x$ : pre každé $x \neq \frac{2}{3}$ je $f_3(x) = -\frac{2}{3} < 0$ .
d) $x \in \left(-\infty; -\frac{3}{2}\right) \cup (1; \infty)$
e) $x \in \left(\frac{1}{3}; 2\right)$
f)Pre žiadne $x$ : pre každé $x \neq 2$ je $f_6(x) = -2 < 0$ .

18.

Urči všetky

x \in \mathrm{D}(f)

, pre ktoré je

f(x) < 0

a)
$f_1(x) = 1 - \frac{2x - 3}{3x - 1}$
b)
$f_2(x) = 1 + \frac{6x - 7}{4x - 2}$
c)
$f_3(x) = -\frac{6x - 4}{6 - 9x}$
d)
$f_4(x) = \frac{2}{3} + \frac{2x + 3}{x - 1}$
e)
$f_5(x) = \frac{-x + 2}{3x - 1} - 2$
f)
$f_6(x) = \frac{2x - 4}{-x + 2} + 3$

Najprv preveď celý výraz na jeden zlomok, až potom urči jeho znamienko.

a)Po úprave $f_1(x) = \frac{x + 2}{3x - 1}$ , preto $x \in \left(-2; \frac{1}{3}\right)$ .
b)Po úprave $f_2(x) = \frac{10x - 9}{4x - 2}$ , preto $x \in \left(\frac{1}{2}; \frac{9}{10}\right)$ .
c)Pre žiadne $x$ : pre každé $x \neq \frac{2}{3}$ je $f_3(x) = \frac{2}{3} > 0$ .
d)Po úprave $f_4(x) = \frac{8x + 7}{3(x - 1)}$ , preto $x \in \left(-\frac{7}{8}; 1\right)$ .
e)Po úprave $f_5(x) = \frac{-7x + 4}{3x - 1}$ , preto $x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{7}; \infty\right)$ .
f)Pre žiadne $x$ : pre každé $x \neq 2$ je $f_6(x) = -2 + 3 = 1 > 0$ .

19.

Načrtni graf funkcie

f(x) = \left|\frac{1}{x} + 1\right|

Nakresli graf

y = \frac{1}{x} + 1

, teda graf

y = \frac{1}{x}

posunutý o

1

nahor, s asymptotami

x = 0

y = 1

. Os

x

pretína v bode

[-1; 0]

. Časť pod osou

x

, teda pre

x \in (-1; 0)

, preklop nad os

x

. Celý výsledný graf leží na osi

x

alebo nad ňou a

\mathrm{H}(f) = \langle 0; \infty)

20.

Urči asymptoty funkcie:

a)
$f_1(x) = \frac{2x - 3}{3x - 1}$
b)
$f_2(x) = \frac{6x - 7}{4x - 2}$
c)
$f_3(x) = \frac{6x - 4}{6 - 9x}$
d)
$f_4(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$
e)
$f_5(x) = \frac{-x + 2}{3x - 1}$
f)
$f_6(x) = \frac{2x - 4}{-x + 2}$

Pre

y = \frac{ax + b}{cx + d}

sú asymptoty

x = -\frac{d}{c}

y = \frac{a}{c}

. Najprv však over, že

ad \neq bc

a) $x = \frac{1}{3}$ , $y = \frac{2}{3}$
b) $x = \frac{1}{2}$ , $y = \frac{3}{2}$
c)Nemá asymptoty: platí $ad = bc$ , pre $x \neq \frac{2}{3}$ je $f_3(x) = -\frac{2}{3}$ a grafom je priamka bez bodu $\left[\frac{2}{3}; -\frac{2}{3}\right]$ .
d) $x = 1$ , $y = 2$
e) $x = \frac{1}{3}$ , $y = -\frac{1}{3}$
f)Nemá asymptoty: platí $ad = bc$ , pre $x \neq 2$ je $f_6(x) = -2$ a grafom je priamka bez bodu $[2; -2]$ .

21.

Urči asymptoty funkcie:

a)
$f_1(x) = 1 - \frac{2x - 3}{3x - 1}$
b)
$f_2(x) = 1 + \frac{6x - 7}{4x - 2}$
c)
$f_3(x) = -\frac{6x - 4}{6 - 9x}$
d)
$f_4(x) = \frac{2}{3} + \frac{2x + 3}{x - 1}$
e)
$f_5(x) = \frac{-x + 2}{3x - 1} - 2$
f)
$f_6(x) = \frac{2x - 4}{-x + 2} + 3$

Číslo pripočítané k zlomku posunie vodorovnú asymptotu, zvislá sa nemení. Napríklad pri

f_1

je vodorovná asymptota

y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

a) $x = \frac{1}{3}$ , $y = \frac{1}{3}$
b) $x = \frac{1}{2}$ , $y = \frac{5}{2}$
c)Nemá asymptoty: pre $x \neq \frac{2}{3}$ je $f_3(x) = \frac{2}{3}$ a grafom je priamka bez bodu $\left[\frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right]$ .
d) $x = 1$ , $y = \frac{8}{3}$
e) $x = \frac{1}{3}$ , $y = -\frac{7}{3}$
f)Nemá asymptoty: pre $x \neq 2$ je $f_6(x) = 1$ a grafom je priamka bez bodu $[2; 1]$ .

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.