Okruh 5 · Základy matematiky

Rovnice, nerovnice a ich sústavy

Ako riešiť lineárne, kvadratické, exponenciálne, logaritmické, iracionálne a goniometrické rovnice, nerovnice a sústavy.

asi 120 min · 7 častí · 39 úloh

0 z 7 častí · 0 z 39 úloh

V skratke

Pri neekvivalentnej úprave (umocnenie, násobenie výrazom s neznámou) je skúška povinná.
Kvadratická rovnica: $D = b^2 - 4ac$ a $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Pri $D > 0$ má dva korene, pri $D = 0$ jeden a pri $D < 0$ žiadny v $\mathbb{R}$ .
Viètove vzťahy pre $x^2 + px + q = 0$ : $x_1 + x_2 = -p$ a $x_1 \cdot x_2 = q$ .
Pri logaritmickej a iracionálnej rovnici najprv urči podmienky: výraz pod logaritmom je kladný, pod párnou odmocninou nezáporný.
Exponenciálna rovnica: pri rovnakom základe porovnaj exponenty, inak logaritmuj alebo zaveď substitúciu $t = a^x$ .
Pri goniometrickej rovnici nájdi riešenia v jednej perióde a pripíš $+ 2k\pi$ (pri $\sin$ , $\cos$ ) alebo $+ k\pi$ (pri $\operatorname{tg}$ , $\operatorname{cotg}$ ), $k \in \mathbb{Z}$ .
Násobenie nerovnice záporným číslom otočí znak. Riešenie sústavy nerovníc je prienik riešení jednotlivých nerovníc.

Časť 1prečítaná

Rovnica, koreň a obory rovnice

Rovnica: Rovnica je výroková forma, teda vzťah tvaru $f(x) = g(x)$ . Riešiť rovnicu znamená určiť všetky $x$ , pre ktoré sa z rovnice stane pravdivá rovnosť, a teda pravdivý výrok.
Koreň: Koreň rovnice (alebo nerovnice) je číslo, po ktorého dosadení za neznámu dostaneš pravdivý výrok.
Koreňový činiteľ: Ak je $\alpha$ koreňom algebraickej rovnice, výraz $(x - \alpha)$ je koreňový činiteľ. Polynóm na ľavej strane rovnice je ním deliteľný bez zvyšku.

Obory rovnice

Značka	Názov	Čo to je
$O$	obor premennej	číselný obor, v ktorom rovnicu riešiš
$D$	definičný obor	množina čísel, pre ktoré majú všetky výrazy v rovnici zmysel
$K$	obor pravdivosti	množina všetkých koreňov rovnice

O

Názov: obor premennej
Čo to je: číselný obor, v ktorom rovnicu riešiš

D

Názov: definičný obor
Čo to je: množina čísel, pre ktoré majú všetky výrazy v rovnici zmysel

K

Názov: obor pravdivosti
Čo to je: množina všetkých koreňov rovnice

Časť 2prečítaná

Úpravy rovníc a skúška

Ekvivalentné úpravy: nemenia korene, ani ich hodnoty, ani ich počet

pripočítanie rovnakého čísla k obom stranám rovnice,
vynásobenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom,
výmena strán rovnice.

Neekvivalentné úpravy: môžu zmeniť korene, ich hodnoty alebo ich počet

odmocňovanie,
umocňovanie,
vynásobenie oboch strán výrazom s neznámou, ktorý môže byť nulový alebo nie je definovaný pre všetky $x$ .

Doplnenie do štvorca: K výrazu pripočítaš číslo, s ktorým vznikne druhá mocnina dvojčlena, a to isté číslo hneď za zátvorkou odčítaš.

Príklad doplnenia do štvorca

\displaystyle x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4

Úprava na súčin: Pred zátvorku vyjmeš najväčší možný spoločný deliteľ všetkých členov, napríklad $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$ .

Skúška (kontrola) riešenia je povinná, ak si pri riešení použil neekvivalentné úpravy

Dosaď koreň do ľavej strany rovnice, dostaneš $L$ .
Dosaď koreň do pravej strany rovnice, dostaneš $P$ .
Porovnaj hodnoty. Ak $L = P$ , skúmané číslo je koreňom rovnice.

Časť 3prečítaná

Lineárne a kvadratické rovnice

Lineárna rovnica: Rovnica tvaru $ax + b = 0$ , kde $a, b \in \mathbb{R}$ a $a \neq 0$ .

Riešenie lineárnej rovnice

\displaystyle x = -\frac{b}{a}

Kvadratická rovnica: Rovnica tvaru $ax^2 + bx + c = 0$ , kde $a, b, c \in \mathbb{R}$ a $a \neq 0$ .

