Okruh 7 · Funkcie

Funkcia a jej vlastnosti

Čo je funkcia, definičný obor a obor hodnôt, vlastnosti ako párnosť či ohraničenosť, inverzná a zložená funkcia.

asi 90 min · 8 častí · 18 úloh

0 z 8 častí · 0 z 18 úloh

V skratke

Funkcia priradí každému $x \in \mathrm{D}(f)$ práve jedno číslo $y = f(x)$ . Všetky takto získané hodnoty tvoria obor hodnôt $\mathrm{H}(f)$ .
Keď definičný obor nie je zadaný, berieš všetky $x$ , pre ktoré má predpis zmysel: menovateľ $\neq 0$ , pod párnou odmocninou $\geq 0$ , argument logaritmu $> 0$ .
Párna funkcia: $f(-x) = f(x)$ , graf je súmerný podľa osi $y$ . Nepárna: $f(-x) = -f(x)$ , graf je súmerný podľa začiatku. V oboch prípadoch musí byť $\mathrm{D}(f)$ súmerný podľa nuly.
Rastúca funkcia: väčšiemu $x$ patrí väčšia hodnota. Prostá funkcia: rôznym $x$ patria rôzne hodnoty.
Ohraničená funkcia je ohraničená zhora aj zdola. Maximum a minimum sú najväčšia a najmenšia hodnota, ktorú funkcia naozaj nadobudne.
Inverzná funkcia $f^{-1}$ existuje len k prostej funkcii. Vymeníš $x$ a $y$ a vyjadríš $y$ . Platí $\mathrm{D}(f^{-1}) = \mathrm{H}(f)$ a graf je súmerný s grafom $f$ podľa priamky $y = x$ .
Zložená funkcia $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ : najprv vnútorná zložka $f$ , potom vonkajšia $g$ . Vo všeobecnosti $f \circ g \neq g \circ f$ .

Časť 1prečítaná

Pojem funkcie

Ak je každému reálnemu číslu $x \in M_x$ priradené práve jedno reálne číslo $y \in M_y$ , nazývame toto priradenie (zobrazenie množiny $M_x \subseteq \mathbb{R}$ do množiny $M_y \subseteq \mathbb{R}$ ) reálnou funkciou reálnej premennej $x$ . Stručne hovoríme o funkcii premennej $x$ .

Funkcia: Funkcia $f$ reálnej premennej $x$ je množina usporiadaných dvojíc $[x, y] \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ , pre ktorú platí: ku každému $x \in \mathbb{R}$ existuje najviac jedno $y \in \mathbb{R}$ také, že $[x, y] \in f$ .

Funkcie spravidla označujeme písmenami $f, g, \varphi, F, G$ a podobne. Niektoré často používané funkcie majú vlastné označenie, napríklad $\log$ , $\sin$ alebo $\cos$ .

Definičný obor: Definičný obor funkcie $f$ , označujeme ho $\mathrm{D}(f)$ , je množina všetkých $x \in \mathbb{R}$ , ku ktorým existuje práve jedno $y \in \mathbb{R}$ také, že $[x, y] \in f$ , teda $y = f(x)$ . Je to množina, ktorú sme vyššie označili $M_x$ .
Obor hodnôt: Obor hodnôt funkcie $f$ , označujeme ho $\mathrm{H}(f)$ , je množina všetkých $y \in \mathbb{R}$ , ku ktorým existuje aspoň jedno $x \in \mathbb{R}$ také, že $[x, y] \in f$ , teda $y = f(x)$ . Je to podmnožina množiny $M_y$ : nie každé číslo z $M_y$ musí byť hodnotou funkcie.

Definičný obor aj obor hodnôt sú najčastejšie intervaly alebo zjednotenia intervalov.

Argument a hodnota funkcie: Symbol $x$ , ktorý označuje ľubovoľné číslo z $\mathrm{D}(f)$ , je premenná alebo argument funkcie. Keď myslíme pevne zvolené číslo, hovoríme o hodnote premennej (argumentu). Číslo $y$ , ktoré funkcia $f$ priradí číslu $x$ , označujeme $f(x)$ a voláme ho hodnota funkcie $f$ v bode $x$ . Píšeme $y = f(x)$ .

Časť 2prečítaná

Graf a spôsoby zadania funkcie

V rovine zvolíš pravouhlú sústavu súradníc: dve navzájom kolmé číselné osi so spoločným počiatkom $O$ a rovnakou dĺžkovou jednotkou. Na osi $x$ vyznačíš bod $x$ z definičného oboru funkcie $f$ a zostrojíš v ňom kolmicu na os $x$ . Na osi $y$ vyznačíš bod $f(x)$ a zostrojíš v ňom kolmicu na os $y$ . Priesečník oboch kolmíc má súradnice $[x, f(x)]$ . Všetky takéto body tvoria graf funkcie.

