Okruh 8 · Funkcie

Lineárna a kvadratická funkcia

Priamka a parabola: smernica, vrchol, priesečníky s osami, obor hodnôt a grafy s absolútnou hodnotou.

asi 120 min · 8 častí · 25 úloh

0 z 8 častí · 0 z 25 úloh

V skratke

Grafom lineárnej funkcie $y = ax + b$ je priamka. Pri $a > 0$ je rastúca, pri $a < 0$ klesajúca a pri $a = 0$ konštantná.
Priamka $y = ax + b$ pretína os $y$ v bode $[0; b]$ . Pre jej smernicu platí $a = \operatorname{tg} \varphi$ , kde $\varphi$ je smerový uhol priamky.
Grafom kvadratickej funkcie $y = ax^2 + bx + c$ , $a \neq 0$ , je parabola. Pri $a > 0$ je otvorená nahor, pri $a < 0$ nadol.
Vrchol paraboly je $V = \left[-\frac{b}{2a}; c - \frac{b^2}{4a}\right]$ , jeho $y$ -ová súradnica je krajná hodnota oboru hodnôt.
Priesečníky s osou $x$ sú korene rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ , priesečník s osou $y$ je $[0; c]$ .
Pri absolútnych hodnotách nájdi nulové body, rozdeľ os na intervaly a na každom absolútne hodnoty odstráň.

Časť 1prečítaná

Lineárna funkcia

Lineárna funkcia: Lineárna funkcia je každá funkcia v tvare $f: y = ax + b$ , kde $a, b \in \mathbb{R}$ (základný tvar). Rovnako ju môžeš zapísať v smernicovom tvare $f: y = kx + q$ , kde $k, q \in \mathbb{R}$ .
Smernica: Číslo $a$ (v smernicovom tvare $k$ ) je smernica funkcie. Jej znamienko určuje monotónnosť funkcie.

Smernica	Funkcia je
$a > 0$	rastúca
$a < 0$	klesajúca
$a = 0$	konštantná

a > 0

rastúca

a < 0

klesajúca

a = 0

konštantná

Absolútny člen $b$ určuje posunutie priamky v smere osi $y$ : graf pretína os $y$ v bode $[0; b]$ .

Smernica a smerový uhol

\displaystyle k = \operatorname{tg} \varphi

Uhol $\varphi$ je smerový uhol priamky, teda uhol, ktorý priamka zviera s kladnou časťou osi $x$ .

Smernica priamky cez body

A[x_A; y_A]

B[x_B; y_B]

\displaystyle k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Platí pre $x_A \neq x_B$ . Potom dosadíš jeden bod do $y = kx + q$ a dopočítaš $q$ .

Vlastnosti lineárnej funkcie (

a \neq 0

)

Grafom lineárnej funkcie je priamka.
Lineárna funkcia je prostá.
Ak nie je definičný obor zúžený na nejaký interval, lineárna funkcia nie je ohraničená zdola ani zhora.
$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$
$\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$

Časť 2prečítaná

Konštantná a lomená lineárna funkcia

Konštantná lineárna funkcia: Konštantná (lineárna) funkcia je vyjadrená iba absolútnym členom, teda konštantou: $y = b$ . Jej grafom je priamka rovnobežná s osou $x$ (pri $b = 0$ je to samotná os $x$ ).
Lomená lineárna funkcia: Lomená lineárna funkcia obsahuje premennú $x$ v menovateli. Zvyčajne ju zapisujeme v tvare $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ , kde $c \neq 0$ a $ad - bc \neq 0$ . Jej grafom je hyperbola.

Najjednoduchšia lomená lineárna funkcia je $f: y = \frac{1}{x}$ . Jej definičný obor je $\mathbb{R} - \{0\}$ . Graf sa približuje k osiam $x$ aj $y$ , ale nikdy ich nepretne.

Graf funkcie f: y = 1/x, hyperbola. Jedna vetva leží v 1. kvadrante, druhá v 3. kvadrante, prechádza napríklad bodmi [1; 1] a [−1; −1] a k osiam sa len približuje.

Časť 3prečítaná

Kvadratická funkcia

Kvadratická funkcia: Kvadratická funkcia je každá funkcia v tvare $f: y = ax^2 + bx + c$ , kde $a, b, c \in \mathbb{R}$ a $a \neq 0$ (základný tvar).

Členy kvadratickej funkcie

$ax^2$ je kvadratický člen. Znamienko čísla $a$ určuje, či je funkcia konvexná alebo konkávna.
$bx$ je lineárny člen.
$c$ je absolútny člen. Určuje priesečník paraboly s osou $y$ , je to bod $[0; c]$ .

