Okruh 3 · Základy matematiky

Teória čísel

Ako zapisujeme čísla a intervaly, čo je deliteľnosť, prvočíslo, NSD a NSN a ako počítať s pomerom a percentami.

asi 100 min · 7 častí · 41 úloh

0 z 7 častí · 0 z 41 úloh

V skratke

Číslo je deliteľné súčinom navzájom nesúdeliteľných čísel práve vtedy, keď je deliteľné každým z nich, napríklad $45 = 5 \cdot 9$ alebo $60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$ .
Deliteľnosť tromi a deviatimi zistíš z ciferného súčtu, deliteľnosť dvomi, piatimi a desiatimi z poslednej cifry, deliteľnosť štyrmi z posledného dvojčíslia.
NSD je súčin spoločných prvočiniteľov v najmenších mocninách, NSN súčin všetkých prvočiniteľov v najväčších mocninách a platí $\mathrm{NSD}(a, b) \cdot \mathrm{NSN}(a, b) = a \cdot b$ .
Párne číslo zapíš ako $2k$ , nepárne ako $2k + 1$ , číslo so zvyškom $z$ po delení číslom $d$ ako $dk + z$ a dvojciferné číslo ako $10x + y$ .
Racionálne číslo má konečný alebo nekonečný periodický desatinný rozvoj, iracionálne číslo (napríklad $\sqrt{2}$ , $\pi$ ) nekonečný neperiodický.
Okrúhla zátvorka a prázdny krúžok znamenajú, že krajný bod do intervalu nepatrí, lomená zátvorka a plný bod, že patrí. Pri $\pm\infty$ je zátvorka vždy okrúhla.
$1\,\%$ je stotina základu, o $p$ % viac znamená $z \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$ . Vždy si ujasni, čo je základ.

Časť 1prečítaná

Čísla a ich zápis v desiatkovej sústave

V tomto okruhu máš vedieť vysvetliť pojmy: $n$ -ciferné číslo, desiatková sústava, dekadický zápis, desatinný rozvoj (konečný, nekonečný a periodický), číslo $\pi$ , nekonečno, číselná os, znázorňovanie čísel, interval (uzavretý, otvorený, ohraničený, neohraničený), komutatívny, asociatívny a distributívny zákon, deliteľ, násobok, deliteľnosť, NSD, NSN, prvočíslo, zložené číslo, súdeliteľné a nesúdeliteľné čísla, zvyšok, prvočíselný rozklad, prvočiniteľ, úmera (priama a nepriama), pomer, percento, promile a základ.

$n$ -ciferné číslo: Číslo, ktoré sa skladá z $n$ cifier. Prvá cifra zľava nemôže byť $0$ , preto sú napríklad trojciferné čísla práve čísla od $100$ po $999$ .
Desiatková (dekadická) sústava: Zapisuje sa desiatimi arabskými číslicami $0$ až $9$ . Je to pozičná sústava: hodnota cifry závisí od miesta, na ktorom v zápise čísla stojí. Naľavo od desatinnej čiarky sú jednotky, desiatky, stovky, tisícky…, napravo desatiny, stotiny, tisíciny… Všetko sú to mocniny čísla $10$ .

Číslo $37$ má tri desiatky a sedem jednotiek, ale číslo $73$ má sedem desiatok a tri jednotky. Tie isté cifry teda na iných miestach dávajú iné číslo.

Dekadický zápis: Zápis čísla v desiatkovej sústave, teda ako súčet násobkov mocnín čísla $10$ . Každý dekadický zápis (bez desatinnej čiarky a znamienka) predstavuje práve jedno číslo a toto číslo je celé a nezáporné.

Príklad rozvinutého zápisu

\displaystyle 451 = 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 = 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 1

Všeobecne pre

(n+1)

-ciferné číslo

\displaystyle \overline{a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0} = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0

Čiara nad ciframi znamená, že ide o zápis čísla ciframi, nie o súčin. Napríklad $\overline{21ab} = 2 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + a \cdot 10 + b$ , kde $a$ , $b$ sú cifry.

Časť 2prečítaná

Desatinný rozvoj, číslo $\pi$ a nekonečno

Desatinný rozvoj: Cifry čísla za desatinnou čiarkou. Racionálne čísla môžeš zapísať nielen v tvare zlomku, ale aj v tvare desatinného čísla.

Druhy desatinného rozvoja

Konečný (ukončený) desatinný rozvoj, napríklad $\frac{15}{60} = 15 : 60 = 0{,}25$ .
Nekonečný periodický desatinný rozvoj: cifry sa od istého miesta stále opakujú a opakujúcu sa časť (periódu) označíš čiarou, napríklad $\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$ . Periodické čísla môžeš zapísať aj v tvare zlomku.
Nekonečný neperiodický desatinný rozvoj: cifry sa nikdy pravidelne neopakujú. Každé číslo s takým rozvojom je iracionálne, napríklad $\sqrt{2}$ alebo $\pi$ .

