Okruh 6 · Základy matematiky

Mocniny a odmocniny

Ako počítať s mocninami a odmocninami, upravovať výrazy s nimi a rozkladať mnohočleny na súčin.

asi 110 min · 6 častí · 30 úloh

0 z 6 častí · 0 z 30 úloh

V skratke

Pre $a \neq 0$ platí $a^0 = 1$ a $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , napríklad $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .
Mocniny s rovnakým základom: pri násobení exponenty sčítaš, pri delení odčítaš, pri umocnení násobíš.
Odmocninu prepíšeš na mocninu: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ pre $a > 0$ , a potom počítaš podľa pravidiel pre mocniny.
Odmocnina je vždy nezáporná, preto $\sqrt{a^2} = |a|$ . Čiastočne odmocníš napríklad $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .
Vzorce: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ , $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ .
Kvadratický trojčlen s koreňmi $p$ , $q$ : $ax^2 + bx + c = a(x - p)(x - q)$ , pričom $p + q = -\frac{b}{a}$ a $p \cdot q = \frac{c}{a}$ .
Pri každej úprave stanov podmienky: menovateľ $\neq 0$ , pod párnou odmocninou $\geq 0$ , pri neceločíselnom exponente kladný základ.

Časť 1prečítaná

Mocnina a jej exponent

Mocnina: Vo výraze $a^n$ je číslo $a$ mocnenec (základ mocniny) a číslo $n$ je mocniteľ (exponent). Číslo $a^n$ sa nazýva $n$ -tá mocnina čísla $a$ .
Mocnina s prirodzeným exponentom: Pre ľubovoľné reálne číslo $a$ a každé prirodzené číslo $n$ je v množine reálnych čísel definovaná $n$ -tá mocnina ako súčin $n$ rovnakých činiteľov:

\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ činiteľov}}

Základ určuje, aké číslo násobíš, a exponent určuje počet činiteľov. Napríklad $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ .

Mocnina s celočíselným exponentom: Pre každé reálne číslo $a \neq 0$ a každé prirodzené číslo $n$ definujeme:

\displaystyle a^0 = 1 \qquad\qquad \allowbreak a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Napríklad $5^0 = 1$ , $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ a $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}$ .

Časť 2prečítaná

Pravidlá pre počítanie s mocninami

Pre všetky celé čísla $r, s$ a reálne čísla $a, b$ rôzne od nuly platí:

Operácia	Pravidlo
násobenie	$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
delenie	$a^r : a^s = a^{r-s}$
umocnenie mocniny	$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$
umocnenie súčinu	$(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$
umocnenie zlomku	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}$
umocnenie zlomku záporným exponentom	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^r = \dfrac{b^r}{a^r}$

násobenie

a^r \cdot a^s = a^{r+s}

delenie

a^r : a^s = a^{r-s}

umocnenie mocniny

(a^r)^s = a^{r \cdot s}

umocnenie súčinu

(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r

umocnenie zlomku

\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}

umocnenie zlomku záporným exponentom

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^r = \dfrac{b^r}{a^r}

Pre kladné čísla $a, b$ platia tie isté pravidlá aj pre racionálne a reálne exponenty $r, s$ .

Riešený príklad

Mocniny so záporným exponentom

Zjednoduš výraz $\dfrac{(2a^{-2}b)^{-3}}{(4a^3b^{-2})^{-2}}$ pre $a, b \neq 0$ .

Umocni čitateľ aj menovateľ podľa pravidiel $(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$ a $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$ :
$\displaystyle (2a^{-2}b)^{-3} = 2^{-3} a^{6} b^{-3} \qquad \allowbreak (4a^3b^{-2})^{-2} = 4^{-2} a^{-6} b^{4}$
Vydeľ mocniny s rovnakým základom, teda exponenty odčítaj. Pre čísla platí $\frac{2^{-3}}{4^{-2}} = \frac{4^2}{2^3} = \frac{16}{8} = 2$ :
$\displaystyle 2 \cdot a^{6-(-6)} \cdot b^{-3-4} = 2a^{12}b^{-7} = \frac{2a^{12}}{b^{7}}$

Výsledok: $\dfrac{2a^{12}}{b^7}$

Časť 3prečítaná

Odmocnina a mocnina s racionálnym exponentom

Odmocnina: Ku každému nezápornému číslu $a$ a ku každému prirodzenému číslu $n$ existuje práve jedno nezáporné číslo $b$ , pre ktoré platí $b^n = a$ . Číslo $b$ je $n$ -tá odmocnina z čísla $a$ a zapisuješ $\sqrt[n]{a} = b$ .