Ak je $a > 0$ , grafom je parabola otvorená nahor a funkcia je konvexná. Na intervale $(-\infty; x_V\rangle$ je klesajúca a na intervale $\langle x_V; \infty)$ rastúca. Číslo $x_V$ je $x$ -ová súradnica vrcholu paraboly.

Parabola otvorená nahor (a > 0). Vrchol je jej najnižší bod, naľavo od neho funkcia klesá, napravo rastie.

Ak je $a < 0$ , grafom je parabola otvorená nadol a funkcia je konkávna. Na intervale $(-\infty; x_V\rangle$ je rastúca a na intervale $\langle x_V; \infty)$ klesajúca.

Parabola otvorená nadol (a < 0). Vrchol je jej najvyšší bod, naľavo od neho funkcia rastie, napravo klesá.

Vlastnosti kvadratickej funkcie

Grafom kvadratickej funkcie je parabola.
Kvadratická funkcia nie je prostá.
Je ohraničená buď zdola (pri $a > 0$ ), alebo zhora (pri $a < 0$ ).
$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$
Pre $a > 0$ je $\mathrm{H}(f) = \left\langle c - \frac{b^2}{4a}; \infty\right)$ , pre $a < 0$ je $\mathrm{H}(f) = \left(-\infty; c - \frac{b^2}{4a}\right\rangle$ .

Časť 4prečítaná

Vrchol a priesečníky s osami

Vrchol paraboly

\displaystyle V = \left[-\frac{b}{2a};\ c - \frac{b^2}{4a}\right]

Pri $a > 0$ je vo vrchole minimum funkcie, pri $a < 0$ maximum.

Vrcholový tvar

\displaystyle y = a(x - m)^2 + n \quad \allowbreak \Rightarrow \quad \allowbreak V = [m; n]

Dostaneš ho doplnením na štvorec. Hodí sa, keď poznáš vrchol a hľadáš predpis funkcie.

Priesečníky paraboly s osou $x$ majú $x$ -ové súradnice rovné koreňom rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ . Priesečník s osou $y$ je bod $[0; c]$ .

Počet spoločných bodov paraboly s osou

x

Diskriminant $D = b^2 - 4ac$	Parabola a os $x$
$D > 0$	dva priesečníky
$D = 0$	jeden spoločný bod, graf sa osi $x$ dotýka vo vrchole
$D < 0$	žiadny spoločný bod

D > 0

dva priesečníky

D = 0

jeden spoločný bod, graf sa osi

x

dotýka vo vrchole

D < 0

žiadny spoločný bod

Časť 5prečítaná

Priebeh funkcie

Zisťovať priebeh funkcie znamená opísať jej vlastnosti a načrtnúť jej graf. Postup by mal obsahovať:

definičný obor funkcie,
vlastnosti symetrie: párnosť, nepárnosť, periódu,
významné body, napríklad nulové body funkcie, body nespojitosti (v nich treba určiť jednostranné limity), body, v ktorých derivácia neexistuje alebo je nespojitá, a podobne,
asymptoty grafu funkcie,
intervaly monotónnosti funkcie a jej lokálne extrémy,
intervaly, kde je funkcia konvexná a kde konkávna, a jej inflexné body,
náčrt grafu funkcie.

Časť 6prečítaná

Príklady grafov

Graf funkcie $f: y = x$ :

Graf funkcie $f: y = x^2$ :

Graf funkcie $f: y = |x|$ :

Graf funkcie $f: y = |x^2 - 2|$ :

Graf funkcie f: y = |x² − 2|. Časť paraboly y = x² − 2 pod osou x je preklopená nahor. Graf má s osou x spoločné body [−√2; 0] a [√2; 0] a lokálne maximum v bode [0; 2].

Časť 7prečítaná

Absolútna hodnota a súmernosť grafov

Funkcia s absolútnymi hodnotami (metóda nulových bodov)

Nájdi nulové body všetkých výrazov v absolútnych hodnotách.
Tieto body rozdelia číselnú os na intervaly.
Na každom intervale odstráň absolútne hodnoty: nezáporný výraz ostane, zápornému výrazu zmeníš znamienko.
Na každom intervale nakresli príslušnú časť priamky alebo paraboly.

Súmernosť grafov

Graf súmerný s grafom $y = f(x)$ podľa	Predpis
osi $x$	$y = -f(x)$
osi $y$	$y = f(-x)$
začiatku sústavy súradníc	$y = -f(-x)$
priamky $y = x$	vymeníš $x$ a $y$ a vyjadríš $y$ (inverzná funkcia)

osi

x

y = -f(x)

osi

y

y = f(-x)

začiatku sústavy súradníc

y = -f(-x)

priamky

y = x

vymeníš

x

y

a vyjadríš

y

(inverzná funkcia)

Súmernosťou podľa priamky $y = x$ dostaneš funkciu len vtedy, keď je pôvodná funkcia prostá.