Riešený príklad

Periodické číslo prevedieš na zlomok

Zapíš číslo $1{,}2\overline{3}$ v tvare zlomku.

Označ $x = 1{,}2333\ldots$ Vynásob ho číslom $10$ , aby za čiarkou ostala len perióda. Potom ho vynásob číslom $100$ , čím sa posunie ešte o jednu periódu (perióda tu má jednu cifru).
$\displaystyle 10x = 12{,}333\ldots \qquad \allowbreak 100x = 123{,}333\ldots$
Po odčítaní sa nekonečné chvosty za čiarkou zrušia.
$\displaystyle 100x - 10x = 123 - 12 \;\Rightarrow\; 90x = 111 \;\Rightarrow\; x = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}$

Výsledok: $1{,}2\overline{3} = \frac{37}{30}$

Číslo $\pi$ (Ludolfovo číslo): $\pi = 3{,}141592654\ldots$ je matematická konštanta definovaná ako pomer obvodu kruhu (dĺžky kružnice) k jeho priemeru. Je iracionálne. Často sa používa jeho približná hodnota $3{,}14$ alebo $\frac{22}{7}$ . Obsahuje ho veľa matematických, fyzikálnych a technických vzťahov, preto patrí k najdôležitejším konštantám. Pomenované je podľa nemecko-holandského matematika Ludolpha van Ceulena.
Nekonečno: To, čo nemá medze: presahuje akékoľvek dané množstvo alebo k takému stavu smeruje. Je to abstraktný pojem, ktorý si v podstate nevieme predstaviť. V matematike sa s ním často narába podobne ako s číslom (napríklad „nekonečný počet“), ale reálne číslo to nie je. Označuje sa $\infty$ .

Časť 3prečítaná

Číselná os a intervaly

Číselná os: Súradnicová sústava na priamke so zvoleným začiatkom (bod $0$ ) a jednotkou dĺžky. Čísla na nej znázorňuješ ako body.

Číselná os s vyznačenými celými číslami od mínus 3 po 3 a s bodmi mínus jedna polovica (medzi mínus 1 a 0), odmocnina z 2 (asi 1,41) a pí (asi 3,14).

Interval: Podmnožina množiny reálnych čísel, ktorá obsahuje všetky čísla ležiace na číselnej osi medzi dvoma určenými bodmi, tzv. hraničnými (krajnými) bodmi intervalu. Číslo $a$ je dolná hranica, číslo $b$ horná hranica intervalu.

Napríklad $(2; 7)$ je množina reálnych čísel medzi $2$ a $7$ bez týchto dvoch čísel. Interval $\langle 2; 7 \rangle$ obsahuje všetky reálne čísla medzi $2$ a $7$ aj čísla $2$ a $7$ .

Otvorený interval

\displaystyle (a; b) = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a < x < b\}

Uzavretý interval

\displaystyle \langle a; b \rangle = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a \le x \le b\}

Polouzavretý (polootvorený) interval, zľava uzavretý

\displaystyle \langle a; b) = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a \le x < b\}

Interval od a po b, ktorý obsahuje a, ale nie b: červená úsečka s plným bodom v a a prázdnym krúžkom v b.

Polouzavretý (polootvorený) interval, sprava uzavretý

\displaystyle (a; b\rangle = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a < x \le b\}

Interval od a po b, ktorý obsahuje b, ale nie a: červená úsečka s prázdnym krúžkom v a a plným bodom v b.

Otvorený, uzavretý aj polouzavretý interval sú ohraničené intervaly, na číselnej osi ich znázorníš úsečkou. Intervaly, ktorých aspoň jeden koniec je nekonečno, sú neohraničené:

Neohraničené intervaly

\displaystyle (a; \infty) = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a < x\}

Interval od a do nekonečna bez bodu a: prázdny krúžok v bode a a červená polpriamka smerom doprava.

\displaystyle \langle a; \infty) = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a \le x\}

Interval od a do nekonečna aj s bodom a: plný bod v a a červená polpriamka smerom doprava.

\displaystyle (-\infty; b) = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x < b\}

Interval od mínus nekonečna po b bez bodu b: červená polpriamka zľava, ktorá končí prázdnym krúžkom v bode b.

\displaystyle (-\infty; b\rangle = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x \le b\}

Interval od mínus nekonečna po b aj s bodom b: červená polpriamka zľava, ktorá končí plným bodom v b.

Obojstranne neohraničený interval

\displaystyle (-\infty; \infty) = \{x \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}

Celá číselná os vyznačená červenou, priamka od mínus nekonečna po nekonečno.

Neohraničený interval s jedným koncom v nekonečne znázorníš polpriamkou, celú množinu $\mathbb{R}$ priamkou.