Členy kvadratickej rovnice

Člen	Názov	Koeficient
$ax^2$	kvadratický člen	$a$ je koeficient kvadratického člena
$bx$	lineárny člen	$b$ je koeficient lineárneho člena
$c$	absolútny člen

ax^2

Názov: kvadratický člen
Koeficient: $a$ je koeficient kvadratického člena

bx

Názov: lineárny člen
Koeficient: $b$ je koeficient lineárneho člena

c

Názov: absolútny člen

Koeficient: Číslo, ktorým je člen mnohočlena vynásobený. Napríklad v člene $5x^2$ je koeficient $5$ .
Diskriminant: Číslo $D$ , ktoré je súčasťou vzorca na výpočet koreňov kvadratickej rovnice a rozhoduje o tom, koľko koreňov rovnica má. Môže byť kladný, nulový alebo záporný.

Diskriminant

\displaystyle D = b^2 - 4ac

Korene kvadratickej rovnice

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Rozklad na koreňové činitele

\displaystyle ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Platí, keď má rovnica reálne korene $x_1, x_2$ (teda $D \geq 0$ ).

Počet rôznych koreňov podľa diskriminantu

Diskriminant	Počet koreňov	Obor pravdivosti
$D > 0$	2 rôzne korene	$K = \left\{\frac{-b + \sqrt{D}}{2a};\ \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\right\}$
$D = 0$	1 koreň	$K = \left\{-\frac{b}{2a}\right\}$
$D < 0$	v $\mathbb{R}$ nemá riešenie	$K = \emptyset$ (riešenie má v množine komplexných čísel)

D > 0

Počet koreňov: 2 rôzne korene
Obor pravdivosti: $K = \left\{\frac{-b + \sqrt{D}}{2a};\ \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\right\}$

D = 0

Počet koreňov: 1 koreň
Obor pravdivosti: $K = \left\{-\frac{b}{2a}\right\}$

D < 0

Počet koreňov: v $\mathbb{R}$ nemá riešenie
Obor pravdivosti: $K = \emptyset$ (riešenie má v množine komplexných čísel)

Druhy kvadratických rovníc

Tvar	Názov	Riešenie
$ax^2 + bx = 0$	bez absolútneho člena	$K = \left\{0;\ -\frac{b}{a}\right\}$
$ax^2 + c = 0$	bez lineárneho člena (rýdzo kvadratická)	$K = \left\{\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\right\}$
$x^2 + px + q = 0$	normovaný tvar ( $a = 1$ )	$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$

ax^2 + bx = 0

Názov: bez absolútneho člena
Riešenie: $K = \left\{0;\ -\frac{b}{a}\right\}$

ax^2 + c = 0

Názov: bez lineárneho člena (rýdzo kvadratická)
Riešenie: $K = \left\{\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\right\}$

x^2 + px + q = 0

Názov: normovaný tvar ( $a = 1$ )
Riešenie: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$

Viètove vzťahy pre normovaný tvar

x^2 + px + q = 0

\displaystyle x_1 + x_2 = -p \qquad \allowbreak x_1 \cdot x_2 = q

Počet reálnych koreňov kvadratickej rovnice sa rovná počtu priesečníkov paraboly $y = ax^2 + bx + c$ s osou $x$ .

Časť 4prečítaná

Rovnice s parametrom a s absolútnou hodnotou

Rovnica s parametrom: Rovnica, ktorá okrem neznámej obsahuje aj parameter (ďalšiu premennú, napríklad $p$ alebo $a$ ). Korene takej rovnice zvyčajne závisia od parametra, preto ich zapíšeš výrazom s parametrom.

Pri kvadratických rovniciach s parametrom určuješ, pre ktoré hodnoty parametra má rovnica koľko koreňov, a ak sa dá, korene vyjadríš. Výsledok zhrnieš do tabuľky.

Riešený príklad

Lineárna rovnica s parametrom

Rieš v $\mathbb{R}$ rovnicu $(a^2 - 4)\,x = a + 2$ s neznámou $x$ a parametrom $a \in \mathbb{R}$ .

Rozlož koeficient pri $x$ : $(a - 2)(a + 2)\,x = a + 2$ .
Ak $a \neq \pm 2$ , môžeš deliť nenulovým číslom $(a-2)(a+2)$ :
$\displaystyle x = \frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a - 2}$
Ak $a = -2$ , rovnica má tvar $0 \cdot x = 0$ . Vyhovuje každé reálne $x$ .
Ak $a = 2$ , rovnica má tvar $0 \cdot x = 4$ . Nevyhovuje žiadne $x$ .

Výsledok: Pre $a = 2$ je $K = \emptyset$ , pre $a = -2$ je $K = \mathbb{R}$ a pre $a \in \mathbb{R} - \{\pm 2\}$ je $K = \left\{\frac{1}{a-2}\right\}$ .