\displaystyle \sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a, \qquad \allowbreak a \geq 0,\ \allowbreak b \geq 0

Číslo $a$ je odmocnenec (základ odmocniny) a číslo $n$ je odmocniteľ. Pri druhej odmocnine odmocniteľ nepíšeš: $\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$ .

Mocnina s racionálnym exponentom: Pre $a > 0$ , $m \in \mathbb{Z}$ a $n \in \mathbb{N}$ môžeš odmocninu zapísať ako mocninu s racionálnym exponentom:

\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Napríklad $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$ , $\frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-\frac{1}{2}}$ a $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ .

Pomocou mocnín s racionálnym exponentom sa dajú definovať aj mocniny s iracionálnym exponentom, napríklad $2^{\sqrt{3}}$ alebo $a^{2\pi}$ , a spolu tak mocniny s ľubovoľným reálnym exponentom.

Časť 4prečítaná

Pravidlá pre počítanie s odmocninami

Vo všetkých pravidlách sú odmocniteľ $n$ aj čísla $m$ , $p$ , $k$ prirodzené (pri umocnení môže byť $m$ celé číslo):

Pravidlo	Vzorec a podmienky
súčin odmocnín	$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ pre $a \geq 0$ , $b \geq 0$
podiel odmocnín	$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ pre $a \geq 0$ , $b > 0$
umocnenie odmocniny	$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$ pre $a \geq 0$ , $m \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$
odmocnina z odmocniny	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$ pre $a \geq 0$ , $m, n \in \mathbb{N}$
rozširovanie odmocniteľa	$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot p]{a^p}$ pre $a \geq 0$ , $p \in \mathbb{N}$
krátenie odmocniteľa	$\sqrt[k \cdot n]{a^{k \cdot m}} = \sqrt[n]{a^m}$ pre $a \geq 0$ , $k \in \mathbb{N}$

súčin odmocnín

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}

pre

a \geq 0

b \geq 0

podiel odmocnín

\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}

pre

a \geq 0

b > 0

umocnenie odmocniny

\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}

pre

a \geq 0

m \in \mathbb{Z}

n \in \mathbb{N}

odmocnina z odmocniny

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

pre

a \geq 0

m, n \in \mathbb{N}

rozširovanie odmocniteľa

\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot p]{a^p}

pre

a \geq 0

p \in \mathbb{N}

krátenie odmocniteľa

\sqrt[k \cdot n]{a^{k \cdot m}} = \sqrt[n]{a^m}

pre

a \geq 0

k \in \mathbb{N}

Pri umocnení odmocniny záporným exponentom $m$ musí byť $a > 0$ , lebo nulou deliť nemožno.

Pri počítaní s odmocninami si ich môžeš prepísať na mocniny s racionálnym exponentom a potom použiť pravidlá pre mocniny. Napríklad $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}$ .

Čiastočné odmocnenie: Odmocnenec rozložíš na taký súčin, ktorého aspoň jeden činiteľ vieš odmocniť, a tento činiteľ odmocníš.

Čiastočné odmocnenie na príkladoch

\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{50} &= \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \\ \sqrt[3]{54} &= \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \end{aligned}

\displaystyle \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}

\displaystyle \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}

Riešený príklad

Odmocniny ako mocniny

Uprav výraz $\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[6]{a}}$ pre $a > 0$ .