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Lineárna funkcia cez dva body

Urči predpis lineárnej funkcie, ktorej graf prechádza bodmi $A[-1; 4]$ a $B[2; -2]$ .

Smernica:
$\displaystyle k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2$
Dosaď bod $A$ do $y = -2x + q$ :
$\displaystyle 4 = -2 \cdot (-1) + q \;\Rightarrow\; q = 2$
Kontrola bodom $B$ : $-2 \cdot 2 + 2 = -2$ , sedí.

Výsledok: $f: y = -2x + 2$

Riešený príklad

Vlastnosti kvadratickej funkcie

Urči vrchol, priesečníky s osami, obor hodnôt a monotónnosť funkcie $f: y = -x^2 + 4x + 5$ .

Máme $a = -1$ , $b = 4$ , $c = 5$ . Keďže $a < 0$ , parabola je otvorená nadol a vo vrchole je maximum.
$\displaystyle x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2, \qquad \allowbreak y_V = f(2) = -4 + 8 + 5 = 9$
Priesečníky s osou $x$ sú korene rovnice $-x^2 + 4x + 5 = 0$ :
$\displaystyle x^2 - 4x - 5 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 5)(x + 1) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = -1,\ \allowbreak x_2 = 5$
Priesečník s osou $y$ je $[0; c] = [0; 5]$ .
Parabola je otvorená nadol, preto je $\mathrm{H}(f) = (-\infty; y_V\rangle = (-\infty; 9\rangle$ . Naľavo od vrcholu funkcia rastie, napravo klesá.

Výsledok: $V[2; 9]$ , priesečníky $[-1; 0]$ , $[5; 0]$ a $[0; 5]$ , $\mathrm{H}(f) = (-\infty; 9\rangle$ , funkcia je rastúca na $(-\infty; 2\rangle$ a klesajúca na $\langle 2; \infty)$ .

Riešený príklad

Funkcia s absolútnymi hodnotami

Zapíš bez absolútnych hodnôt funkciu $f: y = |x + 2| - |x - 1|$ a urči jej obor hodnôt.

Nulové body sú $x = -2$ a $x = 1$ . Rozdelia os na tri intervaly.
$\displaystyle x < -2: \quad \allowbreak y = -(x + 2) - (1 - x) = -3$
$\displaystyle -2 \leq x < 1: \quad \allowbreak y = (x + 2) - (1 - x) = 2x + 1$
$\displaystyle x \geq 1: \quad \allowbreak y = (x + 2) - (x - 1) = 3$
Na prostrednom intervale hodnoty rastú od $2 \cdot (-2) + 1 = -3$ po $3$ . Graf je vodorovná polpriamka, úsečka a znova vodorovná polpriamka.

Výsledok: $\mathrm{H}(f) = \langle -3; 3 \rangle$ , funkcia je konštantná na $(-\infty; -2\rangle$ a na $\langle 1; \infty)$ , rastúca na $\langle -2; 1 \rangle$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 25

Predpis lineárnej funkcie

f

zapíš rovnicou, ak vieš, že platí:

f(0) = 1 \land f(2) = 5

f(0) = 1

hneď vieš absolútny člen

b

, potom dosaď

x = 2

f: y = 2x + 1

Predpis lineárnej funkcie

g

zapíš rovnicou, ak vieš, že graf funkcie

g

prechádza bodmi

A[1; 2]

B[3; -4]

Vypočítaj smernicu

k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

a potom dosaď jeden z bodov.

g: y = -3x + 5

Predpis lineárnej funkcie

h

zapíš rovnicou, ak vieš, že pre funkciu

h

platí:

h(x+1) - h(x) = 2 \land h(0) = 3

Pre

h: y = ax + b

h(x+1) - h(x) = a

h: y = 2x + 3

Načrtni graf funkcie a urči obor hodnôt:

a)
$f_1: y = -2x + 1$
b)
$f_2: y = 0{,}5x + 3 \land x \in \langle -3; 0 \rangle \cup \{2\} \cup \langle 5; \infty)$

Pri

f_2

vypočítaj hodnoty funkcie v krajných bodoch intervalov a v bode

x = 2

a)Priamka cez body $[0; 1]$ a $\left[\frac{1}{2}; 0\right]$ , $\mathrm{H}(f_1) = \mathbb{R}$ .
b)Graf tvorí úsečka od bodu $[-3; 1{,}5]$ po bod $[0; 3]$ , samostatný bod $[2; 4]$ a polpriamka so začiatkom v bode $[5; 5{,}5]$ . $\mathrm{H}(f_2) = \langle 1{,}5; 3 \rangle \cup \{4\} \cup \langle 5{,}5; \infty)$ .