Vnútorný bod a vnútro intervalu: Každý bod intervalu, ktorý nie je jeho koncovým bodom, je vnútorný bod intervalu. Všetky vnútorné body spolu tvoria vnútro intervalu.

Časť 4prečítaná

Zákony počítania

Zákon	Pre sčítanie	Pre násobenie
Komutatívny (zákon zameniteľnosti)	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Asociatívny (zákon združovania)	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Komutatívny (zákon zameniteľnosti)

Pre sčítanie: $a + b = b + a$
Pre násobenie: $a \cdot b = b \cdot a$

Asociatívny (zákon združovania)

Pre sčítanie: $(a + b) + c = a + (b + c)$
Pre násobenie: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Distributívny zákon (zákon roznásobenia súčtu)

\displaystyle a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Časť 5prečítaná

Deliteľ, násobok, deliteľnosť a zvyšok

Deliteľ: Deliteľom prirodzeného čísla $k$ je každé prirodzené číslo $m$ , ktoré delí číslo $k$ bezo zvyšku. V algebrických výrazoch s delením je deliteľom každý podvýraz, ktorým sa delí: vo výraze $\frac{1}{2 + 3x}$ je deliteľom výraz $2 + 3x$ .
Násobok: Prirodzené číslo $m$ je násobkom prirodzeného čísla $k$ , ak je číslom $k$ deliteľné, teda $m = n \cdot k$ pre nejaké prirodzené číslo $n$ .
Deliteľnosť: Patrí k základným pojmom aritmetiky celých čísel. Číslo $a$ je deliteľné číslom $b$ , ak existuje celé číslo $k$ také, že $a = k \cdot b$ . Zapisuješ $b \mid a$ a čítaš „ $b$ delí $a$ “.
Zvyšok: Pri delení čísla $a$ prirodzeným číslom $b$ platí $a = k \cdot b + x$ , kde $k$ je celé číslo a zvyšok $x$ je menší ako $b$ , teda $0 \le x < b$ . Napríklad $47 = 6 \cdot 7 + 5$ , takže $47$ dáva po delení siedmimi zvyšok $5$ .

Znaky deliteľnosti: číslo je deliteľné

dvomi, ak má na mieste jednotiek párnu cifru ( $0, 2, 4, 6, 8$ ),
tromi, ak je jeho ciferný súčet deliteľný tromi,
štyrmi, ak je dvojčíslie z jeho posledných dvoch cifier deliteľné štyrmi,
piatimi, ak končí cifrou $0$ alebo $5$ ,
šiestimi, ak je deliteľné dvomi aj tromi,
ôsmimi, ak je trojčíslie z jeho posledných troch cifier deliteľné ôsmimi,
deviatimi, ak je jeho ciferný súčet deliteľný deviatimi,
desiatimi, ak končí cifrou $0$ .

Užitočné zápisy (

k

n

sú celé čísla)

párne číslo: $2k$ , nepárne číslo: $2k - 1$ alebo $2k + 1$ ,
tri po sebe idúce čísla: $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ ,
číslo, ktoré dáva po delení číslom $d$ zvyšok $z$ : $d \cdot k + z$ ,
dvojciferné číslo s cifrou desiatok $x$ a cifrou jednotiek $y$ : $10x + y$ .

Riešený príklad

Neznáme cifry a deliteľnosť

Doplň cifry $a$ , $b$ tak, aby číslo $\overline{37a4b}$ bolo deliteľné číslom $36$ .

Platí $36 = 4 \cdot 9$ a čísla $4$ a $9$ sú nesúdeliteľné. Číslo teda musí byť deliteľné štyrmi aj deviatimi.
Deliteľnosť štyrmi: dvojčíslie $\overline{4b}$ musí byť deliteľné štyrmi, to je $40$ , $44$ alebo $48$ . Preto $b \in \{0; 4; 8\}$ .
Deliteľnosť deviatimi: ciferný súčet $3 + 7 + a + 4 + b = 14 + a + b$ musí byť deliteľný deviatimi. Keďže $0 \le a + b \le 18$ , musí byť $a + b = 4$ alebo $a + b = 13$ .
Pre $b = 0$ vychádza $a = 4$ . Pre $b = 4$ vychádza $a = 0$ alebo $a = 9$ . Pre $b = 8$ vychádza $a = 5$ .

Výsledok: $37044$ , $37440$ , $37548$ a $37944$

Časť 6prečítaná

Prvočísla, NSD a NSN

Prvočíslo: Prirodzené číslo, ktorého jedinými deliteľmi sú $1$ a ono samo, teda má práve dva delitele. Napríklad $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$
Zložené číslo: Prirodzené číslo väčšie ako $1$ , ktoré nie je prvočíslom. Dá sa zapísať v tvare $n = a \cdot b$ , kde $a$ , $b$ sú prirodzené čísla rôzne od $1$ .