Graf funkcie: Grafom funkcie $f$ v súradnicovej sústave $Oxy$ je množina všetkých bodov $X[x, f(x)]$ , kde $x \in \mathrm{D}(f)$ .

Aby bola funkcia určená, musíš poznať

definičný obor funkcie,
funkčný predpis, teda spôsob, ako sa argumentom priraďujú hodnoty funkcie.

Spôsoby zadania funkcie

Analyticky, teda vzorcom. Z neho vidíš, aké operácie máš s argumentom $x$ urobiť, aby si dostal hodnotu $f(x)$ . Niekedy je predpis daný viacerými vzorcami, každým pre iný interval.
Vymenovaním hodnôt pre všetky hodnoty argumentu, ako pri funkcii signum nižšie.
Tabuľkou, ak je definičný obor konečná množina. Vypíšeš všetky usporiadané dvojice $[x, f(x)]$ : v jednom riadku (stĺpci) sú hodnoty $x$ , v druhom zodpovedajúce hodnoty $f(x)$ .
Graficky, nakreslením grafu. Takéto zadanie je len približné, takto vznikajú napríklad záznamy elektrokardiografu alebo seizmografu.

Funkcia signum

\displaystyle \operatorname{sgn} x = \begin{cases} 1 & \text{pre } x > 0 \\ 0 & \text{pre } x = 0 \\ -1 & \text{pre } x < 0 \end{cases}

Čítaj „signum $x$ “. Je to príklad funkcie zadanej vymenovaním hodnôt.

Existenčný obor: Ak pri funkčnom predpise nie je uvedený definičný obor, dohodou je ním množina všetkých čísel $x$ , pre ktoré hodnota $f(x)$ existuje. Voláme ju existenčný obor alebo maximálny definičný obor funkcie.

Pri hľadaní definičného oboru si všímaj

menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule,
výraz pod párnou odmocninou musí byť nezáporný,
argument logaritmu musí byť kladný,
všetky podmienky musia platiť naraz, preto na konci urob ich prienik.

Časť 3prečítaná

Monotónnosť, prostosť a ohraničenosť

Nech $M \subseteq \mathrm{D}(f)$ . Nasledujúce vlastnosti opisujú správanie funkcie $f$ na množine $M$ .

Monotónnosť a prostosť

Funkcia $f$ je na $M$	ak pre všetky $x_1, x_2 \in M$ platí
rastúca	$x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
klesajúca	$x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
nerastúca	$x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
neklesajúca	$x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$
prostá	$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

rastúca

x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

klesajúca

x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

nerastúca

x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)

neklesajúca

x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)

prostá

x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)

Funkcia

f

je na

M

monotónna, ak je nerastúca alebo neklesajúca,
ohraničená zhora, ak existuje $h \in \mathbb{R}$ také, že pre všetky $x \in M$ platí $f(x) \leq h$ ,
ohraničená zdola, ak existuje $d \in \mathbb{R}$ také, že pre všetky $x \in M$ platí $f(x) \geq d$ ,
ohraničená, ak je ohraničená zhora a súčasne ohraničená zdola.

Časť 4prečítaná

Maximum a minimum

Funkcia

f

má na množine

M \subseteq \mathrm{D}(f)

v bode

a \in M

minimum, ak pre všetky $x \in M$ platí $f(x) \geq f(a)$ ,
maximum, ak pre všetky $x \in M$ platí $f(x) \leq f(a)$ .

Hodnota $f(a)$ je potom najmenšia (najväčšia) hodnota funkcie na $M$ . Ak nerovnosť platí na celom definičnom obore, ide o minimum (maximum) funkcie. Ak platí len v nejakom okolí bodu $a$ , hovoríme o lokálnom minime (lokálnom maxime).

Časť 5prečítaná

Párnosť, periodickosť a konštantná funkcia

Párna funkcia: Funkcia $f$ je párna, ak pre každé $x \in \mathrm{D}(f)$ je aj $-x \in \mathrm{D}(f)$ a platí $f(-x) = f(x)$ . Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi $y$ .

Párne sú napríklad funkcie $y = x^2$ , lebo $(-x)^2 = x^2$ , a $y = |x|$ , lebo $|-x| = |x|$ .

