Okruh 30 · Kombinatorika a štatistika

Štatistika

Ako opísať súbor údajov číslami: početnosti, priemer, modus, medián, rozptyl a smerodajná odchýlka.

asi 50 min · 7 častí · 6 úloh

0 z 7 častí · 0 z 6 úloh

V skratke

Relatívna početnosť je $\frac{n_i}{n}$ , v percentách $\frac{n_i}{n} \cdot 100\ \%$ . Súčet všetkých početností je rozsah súboru $n$ .
Aritmetický priemer je $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ , z tabuľky početností $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{r} x_j^* \cdot n_j$ .
Modus je hodnota s najväčšou početnosťou, medián je prostredná hodnota usporiadaného súboru (pri párnom $n$ priemer dvoch prostredných).
Rozptyl je priemer druhých mocnín odchýlok od priemeru: $s_x^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$ .
Smerodajná odchýlka je $s_x = \sqrt{s_x^2}$ a variačný koeficient $v_x = \frac{s_x}{\bar{x}} \cdot 100\ \%$ .
Pri priemere aj rozptyle z tabuľky početností vynásob každú hodnotu jej početnosťou a deľ rozsahom $n$ , nie počtom rôznych hodnôt.

Časť 1prečítaná

Štatistický súbor a znak

Štatistický súbor: Konečná neprázdna množina $M$ objektov štatistického pozorovania, ktoré majú isté spoločné vlastnosti. Prvky tejto množiny sa nazývajú štatistické jednotky (prvky štatistického súboru).
Rozsah súboru: Počet všetkých štatistických jednotiek v súbore. Označuje sa $n$ .
Štatistický znak: Spoločná vlastnosť prvkov štatistického súboru, ktorej premenlivosť skúmame. Označuje sa $x$ . Jednotlivé údaje znaku sa nazývajú hodnoty znaku a označujú sa $x_1, x_2, \dots, x_n$ .

Druhy znakov

Znak	Hodnoty sú vyjadrené	Príklad
kvantitatívny	číslami	výška žiaka, počet súrodencov
kvalitatívny	slovným opisom	farba očí, obľúbený predmet

kvantitatívny

Hodnoty sú vyjadrené: číslami
Príklad: výška žiaka, počet súrodencov

kvalitatívny

Hodnoty sú vyjadrené: slovným opisom
Príklad: farba očí, obľúbený predmet

Štatistický súbor spracúvame pomocou tabuliek, grafov a podobne, zvyčajne s použitím výpočtovej techniky.

Časť 2prečítaná

Početnosti a tabuľka rozdelenia početností

Absolútna početnosť: Absolútna početnosť hodnoty znaku $x_i$ je číslo, ktoré udáva, koľkokrát sa v súbore $M$ vyskytuje hodnota $x_i$ . Označuje sa $n_i$ .
Relatívna početnosť: Relatívna početnosť hodnoty znaku $x_i$ je podiel $\frac{n_i}{n}$ , kde $n_i$ je absolútna početnosť hodnoty $x_i$ a $n$ je rozsah súboru $M$ . Zvyčajne sa udáva v percentách.

Relatívna početnosť v percentách

\displaystyle \frac{n_i}{n} \cdot 100\ \%

Znak $x$ často nadobúda len $r$ rôznych hodnôt ( $r < n$ ), ktoré označíme $x_1^*, x_2^*, \dots, x_r^*$ . Pre každú možnú hodnotu $x_j^*$ zistíme, koľkokrát sa vyskytla medzi hodnotami $x_1, x_2, \dots, x_n$ . Tento počet $n_j$ nazývame početnosť hodnoty $x_j^*$ .

Súčet početností všetkých možných hodnôt

\displaystyle \sum_{j=1}^{r} n_j = n_1 + n_2 + \dots + n_r = n

Preto súčet všetkých relatívnych početností je $1$ , teda $100\ \%$ .

Rozdelenie početností znaku

znak $x$	$x_1^*$	$x_2^*$	$\dots$	$x_r^*$
početnosť	$n_1$	$n_2$	$\dots$	$n_r$

znak $x$	početnosť
$x_1^*$	$n_1$
$x_2^*$	$n_2$
$\dots$	$\dots$
$x_r^*$	$n_r$

početnosť

$x_1^*$: $n_1$
$x_2^*$: $n_2$
$\dots$: $\dots$
$x_r^*$: $n_r$

Takúto tabuľku nazývame rozdelenie početností znaku.

