Okruh 4 · Základy matematiky

Premenné a výrazy

Ako upravovať algebrické a lomené výrazy, rozkladať mnohočleny a zistiť, kedy má výraz zmysel.

asi 90 min · 8 častí · 30 úloh

0 z 8 častí · 0 z 30 úloh

V skratke

Podmienky urči z pôvodného výrazu ešte pred krátením: menovateľ aj deliteľ $\neq 0$ , pod párnou odmocninou $\geq 0$ , argument logaritmu $> 0$ .
Vzorce: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ , $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ .
Doplnenie na štvorec: $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$ .
Kvadratický trojčlen rozložíš cez korene: $x^2 + px + q = (x - r)(x - s)$ , kde $r + s = -p$ a $rs = q$ .
$n! = 1 \cdot 2 \cdots n$ , $0! = 1$ , $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ a $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .
$|a| = a$ pre $a \geq 0$ a $|a| = -a$ pre $a < 0$ , absolútna hodnota je vždy nezáporná.

Časť 1prečítaná

Konštanty, premenné a číselné obory

Konštanta: Konštanta je stála veličina vo výraze, jej hodnota sa nemení.
Premenná: Premenná je veličina, ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty z nejakého rozsahu.
Obor premennej: Obor premennej sú všetky čísla, ktoré môžeš za premennú dosadiť, bez ohľadu na to, či bude mať výraz zmysel. Obor premennej určuje zadanie úlohy. Ak ho zadanie neurčí, je to množina všetkých reálnych čísel $\mathbb{R}$ .

Z akého oboru môže byť premenná

Označenie	Množina	Čo obsahuje
$\mathbb{N}$	prirodzené čísla	$\{1, 2, 3, \dots\}$
$\mathbb{Z}$	celé čísla	$\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
$\mathbb{Q}$	racionálne čísla	čísla, ktoré sa dajú zapísať v tvare zlomku $\frac{p}{q}$ , kde $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$
$\mathbb{I}$	iracionálne čísla	reálne čísla, ktoré sa nedajú zapísať ako zlomok, napr. $\sqrt{2}$ alebo $\pi$
$\mathbb{R}$	reálne čísla	racionálne a iracionálne čísla spolu: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$
$\mathbb{C}$	komplexné čísla	obsahujú aj všetky reálne čísla

\mathbb{N}

Množina: prirodzené čísla
Čo obsahuje: $\{1, 2, 3, \dots\}$

\mathbb{Z}

Množina: celé čísla
Čo obsahuje: $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$

\mathbb{Q}

Množina: racionálne čísla
Čo obsahuje: čísla, ktoré sa dajú zapísať v tvare zlomku $\frac{p}{q}$ , kde $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$

\mathbb{I}

Množina: iracionálne čísla
Čo obsahuje: reálne čísla, ktoré sa nedajú zapísať ako zlomok, napr. $\sqrt{2}$ alebo $\pi$

\mathbb{R}

Množina: reálne čísla
Čo obsahuje: racionálne a iracionálne čísla spolu: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

\mathbb{C}

Množina: komplexné čísla
Čo obsahuje: obsahujú aj všetky reálne čísla

Časť 2prečítaná

Výrazy a ich definičný obor

Výraz: Výrazy sú matematické zápisy. Tvoríš ich z číslic, písmen, znakov počtových operácií a zátvoriek.

Druhy výrazov

Počtové výrazy vyjadrujú počtové operácie s číslami v určenom poradí, v ktorom sa majú vykonať. Poradie určujú rôzne typy zátvoriek.
Algebrické výrazy sa skladajú z čísel a písmen označujúcich premenné, ktoré sú spojené znakmi operácií, prípadne zátvorkami. Patria sem napríklad jednočleny, mnohočleny a racionálne lomené výrazy.
Lomené výrazy majú tvar podielu dvoch výrazov, pričom menovateľ (deliteľ) musí byť nenulový.