Každú odmocninu prepíš na mocninu s racionálnym exponentom podľa $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ :
$\displaystyle \frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[6]{a}} = \frac{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{6}}}$
Exponenty v čitateli sčítaj a exponent menovateľa odčítaj. Spoločný menovateľ zlomkov je $12$ :
$\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{8 + 3 - 2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
Výsledok môžeš zapísať aj späť ako odmocninu: $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$ .

Výsledok: $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$

Časť 5prečítaná

Mnohočleny (polynómy)

Mnohočlen s jednou premennou: Mnohočlenom (polynómom) s jednou premennou $x \in \mathbb{R}$ nazývame výraz:

\displaystyle M(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

Reálne čísla $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ sú koeficienty mnohočlena. Ak $a_n \neq 0$ , číslo $n$ , teda najvyšší mocniteľ premennej $x$ , je stupeň mnohočlena.

Mnohočlen je súčet svojich členov $a_n x^n,\ \allowbreak a_{n-1} x^{n-1},\ \allowbreak \dots,\ \allowbreak a_1 x,\ \allowbreak a_0$ . Členy môžeš usporiadať vzostupne alebo zostupne podľa mocniteľa premennej.

Mnohočlen s viacerými premennými: Mnohočlen s $m$ premennými je súčet konečného počtu členov tvaru $a_k x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}$ . Jeho stupeň je najvyšší súčet mocniteľov premenných v jednotlivých členoch. Napríklad $3x^2y + 5xy^3 - 7$ má stupeň $4$ .

Rovnosť mnohočlenov

Dva mnohočleny s jednou premennou sa rovnajú práve vtedy, keď sa rovnajú koeficienty všetkých členov rovnakého stupňa.

Operácie s mnohočlenmi

Sčítanie: sčítaš tie členy, ktoré majú rovnaké premenné s rovnakými exponentmi.
Odčítanie: pripočítaš mnohočlen, ktorému zmeníš znamienka všetkých koeficientov.
Násobenie jednočlenom: jednočlenom vynásobíš každý člen mnohočlena a potom sčítaš tie súčiny, ktoré sa sčítať dajú.
Násobenie mnohočlenom: každý člen jedného mnohočlena vynásobíš každým členom druhého a vzniknuté súčiny sčítaš.
Delenie jednočlenom: každý člen mnohočlena vydelíš jednočlenom.
Delenie mnohočlenom: najvyšší člen delenca vydelíš najvyšším členom deliteľa, výsledkom vynásobíš deliteľa, súčin odčítaš a postup opakuješ so zvyškom.

Delenie mnohočlena mnohočlenom

\displaystyle (x^2 - 5x + 6) : (x - 2) = x - 3

Najprv $x^2 : x = x$ , potom $x^2 - 5x + 6 - x(x - 2) = -3x + 6$ a $-3x : x = -3$ . Skúška: $(x - 3)(x - 2) = x^2 - 5x + 6$ .

Časť 6prečítaná

Rozklad mnohočlena na súčin

Rozklad mnohočlena: Rozklad mnohočlena je jeho zápis v tvare súčinu niekoľkých mnohočlenov nižšieho stupňa.

Základné metódy rozkladu

vynímanie spoločného jednočlena pred zátvorku, napríklad $6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$ ,
postupné vynímanie, napríklad $ax + ay + bx + by$ $= a(x + y) + b(x + y)$ $= (a + b)(x + y)$ ,
využitie vzorcov (sú nižšie),
rozklad kvadratického trojčlena pomocou jeho koreňov.

Vzorce, ktoré využiješ pri rozklade

\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\ a^2 - b^2 &= (a-b)(a+b) \\ (a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a-b)^3 &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \\ a^3 + b^3 &= (a+b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 &= (a-b)(a^2 + ab + b^2) \end{aligned}

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

\displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

\displaystyle a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

\displaystyle (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

\displaystyle (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

\displaystyle a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

Koreňové činitele: Ak sú $p$ a $q$ korene kvadratického trojčlena $ax^2 + bx + c$ , kde $a \neq 0$ , potom platí:

\displaystyle ax^2 + bx + c = a\,(x - p)(x - q)

Výrazy $x - p$ a $x - q$ sa nazývajú koreňové činitele.

Vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi

\displaystyle p + q = -\frac{b}{a} \qquad\qquad \allowbreak p \cdot q = \frac{c}{a}

Platia pre korene $p$ , $q$ každej kvadratickej rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ .

Napríklad trojčlen $2x^2 - 5x - 3$ má korene $p = 3$ a $q = -\frac{1}{2}$ , preto $2x^2 - 5x - 3$ $= 2(x - 3)\left(x + \frac{1}{2}\right)$ $= (x - 3)(2x + 1)$ . Vzťahy sedia: $p + q = \frac{5}{2} = -\frac{-5}{2}$ a $p \cdot q = -\frac{3}{2} = \frac{-3}{2}$ .

Riešený príklad

Vzorec pri odmocninách a podmienky

Uprav výraz $\dfrac{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ a stanov podmienky.

Podmienky: odmocniny vyžadujú $a \geq 0$ a $b \geq 0$ . Menovateľ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ je nula len pre $a = b = 0$ , preto musí byť $a + b > 0$ .
Čitateľ je súčet tretích mocnín, lebo $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ a $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$ . Použi vzorec $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ :
$\displaystyle a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})\,(a - \sqrt{ab} + b)$
Vykráť spoločný činiteľ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ :
$\displaystyle \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})\,(a - \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = a - \sqrt{ab} + b$

Výsledok: $a - \sqrt{ab} + b$ ; $a \geq 0$ , $b \geq 0$ , $a + b > 0$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 30

Vypočítaj:

a)
$3^{-2}$
b)
$5^{-1}$
c)
$7^{0}$
d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}$
e)
$\left(3\dfrac{1}{3}\right)^{-3}$
f)
$(0{,}2)^{-1}$
g)
$(0{,}04)^{-2}$
h)
$(2{,}5)^{-3}$

Záporný exponent zlomok otočí:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

. Desatinné a zmiešané číslo najprv prepíš na zlomok, napríklad

0{,}2 = \frac{1}{5}

3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}

a) $\frac{1}{9}$
b) $\frac{1}{5}$
c) $1$
d) $\frac{4}{9}$
e) $\frac{27}{1000}$
f) $5$
g) $625$
h) $0{,}064$

Vypočítaj:

a)
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} : \left(\dfrac{b}{a}\right)^{-2}$
b)
$\dfrac{y}{x^{-2}} : \left(\dfrac{x}{y}\right)^{-1}$

Odstráň záporné exponenty:

\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}

\frac{1}{x^{-2}} = x^2

. Delenie zlomkom nahraď násobením prevráteným zlomkom.

a) $\frac{b^3}{a^3}$ ; $a, b \neq 0$
b) $x^3$ ; $x, y \neq 0$

Vypočítaj:

a)
Súčin dvoch zlomkov:
$\displaystyle \frac{9 \cdot 2^{-3}\, x^3 a^{-1} b^{-2}}{y^{-2} z^{-1} c^3} \cdot \frac{3^{-1}\, x^{-2} y^{-1} b^2}{2^{-4}\, a^{-2} z\, c^{-3}}$
b)
Súčin troch výrazov:
$\displaystyle \frac{(abc)^{-1}}{(pq)^{-2}} \cdot \frac{p^{-3} q^{-2} x^0}{(bc^2)^{-2} a^{-3}} \cdot \left(\frac{c}{bp}\right)^{-1}$
c)
Podiel dvoch zlomkov:
$\displaystyle \frac{4\,(ay^{-1})^3}{3\,(b^{-1}x)^2} : \frac{3^{-2}\, x^{-1} b}{2^{-3}\, a^{-2} y^2}$

Mocninu so záporným exponentom presuň do druhej časti zlomku a znamienko exponentu zmeň, napríklad

\frac{1}{y^{-2}} = y^2

. Potom sčítaj exponenty pri rovnakých základoch. Podmienka: každá premenná so záporným exponentom alebo v menovateli musí byť rôzna od nuly, rovnako aj základ mocniny

x^0

a) $6axy$ ; $a, b, c, x, y, z \neq 0$
b) $a^2b^2c^2$ ; $a, b, c, p, q, x \neq 0$
c) $\frac{3ab}{2xy}$ ; $a, b, x, y \neq 0$