Prvočíselný rozklad a prvočiniteľ: Prvočíselný rozklad je vyjadrenie prirodzeného čísla ako súčinu prvočísel, napríklad $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ . Prvočísla v rozklade sú prvočinitele čísla. Každé zložené číslo sa dá napísať ako súčin prvočiniteľov a tento zápis je pre každé číslo jediný (až na poradie činiteľov).
Najväčší spoločný deliteľ (NSD): Najväčší spoločný deliteľ dvoch prirodzených čísel $m$ a $n$ je najväčšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľom oboch čísel $m$ aj $n$ . Zapisuješ $\mathrm{NSD}(m, n)$ .
Najmenší spoločný násobok (NSN): Najmenší spoločný násobok dvoch prirodzených čísel $m$ a $n$ je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami $m$ aj $n$ . Zapisuješ $\mathrm{NSN}(m, n)$ .

V učebniciach sa stretneš aj so zápisom $D(m, n)$ pre najväčší spoločný deliteľ a $n(m, n)$ pre najmenší spoločný násobok.

Súdeliteľné a nesúdeliteľné čísla: Čísla sú súdeliteľné, ak majú aspoň jedného spoločného deliteľa väčšieho ako $1$ , napríklad $12$ a $18$ . Sú nesúdeliteľné, ak je ich najväčší spoločný deliteľ $1$ , napríklad $8$ a $15$ .

Ako vypočítať NSD a NSN

Rozlož obe čísla na súčin prvočísel.
NSD je súčin prvočiniteľov, ktoré sú v oboch rozkladoch, každý v najmenšej mocnine, v ktorej sa v rozkladoch vyskytuje.
NSN je súčin všetkých prvočiniteľov z oboch rozkladov, každý v najväčšej mocnine, v ktorej sa v rozkladoch vyskytuje.

Súvis NSD a NSN

\displaystyle \mathrm{NSD}(a, b) \cdot \mathrm{NSN}(a, b) = a \cdot b

Platí pre každé dve prirodzené čísla $a$ , $b$ .

Riešený príklad

NSD a NSN cez prvočíselný rozklad

Urči $\mathrm{NSD}(84, 120)$ a $\mathrm{NSN}(84, 120)$ .

$\displaystyle 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \qquad \allowbreak 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
Spoločné prvočinitele sú $2$ a $3$ . Pre NSD vezmi ich najmenšie mocniny, pre NSN všetky prvočinitele v najväčších mocninách.
$\displaystyle \mathrm{NSD}(84, 120) = 2^2 \cdot 3 = 12 \qquad \allowbreak \mathrm{NSN}(84, 120) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$
Kontrola: $12 \cdot 840 = 10080 = 84 \cdot 120$ .

Výsledok: $\mathrm{NSD}(84, 120) = 12$ , $\mathrm{NSN}(84, 120) = 840$

Časť 7prečítaná

Úmernosť, pomer a percentá

Priama úmernosť (priama úmera): Funkcia s predpisom $y = k \cdot x$ , kde $k \neq 0$ . Je to lineárna funkcia, jej grafom je priamka (prechádza začiatkom súradnicovej sústavy) a číslo $k$ je smernica priamky. Ak $x$ vynásobíš číslom $c$ , aj $y$ sa vynásobí číslom $c$ .
Nepriama úmernosť (nepriama úmera): Funkcia s predpisom $y = \frac{k}{x}$ , kde $k \neq 0$ . Je to špeciálny prípad lineárnej lomenej funkcie a jej grafom je hyperbola. Ak $x$ vynásobíš číslom $c \neq 0$ , $y$ sa číslom $c$ vydelí.
Pomer: Pomer $a : b$ (čítaj „ $a$ ku $b$ “) porovnáva dve hodnoty, jeho hodnota je podiel $\frac{a}{b}$ . Rozdeliť celok v pomere $2 : 3$ znamená rozdeliť ho na $2 + 3 = 5$ rovnakých dielov: prvá časť dostane $2$ diely, teda $\frac{2}{5}$ celku, a druhá $3$ diely, teda $\frac{3}{5}$ celku.
Percento: Jedna stotina z celku: $1\,\% = \frac{1}{100}$ celku.
Promile: Jedna tisícina z celku, značí sa ‰. Teda $1$ promile je $\frac{1}{1000}$ celku.
Základ: Celok, z ktorého počítaš percentá. Základ je vždy $100\,\%$ .

Percentová časť

\displaystyle c = z \cdot \frac{p}{100}

$z$ je základ, $p$ počet percent a $c$ časť, ktorá zodpovedá $p$ percentám.

Zväčšenie a zmenšenie o

p

percent

\displaystyle \text{o } p\,\% \text{ viac: } z \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \qquad \allowbreak \text{o } p\,\% \text{ menej: } z \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 41

Zisti poslednú cifru čísla

9^{999} + 1

Pozri sa, akou cifrou končia mocniny

9^1, 9^2, 9^3, \dots

Pravidelne sa striedajú.