Obor definície výrazu: Obor definície (definičný obor) premenných algebrického výrazu je množina všetkých hodnôt premenných, pre ktoré má výraz zmysel, teda je definovaný.
Hodnota výrazu: Hodnota výrazu je číslo, ktoré dostaneš, keď za premennú dosadíš konkrétne číslo $x \in \mathrm{D}$ . Je to funkčná hodnota výrazu v bode $x$ .
Rovnosť výrazov: Dva algebrické výrazy $V_1$ , $V_2$ sa rovnajú, ak majú rovnaké definičné obory a pre ľubovoľné prípustné hodnoty premenných nadobúdajú rovnaké hodnoty. Zapisuješ $V_1 = V_2$ .

Kedy výraz nemá zmysel (podmienky)

Menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule. Pri delení výrazom sa nesmie rovnať nule ani deliteľ.
Pod párnou odmocninou, napr. $\sqrt{x}$ alebo $\sqrt[4]{x}$ , musí byť nezáporné číslo.
Argument logaritmu musí byť kladný: $\log_a x$ má zmysel len pre $x > 0$ .
$\operatorname{tg} x$ má zmysel len pre $\cos x \neq 0$ a $\operatorname{cotg} x$ len pre $\sin x \neq 0$ .
Pri zápornom exponente sa základ nesmie rovnať nule, napr. $\left(\frac{b-a}{a}\right)^{-1}$ vyžaduje $a \neq 0$ aj $b \neq a$ .

Časť 3prečítaná

Mnohočleny

Mnohočlen: Mnohočlenom (polynómom) s jednou premennou $x \in \mathbb{R}$ nazývame výraz:

\displaystyle M(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

Pojmy

Čísla $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}$ sú koeficienty mnohočlena.
Číslo $a_0$ je absolútny člen.
Číslo $n$ je stupeň mnohočlena, pričom $a_n \neq 0$ .
Mnohočlen $M(x)$ je súčet svojich jednotlivých členov $a_n x^n$ , $a_{n-1} x^{n-1}$ , …, $a_1 x$ , $a_0$ .

Členy mnohočlena môžeš usporiadať zostupne, teda od najvyššej mocniny k najnižšej, alebo vzostupne, teda od najnižšej mocniny k najvyššej.

Delenie mnohočlena mnohočlenom

Vydeľ člen s najvyššou mocninou delenca členom s najvyššou mocninou deliteľa.
Výsledkom vynásob celý deliteľ a súčin odčítaj od delenca.
S rozdielom pokračuj rovnako, kým nemá menší stupeň ako deliteľ. To, čo ostane, je zvyšok.
Nenulový zvyšok zapíš ako zlomok, napr. $(x^2 + 3x + 5) : (x + 1) = x + 2 + \frac{3}{x+1}$ .

Časť 4prečítaná

Doplnenie na štvorec a rozklad na súčin

Doplnenie do štvorca: Postup, ktorým z výrazu $ax^2 + bx + c$ dostaneš výraz tvaru $a(x+m)^2 + n$ .

Doplnenie do štvorca

\displaystyle ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Teda $m = \frac{b}{2a}$ a $n = c - \frac{b^2}{4a}$ . Pri $a = 1$ je to $\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4}$ .

Príklad

\displaystyle x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 1 - 1 = (x-1)^2 - 2

Úprava na súčin: Postup, ktorým daný mnohočlen upravíš na súčin mnohočlenov (ak sa to dá). Napríklad $x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$ .
Vynímanie pred zátvorku: Pred zátvorku vyberieš číslo alebo výraz, ktorým sú deliteľné všetky členy mnohočlena. Napríklad $2xy - 4x^2 = 2x(y - 2x)$ .

Rozklad podľa známych vzorcov

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Rozklad kvadratického trojčlena

\displaystyle x^2 + px + q = (x - r)(x - s)

Čísla $r$ , $s$ sú korene rovnice $x^2 + px + q = 0$ a platí pre ne $r + s = -p$ , $rs = q$ .