Je daná funkcia

g: y = -2x + 3

. Urči predpis funkcie

f

tak, aby graf funkcie

f

bol súmerný s grafom funkcie

g

podľa:

a)
osi $x$
b)
osi $y$
c)
začiatku sústavy súradníc
d)
priamky $y = x$

Podľa osi

x

y = -g(x)

, podľa osi

y

y = g(-x)

, podľa začiatku

y = -g(-x)

, podľa priamky

y = x

vymeníš

x

y

a) $f: y = 2x - 3$
b) $f: y = 2x + 3$
c) $f: y = -2x - 3$
d) $f: y = \frac{-x + 3}{2}$

Nakresli grafy funkcií a urči ich vlastnosti:

a)
$f: y = 1 + |2x + 1| - 2x;\ \allowbreak x \in \left\langle -1; \frac{1}{2} \right\rangle$
b)
$g: y = -|2x + 1| - 2x + 1;\ \allowbreak x \in \left( -2; \frac{1}{2} \right)$
c)
$h: y = -1 - |8 - 4x| + 2x;\ \allowbreak x \in (0; 4\rangle$

Nájdi nulový bod výrazu v absolútnej hodnote, rozdeľ definičný obor na dva intervaly a na každom odstráň absolútnu hodnotu. Pozor na otvorené a uzavreté konce intervalov.

a) $\mathrm{D}(f) = \left\langle -1; \frac{1}{2} \right\rangle$ , $\mathrm{H}(f) = \langle 2; 4 \rangle$ . Pre $x \in \left\langle -1; -\frac{1}{2} \right\rangle$ je $y = -4x$ (klesajúca), pre $x \in \left\langle -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right\rangle$ je $y = 2$ (konštantná). Maximum $f(-1) = 4$ , minimum $2$ pre každé $x \in \left\langle -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right\rangle$ . Ohraničená zdola číslom $2$ a zhora číslom $4$ . Nie je párna ani nepárna, nie je prostá.
b) $\mathrm{D}(g) = \left( -2; \frac{1}{2} \right)$ , $\mathrm{H}(g) = (-2; 2\rangle$ . Pre $x \in \left( -2; -\frac{1}{2} \right\rangle$ je $y = 2$ (konštantná), pre $x \in \left\langle -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right)$ je $y = -4x$ (klesajúca). Maximum $2$ pre každé $x \in \left( -2; -\frac{1}{2} \right\rangle$ , minimum nemá. Ohraničená zdola číslom $-2$ a zhora číslom $2$ . Nie je párna ani nepárna, nie je prostá.
c) $\mathrm{D}(h) = (0; 4\rangle$ , $\mathrm{H}(h) = (-9; 3\rangle$ . Pre $x \in (0; 2\rangle$ je $y = 6x - 9$ (rastúca), pre $x \in \langle 2; 4 \rangle$ je $y = -2x + 7$ (klesajúca). Maximum $h(2) = 3$ , minimum nemá. Nulové body sú $x = \frac{3}{2}$ a $x = \frac{7}{2}$ . Ohraničená zdola číslom $-9$ a zhora číslom $3$ . Nie je párna ani nepárna, nie je prostá.

Nakresli grafy funkcií a urči ich vlastnosti:

a)
$m: y = |x + 2| + 0{,}5|x - 1| - x$
b)
$n: y = |x + 1| - |3 - x| + 2$

Nulové body sú

-2

1

pre funkciu

m

-1

3

pre funkciu

n

a) $\mathrm{D}(m) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(m) = \langle 2; \infty)$ . Pre $x < -2$ je $y = -2{,}5x - 1{,}5$ , pre $x \in \langle -2; 1)$ je $y = -0{,}5x + 2{,}5$ , pre $x \geq 1$ je $y = 0{,}5x + 1{,}5$ . Klesajúca na $(-\infty; 1\rangle$ , rastúca na $\langle 1; \infty)$ . Minimum $m(1) = 2$ , maximum nemá. Ohraničená zdola číslom $2$ , zhora nie je ohraničená. Nie je párna ani nepárna, nie je prostá.
b) $\mathrm{D}(n) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(n) = \langle -2; 6 \rangle$ . Pre $x < -1$ je $y = -2$ , pre $x \in \langle -1; 3)$ je $y = 2x$ , pre $x \geq 3$ je $y = 6$ . Konštantná na $(-\infty; -1\rangle$ a na $\langle 3; \infty)$ , rastúca na $\langle -1; 3 \rangle$ . Maximum $6$ pre každé $x \in \langle 3; \infty)$ , minimum $-2$ pre každé $x \in (-\infty; -1\rangle$ . Ohraničená zdola číslom $-2$ a zhora číslom $6$ . Nie je párna ani nepárna, nie je prostá.