Výsledok príkladu v tabuľke

Parameter	Riešenie
$a = 2$	$K = \emptyset$
$a = -2$	$K = \mathbb{R}$
$a \in \mathbb{R} - \{\pm 2\}$	$K = \left\{\frac{1}{a-2}\right\}$

a = 2

K = \emptyset

a = -2

K = \mathbb{R}

a \in \mathbb{R} - \{\pm 2\}

K = \left\{\frac{1}{a-2}\right\}

Rovnica s absolútnou hodnotou: Rovnica, ktorá obsahuje absolútnu hodnotu výrazu s neznámou. Pri riešení vychádzaš z definície absolútnej hodnoty.

Definícia absolútnej hodnoty

\displaystyle |x| = \begin{cases} x & \text{pre } x \geq 0 \\ -x & \text{pre } x < 0 \end{cases}

Postup metódou nulových bodov

Nájdi nulové body výrazov v absolútnych hodnotách.
Nulovými bodmi rozdeľ číselnú os na intervaly.
Na každom intervale urči znamienko výrazov v absolútnych hodnotách a absolútne hodnoty odstráň.
Vyrieš rovnicu na každom intervale a ponechaj len korene, ktoré do daného intervalu patria.
Výsledok je zjednotenie riešení zo všetkých intervalov.

Časť 5prečítaná

Exponenciálne a logaritmické rovnice

Exponenciálna rovnica: Rovnica, v ktorej sa neznáma $x \in \mathbb{R}$ vyskytuje v exponente nejakej mocniny.

Rovnaký základ: porovnaj exponenty

\displaystyle a^{f(x)} = a^{g(x)} \;\Leftrightarrow\; f(x) = g(x)

Platí pre $a > 0$ , $a \neq 1$ .

Rôzny základ: zlogaritmuj obe strany

\displaystyle a^{f(x)} = b^{g(x)} \;\Leftrightarrow\; f(x) \cdot \log a = g(x) \cdot \log b

Platí pre $a, b > 0$ , $a, b \neq 1$ , $a \neq b$ .

Zložitejšie rovnice uprav na jeden z týchto tvarov. Často pomôže substitúcia, napríklad $t = 2^x$ , ktorou prejdeš na kvadratickú rovnicu.

Riešený príklad

Exponenciálna rovnica so substitúciou

Rieš v $\mathbb{R}$ rovnicu $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x = -2$ .

Platí $4^x = \left(2^x\right)^2$ . Zaveď substitúciu $t = 2^x$ , kde $t > 0$ :
$\displaystyle 2t^2 - 5t + 2 = 0$
$\displaystyle D = 25 - 16 = 9, \qquad \allowbreak t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}, \qquad \allowbreak t_1 = 2,\ \allowbreak t_2 = \frac{1}{2}$
Obe hodnoty sú kladné. Vráť sa k substitúcii: $2^x = 2$ dáva $x = 1$ a $2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ dáva $x = -1$ .

Výsledok: $K = \{-1;\ \allowbreak 1\}$

Logaritmická rovnica: Rovnica, v ktorej sa vyskytujú logaritmy výrazov s neznámou $x \in \mathbb{R}$ .

Základná logaritmická rovnica

\displaystyle \log_a x = y \;\Leftrightarrow\; x = a^y

Platí pre $x > 0$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ , $y \in \mathbb{R}$ , priamo podľa definície logaritmu. Napríklad $\log_2 x = 3 \Leftrightarrow x = 2^3$ .

Rovnosť logaritmov s rovnakým základom

\displaystyle \log_a f(x) = \log_a g(x) \;\Leftrightarrow\; f(x) = g(x)

Platí pre $a > 0$ , $a \neq 1$ , ak $f(x) > 0$ a $g(x) > 0$ . Vychádza to z toho, že logaritmická funkcia je prostá na celom svojom definičnom obore.

Časť 6prečítaná

Iracionálne a goniometrické rovnice

Iracionálna rovnica: Rovnica, ktorá obsahuje odmocniny z výrazov s neznámou. Odmocniny odstraňuješ umocnením, teda neekvivalentnou úpravou, preto je skúška nutnou súčasťou riešenia.

Riešený príklad

Iracionálna rovnica so skúškou

Rieš v $\mathbb{R}$ rovnicu $2\sqrt{x - 4} = x - 7$ .

Podmienka: $x - 4 \geq 0$ , teda $x \geq 4$ .
Obe strany umocni na druhú:
$\displaystyle 4(x - 4) = (x - 7)^2 \;\Rightarrow\; 4x - 16 = x^2 - 14x + 49 \;\Rightarrow\; x^2 - 18x + 65 = 0$
$\displaystyle (x - 5)(x - 13) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 5,\ \allowbreak x_2 = 13$
Skúška pre $x = 5$ : $L = 2\sqrt{1} = 2$ , $P = 5 - 7 = -2$ , $L \neq P$ . Číslo $5$ nie je koreň.
Skúška pre $x = 13$ : $L = 2\sqrt{9} = 6$ , $P = 13 - 7 = 6$ , $L = P$ .