Nepárna funkcia: Funkcia $f$ je nepárna, ak pre každé $x \in \mathrm{D}(f)$ je aj $-x \in \mathrm{D}(f)$ a platí $f(-x) = -f(x)$ . Graf nepárnej funkcie je súmerný podľa začiatku súradnicovej sústavy.

Nepárne sú napríklad funkcie $y = x^3$ , lebo $(-x)^3 = -x^3$ , a $y = \frac{1}{x}$ , lebo $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$ pre $x \neq 0$ .

Periodická funkcia: Funkcia $f$ je periodická, ak existuje číslo $T \neq 0$ také, že pre každé $x \in \mathrm{D}(f)$ je aj $x \pm T \in \mathrm{D}(f)$ a platí $f(x + T) = f(x)$ . Číslo $T$ je perióda funkcie $f$ . Najmenšiu kladnú periódu, ak existuje, voláme základná (primitívna, najmenšia) perióda.

Dôležitým príkladom periodických funkcií sú goniometrické funkcie $y = \sin x$ , $y = \cos x$ , $y = \operatorname{tg} x$ a $y = \operatorname{cotg} x$ . Funkcie $\sin x$ a $\cos x$ majú základnú periódu $2\pi$ , funkcie $\operatorname{tg} x$ a $\operatorname{cotg} x$ základnú periódu $\pi$ .

Konštantná funkcia: Funkcia daná rovnicou $y = c$ , kde $c$ je reálna konštanta. Jej grafom je priamka rovnobežná s osou $x$ .

Časť 6prečítaná

Inverzná funkcia

Inverzná funkcia: Majme funkciu $y = f(x)$ s definičným oborom $\mathrm{D}(f)$ a oborom hodnôt $\mathrm{H}(f)$ . Inverzná funkcia k funkcii $f$ je funkcia $x = g(y)$ s definičným oborom $\mathrm{H}(f)$ , ktorá každému $y \in \mathrm{H}(f)$ priradí práve to $x \in \mathrm{D}(f)$ , pre ktoré platí $y = f(x)$ . Inverznú funkciu k funkcii $f$ označujeme $f^{-1}$ .

Platí

Inverznú funkciu môžeš nájsť len k prostej funkcii. Inak by niektorému $y$ patrilo viac čísel $x$ .
Platí $\mathrm{D}(f^{-1}) = \mathrm{H}(f)$ a $\mathrm{H}(f^{-1}) = \mathrm{D}(f)$ .
Graf inverznej funkcie je osovo súmerný s grafom funkcie $f$ podľa osi 1. a 3. kvadrantu, teda podľa priamky $y = x$ .
Funkcia $y = x$ je preto inverzná sama k sebe. To isté platí aj pre $y = \frac{1}{x}$ , ktorej graf je súmerný podľa priamky $y = x$ .

Graf funkcie f vo štvrtom kvadrante a graf inverznej funkcie v druhom kvadrante, navzájom súmerné podľa priamky y = x. Prerušované čiary ukazujú, že definičný obor inverznej funkcie je obor hodnôt funkcie f a jej obor hodnôt je definičný obor funkcie f.

Ako nájdeš inverznú funkciu

Over, že funkcia $f$ je prostá, napríklad že je rastúca alebo klesajúca.
V predpise $y = f(x)$ vymeň $x$ a $y$ .
Z novej rovnice vyjadri $y$ . To je predpis funkcie $f^{-1}$ .
Urči definičný obor $\mathrm{D}(f^{-1}) = \mathrm{H}(f)$ .

Časť 7prečítaná

Zložená funkcia

Ak veličina $z$ závisí od veličiny $y$ a tá závisí od veličiny $x$ , potom aj $z$ závisí od $x$ , sprostredkovane cez $y$ . Takto vzniká zložená funkcia.

Zložená funkcia: Nech $f$ a $g$ sú funkcie, pre ktoré $\mathrm{H}(f) \cap \mathrm{D}(g) \neq \emptyset$ . Funkcia zložená z funkcií $f$ a $g$ (v tomto poradí) je funkcia $g \circ f$ daná vzťahom $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Je definovaná pre tie $x \in \mathrm{D}(f)$ , pre ktoré $f(x) \in \mathrm{D}(g)$ . Funkcia $f$ je vnútorná zložka, funkcia $g$ je vonkajšia zložka.

\displaystyle (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)

Riešený príklad

Zloženie v oboch poradiach

Nech $f\colon y = \sin x$ a $g\colon y = \sqrt{x}$ . Nájdi funkcie $f \circ g$ a $g \circ f$ a ich definičné obory.