Dokáž, že platí:

a)
pre $x \neq 0$ :
$\displaystyle (3x^2)^{-3} : (2x^{-1})^3 = \left(\frac{1}{6x}\right)^3$
b)
pre $x \neq 0$ :
$\displaystyle (ax^2 + bx) \cdot x^{-2} = \frac{ax + b}{x}$
c)
pre $b \neq 0$ :
$\displaystyle (a - b^{-1})^2 = \frac{a^2b^2 - 2ab + 1}{b^2}$

Uprav ľavú stranu, kým nedostaneš pravú. a)

(3x^2)^{-3} = \frac{1}{27x^6}

(2x^{-1})^3 = \frac{8}{x^3}

, ich podiel je

\frac{x^3}{216x^6} = \frac{1}{216x^3} = \left(\frac{1}{6x}\right)^3

. b) Vyber

x

pred zátvorku:

x(ax + b) \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{ax + b}{x}

. c) Umocni podľa vzorca:

\left(a - \frac{1}{b}\right)^2 = a^2 - \frac{2a}{b} + \frac{1}{b^2}

a zlož na spoločný menovateľ

b^2

Kváder má rozmery

a = 12{,}8

cm,

b = 21{,}5

cm,

c = 36{,}4

cm. Aké dlhé sú jeho stenové uhlopriečky a akú dĺžku má telesová uhlopriečka?

Stenová uhlopriečka je prepona pravouhlého trojuholníka, ktorého odvesny sú dve hrany kvádra, preto použi Pytagorovu vetu. Pre telesovú uhlopriečku platí

t_u^2 = a^2 + b^2 + c^2

Stenové uhlopriečky:

t_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{626{,}09} \doteq 25{,}02

cm,

t_2 = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{1787{,}21} \doteq 42{,}28

cm,

t_3 = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{1488{,}8} \doteq 38{,}58

cm. Telesová uhlopriečka:

t_u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1951{,}05} \doteq 44{,}17

cm.

Vynásob:

a)
$\left(\sqrt{8} - \sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{50}\right) \cdot \sqrt{2}$
b)
$\left(\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{32} + \sqrt[3]{108}\right) \cdot \sqrt[3]{2}$

Roznásob zátvorku a použi

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

, napríklad

\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4

\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} = 2

a) $-4$
b) $0$

Dokáž, že platí nasledujúca rovnosť, a urči, aké obmedzenie platí pre číslo

r

\displaystyle \begin{aligned} &\sqrt{(r-1)(r^2-1)} + \sqrt{9r^2 + 9r^3} \\ &\quad + \sqrt{4 + 4r} = (4r + 1)\sqrt{r + 1} \end{aligned}

\displaystyle \sqrt{(r-1)(r^2-1)} + \sqrt{9r^2 + 9r^3}

\displaystyle \quad \allowbreak + \sqrt{4 + 4r} = (4r + 1)\sqrt{r + 1}

Pod každou odmocninou vyber činiteľ

r + 1

(r-1)(r^2-1) = (r-1)^2(r+1)

9r^2 + 9r^3 = 9r^2(r+1)

4 + 4r = 4(r+1)

. Potom čiastočne odmocni a daj pozor na absolútne hodnoty.

Výraz má zmysel pre

r \geq -1

. Keďže

\sqrt{(r-1)^2} = |r - 1|

\sqrt{9r^2} = 3|r|

, rovnosť platí len pre

r \geq 1

a pre

r = -1

, keď sú obe strany nulové. Napríklad pre

r = 0

je ľavá strana

3

a pravá

1

Vypočítaj a rozhodni, pre ktoré čísla má výraz zmysel:

\displaystyle x = \frac{\sqrt{a}\,(\sqrt{a} - 1) + 1 - a}{(1 - \sqrt{a}) \cdot \sqrt[4]{a^3}} : \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{9 - a^2}}