Výsledok: $K = \{13\}$

Goniometrická rovnica: Rovnica, ktorá okrem konštánt obsahuje neznámu $x$ alebo výrazy s neznámou $x$ ako argumenty jednej alebo viacerých goniometrických funkcií.

Všeobecný tvar goniometrickej rovnice

\displaystyle f\left(\sin x, \cos x, \operatorname{tg} x, \operatorname{cotg} x, x\right) = 0

Základná goniometrická rovnica má tvar $f(x) = c$ , kde $f$ je goniometrická funkcia a $c$ je reálne číslo.

Rieši sa numericky alebo graficky. Najprv nájdeš pomocné riešenie $x'$ v prvom kvadrante a potom určíš všetky riešenia na celom definičnom obore, prípadne len pre $x$ zo zadaného intervalu.

Riešený príklad

Základná goniometrická rovnica

Rieš v $\mathbb{R}$ rovnicu $2\sin x = 1$ .

Uprav na tvar $\sin x = \frac{1}{2}$ . Pomocné riešenie v prvom kvadrante je $x' = \frac{\pi}{6}$ .
Sínus je kladný v I. a II. kvadrante, preto v intervale $\langle 0; 2\pi)$ sú riešenia $\frac{\pi}{6}$ a $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5}{6}\pi$ .
Perióda sínusu je $2\pi$ , preto ku každému riešeniu pripíšeš $2k\pi$ .

Výsledok: $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{5}{6}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$

Časť 7prečítaná

Sústavy rovníc, nerovnice a ich sústavy

Sústava rovníc: Súbor niekoľkých rovníc s niekoľkými neznámymi, ktoré musia platiť naraz. Najčastejšie má sústava toľko rovníc, koľko má neznámych. Riešením sú usporiadané dvojice (trojice…) čísel, ktoré vyhovujú všetkým rovniciam.

Metódy riešenia sústavy lineárnych rovníc

Grafická: nakreslíš grafy oboch rovníc v karteziánskej sústave súradníc, dostaneš dve priamky a riešením je ich priesečník.
Sčítacia: rovnice vynásobíš vhodnými číslami tak, aby sa po ich sčítaní jedna neznáma vylúčila.
Dosadzovacia (substitučná): jednu neznámu vyjadríš z prvej rovnice a dosadíš do druhej, čím sa z nej táto neznáma vylúči.
Pomocou matíc.

Grafická metóda: vzájomná poloha priamok

Priamky sú	Sústava má
rovnobežné (rôzne)	žiadne riešenie
rôznobežné	práve jedno riešenie
splývajúce	nekonečne veľa riešení

rovnobežné (rôzne)

žiadne riešenie

rôznobežné

práve jedno riešenie

splývajúce

nekonečne veľa riešení

Nerovnica: Vzťah $f(x) \mathrel{N} g(x)$ , kde $N$ je jeden zo znakov $>, \geq, <, \leq, \neq$ . Riešiť nerovnicu znamená určiť všetky $x$ , pre ktoré sa z nej stane pravdivá nerovnosť.

Sústava nerovníc: Súbor niekoľkých nerovníc. Vyriešiš každú nerovnicu zvlášť, dostaneš $K_1, K_2, \dots, K_n$ , a riešením sústavy je ich prienik.

\displaystyle K = K_1 \cap K_2 \cap \dots \cap K_n

Sústavu lineárnych nerovníc s dvoma neznámymi môžeš riešiť aj graficky: každá nerovnica určí polrovinu a riešením je ich prienik.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 39

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice:

a)
$3\sin x = -3\cos x$
b)
$\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
c)
$3\cos^2 x + \cos x = 1 - \sin^2 x$
d)
$\sin x + \sin 2x = 0$

V a) vydeľ rovnicu

\cos x

(pre

\cos x = 0

\sin x = \pm 1

a rovnica neplatí), v c) nahraď

1 - \sin^2 x = \cos^2 x

, v d) použi

\sin 2x = 2\sin x\cos x

a vyjmi

\sin x

a) $x = \frac{3}{4}\pi + k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$
b) $x_1 = \frac{2}{3}k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{\pi}{9} + \frac{2}{3}k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$
c) $x_1 = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{2}{3}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak x_3 = \frac{4}{3}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$
d) $x_1 = k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{2}{3}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak x_3 = \frac{4}{3}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice:

a)
$\log_2\left(3^{x-1} + 7\right) = 2 + \log_2\left(3^{x-1} + 1\right)$
b)
$x^{\log x} = 1000x^2$ , $x > 0$
c)
$3 \cdot 4^{\log x} - 25 \cdot 2^{\log x} + 8 = 0$
d)
$2\log(x - 1) = \frac{1}{2}\left(\log x^5 - \log x\right)$

\log

bez základu je dekadický logaritmus. V a) zapíš

2 = \log_2 4

, v b) zlogaritmuj obe strany, v c) zaveď

t = 2^{\log x}

, v d) najprv urči podmienky.

a) $x = 1$
b) $x_1 = 1000,\ \allowbreak x_2 = 0{,}1$
c) $x_1 = 1000,\ \allowbreak x_2 = 10^{\log_2 \frac{1}{3}} = 10^{-\log_2 3} \doteq 0{,}026$
d)Rovnica nemá riešenie, $K = \emptyset$ .