Časť 5prečítaná

Zlomky a lomené výrazy

Zlomok: Zlomok má tvar $\frac{A}{B}$ , kde $A$ je čitateľ, $B$ menovateľ a medzi nimi je zlomková čiara. $A$ a $B$ môžu byť čísla alebo výrazy, pričom $B \neq 0$ .
Krátenie zlomku: Čitateľa aj menovateľa vydelíš tým istým číslom (výrazom) rôznym od nuly. Krátením sa hodnota zlomku nemení.
Rozširovanie zlomku: Čitateľa aj menovateľa vynásobíš tým istým číslom (výrazom) rôznym od nuly. Rozširovaním sa hodnota zlomku nemení.
Zložený zlomok: Zlomok, ktorý má v tvare zlomku čitateľa, menovateľa alebo oboch. Čitateľa a menovateľa oddeľuje hlavná zlomková čiara.
Spoločný menovateľ: Číslo (výraz), ktoré je násobkom všetkých menovateľov.
Základný tvar zlomku: Zlomok, ktorého čitateľa ani menovateľa už nevieš vykrátiť rovnakým číslom alebo výrazom.

Časť 6prečítaná

Absolútna hodnota

Absolútna hodnota: Absolútna hodnota $|a|$ je vzdialenosť čísla $a$ od nuly na číselnej osi.

\displaystyle |a| = \begin{cases} a, & \text{ak } a \geq 0 \\ -a, & \text{ak } a < 0 \end{cases}

Vlastnosti

$|-a| = |a|$
$|a - b| = |b - a|$
$|a + b| \leq |a| + |b|$
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ pre $b \neq 0$

Časť 7prečítaná

Faktoriál a kombinačné čísla

Faktoriál: Faktoriál prirodzeného čísla $n$ je súčin všetkých prirodzených čísel idúcich za sebou od $1$ po $n$ . Navyše platí $0! = 1$ .

\displaystyle n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n, \qquad \allowbreak 0! = 1

Kombinačné číslo: Pre nezáporné celé čísla $n$ , $k$ , kde $0 \leq k \leq n$ , je kombinačné číslo $\binom{n}{k}$ (čítaj $n$ nad $k$ ) definované takto:

\displaystyle \binom{n}{k} = C_k(n) = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Platí pre $0 \leq k \leq n$ . V čitateli prostredného zlomku je $k$ činiteľov.

Užitočné vlastnosti

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
$\binom{n}{1} = n$
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Úprava lomeného výrazu s podmienkami

Uprav výraz $\left(\frac{2}{x-2} - \frac{8}{x^2-4}\right) : \frac{4}{x^2+2x}$ a napíš podmienky.

Rozlož menovatele: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ a $x^2 + 2x = x(x+2)$ . Podmienky sú $x \neq 2$ , $x \neq -2$ a $x \neq 0$ . Deliteľ $\frac{4}{x(x+2)}$ sa nule nerovná nikdy.
$\displaystyle \frac{2}{x-2} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x+2) - 8}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x - 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x+2}$
Delenie zlomkom nahraď násobením jeho prevrátenou hodnotou:
$\displaystyle \frac{2}{x+2} \cdot \frac{x(x+2)}{4} = \frac{x}{2}$

Výsledok: $\frac{x}{2}$ ; $x \neq 0$ , $x \neq \pm 2$

Riešený príklad

Doplnenie na štvorec

Uprav výraz $3x^2 - 12x + 5$ na tvar $a(x+m)^2 + n$ .

Z členov s $x$ vyber pred zátvorku koeficient $3$ :
$\displaystyle 3x^2 - 12x + 5 = 3(x^2 - 4x) + 5$
V zátvorke doplň na štvorec: $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ .
$\displaystyle 3\left[(x-2)^2 - 4\right] + 5 = 3(x-2)^2 - 12 + 5 = 3(x-2)^2 - 7$
Skúška podľa vzorca: $m = \frac{b}{2a} = \frac{-12}{6} = -2$ a $n = c - \frac{b^2}{4a} = 5 - \frac{144}{12} = -7$ .

Výsledok: $3x^2 - 12x + 5 = 3(x-2)^2 - 7$

Riešený príklad

Rovnica s faktoriálmi

Rieš v $\mathbb{N}$ rovnicu $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 30$ .