0

Zapíš rozvinutý zápis čísel v desiatkovej sústave:

a)
$28$
b)
$2001$
c)
$3245$

a) $28 = 2 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0$
b) $2001 = 2 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^0$
c) $3245 = 3 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

Doplň namiesto písmen

A

B

cifry tak, aby číslo

n = \overline{251A8473B}

bolo deliteľné číslom

45

45 = 5 \cdot 9

: použi znak deliteľnosti piatimi pre cifru

B

a znak deliteľnosti deviatimi pre ciferný súčet.

A = 6

B = 0

alebo

A = 1

B = 5

, teda

n = 251684730

alebo

n = 251184735

Zapíš:

a)
$n$ je prirodzené číslo, ktoré pri delení číslom $7$ dáva zvyšok $5$ .
b)
$n$ je súčet troch po sebe idúcich nepárnych prirodzených čísel.

a) $n = 7p + 5$ , kde $p$ je celé nezáporné číslo
b) $n = (2k - 1) + (2k + 1) + (2k + 3) = 6k + 3$ , kde $k \in \mathbb{N}$

Dokáž, že štvorec nepárneho čísla dáva po delení číslom

8

zvyšok

1

Nepárne číslo zapíš ako

2k + 1

. Potom

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1

. Čísla

k

k + 1

idú po sebe, jedno z nich je párne, preto

2 \mid k(k + 1)

8 \mid 4k(k + 1)

. Zvyšok je teda

1

Obdĺžnikový záhon dlhý

3960

cm a široký

825

cm treba rozdeliť na niekoľko rovnakých štvorcových sektorov, na ktorých budú testovať rôzne druhy semien. Na aký najmenší počet štvorcových sektorov možno tento záhon rozdeliť?

Najmenší počet sektorov dostaneš pri čo najväčšom štvorci. Jeho strana je

\mathrm{NSD}(3960, 825)

120

sektorov (štvorce so stranou

165

cm,

24 \cdot 5 = 120

)

Na istom ostrove v Tichomorí vystrekne gejzír pravidelne každých

18

dní a zo sopky vystúpi oblak dymu pravidelne každých

40

dní. Koľkokrát v priebehu

9000

dní nastane situácia, že oba tieto prírodné úkazy možno po ich prvom spoločnom zhliadnutí opäť pozorovať v jeden a ten istý deň?

Oba úkazy sa stretnú vždy po

\mathrm{NSN}(18, 40)

dňoch.

Opäť

25

-krát (stretnú sa každých

\mathrm{NSN}(18, 40) = 360

dní a

9000 : 360 = 25

Nech

n

je najmenší spoločný násobok čísel

a

b

D

je ich najväčší spoločný deliteľ. Ak pre tieto dve prirodzené čísla

a

b

platí

D = 4

n = 144

, urči súčin čísel

a

b

Použi vzťah

\mathrm{NSD}(a, b) \cdot \mathrm{NSN}(a, b) = a \cdot b

a \cdot b = 576

Urči všetky trojciferné čísla, ktoré sú deliteľné číslom

6

a na mieste desiatok majú cifru o

4

menšiu ako na mieste jednotiek.

Cifra jednotiek musí byť párna a aspoň

4

, teda dvojica (desiatky, jednotky) je

0

4

2

6

alebo

4

8

. Cifru stoviek potom vyber tak, aby bol ciferný súčet deliteľný tromi.

126

204

348

426

504

648

726

804

948

10.

Doplň číslo

n = \overline{21ab}

ciframi

a

b

tak, aby štvorciferné číslo

n

bolo deliteľné číslom

15

15 = 3 \cdot 5

, preto

b \in \{0; 5\}

a ciferný súčet

3 + a + b

musí byť deliteľný tromi.

2100

2115

2130

2145

2160

2175

2190

11.

Koľko je prirodzených čísel väčších ako

40

a menších ako

80

, ktoré pri delení deviatimi dávajú zvyšok

5

a zároveň pri delení štyrmi dávajú zvyšok

1

Vypíš čísla tvaru

9k + 5

medzi

40

80

a vyber tie, ktoré dávajú po delení štyrmi zvyšok

1

2

čísla:

41

77

12.

Aký ciferný súčet má číslo

10^{2001} - 2001

Skús najprv menšie číslo, napríklad

10^6 - 2001 = 997999

, a všimni si, koľko deviatok a ktoré cifry v zápise sú.

18007

13.

Rozlož na súčin prvočísel číslo

2^{36} - 1

Použi

A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)

, teda

2^{36} - 1 = (2^{18} - 1)(2^{18} + 1)

, a potom vzorce

A^3 \mp B^3 = (A \mp B)(A^2 \pm AB + B^2)

pre

A = 2^6

B = 1

. Dostaneš

7 \cdot 9 \cdot 4161 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 4033

a tieto čísla ešte rozlož.