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice:

a)
$\sqrt{3x + 7} - \sqrt{x + 1} = 2$
b)
$2\sqrt{x - 4} = x - 7$
c)
$2\sqrt{x + 2} - \sqrt{3x - 2} = 2$
d)
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{2x + 3}$

Urči podmienky, rovnicu umocni (ak treba, aj dvakrát) a nakoniec urob skúšku.

a) $x_1 = 3,\ \allowbreak x_2 = -1$ (podmienka $x \geq -1$ )
b) $x = 13$ (podmienka $x \geq 7$ )
c) $x_1 = 2,\ \allowbreak x_2 = 34$ (podmienka $x \geq \frac{2}{3}$ )
d) $x = \frac{5}{2}$ (podmienka $x \geq 2$ )

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice:

a)
$\frac{\sqrt{3 \cdot 9^{x-2}}}{3} = \left(\sqrt{3}\right)^{\frac{x+2}{3}} \cdot 3^{-\frac{7}{6}}$
b)
$2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x = -2$
c)
$3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315$
d)
$\left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{2x+1}{x-1}} = \left(\frac{125}{512}\right)^{3-x}$
e)
$2^{4x+2} - 3^{2x+2} = 3^{2x-1} + 2^{4x-4}$

Zapíš obe strany ako mocniny s rovnakým základom, alebo zaveď substitúciu

t = 2^x

. V c) vyjmi

3^{2x-4}

, v d) využi

\frac{125}{512} = \left(\frac{8}{5}\right)^{-3}

, v e) daj mocniny dvojky na jednu stranu a mocniny trojky na druhú.

a) $x = 2$
b) $x_1 = 1,\ \allowbreak x_2 = -1$
c) $x = 3$
d) $x_1 = 4,\ \allowbreak x_2 = \frac{2}{3}$ (podmienka $x \neq 1$ )
e) $x = \frac{3}{2}$

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu

2^x \cdot 5^x = 0{,}1 \cdot \left(10^{x-1}\right)^3

Ľavá strana je

10^x

, pravú stranu zapíš ako mocninu čísla

10

x = 2

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice:

a)
$3 \cdot 4^x + \frac{9^{x+2}}{3} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{9^{x+1}}{2}$
b)
$4^{x + \sqrt{x^2 - 2}} - 5 \cdot 2^{x - 1 + \sqrt{x^2 - 2}} = 6$

V a) daj mocniny štvorky na jednu stranu a mocniny deviatky na druhú. V b) zaveď

t = 2^{x + \sqrt{x^2 - 2}}

a) $x = -\frac{1}{2}$
b) $x = \frac{3}{2}$

Rieš v

\mathbb{R}

nerovnice:

a)
$\left(\frac{1}{9}\right)^{2x+3} \leq \left(\frac{1}{27}\right)^{x+2}$
b)
$\frac{2^{3x-2}}{7^{2x-1}} \geq 0$

V a) zapíš obe strany ako mocniny čísla

3

. V b) si všimni, že čitateľ aj menovateľ sú vždy kladné.

a) $x \geq 0$ , teda $x \in \langle 0; \infty)$
b) $x \in \mathbb{R}$

Rieš v

\mathbb{R}

nerovnicu

9^x - 2 \cdot 3^x \leq 3

Zaveď

t = 3^x

, kde

t > 0

, a vyrieš kvadratickú nerovnicu.

x \in (-\infty; 1\rangle

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu

\log_5 \sqrt{3x - 2} + \log_5 \sqrt{4x - 7} = \log_5 13

Podmienky:

3x - 2 > 0

4x - 7 > 0

. Spoj logaritmy na ľavej strane do jedného a porovnaj argumenty.

x = 5

(podmienka

x > \frac{7}{4}

)

10.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu:

\displaystyle \log_4 \left\{2\log_3\left[1 + \log_2\left(1 + 3\log_3 x\right)\right]\right\} = \frac{1}{2}

Postupuj zvonka dnu: z

\log_4 A = \frac{1}{2}

vyplýva

A = 2

, potom odstráň ďalší logaritmus.

x = 3

11.