Výraz má zmysel pre $n \geq 1$ . Väčší faktoriál rozpíš až po menší:
$\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = (n+1)\,n$
$\displaystyle (n+1)\,n = 30 \;\Rightarrow\; n^2 + n - 30 = 0 \;\Rightarrow\; (n+6)(n-5) = 0$
Koreň $n = -6$ nie je prirodzené číslo, vyhovuje len $n = 5$ . Skúška: $\frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30$ .

Výsledok: $n = 5$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 30

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \left(a - \frac{4ab}{a+b} + b\right) \cdot \left(\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a} + \frac{2ab}{a^2-b^2}\right)

Každú zátvorku zlož na jeden zlomok. Využi

b - a = -(a-b)

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

a - b

;

a \neq \pm b

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \frac{x}{ax - 2a^2} - \frac{2}{x^2 + x - 2ax - 2a} \cdot \left(1 + \frac{3x + x^2}{3 + x}\right)

Rozlož menovatele:

ax - 2a^2 = a(x - 2a)

x^2 + x - 2ax - 2a = (x+1)(x-2a)

\frac{1}{a}

;

a \neq 0

x \neq -1

x \neq -3

x \neq 2a

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \frac{2a}{a^2 - 4x^2} + \frac{1}{2x^2 + 6x - ax - 3a} \cdot \left(x + \frac{3x - 6}{x - 2}\right)

Rozlož menovateľ

2x^2 + 6x - ax - 3a = (x+3)(2x-a)

. Zátvorka sa zjednoduší na

x + 3

. Pozor na znamienko:

\frac{1}{2x-a} = -\frac{1}{a-2x}

\frac{1}{a + 2x}

;

x \neq -3

x \neq 2

a \neq \pm 2x

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \frac{3ab}{a^2 - ab} + \frac{5a}{a+b} - 2 \cdot \frac{b^2 + 2a^2}{a^2 - b^2}

Prvý zlomok vykráť:

\frac{3ab}{a(a-b)} = \frac{3b}{a-b}

. Spoločný menovateľ je

a^2 - b^2

\frac{a-b}{a+b}

;

a \neq 0

a \neq \pm b

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \left(\frac{1}{2x-y} + \frac{3y}{y^2 - 4x^2} - \frac{2}{2x+y}\right) : \left(\frac{4x^2 + y^2}{4x^2 - y^2} + 1\right)

Spoločný menovateľ prvej zátvorky je

4x^2 - y^2

. Druhá zátvorka sa rovná

\frac{8x^2}{4x^2 - y^2}

-\frac{1}{4x}

;

y \neq \pm 2x

x \neq 0

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \left(\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} - \frac{m^2 - n^2}{m^2 + n^2}\right) : \left(\frac{m+n}{m-n} - \frac{m-n}{m+n}\right)

V oboch zátvorkách sa ti zíde

(u+v)^2 - (u-v)^2 = 4uv

. Deliteľ vyjde

\frac{4mn}{m^2 - n^2}

, preto musí byť

m \neq 0

n \neq 0

\frac{mn}{m^2 + n^2}

;

m \neq \pm n

m \neq 0

n \neq 0

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \left[b^2 - \frac{a}{1 + \left(\frac{b-a}{a}\right)^{-1}} \cdot \left(\frac{ab}{b-a} - a\right)\right] : \frac{a^2 + ab + b^2}{b}

Začni zvnútra:

\left(\frac{b-a}{a}\right)^{-1} = \frac{a}{b-a}

. Na konci využi

b^3 - a^3 = (b-a)(a^2 + ab + b^2)

b - a

;

a \neq 0

b \neq 0

a \neq b

a^2 + ab + b^2 \neq 0

(posledná podmienka je pri

a \neq 0

splnená vždy)

Uprav výraz a napíš podmienky, pri ktorých má zmysel.