2^{36} - 1 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 109

14.

Obsah obdĺžnika je

S = 196

^2

. Aké veľké môžu byť jeho rozmery, ak sú vyjadrené celými číslami? Zisti všetky možnosti rozmerov obdĺžnika a vyber z nich rozmery toho, ktorý má najmenší obvod.

Rozmery

a

b

sú dvojice deliteľov čísla

196 = 2^2 \cdot 7^2

, pre ktoré

a \cdot b = 196

Rozmery v cm

[a; b]

[1; 196]

[2; 98]

[4; 49]

[7; 28]

[14; 14]

. Najmenší obvod

56

cm má štvorec

[14; 14]

. Ak štvorec nepočítaš (strany rôzne), najmenší obvod

70

cm má obdĺžnik

[7; 28]

15.

Predné koleso voza má obvod

25

dm a zadné koleso má obvod

3{,}2

m. Na akej dráhe spravia obe kolesá prvýkrát celý počet otáčok?

Preveď obvody na rovnakú jednotku (

25

dm a

32

dm) a hľadaj ich najmenší spoločný násobok.

Na dráhe

80

m (predné koleso sa otočí

32

-krát, zadné

25

-krát).

16.

Urči všetky dvojice prirodzených čísel

x

y

, pre ktoré platí:

a)
$2x + 3y = 25$
b)
$x^2 - y^2 = 15$

V časti a) musí byť

25 - 3y

párne a kladné, teda

y

je nepárne. V časti b) rozlož

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

a zisti, ako sa dá

15

zapísať ako súčin dvoch prirodzených čísel.

a) $[x; y]$ : $[11; 1]$ , $[8; 3]$ , $[5; 5]$ , $[2; 7]$
b) $[x; y]$ : $[4; 1]$ , $[8; 7]$

17.

n

je nepárne prirodzené číslo, potom zlomok

\frac{3^n + 1}{7^n + 1}

môžeme krátiť štyrmi. Dokáž to.

Zapíš

3^n = (4 - 1)^n

7^n = (8 - 1)^n

a roznásob podľa binomickej vety. Všetky členy rozvoja okrem posledného sú v čitateli deliteľné štyrmi a v menovateli ôsmimi. Posledný člen je pri nepárnom

n

rovný

(-1)^n = -1

a spolu s

+1

dá

0

. Čitateľ aj menovateľ sú teda deliteľné štyrmi.

18.

Prevodovka obsahuje za sebou tri ozubené kolesá, ktoré sú spojené reťazou s otvormi pre jednotlivé zuby. Kolesá majú postupne

15

105

819

zubov. Po koľkých otáčkach prostredného kolesa budú všetky tri kolesá v rovnakej vzájomnej polohe ako na začiatku pohybu?

Reťaz sa musí posunúť o počet zubov, ktorý je spoločným násobkom

15

105

819

. Vypočítaj NSN a vydeľ ho počtom zubov prostredného kolesa.

39

otáčkach (

\mathrm{NSN}(15, 105, 819) = 4095

4095 : 105 = 39

19.

Pre každé prirodzené číslo

n

je číslo

2n - 1

nepárne a číslo

2n

párne.

a)
Ukáž, že súčet ľubovoľného nepárneho a po ňom nasledujúceho párneho čísla zväčšený o $1$ je deliteľný štyrmi.
b)
Rozhodni, či je súčet druhých mocnín ľubovoľného párneho a po ňom nasledujúceho nepárneho čísla zmenšený o $1$ deliteľný štyrmi.

V časti a) sčítaj

(2n - 1) + 2n + 1 = 4n

, to je násobok štyroch. V časti b) je párne číslo

2n

a po ňom nasledujúce nepárne

2n + 1

, súčet ich druhých mocnín zmenšený o

1

uprav a vyber pred zátvorku

4

b)Áno: $(2n)^2 + (2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 8n^2 + 4n = 4(2n^2 + n)$ .

20.

Najmenšie prirodzené číslo

m

, pre ktoré sa hodnota výrazu nižšie rovná celému číslu, je: a)

m = 5

, b)

m = 12

, c)

m = 15

, d)

m = 20

, e)

m = 60

\displaystyle m \cdot \left(-\frac{3}{5} + \frac{5}{12} - \frac{1}{15} + \frac{7}{20} - \frac{1}{60}\right)

Výraz v zátvorke uprav na spoločného menovateľa

60

m = 12

, lebo výraz v zátvorke sa rovná

\frac{5}{60} = \frac{1}{12}

21.

Predpokladaj, že

a

je číslica desiatkovej sústavy. Číslo

\overline{2a31a}

je deliteľné tromi práve vtedy, keď

a

je: a)

3 \lor 9

, b)

3

, c)

2 \lor 5 \lor 8

, d) z množiny

\{0; 3; 6; 9\}

, e) z množiny

\{3; 6; 9\}

Ciferný súčet je

2 + a + 3 + 1 + a = 6 + 2a

. Zisti, kedy je deliteľný tromi, a nezabudni na

a = 0

d), teda

a \in \{0; 3; 6; 9\}

22.