Rieš v

\mathbb{R}

nerovnicu

\log_7 \frac{2x - 6}{2x - 1} > 0

\log_7 y > 0

platí práve vtedy, keď

y > 1

x \in \left(-\infty; \frac{1}{2}\right)

12.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice:

a)
$2\sin^2 x - 5\cos x + 1 = 0$
b)
$2\sin x \cdot \operatorname{tg} x + 4\cos x = 5$

V a) nahraď

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

. V b) vynásob rovnicu výrazom

\cos x \neq 0

. V oboch dostaneš kvadratickú rovnicu pre

\cos x

a) $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{5}{3}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$
b) $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{5}{3}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$ (podmienka $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ )

13.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu

\frac{1}{\sin^2 x} + \operatorname{cotg} x - 1 = 0

Použi vzťah

\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \operatorname{cotg}^2 x

x_1 = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{3}{4}\pi + k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}

(podmienka

x \neq k\pi

)

14.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu

\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg}^2 x + 2 \cdot \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0

Zaveď

t = \operatorname{tg} x

a vyrieš kvadratickú rovnicu.

x_1 = \frac{2}{3}\pi + k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{\pi}{6} + k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}

(podmienka

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

)

15.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice:

a)
$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{7}{8}$
b)
$\sin x + \sqrt{3}\cos x = -1$

V a) použi

\sin^4 x + \cos^4 x = \left(\sin^2 x + \cos^2 x\right)^2 - 2\sin^2 x\cos^2 x

. V b) uprav ľavú stranu na

2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

a) $\sin^2 x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}$ , teda $x_1 = \frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{2},\ \allowbreak x_2 = \frac{5}{12}\pi + k\frac{\pi}{2},\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$
b) $x_1 = \frac{5}{6}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{3}{2}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}$

16.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu

16^{\sin^2 x} + 4 \cdot 2^{2\cos 2x} = 10

Zapíš

16^{\sin^2 x} = 2^{4\sin^2 x}

2\cos 2x = 2 - 4\sin^2 x

, potom zaveď

t = 2^{4\sin^2 x}

x_1 = \frac{\pi}{3} + k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{2}{3}\pi + k\pi,\ \allowbreak x_3 = \frac{\pi}{6} + k\pi,\ \allowbreak x_4 = \frac{5}{6}\pi + k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}

17.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu

2\sin^2 x = 2 - \operatorname{cotg} x

Podmienka

\sin x \neq 0

. Uprav

2\sin^2 x - 2 = -2\cos^2 x

, zapíš

\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}

a vyjmi

\cos x

x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi,\ \allowbreak x_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}

18.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnicu

\sqrt{5\sin x + \cos 2x} + 2\cos x = 0

Odmocnina je nezáporná, preto musí platiť

\cos x \leq 0

. Umocni, použi

\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

a urob skúšku.

x = \frac{5}{6}\pi + 2k\pi,\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}

19.

Koľko koreňov má rovnica

\cos^2 x = 1 + 5\sin^2 x

na intervale

\left\langle 0; \frac{5}{2}\pi \right\rangle

Nahraď

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x

a rovnicu uprav na

\sin^2 x = 0

3

korene:

0,\ \allowbreak \pi,\ \allowbreak 2\pi

20.

Rieš v

\mathbb{R}

rovnice s neznámou

x

a parametrom

a \in \mathbb{R}

a)
$x^2 + (a - 4)x - 2a + 13 = 0$
b)
$a^2 x - x + 1 - a = 0$
c)
$x^2 + (a - 2)x - 2a = 0$
d)
$\frac{2 - a}{a} = \frac{2}{x - 1}$
e)
$a^2(x - 1) + a = 5(ax - 1) - 3a$

Pri kvadratickej rovnici rozhoduje diskriminant (v a) vyjde

D = a^2 - 36

). Pri lineárnej rovnici uprav na tvar

(\dots)\,x = \dots

a osobitne preskúmaj hodnoty

a

, pri ktorých je koeficient pri

x

nulový.

a)Pre $a \in (-\infty; -6) \cup (6; \infty)$ má dva korene $x_{1,2} = \frac{-a + 4 \pm \sqrt{a^2 - 36}}{2}$ . Pre $a = \pm 6$ má jeden koreň $x = \frac{-a + 4}{2}$ (pre $a = 6$ je $x = -1$ , pre $a = -6$ je $x = 5$ ). Pre $a \in (-6; 6)$ nemá riešenie.
b)Pre $a = 1$ vyhovuje každé $x \in \mathbb{R}$ . Pre $a = -1$ nemá riešenie. Pre $a \in \mathbb{R} - \{\pm 1\}$ má jeden koreň $x = \frac{1}{a + 1}$ .
c)Pre $a = -2$ má jeden koreň $x = 2$ . Pre $a \in \mathbb{R} - \{-2\}$ má dva korene $x_1 = 2,\ \allowbreak x_2 = -a$ .
d)Pre $a \in \{0; 2\}$ nemá riešenie. Pre $a \in \mathbb{R} - \{0; 2\}$ má jeden koreň $x = \frac{a + 2}{2 - a}$ .
e)Pre $a = 0$ nemá riešenie. Pre $a = 5$ vyhovuje každé $x \in \mathbb{R}$ . Pre $a \in \mathbb{R} - \{0; 5\}$ má jeden koreň $x = \frac{a + 1}{a}$ .