Čitateľ prvého zlomku roznásob:

a - \sqrt{a} + 1 - a = 1 - \sqrt{a}

a vykráť. Podmienky:

a \geq 0

kvôli

\sqrt{a}

, menovatele aj deliteľ nesmú byť nula (

a \neq 0

a \neq 1

) a

9 - a^2 > 0

x = \frac{\sqrt{9 - a^2}}{\sqrt[4]{a^9}}

;

a \in (0; 3)

a \neq 1

Premenou odmocnín na mocniny s racionálnymi exponentmi uprav výrazy:

a)
$x = \dfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[12]{a^{11}}}$
b)
$x = \dfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^5}}{\sqrt[12]{a^5}}$
c)
$x = \dfrac{\sqrt[6]{a^5} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt[3]{b^{-1}}}{\sqrt[6]{ab}}$

Každú odmocninu zapíš ako

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

a exponenty sčítaj (v menovateli odčítaj). Zlomky v exponentoch preveď na spoločný menovateľ

12

, v časti c) na

6

a) $x = a$ ; $a > 0$
b) $x = a^2$ ; $a > 0$
c) $x = \sqrt[3]{a^2}$ ; $a, b > 0$

10.

Vypočítaj:

a)
$\dfrac{(a - b) \cdot (a + b)^{2\pi}}{a^2 - b^2}$
b)
Dosaď hodnoty goniometrických funkcií a uprav:
$\displaystyle \left(\frac{(ab)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(a^{\sin 60^\circ}\right)^2}{b^{\cos 60^\circ} \cdot b^{\cos 30^\circ}}\right)^{-1}$
c)
$\dfrac{\left(x^{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\right)^2 \cdot y^{1 - \sqrt{3}}}{xy}$

Pri iracionálnom exponente musí byť základ kladný. V a) rozlož

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

. V b) dosaď

\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

a) $(a + b)^{2\pi - 1}$ ; $a + b > 0$ , $a \neq b$
b) $\sqrt{\frac{b}{a^{3\sqrt{3}}}}$ ; $a, b > 0$
c) $x^{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 1} \cdot y^{-\sqrt{3}}$ ; $x, y > 0$

11.

Uprav:

\displaystyle \sqrt[5]{\left(\frac{c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{-\frac{1}{3}}}{c^{-\frac{5}{6}}}\right)^{-3}}

Najprv uprav zlomok v zátvorke: exponent je

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{5}{6}

. Potom ho vynásob číslom

-3

a odmocninu zapíš ako exponent

\frac{1}{5}

c^{-\frac{3}{5}}

;

c > 0

12.

Uprav:

\displaystyle \begin{aligned} &\left[\sqrt{a + b} + \sqrt{a} - \sqrt{b}\right] \\ &\cdot \left[\sqrt{a + b} - \sqrt{a} + \sqrt{b}\right] \end{aligned}

\displaystyle \left[\sqrt{a + b} + \sqrt{a} - \sqrt{b}\right]

\displaystyle \cdot \left[\sqrt{a + b} - \sqrt{a} + \sqrt{b}\right]

Je to súčin tvaru

(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2

, kde

X = \sqrt{a + b}

Y = \sqrt{a} - \sqrt{b}

2\sqrt{ab}

;

a \geq 0

b \geq 0

13.

Uprav:

\displaystyle \begin{aligned} &\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \\ &\cdot \left(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + 4\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}\right) \end{aligned}

\displaystyle \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)

\displaystyle \cdot \left(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + 4\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}\right)

Prvá zátvorka sa rovná

\frac{x - 1}{\sqrt{x}}

. V druhej zlož oba zlomky na spoločný menovateľ

x - 1

: čitateľ

(\sqrt{x} + 1)^2 - (\sqrt{x} - 1)^2 = 4\sqrt{x}

4x

;

x > 0

x \neq 1

14.