Nakresli graf funkcie

f

, ktorá je po častiach lineárna a pre ktorú platí:

\mathrm{D}(f) = \langle -5; \infty)

f(-5) = 0

. Pre

x = 0

funkcia nadobúda maximum, hodnota maxima je

5

. Pre

x \in \langle -5; 0 \rangle

je funkcia rastúca, pre

x \in \langle 0; 4 \rangle

je funkcia

f

klesajúca a

f(4) = -5

. V intervale

\langle 4; \infty)

je daná funkcia konštantná. Napíš túto funkciu ako zjednotenie lineárnych funkcií.

Zapíš body, ktoré poznáš:

[-5; 0]

[0; 5]

[4; -5]

. Na každom intervale napíš rovnicu priamky cez dva z nich.

f: y = x + 5

pre

x \in \langle -5; 0)

y = -2{,}5x + 5

pre

x \in \langle 0; 4)

y = -5

pre

x \in \langle 4; \infty)

. Graf je lomená čiara cez body

[-5; 0]

[0; 5]

[2; 0]

[4; -5]

, ktorá od bodu

[4; -5]

pokračuje vodorovnou polpriamkou.

Rieš graficky:

a)
$|x + 4| = 1$
b)
$|2x - 3| = 6$
c)
$|2x - 4| - |x + 3| = 2 - |x - 5|$
d)
$|x - 1| + 3|2 - x| = x - |1 - x|$

Nakresli do jednej sústavy súradníc graf ľavej a pravej strany (alebo všetko presuň na jednu stranu a porovnaj s konštantou) a odčítaj

x

-ové súradnice priesečníkov. Výsledok over dosadením.

a) $x_1 = -5$ , $x_2 = -3$
b) $x_1 = -\frac{3}{2}$ , $x_2 = \frac{9}{2}$
c) $x_1 = 1$ , $x_2 = 7$
d) $x = 2$

10.

Urči predpis kvadratickej funkcie, ak vieš, že platí:

f(1) = -2

;

f(2) = 4

;

f(3) = 4

Dosaď všetky tri podmienky do

y = ax^2 + bx + c

a rieš sústavu troch rovníc s neznámymi

a

b

c

f: y = -3x^2 + 15x - 14

11.

Urči predpis kvadratickej funkcie, ak vieš, že graf funkcie prechádza bodmi

K[0; -3]

;

L[1; 0]

;

M[-1; -4]

Bod

K

na osi

y

ti hneď dá

c = -3

y = x^2 + 2x - 3

12.

Zapíš rovnicou predpis kvadratickej funkcie, ak vieš, že funkcia je párna na

\mathbb{R}

, hodnota minima je

-8

a jeden z priesečníkov grafu funkcie s osou

x

má súradnice

[2; 0]

Párna kvadratická funkcia má

b = 0

, takže

y = ax^2 + c

a vrchol leží na osi

y

y = 2x^2 - 8

13.

Zapíš rovnicou predpis kvadratickej funkcie, ak vieš, že platí: funkcia

f

pre

x = 2

nadobúda maximum, pričom hodnota maxima je

4

, a os

y

pretína graf funkcie

f

v bode

[0; 1]

Použi vrcholový tvar

y = a(x - 2)^2 + 4

a dosaď bod

[0; 1]

f: y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x + 1

14.

Urči predpis kvadratickej funkcie

f

, ak vieš, že platí: funkcia

f

je na intervale

(-\infty; 3\rangle

rastúca, na intervale

\langle 3; \infty)

je klesajúca. Graf prechádza začiatkom sústavy súradníc. Hodnota maxima je

18

Funkcia, ktorá je najprv rastúca a potom klesajúca, má vo vrchole maximum, takže vrchol je

V[3; 18]

. Použi vrcholový tvar

y = a(x - 3)^2 + 18

a dosaď bod

[0; 0]

f: y = -2x^2 + 12x

15.

Je daná funkcia

g: y = x^2 - 4x + 3

. Urči všetky reálne čísla

x

tak, aby platilo

g(x) = g(-2)

Vypočítaj

g(-2)

a rieš kvadratickú rovnicu

x^2 - 4x + 3 = g(-2)

x_1 = -2

x_2 = 6

16.