$\displaystyle (f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = f(\sqrt{x}) = \sin \sqrt{x}$
Odmocnina je definovaná pre $x \geq 0$ a sínus pre každé reálne číslo, preto $\mathrm{D}(f \circ g) = \langle 0; \infty)$ .
$\displaystyle (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(\sin x) = \sqrt{\sin x}$
Musí platiť $\sin x \geq 0$ . To platí práve vtedy, keď $x$ leží v niektorom intervale $\langle 2k\pi; (2k+1)\pi \rangle$ , kde $k \in \mathbb{Z}$ .
$\displaystyle \mathrm{D}(g \circ f) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \langle 2k\pi; (2k+1)\pi \rangle$

Výsledok: $(f \circ g)(x) = \sin \sqrt{x}$ a $(g \circ f)(x) = \sqrt{\sin x}$ . Sú to rôzne funkcie, takže vo všeobecnosti $f \circ g \neq g \circ f$ .

Niekedy treba danú zloženú funkciu rozložiť na zložky. Napríklad pri funkcii $f\colon y = \operatorname{tg}^3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ si uvedom, čo sa postupne deje s hodnotou $x$ :

\displaystyle x \;\xrightarrow{\;-\frac{\pi}{4}\;}\; x - \frac{\pi}{4} \;\xrightarrow{\;\operatorname{tg}\;}\; \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \;\xrightarrow{\;(\ )^3\;}\; \operatorname{tg}^3\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

Preto $f(x) = (p \circ q \circ r)(x)$ , kde $p(x) = x^3$ , $q(x) = \operatorname{tg} x$ a $r(x) = x - \frac{\pi}{4}$ .

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Definičný obor

Urči definičný obor funkcie $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1} + \log(5 - x)$ .

Zapíš všetky podmienky, ktoré musia platiť naraz: výraz pod odmocninou je nezáporný, menovateľ nie je nula a argument logaritmu je kladný.
$\displaystyle x + 2 \geq 0, \qquad \allowbreak x - 1 \neq 0, \qquad \allowbreak 5 - x > 0$
Z nich dostaneš $x \geq -2$ , $x \neq 1$ a $x < 5$ .
Prienik týchto podmienok je interval $\langle -2; 5)$ bez čísla $1$ .

Výsledok: $\mathrm{D}(f) = \langle -2; 1) \cup (1; 5)$

Riešený príklad

Inverzná funkcia

Urči inverznú funkciu k funkcii $f\colon y = \frac{2x+1}{x-3}$ .

Predpis uprav na tvar $y = 2 + \frac{7}{x-3}$ . Na intervale $(-\infty; 3)$ funkcia nadobúda hodnoty menšie ako $2$ , na $(3; \infty)$ väčšie ako $2$ a na každom z nich je klesajúca. Preto je prostá a $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{2\}$ .
Vymeň $x$ a $y$ :
$\displaystyle x = \frac{2y+1}{y-3}$
Vyjadri $y$ :
$\displaystyle x(y - 3) = 2y + 1 \;\Rightarrow\; xy - 2y = 3x + 1 \;\Rightarrow\; y(x - 2) = 3x + 1 \;\Rightarrow\; y = \frac{3x+1}{x-2}$
Definičný obor inverznej funkcie je $\mathrm{D}(f^{-1}) = \mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{2\}$ .

Výsledok: $f^{-1}\colon y = \frac{3x+1}{x-2}$ , $x \neq 2$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 18

Rozhodni, či nasledujúce predpisy určujú funkcie na danej množine:

a)
$f_1\colon y = 2x - 1 \land x \in \mathbb{R}$
b)
$f_2\colon y = \sqrt{x+4} \land x \in \langle -4; \infty)$
c)
$f_3\colon y^2 = x \land x \in \mathbb{R}$
d)
$f_4\colon y = x^2 \land x \in \mathbb{R}$

a)Áno.
b)Áno.
c)Nie, napríklad číslu $x = 4$ by patrili dve hodnoty, $y = 2$ aj $y = -2$ .
d)Áno.

Rozhodni, či sa dané funkcie rovnajú:

a)
$f(x) = 1$ , $g(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$
b)
$f(x) = x$ , $g(x) = x^2 \cdot x^{-1}$
c)
$f(x) = \sin x$ , $g(x) = \operatorname{tg} x \cdot \cos x$

Dve funkcie sa rovnajú, ak majú rovnaký definičný obor a v každom jeho bode rovnakú hodnotu.