21.

Zostav kvadratickú rovnicu, ktorá má korene

-1 + \sqrt{2}

-1 - \sqrt{2}

. Urob skúšku.

Použi Viètove vzťahy:

p = -(x_1 + x_2)

q = x_1 \cdot x_2

x^2 + 2x - 1 = 0

22.

V množine

\mathbb{R}

rieš rovnicu:

\displaystyle \frac{x + 7}{2x + 2} - \frac{x + 4}{4x + 4} = 1

Urči podmienky a vynásob rovnicu spoločným menovateľom

4(x + 1)

x = 2

(podmienka

x \neq -1

)

23.

V množine

\mathbb{R}

rieš rovnicu:

\displaystyle \frac{2x}{x + 3} - \frac{2x}{x - 3} = \frac{72}{4x^2 - 36}

Rozlož

4x^2 - 36 = 4(x - 3)(x + 3)

a vynásob rovnicu týmto menovateľom.

x = -\frac{3}{2}

(podmienka

x \neq \pm 3

)

24.

V množine

\mathbb{R}

rieš rovnicu:

\displaystyle \frac{6}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 - x} + \frac{x^2}{x^2 - 4} = 0

Všimni si, že

\frac{x + 2}{2 - x} = -\frac{x + 2}{x - 2}

a spoločný menovateľ je

x^2 - 4

x = 8

(podmienka

x \neq \pm 2

)

25.

V množine

\mathbb{R}

rieš rovnicu:

\displaystyle \frac{x}{2x - 3} - \frac{3}{x} = \frac{(x - 3)^2}{2x^2 - 3x}

Uprav ľavú stranu na spoločného menovateľa

x(2x - 3) = 2x^2 - 3x

a porovnaj s pravou stranou.

Rovnici vyhovuje každé prípustné

x

K = \mathbb{R} - \left\{0; \frac{3}{2}\right\}

26.

Rieš rovnicu:

\displaystyle \sqrt{x + 8} - \sqrt{5x + 20} + 2 = 0

Podmienka

x \geq -4

. Rovnicu uprav na

\sqrt{x + 8} + 2 = \sqrt{5x + 20}

, dvakrát umocni a urob skúšku (koreň

x = -4

jej nevyhovie).

x = 1

27.

V množine

\mathbb{R}

rieš rovnicu:

\displaystyle \left(\frac{3x}{8 - x}\right)^2 + \frac{6x}{x - 8} = 15

Zaveď

t = \frac{3x}{8 - x}

. Potom

\frac{6x}{x - 8} = -2t

a dostaneš

t^2 - 2t - 15 = 0

x = 5

(podmienka

x \neq 8

)

28.

V množine

\mathbb{R}

rieš rovnicu:

\displaystyle \sqrt{x} + \sqrt{x - \sqrt{1 - x}} = 1

Podmienky:

0 \leq x \leq 1

. Prenes

\sqrt{x}

na pravú stranu a umocni, potom osamostatni zvyšnú odmocninu a umocni znova. Skúška je nutná.

x = \frac{16}{25}

29.

V množine

\mathbb{R}

rieš nerovnicu:

\displaystyle x(2x - 1) + \frac{1 - x}{5} < 1 + 2x^2

Roznásob, člen

2x^2

sa odčíta a ostane lineárna nerovnica.

x > -\frac{2}{3}

, teda

x \in \left(-\frac{2}{3}; \infty\right)

30.

V množine

\mathbb{R}

rieš nerovnicu:

\displaystyle \frac{1{,}5x + 1}{3} + x < x + \frac{3x + 2}{6}

Vynásob nerovnicu číslom

6

a zjednoduš ju.

Nerovnica nemá riešenie,

K = \emptyset

31.

V množine

\mathbb{R}

rieš nerovnicu:

\displaystyle (2 - 3x) - (x - 1) \geq -4 - (x - 2)^2

Uprav na kvadratickú nerovnicu a nájdi korene kvadratického trojčlena.

x \in \left(-\infty; 4 - \sqrt{5}\right\rangle \cup \left\langle 4 + \sqrt{5}; \infty\right)

32.

Ktoré prirodzené číslo

x

vyhovuje nerovnici?

\displaystyle \frac{(5x - 4)^2 - (4x - 3)^2}{(3x - 5)^2} < 1

Pre

x \neq \frac{5}{3}

je menovateľ kladný, môžeš ním nerovnicu vynásobiť bez zmeny znaku.