\displaystyle \frac{\dfrac{a+b}{a-b} - \dfrac{a-b}{a+b}}{1 - \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}} \cdot \frac{2 - \dfrac{1 + b^2}{b}}{\dfrac{1}{b^2} - \dfrac{2}{b} + 1}

Uprav zvlášť každý zložený zlomok. V druhom využi

b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2

, preto pribudne podmienka

b \neq 1

2a

;

a \neq \pm b

b \neq 0

b \neq 1

Zjednoduš:

a)
$\frac{(n+6)!}{(n+4)!} - \frac{n!}{(n-2)!}$
b)
$\frac{1}{n!} - \frac{3}{(n+1)!} - \frac{n^2 - 4}{(n+2)!}$

Rozpíš väčší faktoriál po menší, napr.

(n+6)! = (n+6)(n+5) \cdot (n+4)!

. V časti b) daj všetko na spoločný menovateľ

(n+2)!

a) $12n + 30$ ; $n \geq 2$
b) $0$ ; $n \geq 0$

10.

Rieš rovnicu v

\mathbb{N}

\displaystyle \frac{x!}{(x-2)!} + \frac{(x-1)!}{(x-3)!} = 8, \quad \allowbreak x \geq 3

\frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)

\frac{(x-1)!}{(x-3)!} = (x-1)(x-2)

, dostaneš kvadratickú rovnicu.

x = 3

11.

Rieš rovnicu v

\mathbb{Z}

\displaystyle \log\,[(x+1)!] - \log\,(x!) = 1, \quad \allowbreak x \geq 0

Rozdiel logaritmov je logaritmus podielu a

\frac{(x+1)!}{x!} = x + 1

x = 9

12.

Rieš rovnicu v

\mathbb{N}

\displaystyle \binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 4

\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2}

. Kombinačné číslo

\binom{x-1}{2}

má zmysel len pre

x - 1 \geq 2

x = 3

; podmienka

x \geq 3

13.

Rieš rovnicu v

\mathbb{N}

\displaystyle \binom{x-1}{x-2} + \binom{x-2}{x-4} = 4, \quad \allowbreak x \geq 4

Použi

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

\binom{x-1}{x-2} = \binom{x-1}{1}

\binom{x-2}{x-4} = \binom{x-2}{2}

x = 4

14.

Doplň na štvorec, teda uprav ľavú stranu na tvar

a(x+m)^2 + n

a)
$x^2 - x - 2 = 0$
b)
$x^2 + 4x - 3 = 0$
c)
$2x^2 - 8x - 7 = 0$
d)
$5x^2 + 3x + 2 = 0$

Pri

a \neq 1

najprv vyber

a

pred zátvorku z členov s

x

, potom doplň na štvorec v zátvorke.

a) $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} = 0$
b) $(x+2)^2 - 7 = 0$
c) $2(x-2)^2 - 15 = 0$
d) $5\left(x + \frac{3}{10}\right)^2 + \frac{31}{20} = 0$

15.

Vydeľ:

a)
$(x^2 + 9x + 18) : (x + 6)$
b)
$(3x^3 + 5x^2 - x + 2) : (x + 2)$
c)
$(3x^2 - 33x + 30) : (x - 1)$
d)
$(2x^4 - x^3 - 2x^2 - x + 1) : (2x - 1)$
e)
$(x^3 + x + 3) : (x + 1)$
f)
$(2x^3 - x^2 - 13x + 5) : (2x + 5)$

Deľ podobne ako čísla pod sebou: vždy vydeľ najvyššie členy, výsledkom vynásob deliteľa a súčin odčítaj. V časti e) chýba člen s

x^2

, doplň ho ako

0x^2

a) $x + 3$
b) $3x^2 - x + 1$
c) $3x - 30$
d) $x^3 - x - 1$
e) $x^2 - x + 2 + \frac{1}{x+1}$ (zvyšok $1$ )
f) $x^2 - 3x + 1$

16.