Časť 3prečítaná

Charakteristiky polohy: priemer, modus, medián

Charakteristiky polohy sú čísla, ktoré istým spôsobom vyjadrujú „priemernú hodnotu“ sledovaného znaku.

Aritmetický priemer hodnôt

x_1, x_2, \dots, x_n

kvantitatívneho znaku

x

\displaystyle \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

Aritmetický priemer z tabuľky rozdelenia početností

\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{r} x_j^* \cdot n_j

Každú hodnotu $x_j^*$ musíš vynásobiť jej početnosťou $n_j$ .

Geometrický priemer hodnôt

z_1, z_2, \dots, z_n

znaku

z

\displaystyle \bar{x}_G = \sqrt[n]{z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n}

Počíta sa pre kladné hodnoty. Napríklad pre čísla $2$ a $8$ je $\bar{x}_G = \sqrt{2 \cdot 8} = 4$ .

Modus: Modus znaku $x$ je hodnota znaku s najväčšou početnosťou. Označuje sa $\mathrm{Mod}(x)$ .

Medián: Medián znaku $x$ je prostredná hodnota znaku. Označuje sa $\mathrm{Med}(x)$ . Hodnoty najprv usporiadaj podľa veľkosti: $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq x_{(3)} \leq \dots \leq x_{(n)}$ .

Medián pre nepárne

n

\displaystyle \mathrm{Med}(x) = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}

Medián pre párne

n

\displaystyle \mathrm{Med}(x) = \frac{1}{2}\left(x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n+2}{2}\right)}\right) = \frac{1}{2}\left(x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right)

Pri párnom počte hodnôt je medián priemer dvoch prostredných hodnôt.

Časť 4prečítaná

Charakteristiky variability: rozptyl a smerodajná odchýlka

Každá charakteristika polohy je číslo, okolo ktorého jednotlivé hodnoty znaku kolíšu. Veľkosť tohto kolísania vyjadrujú charakteristiky variability (premenlivosti) znaku. Ako charakteristiku variability volíme obvykle rozptyl.

Rozptyl: Rozptyl je priemer druhých mocnín odchýlok hodnôt od aritmetického priemeru. Označuje sa $s_x^2$ .

Rozptyl

\displaystyle s_x^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar{x}\right)^2

Rozptyl z tabuľky početností

\displaystyle s_x^2 = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{r} \left(x_j^* - \bar{x}\right)^2 \cdot n_j

Ak vo vzorcoch vykonáme naznačené umocnenie, dostaneme skrátený tvar:

Rozptyl, skrátený vzorec

\displaystyle s_x^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2 \qquad \allowbreak \text{resp.} \qquad \allowbreak s_x^2 = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{r} \left(x_j^*\right)^2 \cdot n_j - \bar{x}^2

Smerodajná odchýlka: Smerodajná odchýlka $s_x$ je druhá odmocnina z rozptylu.

Smerodajná odchýlka

\displaystyle s_x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar{x}\right)^2} \qquad \allowbreak \text{resp.} \qquad \allowbreak s_x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{r} \left(x_j^* - \bar{x}\right)^2 \cdot n_j}

Variačný koeficient: Variačný koeficient $v_x$ je podiel smerodajnej odchýlky a aritmetického priemeru. Obvykle ho vyjadrujeme v percentách.

Variačný koeficient

\displaystyle v_x = \frac{s_x}{\bar{x}} \cdot 100\ \%

Časť 5prečítaná

Koeficient korelácie

Koeficient korelácie $r$ opisuje mieru závislosti dvoch znakov $x$ a $y$ . Ak $x_1, x_2, \dots, x_n$ sú hodnoty znaku $x$ a $y_1, y_2, \dots, y_n$ hodnoty znaku $y$ (namerané na tých istých štatistických jednotkách), tak koeficient korelácie znakov $x$ a $y$ je:

Koeficient korelácie

\displaystyle r = \frac{k}{s_x \cdot s_y}

Kde

\displaystyle k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar{x}\right)\left(y_i - \bar{y}\right), \quad \allowbreak s_x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \bar{x}\right)^2}, \quad \allowbreak s_y = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(y_i - \bar{y}\right)^2}

Platí

Koeficient korelácie je bezrozmerné číslo a vždy platí $|r| \leq 1$ .
Čím je $|r|$ bližšie k $1$ , tým je závislosť znakov $x$ a $y$ väčšia.
Pri $r > 0$ s rastúcimi hodnotami $x$ hodnoty $y$ zvyčajne rastú, pri $r < 0$ zvyčajne klesajú.
Pri $r$ blízkom $0$ medzi znakmi takmer nie je lineárna závislosť.