a)Áno, obe majú definičný obor $\mathbb{R}$ a všade hodnotu $1$ .
b)Nie, $\mathrm{D}(g) = \mathbb{R} - \{0\}$ , ale $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$ .
c)Nie, funkcia $g$ nie je definovaná pre $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Urči definičné obory funkcií:

a)
$f_1(x) = x^2 + 3x - 1$
b)
$f_2(x) = \frac{x+1}{x-3}$
c)
$f_3(x) = \frac{x}{13x^2 + 10x - 3}$
d)
$f_4(x) = \frac{x^2+1}{x^2+x+1}$
e)
$f_5(x) = \frac{1}{|x+3| - 4}$
f)
$f_6(x) = \sqrt{x+2}$
g)
$f_7(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2}}$
h)
$f_8(x) = \sqrt{\frac{x+2}{4x-6}}$
i)
$f_9(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x-6}}$
j)
$f_{10}(x) = \sqrt{x+4} + \sqrt{\frac{7}{10-x}}$
k)
$f_{11}(x) = \log(x-3)$
l)
$f_{12}(x) = \frac{1}{\log_2(x+4) - 3}$
m)
$f_{13}(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(2x+1)}$
n)
$f_{14}(x) = \sqrt{\log_5 x + 1}$

Menovateľ sa nesmie rovnať nule, výraz pod párnou odmocninou musí byť nezáporný a argument logaritmu kladný. Všetky podmienky musia platiť naraz.

a) $\mathrm{D}(f_1) = \mathbb{R}$
b) $\mathrm{D}(f_2) = \mathbb{R} - \{3\}$
c) $\mathrm{D}(f_3) = \mathbb{R} - \left\{-1; \frac{3}{13}\right\}$
d) $\mathrm{D}(f_4) = \mathbb{R}$
e) $\mathrm{D}(f_5) = \mathbb{R} - \{-7; 1\}$
f) $\mathrm{D}(f_6) = \langle -2; \infty)$
g) $\mathrm{D}(f_7) = (-\infty; -2) \cup \left(\frac{1}{2}; \infty\right)$
h) $\mathrm{D}(f_8) = (-\infty; -2\rangle \cup \left(\frac{3}{2}; \infty\right)$
i) $\mathrm{D}(f_9) = \left(\frac{3}{2}; \infty\right)$
j) $\mathrm{D}(f_{10}) = \langle -4; 10)$
k) $\mathrm{D}(f_{11}) = (3; \infty)$
l) $\mathrm{D}(f_{12}) = (-4; \infty) - \{4\}$
m) $\mathrm{D}(f_{13}) = \left(-\frac{1}{2}; 0\right\rangle$
n) $\mathrm{D}(f_{14}) = \left\langle \frac{1}{5}; \infty\right)$

Vypočítaj hodnotu funkcie

y = \frac{x+4}{x-1}

v bodoch

-1

;

3

;

\sqrt{2}

Pri

x = \sqrt{2}

zlomok

\frac{\sqrt{2}+4}{\sqrt{2}-1}

usmerni: rozšír ho výrazom

\sqrt{2} + 1

Pre

x = -1

y = -\frac{3}{2}

, pre

x = 3

y = \frac{7}{2}

a pre

x = \sqrt{2}

y = 6 + 5\sqrt{2}

Je daná funkcia

f\colon y = x^3 - x \land x \in \mathbb{R}

. Vypočítaj

f(-2)

f\left(\frac{1}{3}\right)

f(2\sqrt{3})

f(-2) = -6

f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{8}{27}

f(2\sqrt{3}) = 22\sqrt{3}

Je daná funkcia

g(x) = 3x^2 + 1

. Vypočítaj

g(1)

g(a) + g(2)

g(a+2)

g(b^2)

[g(b)]^2

g(1) = 4

g(a) + g(2) = 3a^2 + 14

g(a+2) = 3a^2 + 12a + 13

g(b^2) = 3b^4 + 1

[g(b)]^2 = 9b^4 + 6b^2 + 1

Je daná funkcia

f(x) = x^2 + 2x - 30

. Rozhodni, či existuje

x \in \mathbb{R}

také, aby platilo:

a)
$f(x) = 5$
b)
$f(x) = -100$
c)
$f(x) = \frac{11}{2}\sqrt{3}$

Rieš kvadratickú rovnicu

x^2 + 2x - 30 = k

pre dané číslo

k

. V časti c) sa ti zíde, že

31 + \frac{11\sqrt{3}}{2} = \left(\frac{11+\sqrt{3}}{2}\right)^2

a)Áno, $x_1 = -7$ , $x_2 = 5$ .
b)Nie, také $x$ neexistuje, diskriminant rovnice je záporný.
c)Áno, $x_1 = \frac{9+\sqrt{3}}{2}$ , $x_2 = \frac{-13-\sqrt{3}}{2}$ .