Ukáž, že platí:

a)
Ak $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ sú ľubovoľné tri po sebe idúce prirodzené čísla, ich súčet je deliteľný tromi.
b)
Súčet každých piatich po sebe idúcich prirodzených čísel je deliteľný piatimi.
c)
Súčet žiadnych štyroch po sebe idúcich prirodzených čísel nie je deliteľný štyrmi.

Čísla zapíš ako

n

n + 1

n + 2

, … a sčítaj ich. V časti a) dostaneš

3(n + 1)

, v časti b)

5(n + 2)

, v časti c)

4n + 6 = 4(n + 1) + 2

, teda po delení štyrmi zostane vždy zvyšok

2

23.

Ak vsunieš medzi cifry dvojciferného čísla v desiatkovej sústave cifru

7

, dostaneš jeho jedenásťnásobok. Ak pred neho postavíš cifru

1

, dostaneš jeho päťnásobok. Ktoré je to číslo?

Číslo zapíš ako

10x + y

. Vsunutím cifry

7

vznikne

100x + 70 + y

, pripísaním

1

na začiatok

100 + 10x + y

. Stačí aj druhá podmienka, prvú použi na kontrolu.

25

24.

Zapíš pomocou premenných, čísel a rovností:

a)
Peter má o $x$ % viac … ako Jano.
b)
Adam a Boris si rozdelili peniaze v pomere $2 : 3$ .

a) $P = J + \frac{x}{100} \cdot J$ , teda $P = J \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$
b) $A : B = 2 : 3$ , teda pri celkovej sume $P$ je $A = \frac{2}{5}P$ a $B = \frac{3}{5}P$ .

25.

Zapíš pomocou premenných, čísel, rovností a nerovností:

a)
Polovica $A$ má dĺžku najviac $4$ .
b)
Obdĺžnik so stranami $a$ , $b$ má polomer opísanej kružnice $4$ .

Dĺžka čísla na číselnej osi je jeho vzdialenosť od nuly, teda absolútna hodnota. Polomer kružnice opísanej obdĺžniku je polovica jeho uhlopriečky.

a) $\left|\frac{A}{2}\right| \le 4$
b) $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = 4$

26.

Jano riešil úlohu: „Súčet

A + B

je o

80

% väčší ako rozdiel

A - B

. O koľko % je číslo

A

väčšie ako číslo

B

?“ Janovi vyšiel správny vzťah

A = 3{,}5B

. Urči vzťah medzi

A

B

pomocou percent.

A = 3{,}5B

znamená, že

A

350

% z

B

. Koľko percent je to navyše oproti

B

A

je o

250

% väčšie ako

B

27.

Usporiadaj racionálne čísla od najmenšieho po najväčšie:

\frac{7}{16}

\frac{14}{37}

\frac{3}{8}

\frac{5}{12}

Preveď zlomky na desatinné čísla alebo ich porovnávaj po dvojiciach krížovým násobením.

\frac{3}{8} < \frac{14}{37} < \frac{5}{12} < \frac{7}{16}

28.

Zapíš dané číslo v tvare zlomku:

a)
$3{,}5\overline{7}$
b)
$0{,}\overline{72}$

Postupuj ako v riešenom príklade: číslo označ

x

, vynásob vhodnými mocninami

10

a odčítaj.

a) $\frac{161}{45}$
b) $\frac{8}{11}$

29.

Znázorni na číselnej osi reálne číslo:

a)
$r = \frac{5}{3} + 2\sqrt{3}$
b)
$r = \sqrt{7} - \frac{3}{7}$

Odmocninu zostroj pomocou pravouhlého trojuholníka a Pytagorovej vety:

\sqrt{3}

je odvesna trojuholníka s preponou

2

a odvesnou

1

\sqrt{7}

je odvesna trojuholníka s preponou

4

a odvesnou

3

. Zlomky

\frac{5}{3}

\frac{3}{7}

dostaneš rozdelením jednotky na tretiny a siedminy.

a) $r \doteq 5{,}13$ , bod leží medzi $5$ a $6$ , blízko čísla $5$ .
b) $r \doteq 2{,}22$ , bod leží medzi $2$ a $3$ .

30.

Dané číslo vyjadri čo najmenším počtom odmocnín:

a)
$\left(\sqrt{5 - \sqrt{3}} + \sqrt{5 + \sqrt{3}}\right)^2$
b)
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{294} + \sqrt{245}}$

V časti a) umocni podľa vzorca

(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2

a použi

(5 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3}) = 22

. V časti b) čiastočne odmocni:

\sqrt{294} = 7\sqrt{6}

\sqrt{245} = 7\sqrt{5}

a) $10 + 2\sqrt{22}$
b) $\frac{1}{7}$

31.