Časť 6prečítaná

Grafické znázornenie

Údaje zo štatistického súboru je výhodné znázorniť aj graficky. Najčastejšie sa používajú tieto diagramy:

Polygón početnosti (spojnicový diagram): body so súradnicami $[x_i; n_i]$ spojíš úsečkami do lomenej čiary.
Histogram (stĺpcový diagram): nad každou hodnotou znaku je stĺpec, ktorého výška zodpovedá početnosti tejto hodnoty.
Výsekový (kruhový) diagram: kruh je rozdelený na výseky podľa relatívnych početností. Hodnote s relatívnou početnosťou $\frac{n_i}{n}$ patrí výsek so stredovým uhlom $\frac{n_i}{n} \cdot 360^\circ$ .

Používajú sa aj ďalšie druhy diagramov.

Časť 7prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Priemer, modus a medián z tabuľky početností

Písomku písalo $20$ žiakov. Známku 1 dostalo $5$ žiakov, známku 2 tiež $5$ žiakov, známku 3 dostalo $6$ žiakov, známku 4 traja žiaci a známku 5 jeden žiak. Urči relatívne početnosti známok, aritmetický priemer, modus a medián.

Rozsah súboru je $n = 5 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20$ . Relatívna početnosť známky je $\frac{n_j}{n}$ , napríklad pre známku 3 je to $\frac{6}{20} = 0{,}3 = 30\ \%$ . Pre známky 1 až 5 vyjde postupne $25\ \%$ , $25\ \%$ , $30\ \%$ , $15\ \%$ a $5\ \%$ , spolu $100\ \%$ .
Aritmetický priemer počítaš z tabuľky, každú známku vynásobíš jej početnosťou:
$\displaystyle \bar{x} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1}{20} = \frac{50}{20} = 2{,}5$
Najväčšiu početnosť ( $6$ ) má známka 3, preto $\mathrm{Mod}(x) = 3$ .
Rozsah $n = 20$ je párny, takže medián je priemer 10. a 11. hodnoty v usporiadanom súbore. Na 1. až 5. mieste sú jednotky, na 6. až 10. mieste dvojky a na 11. až 16. mieste trojky. Teda $x_{(10)} = 2$ a $x_{(11)} = 3$ .
$\displaystyle \mathrm{Med}(x) = \frac{1}{2}\left(x_{(10)} + x_{(11)}\right) = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5$

Výsledok: Relatívne početnosti sú $25\ \%$ , $25\ \%$ , $30\ \%$ , $15\ \%$ a $5\ \%$ ; $\bar{x} = 2{,}5$ , $\mathrm{Mod}(x) = 3$ , $\mathrm{Med}(x) = 2{,}5$ .

Riešený príklad

Rozptyl, smerodajná odchýlka a variačný koeficient

Urči rozptyl, smerodajnú odchýlku a variačný koeficient hodnôt $4, 7, 5, 9, 5$ .

Najprv vypočítaj aritmetický priemer:
$\displaystyle \bar{x} = \frac{4 + 7 + 5 + 9 + 5}{5} = \frac{30}{5} = 6$
Odchýlky hodnôt od priemeru sú $-2$ , $1$ , $-1$ , $3$ , $-1$ . Rozptyl je priemer ich druhých mocnín:
$\displaystyle s_x^2 = \frac{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 3^2 + (-1)^2}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2$
Kontrola skráteným vzorcom: $\frac{16 + 49 + 25 + 81 + 25}{5} - 6^2 = 39{,}2 - 36 = 3{,}2$ .
Smerodajná odchýlka je odmocnina z rozptylu a variačný koeficient jej podiel s priemerom:
$\displaystyle s_x = \sqrt{3{,}2} \doteq 1{,}79, \qquad \allowbreak v_x = \frac{s_x}{\bar{x}} \cdot 100\ \% \doteq \frac{1{,}79}{6} \cdot 100\ \% \doteq 29{,}8\ \%$

Výsledok: $s_x^2 = 3{,}2$ , $s_x \doteq 1{,}79$ , $v_x \doteq 29{,}8\ \%$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 6

Pri desiatich opakovaných meraniach istej fyzikálnej veličiny sme dostali výsledky

x_1 = 2{,}11

x_2 = 2{,}01

x_3 = 2{,}09

x_4 = 2{,}02

x_5 = 2{,}03

x_6 = 2{,}03

x_7 = 2{,}11

x_8 = 2{,}10

x_9 = 2{,}05

x_{10} = 2{,}05

. Vypočítaj priemernú hodnotu merania, smerodajnú odchýlku, rozptyl a variačný koeficient.