Urči reálne čísla

a

b

tak, aby pre funkciu

f: y = ax^2 + bx + 5

platilo:

\forall x \in \mathbb{R}: f(x+1) - f(x) = 8x + 3

Vyjadri

f(x+1) - f(x) = 2ax + a + b

a porovnaj koeficienty pri

x

aj absolútne členy.

a = 4

b = -1

17.

Je daná funkcia

g: y = x^2 - 2x - 3

. Predpis kvadratickej funkcie

f

urči tak, aby graf funkcie

f

bol súmerný s grafom funkcie

g

a)
podľa osi $x$
b)
podľa osi $y$
c)
podľa začiatku súradnicovej sústavy

a) $f: y = -x^2 + 2x + 3$
b) $f: y = x^2 + 2x - 3$
c) $f: y = -x^2 - 2x + 3$

18.

Načrtni grafy funkcií (urči súradnice vrcholu, súradnice priesečníkov grafu s osou

x

a s osou

y

, načrtni graf, urči obor funkčných hodnôt):

a)
$f_1: y = x^2 + 4x + 3$
b)
$f_2: y = x^2 - 6x + 9$
c)
$f_3: y = x^2 + x + 1$
d)
$f_4: y = -x^2 - 3x$
e)
$f_5: y = 2x^2 - 6$
f)
$f_6: y = \frac{1}{2}x^2 + 2$
g)
$f_7: y = 3x^2 + 6x + 3$
h)
$f_8: y = -2x^2 + 4x + 1$
i)
$f_9: y = \frac{3}{4}x^2 - 3x - \frac{7}{2}$

Vrchol nájdeš zo vzorca

x_V = -\frac{b}{2a}

, priesečníky s osou

x

ako korene rovnice

f(x) = 0

a priesečník s osou

y

ako

[0; c]

a) $V[-2; -1]$ , priesečníky s osou $x$ : $[-3; 0]$ a $[-1; 0]$ , s osou $y$ : $[0; 3]$ , $\mathrm{H}(f_1) = \langle -1; \infty)$
b) $V[3; 0]$ , s osou $x$ má jediný spoločný bod $[3; 0]$ (graf sa osi $x$ dotýka vo vrchole), s osou $y$ : $[0; 9]$ , $\mathrm{H}(f_2) = \langle 0; \infty)$
c) $V\left[-\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right]$ , s osou $x$ nemá spoločný bod, s osou $y$ : $[0; 1]$ , $\mathrm{H}(f_3) = \left\langle \frac{3}{4}; \infty\right)$
d) $V\left[-\frac{3}{2}; \frac{9}{4}\right]$ , priesečníky s osou $x$ : $[-3; 0]$ a $[0; 0]$ , s osou $y$ : $[0; 0]$ , $\mathrm{H}(f_4) = \left(-\infty; \frac{9}{4}\right\rangle$
e) $V[0; -6]$ , priesečníky s osou $x$ : $[-\sqrt{3}; 0]$ a $[\sqrt{3}; 0]$ , s osou $y$ : $[0; -6]$ , $\mathrm{H}(f_5) = \langle -6; \infty)$
f) $V[0; 2]$ , s osou $x$ nemá spoločný bod, s osou $y$ : $[0; 2]$ , $\mathrm{H}(f_6) = \langle 2; \infty)$
g) $V[-1; 0]$ , s osou $x$ má jediný spoločný bod $[-1; 0]$ (bod dotyku), s osou $y$ : $[0; 3]$ , $\mathrm{H}(f_7) = \langle 0; \infty)$
h) $V[1; 3]$ , priesečníky s osou $x$ : $\left[1 - \frac{\sqrt{6}}{2}; 0\right] \approx [-0{,}22; 0]$ a $\left[1 + \frac{\sqrt{6}}{2}; 0\right] \approx [2{,}22; 0]$ , s osou $y$ : $[0; 1]$ , $\mathrm{H}(f_8) = (-\infty; 3\rangle$
i) $V\left[2; -\frac{13}{2}\right]$ , priesečníky s osou $x$ : $\left[2 - \frac{\sqrt{78}}{3}; 0\right] \approx [-0{,}94; 0]$ a $\left[2 + \frac{\sqrt{78}}{3}; 0\right] \approx [4{,}94; 0]$ , s osou $y$ : $\left[0; -\frac{7}{2}\right]$ , $\mathrm{H}(f_9) = \left\langle -\frac{13}{2}; \infty\right)$

19.