Uprav:

\displaystyle \begin{aligned} &\left[\left(m^{\frac{4}{3}} n^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} : \left(m n^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\right] \\ &\cdot \left[\left(m^{\frac{3}{2}} n^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{2}{3}} : \left(m^{\frac{2}{3}} n^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}\right] \end{aligned}

\displaystyle \left[\left(m^{\frac{4}{3}} n^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} : \left(m n^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\right]

\displaystyle \cdot \left[\left(m^{\frac{3}{2}} n^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{2}{3}} : \left(m^{\frac{2}{3}} n^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}\right]

Každú zátvorku umocni (exponenty vynásob), v hranatých zátvorkách exponenty odčítaj a nakoniec exponenty pri rovnakom základe sčítaj.

m^{\frac{41}{18}} \cdot n^{\frac{37}{18}}

;

m > 0

n > 0

15.

Uprav:

\displaystyle \begin{aligned} &\frac{\left(\sqrt[4]{u} + \sqrt[4]{v}\right)^2 + \left(\sqrt[4]{u} - \sqrt[4]{v}\right)^2}{u - v} \\ &: \frac{2}{\sqrt{u} - \sqrt{v}} \end{aligned}

\displaystyle \frac{\left(\sqrt[4]{u} + \sqrt[4]{v}\right)^2 + \left(\sqrt[4]{u} - \sqrt[4]{v}\right)^2}{u - v}

\displaystyle : \frac{2}{\sqrt{u} - \sqrt{v}}

Čitateľ:

(X + Y)^2 + (X - Y)^2 = 2X^2 + 2Y^2

, kde

X^2 = \sqrt{u}

Y^2 = \sqrt{v}

. Menovateľ rozlož:

u - v = (\sqrt{u} - \sqrt{v})(\sqrt{u} + \sqrt{v})

1

;

u \geq 0

v \geq 0

u \neq v

16.

Uprav. Za znamienkom rovnosti je už naznačený prvý krok úpravy:

\displaystyle \begin{aligned} &\left[\left(a^3 b\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}} : \left[\left(a^3 b^{-2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{3}} \\ &= \left[a b^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}} : \left[a^{\frac{3}{2}} b^{-1}\right]^{\frac{1}{3}} \end{aligned}

\displaystyle \left[\left(a^3 b\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}} : \left[\left(a^3 b^{-2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{3}}

\displaystyle = \left[a b^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}} : \left[a^{\frac{3}{2}} b^{-1}\right]^{\frac{1}{3}}

Umocni obe hranaté zátvorky:

a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{6}}

a^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{1}{3}}

. Pri delení exponenty odčítaj.

b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}

;

a, b > 0

17.

Uprav a stanov podmienky:

\displaystyle \left(\frac{1}{b - \sqrt{a}} + \frac{1}{b + \sqrt{a}}\right) : \frac{a^{-2} b^{-1} \sqrt{\frac{1}{9^{-1}}}}{a^{-2} - a^{-1} b^{-2}}

Zátvorka sa rovná

\frac{2b}{b^2 - a}

. Ďalej

\sqrt{\frac{1}{9^{-1}}} = \sqrt{9} = 3

a zlomok za dvojbodkou rozšír výrazom

a^2b^2

, dostaneš

\frac{3b}{b^2 - a}

\frac{2}{3}

;

a > 0

b \neq 0

b \neq \pm\sqrt{a}

18.

Uprav a stanov podmienky:

\displaystyle \begin{aligned} &\left(\frac{3}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{1 - a}\right) \\ &: \left(\frac{3}{\sqrt{1 - a^2}} + 1\right) \end{aligned}

\displaystyle \left(\frac{3}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{1 - a}\right)

\displaystyle : \left(\frac{3}{\sqrt{1 - a^2}} + 1\right)

Obe zátvorky zlož na jeden zlomok, v oboch vyjde čitateľ

3 + \sqrt{1 - a^2}

. Využi

\sqrt{1 - a^2} = \sqrt{1 - a} \cdot \sqrt{1 + a}

. Pri podmienkach nezabudni, že pod odmocninou nesmie byť záporné číslo a menovateľ nesmie byť nula.

\sqrt{1 - a}

;

a \in (-1; 1)

19.