Vyznač na číselnej osi množiny všetkých reálnych čísel, pre ktoré platí:

a)
$|x - 2| \le \sqrt{3}$
b)
$|x + 3| > 7$

|x - a|

je vzdialenosť bodu

x

od bodu

a

na číselnej osi. V časti b) je

|x + 3| = |x - (-3)|

a) $x \in \langle 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3} \rangle$
b) $x \in (-\infty; -10) \cup (4; \infty)$

32.

Pavol si zapísal na papier šesťciferné telefónne číslo. Zistil, že je deliteľné bez zvyšku číslami

3

4

5

. Po týždni telefónne číslo potreboval, ale nevedel po sebe prečítať posledné dve cifry. Nájdi nečitateľné dvojciferné číslo

\overline{AB}

zo zapísaného telefónneho čísla

714\,5AB

Deliteľnosť piatimi a štyrmi:

B = 0

\overline{A0}

je deliteľné štyrmi. Potom vyber

A

tak, aby bol ciferný súčet deliteľný tromi.

\overline{AB} = 40

, telefónne číslo je

714\,540

33.

Na ktorom mieste sa umiestnil Peter v pretekoch v behu na

5000

metrov, ak devätina všetkých súťažiacich dobehla do cieľa pred Petrom a päť šestín všetkých súťažiacich za Petrom?

Ak je súťažiacich

x

, platí

\frac{x}{9} + 1 + \frac{5x}{6} = x

Peter skončil na 3. mieste (súťažiacich bolo

18

, pred ním dobehli

2

34.

Jana chcela zistiť súčet prvých päťdesiatich celých kladných čísel. Pri sčítaní jedno číslo náhodou vynechala. Dostala súčet deliteľný číslom

60

. Urči číslo, ktoré Jana pri sčítaní vynechala.

Súčet

1 + 2 + \dots + 50 = \frac{50 \cdot 51}{2} = 1275

. Hľadáš číslo od

1

50

, po ktorého odčítaní dostaneš násobok

60

15

35.

Urči dvojciferné prirodzené číslo deliteľné deviatimi, ktoré je štyrikrát väčšie ako súčet jeho cifier.

Dvojciferné číslo deliteľné deviatimi má ciferný súčet

9

alebo

18

36

36.

Na výlet autobusom išiel párny počet žiakov. Všetci sa zmestili do

30

-miestneho autobusu. Koľko žiakov sa zúčastnilo výletu, ak dievčat bolo

10

-krát viac ako chlapcov?

Ak je chlapcov

c

, žiakov je

c + 10c = 11c

. Toto číslo má byť párne a najviac

30

22

žiakov (

20

dievčat a

2

chlapci)

37.

Číslo

2010

môžeš zapísať ako súčet troch po sebe idúcich prirodzených čísel. Urči aritmetický priemer týchto čísel.

Čísla zapíš ako

n - 1

n

n + 1

. Ich súčet je

3n

670

(lebo

2010 = 669 + 670 + 671

)

38.

Existujú tri prirodzené čísla

n

rôzne od čísla

1

, pre ktoré platí: ak číslom

n

vydelíš čísla

37

47

, dostaneš rovnaký zvyšok. Pri každom z hľadaných čísel

n

môže byť zvyšok iný. Urči súčet týchto troch čísel.

Ak dávajú

37

47

po delení číslom

n

rovnaký zvyšok, číslo

n

delí ich rozdiel

47 - 37 = 10

Sú to čísla

2

5

10

, ich súčet je

17

39.

Obchodník predával digitálny fotoaparát za

360

eur. Tridsať percent z tejto ceny bol jeho zisk. Po čase klesol záujem o tento fotoaparát, a preto obchodník znížil jeho predajnú cenu o

10

%. Koľko percent z novej ceny teraz tvorí obchodníkov zisk? Výsledok uveď s presnosťou na dve desatinné miesta.

Zisk bol

108

eur, takže nákupná cena je

252

eur. Nová cena je

324

eur. Koľko percent z nej je nový zisk?

22{,}22

% (zisk

72

eur z novej ceny

324

eur)

40.

Súčet dvoch rôznych prirodzených čísel je

180

, ich najväčší spoločný deliteľ je

45

. Urči väčšie z týchto čísel.

Čísla zapíš ako

45p

45q

, kde

p

q

sú nesúdeliteľné a

p + q = 4

135

(čísla sú

45

135

)

41.

Urči počet prirodzených čísel patriacich do intervalu

(15; 100)

, ktoré pri delení siedmimi dávajú zvyšok tri.

Hľadáš čísla tvaru

7k + 3

, ktoré sú väčšie ako

15

a menšie ako

100

12

(čísla

17, 24, 31, \dots, 94

)

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.