\mathbb{R}

je riešením

x < \frac{9}{7}

(podmienka

x \neq \frac{5}{3}

), takže vyhovuje jediné prirodzené číslo

x = 1

33.

V množine

\mathbb{R}

rieš nerovnicu:

\displaystyle \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 2} \geq 0

Podmienky:

x \geq 0

x \neq 2

. Zlomok je nezáporný, keď majú čitateľ a menovateľ rovnaké znamienko alebo je čitateľ nulový.

x \in \langle 0; 2) \cup \langle 9; \infty)

34.

Urči všetky reálne čísla

m

, pre ktoré má rovnica

\frac{3x - 1}{m} - 5 = 2x

koreň väčší alebo rovný

4

Pre

m \neq 0

m \neq \frac{3}{2}

vyjadri

x = \frac{5m + 1}{3 - 2m}

a vyrieš nerovnicu

x \geq 4

s neznámou

m

m \in \left\langle \frac{11}{13}; \frac{3}{2} \right)

35.

Rieš dané sústavy rovníc v množine

M = (-\infty; -3\rangle \times (-7; \infty)

a)
Sústava:
$\displaystyle \begin{aligned} 3 \cdot (2x - 3y) - 5x &= -[-(2x + y) \cdot 2 - 3] + 9 \\ -2 \cdot (x - 2y) + y &= 3 \cdot (x - 5y) + 20 \end{aligned}$
$\displaystyle 3 \cdot (2x - 3y) - 5x = -[-(2x + y) \cdot 2 - 3] + 9$
$\displaystyle -2 \cdot (x - 2y) + y = 3 \cdot (x - 5y) + 20$
b)
Sústava:
$\displaystyle \begin{aligned} (x - y)^2 - (3x - 2y)(3x + 2y) &= -5x - 8x^2 + 5y^2 \\ x - y &= -(2x + y) \end{aligned}$
$\displaystyle (x - y)^2 - (3x - 2y)(3x + 2y) = -5x - 8x^2 + 5y^2$
$\displaystyle x - y = -(2x + y)$

Rovnice najprv roznásob a uprav na tvar

ax + by = c

. Na záver over, či riešenie leží v množine

M

, teda

x \leq -3

y > -7

a) $x = -4,\ \allowbreak y = 0$
b)V $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ vyhovuje každá dvojica s $x = 0$ a ľubovoľným $y \in \mathbb{R}$ . V množine $M$ však musí platiť $x \leq -3$ , preto sústava v $M$ nemá riešenie.

36.

V množine

\mathbb{R}

rieš sústavy nerovníc:

a)
Sústava:
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{5 - 4x}{3} + \frac{1}{2} &< x - \frac{2x + 1}{4} \\ \frac{x + 2}{5} &> \frac{5x}{7} + x \end{aligned}$
$\displaystyle \frac{5 - 4x}{3} + \frac{1}{2} < x - \frac{2x + 1}{4}$
$\displaystyle \frac{x + 2}{5} > \frac{5x}{7} + x$
b)
Sústava:
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} &> \frac{2x + 7}{3} - 8 \\ \frac{7}{3}x - \frac{11}{6}(x + 3) &\geq \frac{3x - 1}{5} - \frac{13x - 7}{2} \end{aligned}$
$\displaystyle \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - 8$
$\displaystyle \frac{7}{3}x - \frac{11}{6}(x + 3) \geq \frac{3x - 1}{5} - \frac{13x - 7}{2}$

Každú nerovnicu vynásob spoločným menovateľom, vyrieš ju zvlášť a nakoniec urob prienik riešení.

a)Sústava nemá riešenie (z prvej nerovnice $x > \frac{29}{22}$ , z druhej $x < \frac{14}{53}$ ).
b) $x \in \left\langle \frac{11}{8}; 10 \right)$

37.

V čakárni u lekára bolo

90

osôb. Mužov bolo

4

-krát viac ako žien. Detí bolo o

10

viac ako dospelých. Koľko bolo v čakárni mužov, žien a detí?

Ak je žien

z

, mužov je

4z

, dospelých

5z

a detí

5z + 10

32

mužov,

8

žien a

50

detí

38.

Pytagoras odpovedal na otázku o počte žiakov v jeho škole takto: polovica žiakov študuje matematiku, štvrtina hudbu, sedmina mlčí a okrem toho sú tam ešte

3

ženy. Koľko žiakov mal Pytagoras v triede?

Ak má

x

žiakov, platí

\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{7} + 3 = x

28

žiakov

39.

Sponzor venoval škole peniaze. Škola z nich použila polovicu na nákup pomôcok a

\frac{2}{3}

zvyšku na úpravu ihrísk. Zostalo jej

5000

Sk. Koľko Sk venoval sponzor škole?

Ak sponzor venoval

x

Sk, po nákupe pomôcok ostalo

\frac{x}{2}

a z toho po úprave ihrísk ešte tretina.

30\,000

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.