Uprav a stanov podmienky:

\displaystyle \frac{(a - \sqrt{b})(b + \sqrt{a}) + \sqrt{ab}\,(1 - \sqrt{ab})}{a + b + \sqrt{ab}}

Po roznásobení ostane v čitateli

a\sqrt{a} - b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3

. Rozlož ho podľa vzorca

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

\sqrt{a} - \sqrt{b}

;

a \geq 0

b \geq 0

a + b > 0

20.

Uprav a stanov podmienky:

\displaystyle \frac{a - b}{a + 2\sqrt{ab} + b} : \frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}}{\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}}

Menovateľ prvého zlomku je

(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2

a čitateľ

(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})

. Zložený zlomok rozšír výrazom

\sqrt{ab}

-1

;

a > 0

b > 0

a \neq b

21.

Vypočítaj:

\displaystyle \frac{\left(15^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{-\frac{1}{2}}\right)^{-3}}{\left(25^{\frac{1}{4}} \cdot 9^{\frac{1}{8}}\right)^{-2}} : \frac{9^{\frac{1}{3}}}{\left(3 \cdot 27^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}}

Rozlož základy na prvočísla:

15 = 3 \cdot 5

25 = 5^2

9 = 3^2

27 = 3^3

. Päťky sa vykrátia a ostanú mocniny čísla

3

3^{\frac{47}{12}} = \frac{81}{\sqrt[12]{3}}

22.

Zjednoduš výraz, kde

a > 0

\displaystyle \sqrt[5]{\left(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-1}}{\sqrt[3]{a}}\right)^{-3}}

Exponent zlomku v zátvorke je

\frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{3}

. Vynásob ho číslom

-3

a potom číslom

\frac{1}{5}

a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

23.

Zjednoduš:

\displaystyle \left(a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{1}{3}}

a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ab}

;

a \geq 0

b \geq 0

24.

Vyjadri v tvare jedinej odmocniny:

\displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{3}{5}\sqrt{5 \cdot \frac{1}{3}}}}

Platí

5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}

. Prepíš všetko na mocniny čísla

\frac{3}{5}

a postupuj od najvnútornejšej odmocniny.

\sqrt[12]{\left(\frac{3}{5}\right)^7}

25.

Vypočítaj:

\displaystyle \sqrt[3]{6{,}4} \cdot \sqrt[3]{56} \cdot \sqrt[3]{0{,}49}

Spoj všetko pod jednu tretiu odmocninu a čísla rozlož:

6{,}4 = \frac{64}{10}

56 = 8 \cdot 7

0{,}49 = \frac{49}{100}

5{,}6

26.

Vypočítaj hodnotu výrazu:

\displaystyle \sqrt[3]{28} \cdot \sqrt[3]{175} \cdot \sqrt[3]{70}

Spoj všetko pod jednu tretiu odmocninu a súčin rozlož na prvočinitele.

70

27.

Vypočítaj hodnotu výrazu:

\displaystyle \sqrt[4]{1728} \cdot \sqrt[4]{576} \cdot \sqrt[4]{432}

Spoj všetko pod jednu štvrtú odmocninu a súčin rozlož na prvočinitele. Pomôže

1728 = 12^3

576 = 24^2

144

28.

Vypočítaj hodnotu výrazu:

\displaystyle \frac{216^{\frac{1}{3}}}{16^{\frac{3}{4}}} + \frac{16^{\frac{3}{4}}}{81^{\frac{1}{2}}} - \frac{1^{\frac{3}{4}}}{81^{\frac{1}{2}}}

Využi

216 = 6^3

16 = 2^4

81 = 9^2

, teda

216^{\frac{1}{3}} = 6

16^{\frac{3}{4}} = 8

81^{\frac{1}{2}} = 9

\frac{55}{36}

29.

Vypočítaj hodnotu výrazu:

\displaystyle \sqrt[4]{250} \cdot \sqrt[4]{36} \cdot \sqrt[4]{90}

Spoj všetko pod jednu štvrtú odmocninu a súčin rozlož na prvočinitele.

30

30.

Vypočítaj hodnotu výrazu:

\displaystyle 81^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{12}{48}}

Exponent

\frac{12}{48}

najprv vykráť na

\frac{1}{4}

11

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.