Rozlož mnohočlen na súčin:

a)
$x^2 - xy - 2x + 2y$
b)
$(x-2)^2 - x^2 y^2$
c)
$a^n + a^{n+1}$
d)
$a^3 - 6a^2 b + 12ab^2 - 8b^3$
e)
$5a^2 - 20x^2$
f)
$9(5x - 4y)^2 - 64x^2$
g)
$2a^2 + a - 1$

Najprv skús vybrať pred zátvorku, potom hľadaj vzorec (

a^2 - b^2

(a-b)^3

). V časti g) nájdi korene trojčlena.

a) $(x-2)(x-y)$
b) $(x - 2 - xy)(x - 2 + xy)$
c) $a^n(1 + a)$
d) $(a - 2b)^3$
e) $5(a - 2x)(a + 2x)$
f) $[3(5x-4y) - 8x]\,[3(5x-4y) + 8x] = (7x - 12y)(23x - 12y)$
g) $2\left(a - \frac{1}{2}\right)(a + 1) = (2a - 1)(a + 1)$

17.

Pre ktoré čísla

a

b

sa výraz

\frac{x}{x^2 - x - 2}

rovná výrazu

\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-2}

Pravú stranu zlož na spoločný menovateľ

(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2

a porovnaj čitatele:

x = a(x-2) + b(x+1)

a = \frac{1}{3}

b = \frac{2}{3}

18.

Zjednoduš výraz:

\displaystyle \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x}

1 - \cos^2 x = \sin^2 x

. Menovateľ je nulový, keď

\sin x = 0

alebo

\cos x = 0

\operatorname{tg} x

;

x \neq k\frac{\pi}{2}

k \in \mathbb{Z}

19.

Zjednoduš výraz:

\displaystyle \left(\frac{1}{\cos x} - \operatorname{tg} x\right)\left(\frac{1}{\cos x} + \operatorname{tg} x\right)

Roznásob podľa

(u - v)(u + v) = u^2 - v^2

a použi

\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

1

;

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

k \in \mathbb{Z}

20.

Urči definičný obor daného výrazu:

a)
$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$
b)
$\log(4x - 1) + \frac{2x}{x - 5}$
c)
$\operatorname{tg} x + \frac{4}{\cos x + 1}$
d)
$\sqrt[4]{\log_{\frac{1}{3}} x}$
e)
$\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$
f)
$\frac{1}{x - 5} + \sqrt{3x + 10 - x^2}$
g)
$\frac{1}{3 - \log_3(x - 3)}$
h)
$\frac{2}{\sin x}$

Zapíš všetky podmienky naraz: menovateľ

\neq 0

, pod párnou odmocninou

\geq 0

, argument logaritmu

> 0

, pri tangense

\cos x \neq 0

. Nerovnice rieš napr. rozkladom na súčin.

a) $\mathrm{D} = (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$
b) $\mathrm{D} = \left(\frac{1}{4}; 5\right) \cup (5; \infty)$
c) $\mathrm{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \pi + 2k\pi\right\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
d) $\mathrm{D} = (0; 1\rangle$
e) $\mathrm{D} = (-\infty; -2\rangle \cup (3; \infty)$
f) $\mathrm{D} = \langle -2; 5)$
g) $\mathrm{D} = (3; 30) \cup (30; \infty)$
h) $\mathrm{D} = \mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$

21.

Vypočítaj:

a)
$\sqrt[5]{\frac{4}{\sqrt[3]{2}}} : \sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt[5]{8}}}$
b)
$\frac{\left(10^{\frac{1}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{2}}\right)^{-3}}{\left(5^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{8}}\right)^{2}} : \frac{\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4}}}{\sqrt[3]{2 \cdot \sqrt[4]{4}}}$
c)
$\left(\sqrt{5} - 3\right)^{-2}$
d)
$\left(\sqrt{5} - \sqrt{7}\right)^{-2}$

V a) a b) prepíš odmocniny na mocniny s racionálnym exponentom so základmi

2

5

, napr.

\sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}}

. V c) a d) umocni na druhú a zlomok usmerni.

a) $\sqrt[5]{2}$
b) $2^{\frac{8}{3}} \cdot 5^{-\frac{3}{2}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{5\sqrt{5}}$
c) $\frac{7 + 3\sqrt{5}}{8}$
d) $\frac{6 + \sqrt{35}}{2}$

22.