Je daná funkcia

h\colon y = \frac{x^2+1}{2-x^2}

a)
Rozhodni, ktoré z čísel $2$ , $-\frac{5}{2}$ , $0$ , $5$ , $-1$ patria do oboru hodnôt funkcie $h$ .
b)
Urči všetky čísla $m \in \mathbb{R}$ , pre ktoré platí $h(m) = h(\sqrt{3})$ .
c)
Urči všetky čísla $c \in \mathbb{R}$ , pre ktoré platí $h(c+1) = h\left(\frac{1}{2}\right)$ .

Číslo

k

patrí do

\mathrm{H}(h)

, ak má rovnica

h(x) = k

riešenie. Hodnota

h(x)

závisí len od

x^2

, preto z rovnosti hodnôt dostaneš rovnosť druhých mocnín argumentov.

a)Do $\mathrm{H}(h)$ patria čísla $2$ , $-\frac{5}{2}$ a $5$ , čísla $0$ a $-1$ nie.
b) $m = \sqrt{3}$ alebo $m = -\sqrt{3}$
c) $c = -\frac{3}{2}$ alebo $c = -\frac{1}{2}$

Rozhodni, ktoré z nasledujúcich funkcií sú prosté na svojom definičnom obore:

a)
$f_1\colon y = 2x + 5$
b)
$f_2\colon y = x^2 - 4$
c)
$f_3\colon y = 2^x$
d)
$f_4\colon y = |x+1|$

a)Áno.
b)Nie, napríklad $f_2(-1) = f_2(1) = -3$ .
c)Áno.
d)Nie, napríklad $f_4(-2) = f_4(0) = 1$ .

10.

Ktoré z funkcií sú párne (nepárne) na definičnom obore?

a)
$h_1\colon y = x$
b)
$h_2\colon y = \cos x$
c)
$h_3\colon y = \frac{1}{x}$
d)
$h_4\colon y = 4x$
e)
$h_5\colon y = x^2$
f)
$h_6\colon y = \frac{4x}{x^2-4}$
g)
$h_7\colon y = |x|$
h)
$h_8\colon y = \log x$
i)
$h_9\colon y = \frac{4x}{x^2+4}$
j)
$h_{10}\colon y = x^3$
k)
$h_{11}\colon y = 2^x$
l)
$h_{12}\colon y = \frac{x^2}{|x|+3}$

Najprv over, či je definičný obor súmerný podľa nuly. Potom porovnaj

f(-x)

f(x)

a s

-f(x)

a)Nepárna.
b)Párna.
c)Nepárna.
d)Nepárna.
e)Párna.
f)Nepárna.
g)Párna.
h)Ani párna, ani nepárna.
i)Nepárna.
j)Nepárna.
k)Ani párna, ani nepárna.
l)Párna.

11.

Rozhodni, ktoré funkcie sú ohraničené zhora, ohraničené zdola a ohraničené na definičnom obore.

a)
$g_1\colon y = \cos x$
b)
$g_2\colon y = (\sin x)^2$
c)
$g_3\colon y = \cos x - 1$
d)
$g_4\colon y = 2\sin x$
e)
$g_5\colon y = x$
f)
$g_6\colon y = |x|$
g)
$g_7\colon y = -4x$
h)
$g_8\colon y = -4|x| + 3$
i)
$g_9\colon y = x^2$
j)
$g_{10}\colon y = x^3$
k)
$g_{11}\colon y = x^{-1}$
l)
$g_{12}\colon y = x^{-2}$
m)
$g_{13}\colon y = 2^x$
n)
$g_{14}\colon y = 2^{|x|}$
o)
$g_{15}\colon y = \log x$
p)
$g_{16}\colon y = -|\log x|$

Pomôže ti náčrt grafu. Hľadaj čísla

d

h

, pre ktoré platí

d \leq f(x)

, resp.

f(x) \leq h

pre všetky

x \in \mathrm{D}(f)

a)Ohraničená, $-1 \leq y \leq 1$ .
b)Ohraničená, $0 \leq y \leq 1$ .
c)Ohraničená, $-2 \leq y \leq 0$ .
d)Ohraničená, $-2 \leq y \leq 2$ .
e)Nie je ohraničená zhora ani zdola.
f)Ohraničená len zdola, $y \geq 0$ .
g)Nie je ohraničená zhora ani zdola.
h)Ohraničená len zhora, $y \leq 3$ .
i)Ohraničená len zdola, $y \geq 0$ .
j)Nie je ohraničená zhora ani zdola.
k)Nie je ohraničená zhora ani zdola.
l)Ohraničená len zdola, $y > 0$ .
m)Ohraničená len zdola, $y > 0$ .
n)Ohraničená len zdola, $y \geq 1$ .
o)Nie je ohraničená zhora ani zdola.
p)Ohraničená len zhora, $y \leq 0$ .