Načrtni grafy funkcií:

a)
$g_1: y = x^2 + 2x - 3$
b)
$g_2: y = |x^2 + 2x - 3|$
c)
$g_3: y = x^2 + 2|x| - 3$
d)
$g_4: y = |x^2 + 2|x| - 3|$
e)
$h_1: y = x^2 - 3x$
f)
$h_2: y = x^2 - 3|x|$
g)
$h_3: y = x|x - 3|$
h)
$h_4: y = |x|(x - 3)$
i)
$k: y = |2x + 1| - x|x - 4|$
j)
$l: y = x|x - 2| + |x^2 - 2x|$
k)
$m: y = |x^2 - x| + |x| - 2$
l)
$n: y = |9 - x^2| + |4 - x^2| - 5$

Pri

|f(x)|

preklop časť grafu pod osou

x

nahor, pri

f(|x|)

zrkadli pravú časť grafu podľa osi

y

. Inak použi metódu nulových bodov.

a)Parabola s vrcholom $[-1; -4]$ , priesečníky s osou $x$ : $[-3; 0]$ a $[1; 0]$ , s osou $y$ : $[0; -3]$ .
b)Časť grafu $g_1$ pod osou $x$ , teda pre $x \in (-3; 1)$ , preklopíš nahor. Spoločné body s osou $x$ : $[-3; 0]$ a $[1; 0]$ , lokálne maximum $[-1; 4]$ , priesečník s osou $y$ : $[0; 3]$ .
c)Párna funkcia: pre $x \geq 0$ je $y = x^2 + 2x - 3$ a ľavú časť dostaneš zrkadlením podľa osi $y$ . Minimum v bode $[0; -3]$ , priesečníky s osou $x$ : $[-1; 0]$ a $[1; 0]$ .
d)Časť grafu $g_3$ pod osou $x$ preklopíš nahor. Spoločné body s osou $x$ : $[-1; 0]$ a $[1; 0]$ , lokálne maximum $[0; 3]$ .
e)Parabola s vrcholom $\left[\frac{3}{2}; -\frac{9}{4}\right]$ , priesečníky s osou $x$ : $[0; 0]$ a $[3; 0]$ .
f)Párna funkcia: pre $x \geq 0$ je $y = x^2 - 3x$ , zrkadlíš ju podľa osi $y$ . Minimá v bodoch $\left[-\frac{3}{2}; -\frac{9}{4}\right]$ a $\left[\frac{3}{2}; -\frac{9}{4}\right]$ , lokálne maximum $[0; 0]$ , priesečníky s osou $x$ : $[-3; 0]$ , $[0; 0]$ a $[3; 0]$ .
g)Pre $x \geq 3$ je $y = x^2 - 3x$ , pre $x < 3$ je $y = -x^2 + 3x$ . Lokálne maximum $\left[\frac{3}{2}; \frac{9}{4}\right]$ , lokálne minimum $[3; 0]$ , priesečníky s osou $x$ : $[0; 0]$ a $[3; 0]$ .
h)Pre $x \geq 0$ je $y = x^2 - 3x$ , pre $x < 0$ je $y = -x^2 + 3x$ . Lokálne maximum $[0; 0]$ , lokálne minimum $\left[\frac{3}{2}; -\frac{9}{4}\right]$ , priesečníky s osou $x$ : $[0; 0]$ a $[3; 0]$ .
i)Pre $x < -\frac{1}{2}$ je $y = x^2 - 6x - 1$ , pre $x \in \left\langle -\frac{1}{2}; 4 \right)$ je $y = (x - 1)^2$ , pre $x \geq 4$ je $y = -x^2 + 6x + 1$ . Graf sa dotýka osi $x$ v bode $[1; 0]$ (lokálne minimum), pretína ju v bode $[3 + \sqrt{10}; 0]$ , os $y$ v bode $[0; 1]$ , lokálne maximum je $[4; 9]$ .
j)Pre $x \leq 0$ je $y = 0$ , pre $x \in (0; 2)$ je $y = -2x^2 + 4x$ , pre $x \geq 2$ je $y = 2x^2 - 4x$ . Na intervale $(-\infty; 0\rangle$ graf splýva s osou $x$ , lokálne maximum je $[1; 2]$ , ďalší spoločný bod s osou $x$ je $[2; 0]$ .
k)Pre $x < 0$ je $y = x^2 - 2x - 2$ , pre $x \in \langle 0; 1)$ je $y = -x^2 + 2x - 2$ , pre $x \geq 1$ je $y = x^2 - 2$ . Minimum $[0; -2]$ , graf prechádza bodom $[1; -1]$ , priesečníky s osou $x$ : $[1 - \sqrt{3}; 0]$ a $[\sqrt{2}; 0]$ .
l)Párna funkcia: pre $|x| < 2$ je $y = 8 - 2x^2$ , pre $2 \leq |x| \leq 3$ je $y = 0$ , pre $|x| > 3$ je $y = 2x^2 - 18$ . Lokálne maximum $[0; 8]$ , na intervaloch $\langle -3; -2 \rangle$ a $\langle 2; 3 \rangle$ graf splýva s osou $x$ .