Odstráň odmocninu z menovateľa zlomku (usmerni zlomok):

a)
$\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$
b)
$\frac{x^2}{\sqrt[3]{x}}$
c)
$\frac{2 - 2a}{1 - \sqrt{a}}$

V a) rozšír zlomok výrazom

\sqrt{x} - \sqrt{y}

, v c) výrazom

1 + \sqrt{a}

, v b) výrazom

\sqrt[3]{x^2}

a) $\sqrt{x} - \sqrt{y}$
b) $\sqrt[3]{x^5} = x\sqrt[3]{x^2}$
c) $2\left(1 + \sqrt{a}\right)$

23.

Dokáž platnosť identity:

\displaystyle \frac{1 - \cos^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} - \frac{\cos^2 x}{1 + \operatorname{cotg}^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \operatorname{tg}^2 x

Použi

1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

1 + \operatorname{cotg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}

. Prvé dva zlomky sa potom rovnajú

\sin^2 x \cos^2 x

a odčítajú sa na nulu.

Identita platí za podmienky

x \neq k\frac{\pi}{2}

k \in \mathbb{Z}

24.

Kváder so štvorcovou podstavou má povrch

100

^2

. Vyjadri jeho objem pomocou jeho výšky.

Z povrchu

2a^2 + 4av = 100

dostaneš kvadratickú rovnicu

a^2 + 2va - 50 = 0

pre hranu podstavy

a

. Ber jej kladný koreň.

V = a^2 \cdot v = \left(\sqrt{v^2 + 50} - v\right)^2 \cdot v

, kde

v

je výška a

a = \sqrt{v^2 + 50} - v

je hrana podstavy (v cm).

25.

Traktorista oral v katastri farmy A

x

dní po

10

hodín a

y

dní po

9

hodín, v katastri farmy B

z

dní po

8

hodín a

v

dní po

11

hodín. Koľko hodín má ešte odpracovať, keď plán orby je dovedna

m

hodín?

m - 10x - 9y - 8z - 11v

hodín

26.

Maliar maľuje miestnosť

a

metrov dlhú,

b

metrov širokú a

c

metrov vysokú. Akú plochu vymaľoval, keď má miestnosť dvoje dverí s rozmermi

x

metrov a

y

metrov a jeden oblok s rozmermi

r

s

metrov?

Maľujú sa štyri steny a strop, podlaha nie. Od tejto plochy odpočítaj dvoje dvere a oblok.

2ac + 2bc + ab - 2xy - rs

^2

27.

Jedna strana obdĺžnika je

(3m + 2n)

cm, druhá je o

(m - n)

cm väčšia. Aký je obvod obdĺžnika?

o = 14m + 6n

28.

Debnička s cukrom váži

r

kg, prázdna

t

kg. Koľko cukru je v

n

takých debničkách? Ak účtujú

c

€ za

1

kg cukru a

d

€ za dovoz všetkých debničiek, na akú sumu vystavili účet?

n

debničkách je

n(r - t)

kg cukru, účet je na

n(r - t) \cdot c + d

€.

29.

O čo sa zmenší obsah obdĺžnika s rozmermi

a

b

, keď sa zmenšia obidva jeho rozmery o číslo

z

? Čo je potrebné predpokladať o čísle

z

Od pôvodného obsahu

ab

odčítaj nový obsah

(a - z)(b - z)

Obsah sa zmenší o

az + bz - z^2 = z(a + b - z)

, nový obsah je

ab - az - bz + z^2

. Treba predpokladať

0 < z < a

z < b

, aby obe strany ostali kladné.

30.

Na prvé poschodie, ktoré je vo výške

a

metrov, má viesť

n

schodov. O koľko by sa musela zmenšiť výška každého schodu, keby sa počet schodov zvýšil o tri?

Výška schodu je teraz

\frac{a}{n}

, po zmene

\frac{a}{n+3}

. Rozdiel daj na spoločný menovateľ.

\frac{3a}{n(n+3)}

metra

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.