12.

Dokáž, že dané funkcie sú ohraničené na definičnom obore.

a)
$f_1(x) = \frac{10}{x^2+2}$
b)
$f_2(x) = x^2 \land x \in \langle -5; 3 \rangle$
c)
$f_3(x) = \frac{x}{x+4} \land x \in \mathbb{R}_0^+$

Nájdi čísla

d

h

, pre ktoré je

d \leq f(x) \leq h

. a) Keďže

x^2 + 2 \geq 2

, platí

0 < \frac{10}{x^2+2} \leq 5

. b) Pre

x \in \langle -5; 3 \rangle

|x| \leq 5

, preto

0 \leq x^2 \leq 25

. c) Pre

x \geq 0

0 \leq x < x + 4

a menovateľ je kladný, preto

0 \leq \frac{x}{x+4} < 1

13.

Rozhodni, či funkcie majú maximum alebo minimum na definičnom obore. Ak áno, urči, v ktorom bode, a urči jeho hodnotu.

a)
$f_1\colon y = 2x$
b)
$f_2\colon y = 2x^2 - 1$
c)
$f_3\colon y = \frac{x+3}{x}$
d)
$f_4\colon y = |x| + 1$
e)
$f_5\colon y = -x^2 + 4$
f)
$f_6\colon y = \frac{4x^2}{x^2+4}$
g)
$f_7\colon y = 2^x + 1$
h)
$f_8\colon y = -|\log x|$
i)
$f_9\colon y = \frac{1}{x^2+2x+1}$

Maximum (minimum) je hodnota, ktorú funkcia naozaj nadobudne a ktorá je zo všetkých hodnôt najväčšia (najmenšia). Nestačí, že je funkcia ohraničená.

a)Nemá maximum ani minimum.
b)Minimum $-1$ v bode $x = 0$ , maximum nemá.
c)Nemá maximum ani minimum.
d)Minimum $1$ v bode $x = 0$ , maximum nemá.
e)Maximum $4$ v bode $x = 0$ , minimum nemá.
f)Minimum $0$ v bode $x = 0$ , maximum nemá.
g)Nemá maximum ani minimum.
h)Maximum $0$ v bode $x = 1$ , minimum nemá.
i)Nemá maximum ani minimum.

14.

Načrtni graf funkcie

f

, ak vieš, že

\mathrm{D}(f) = \langle -3; \infty) - \{0\}

f(-3) = -2

. Priesečníky grafu funkcie

f

s osou

x

sú v bodoch

P_1[-1; 0]

P_2[5; 0]

. Na intervale

\langle -3; 0)

je funkcia

f

rastúca a nie je ohraničená zhora. Na intervale

\langle -3; 3 \rangle - \{0\}

je funkcia

f

párna. Na intervale

\langle 3; \infty)

je funkcia

f

rastúca a ohraničená zhora číslom

h = 4

a)
Z grafu urči obor hodnôt funkcie $f$ .
b)
Urči súradnice priesečníka grafu funkcie $f$ s osou $y$ .
c)
Je funkcia $f$ ohraničená zdola na definičnom obore?
d)
Urči maximum funkcie $f$ na definičnom obore.
e)
Urči minimum funkcie $f$ na definičnom obore.
f)
Je funkcia $f$ prostá na definičnom obore?
g)
Urči aspoň jeden interval, na ktorom je funkcia $f$ prostá.

\langle -3; 0)

graf stúpa z bodu

[-3; -2]

cez

[-1; 0]

a pri približovaní k nule rastie nad všetky medze. Z párnosti je graf na

(0; 3 \rangle

zrkadlovým obrazom podľa osi

y

: funkcia tam klesá, prechádza bodom

[1; 0]

f(3) = f(-3) = -2

. Na

\langle 3; \infty)

graf stúpa z bodu

[3; -2]

cez

[5; 0]

a nikdy neprekročí hodnotu

4

a) $\mathrm{H}(f) = \langle -2; \infty)$
b)Neexistuje, lebo $0 \notin \mathrm{D}(f)$ .
c)Áno, napríklad číslom $-2$ .
d)Neexistuje, funkcia nie je ohraničená zhora.
e)Minimum $-2$ v bodoch $x = -3$ a $x = 3$ .
f)Nie, napríklad $f(-3) = f(3) = -2$ .
g)Napríklad $\langle 3; \infty)$ alebo $\langle -3; 0)$ .