Zapíš hodnoty do tabuľky početností (

2{,}03

2{,}05

2{,}11

sa opakujú dvakrát), vypočítaj priemer a potom druhé mocniny odchýlok od neho.

\bar{x} = 2{,}06

s_x \doteq 0{,}0369

s_x^2 = 0{,}00136

v_x \doteq 1{,}79\ \%

Veľkosti hrán piatich kociek sú

6

cm,

8

cm,

9

cm,

10

cm a

11

cm. Urči hodnotu mediánu:

a)
pre hrany týchto kociek,
b)
pre ich povrch,
c)
pre objem týchto kociek.

Povrch kocky s hranou

a

S = 6a^2

a objem

V = a^3

. Obe veličiny rastú s hranou, takže poradie kociek podľa veľkosti sa nezmení a medián patrí vždy prostrednej kocke s hranou

9

cm.

a) $\mathrm{Med}(a) = 9$ cm
b) $\mathrm{Med}(S) = 486$ cm $^2$
c) $\mathrm{Med}(V) = 729$ cm $^3$

Urči koeficient korelácie medzi výškou a hmotnosťou

10

študentov. Výška (v cm) a hmotnosť (v kg) jednotlivých študentov: Milan

162

60

, Jozef

164

65

, Martin

165

68

, Eva

166

66

, Milada

166

68

, Júlia

170

66

, Peter

170

70

, Natália

175

68

, Jana

177

75

, Monika

179

90

Koeficient korelácie nepatrí medzi cieľové požiadavky na maturitu, táto úloha je na precvičenie navyše. Vypočítaj priemery

\bar{x}

\bar{y}

, potom

k

s_x

s_y

a nakoniec

r = \frac{k}{s_x \cdot s_y}

\bar{x} = 169{,}4

cm,

\bar{y} = 69{,}6

kg,

k = 34{,}66

s_x \doteq 5{,}55

s_y \doteq 7{,}70

r \doteq 0{,}81

. Závislosť výšky a hmotnosti je kladná a pomerne silná.

Máme čísla

8, 6, 7, 4, 3, 6, 7, 4, 8, 4

. Urči aritmetický priemer, modus, medián, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

Usporiadaj čísla podľa veľkosti a urči početnosti:

3

raz,

4

trikrát,

6

7

8

po dvakrát.

\bar{x} = 5{,}7

\mathrm{Mod}(x) = 4

\mathrm{Med}(x) = 6

s_x^2 = 3{,}01

s_x \doteq 1{,}735

Zostroj histogram a polygón početnosti zo získaných údajov:

64, 60, 61, 63, 63, 62, 62, 61, 60, 62, 63, 62, 61, 62

. Na vodorovnú os vynes hodnoty

x_i

a na zvislú os

a)
absolútnu početnosť,
b)
relatívnu početnosť.

Najprv spočítaj, koľkokrát sa každá hodnota vyskytuje. Histogram je stĺpcový diagram, polygón početnosti je spojnicový diagram. Pri b) vydeľ početnosti rozsahom

n = 14

a)Hodnotám $60, 61, 62, 63, 64$ patria početnosti $2, 3, 5, 3, 1$ (spolu $n = 14$ ). To sú výšky stĺpcov histogramu a polygón spája body $[60; 2]$ , $[61; 3]$ , $[62; 5]$ , $[63; 3]$ , $[64; 1]$ .
b)Relatívne početnosti hodnôt $60, 61, 62, 63, 64$ sú $\frac{2}{14} \doteq 14{,}3\ \%$ , $\frac{3}{14} \doteq 21{,}4\ \%$ , $\frac{5}{14} \doteq 35{,}7\ \%$ , $\frac{3}{14} \doteq 21{,}4\ \%$ a $\frac{1}{14} \doteq 7{,}1\ \%$ .

V triede je

9

jednotkárov,

10

dvojkárov,

5

trojkárov,

4

štvorkári a

1

päťkár. Urči aritmetický priemer, modus a medián.

V triede je

9 + 10 + 5 + 4 + 1 = 29

žiakov. Rozsah je nepárny, preto je medián 15. hodnota v usporiadanom súbore.

\bar{x} = \frac{65}{29} \doteq 2{,}24

\mathrm{Mod}(x) = 2

\mathrm{Med}(x) = 2

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.