20.

Načrtni grafy daných funkcií:

a)
$y = \left( \frac{x - 5}{x + 1} + 1 \right) : \left( 1 - \frac{2x - 1}{x + 1} \right)$
b)
$y = \left( x + 2 + \frac{2}{x - 1} \right) \cdot \left( x - 2 + \frac{2}{x + 1} \right)$
c)
$y = \frac{x^3 - 4x + x^2 - 4}{x^2 - x - 2} \cdot x$

Najprv urči definičný obor: žiadny menovateľ ani deliteľ nesmie byť nula. Potom výraz zjednoduš. Body vylúčené z definičného oboru vyznač v grafe prázdnym krúžkom.

a) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{-1; 2\}$ , po úprave $y = -2$ . Grafom je priamka $y = -2$ bez bodov $[-1; -2]$ a $[2; -2]$ .
b) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ , po úprave $y = x^2$ . Grafom je parabola $y = x^2$ bez bodov $[-1; 1]$ a $[1; 1]$ .
c) $\mathrm{D} = \mathbb{R} - \{-1; 2\}$ , po úprave $y = x^2 + 2x$ . Grafom je parabola s vrcholom $[-1; -1]$ , z ktorej chýba samotný vrchol $[-1; -1]$ a bod $[2; 8]$ .

21.

Cesta klesá rovnomerne. Urči graficky výšku bodu, ktorý je vzdialený

15

km, ak bod vzdialený

5

km má výšku

150

m a bod vzdialený

9

km má výšku

126

Výška je lineárna funkcia vzdialenosti. Nakresli priamku cez body

[5; 150]

[9; 126]

a odčítaj hodnotu pre

x = 15

90

22.

Auto vyšlo z miesta

A

rýchlosťou

60\ \text{km} \cdot \text{h}^{-1}

. Z toho istého miesta vyšlo o pol hodiny neskôr tým istým smerom druhé auto rýchlosťou

90\ \text{km} \cdot \text{h}^{-1}

. Urči výpočtom aj graficky, kedy a kde druhé auto dostihlo prvé.

t

je čas od výjazdu prvého auta, dráhy sú

s_1 = 60t

s_2 = 90(t - 0{,}5)

. Graficky nakresli obe priamky a nájdi ich priesečník.

Druhé auto dostihlo prvé

1{,}5

hodiny po výjazde prvého auta (hodinu po svojom výjazde),

90

km od miesta

A

23.

Urči predpis kvadratickej funkcie

f(x) = ax^2 + bx + c

tak, aby sa graf funkcie

f

dotýkal priamky

y = -9

a prechádzal bodmi

A[2; -5]

B[6; -5]

. Ďalej vypočítaj:

a)
priesečník grafu funkcie $f$ s osou $y$ ,
b)
priesečníky grafu funkcie $f$ s osou $x$ ,
c)
obsah trojuholníka, ktorého vrcholy tvoria priesečníky grafu funkcie $f$ so súradnicovými osami.

Body

A

B

majú rovnakú

y

-ovú súradnicu, preto vrchol leží v strede medzi nimi, pri

x = 4

. Dotyk s priamkou

y = -9

znamená, že vrchol je

[4; -9]

f(x) = x^2 - 8x + 7

a) $[0; 7]$
b) $[1; 0]$ a $[7; 0]$
c) $S = 21\ \text{j}^2$

24.

Daná je funkcia

g: y = (1 - x)(1 + x) + 2x

a)
Urči definičný obor funkcie a jej obor hodnôt.
b)
Pre aké $x \in \mathbb{R}$ platí, že $g(x) > 0$ ?

Roznásob a uprav predpis na tvar

y = -x^2 + 2x + 1

a) $\mathrm{D}(g) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(g) = (-\infty; 2\rangle$
b) $x \in (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$

25.

Urči reálne čísla

a

b

tak, aby priamka

p

daná rovnicou

\frac{2 - a}{5}x + 11y + \frac{3 - b}{2} = 0

bola grafom funkcie

f: y = \frac{3}{4}(x + 2)

Z rovnice priamky vyjadri

y

a porovnaj smernicu aj absolútny člen s predpisom

y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}

a = \frac{173}{4}

b = 36

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.