15.

Daná je funkcia

f\colon y = \frac{2x-1}{x+1}

a)
Urči $\mathrm{D}(f)$ .
b)
Rozhodni, či čísla $-1$ a $2$ patria do $\mathrm{H}(f)$ .
c)
Urči obor hodnôt funkcie $f$ .
d)
Urči všetky ostatné vlastnosti funkcie $f$ .

Predpis uprav na tvar

y = 2 - \frac{3}{x+1}

. Z neho vidíš, že hodnotu

2

funkcia nikdy nenadobudne a že na každom z intervalov

(-\infty; -1)

(-1; \infty)

rastie.

a) $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{-1\}$
b) $-1 \in \mathrm{H}(f)$ , lebo $f(0) = -1$ . Číslo $2$ do $\mathrm{H}(f)$ nepatrí.
c) $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R} - \{2\}$
d)Nie je párna ani nepárna. Je rastúca na $(-\infty; -1)$ aj na $(-1; \infty)$ , na celom $\mathrm{D}(f)$ však rastúca nie je. Je prostá, nie je ohraničená zhora ani zdola, nemá maximum ani minimum a nie je periodická. Graf pretína os $x$ v bode $\left[\frac{1}{2}; 0\right]$ a os $y$ v bode $[0; -1]$ .

16.

Daná je funkcia

f\colon y = \frac{1}{x^2+1}

a)
Urči $\mathrm{D}(f)$ .
b)
Rozhodni o párnosti (nepárnosti) funkcie.
c)
Rozhodni o ohraničenosti funkcie.
d)
Zisti, či $\frac{1}{2} \in \mathrm{H}(f)$ a $2 \in \mathrm{H}(f)$ .
e)
Rozhodni, či je funkcia prostá.
f)
Urči všetky ostatné vlastnosti funkcie $f$ .

Menovateľ

x^2 + 1

je vždy aspoň

1

. Čím je

|x|

väčšie, tým je menovateľ väčší a hodnota funkcie menšia.

a) $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$
b)Je párna, $f(-x) = f(x)$ .
c)Je ohraničená, $0 < f(x) \leq 1$ .
d) $\frac{1}{2} \in \mathrm{H}(f)$ , lebo $f(1) = f(-1) = \frac{1}{2}$ . Číslo $2$ do $\mathrm{H}(f)$ nepatrí.
e)Nie je prostá, napríklad $f(-1) = f(1)$ .
f) $\mathrm{H}(f) = (0; 1\rangle$ . Je rastúca na $(-\infty; 0\rangle$ a klesajúca na $\langle 0; \infty)$ , má maximum $1$ v bode $x = 0$ , minimum nemá a nie je periodická. Graf pretína os $y$ v bode $[0; 1]$ a os $x$ nepretína.

17.

Urči inverznú funkciu k funkcii

f\colon y = \frac{2x+3}{4} - 5

a ak existuje, urči jej vlastnosti a zostroj jej graf.

Funkcia

f

je lineárna a rastúca, preto je prostá a inverzná funkcia existuje. Vymeň

x

y

a z rovnice

x = \frac{2y+3}{4} - 5

vyjadri

y

f^{-1}\colon y = 2x + \frac{17}{2}

\mathrm{D}(f^{-1}) = \mathrm{H}(f^{-1}) = \mathbb{R}

. Je rastúca a prostá, nie je ohraničená zhora ani zdola, nemá maximum ani minimum a nie je párna ani nepárna. Grafom je priamka, ktorá prechádza bodmi

\left[0; \frac{17}{2}\right]

\left[-\frac{17}{4}; 0\right]

18.

K uvedeným funkciám napíš inverznú funkciu, ak existuje:

a)
$f\colon y = \sqrt[3]{x+3}$
b)
$f\colon y = \frac{1}{(x-2)^2} - 3$
c)
$f\colon y = \frac{x-5}{x+1}$
d)
$f\colon y = 5^x - 2$
e)
$f\colon y = 2x + 1$

Najprv over, či je funkcia prostá. Potom vymeň

x

y

a vyjadri

y

. Definičný obor inverznej funkcie je obor hodnôt pôvodnej funkcie.

a) $f^{-1}\colon y = x^3 - 3$
b)Neexistuje, funkcia $f$ nie je prostá, napríklad $f(1) = f(3) = -2$ .
c) $f^{-1}\colon y = \frac{x+5}{1-x}$ , $x \neq 1$
d) $f^{-1}\colon y = \log_5(x+2)$ , $x > -2$
e) $f^{-1}\colon y = \frac{x-1}{2}$

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.