Okruh 29 · Kombinatorika a štatistika

Pravdepodobnosť

Ako vypočítať, s akou šancou nastane náhodný jav, a ako počítať so zjednotením, prienikom a opakovanými pokusmi.

asi 70 min · 7 častí · 14 úloh

0 z 7 častí · 0 z 14 úloh

V skratke

Pri $m$ rovnako pravdepodobných výsledkoch je $P(A) = \frac{m(A)}{m}$ : počet priaznivých výsledkov delený počtom všetkých.
Vždy platí $0 \le P(A) \le 1$ , $P(\emptyset) = 0$ , $P(\Omega) = 1$ a pre opačný jav $P(A') = 1 - P(A)$ .
Ak sa javy vylučujú ( $A \cap B = \emptyset$ ), je $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Javy sú nezávislé, ak $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .
Podmienená pravdepodobnosť: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ pre $P(B) \neq 0$ .
Bernoulliho veta: jav s pravdepodobnosťou $p$ nastane v $n$ nezávislých pokusoch práve $k$ -krát s pravdepodobnosťou $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ .
Pri „aspoň jeden“ počítaj cez opačný jav: $1 - P(\text{ani jeden})$ .

Časť 1prečítaná

Náhodný pokus a jeho výsledky

Teória pravdepodobnosti: Teória pravdepodobnosti sa zaoberá matematickými zákonitosťami, ktoré sa prejavujú v náhodných pokusoch. Tieto zákonitosti majú opodstatnenie len pri dostatočne veľkom počte pokusov.
Náhodný pokus: Pokus, ktorý pri dodržaní predpísaných podmienok vedie k rôznym výsledkom. Výsledok nezávisí len od predpísaných podmienok, ale aj od náhody. Príkladom je žrebovanie lotérie, hod mincou alebo hod kockou.
Množina možných výsledkov: Pri každom náhodnom pokuse vieš vopred vymenovať všetky jeho možné výsledky. Navzájom sa vylučujú a jeden z nich nastane vždy. Množinu všetkých možných výsledkov označujeme $\Omega$ , jej ľubovoľný prvok $\omega$ .

Napríklad pri hode kockou je $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ a pri hode mincou $\Omega = \{l, r\}$ (líce, rub).

Časť 2prečítaná

Javy a operácie s nimi

Jav: Jav je podmnožina množiny možných výsledkov $\Omega$ . Javy označujeme veľkými písmenami $A, B, C, \dots$ Prázdna množina $\emptyset$ je nemožný jav, celá množina $\Omega$ je istý jav.

O javoch platí všetko, čo platí o množinách:

Zápis	Názov	Význam
$\omega \in A$	výsledok $\omega$ je priaznivý javu $A$	výsledok $\omega$ patrí do javu $A$
$A \subset B$	jav $A$ je podjavom javu $B$	keď nastane $A$ , nastane aj $B$
$A \cup B$	zjednotenie javov $A$ a $B$	nastane aspoň jeden z javov $A$ , $B$
$A \cap B$	prienik javov $A$ a $B$	nastanú oba javy $A$ aj $B$
$A \cap B = \emptyset$	javy $A$ a $B$ sa navzájom vylučujú	nemôžu nastať naraz
$A'$	jav opačný k javu $A$	nastane práve vtedy, keď jav $A$ nenastane

\omega \in A

Názov: výsledok $\omega$ je priaznivý javu $A$
Význam: výsledok $\omega$ patrí do javu $A$

A \subset B

Názov: jav $A$ je podjavom javu $B$
Význam: keď nastane $A$ , nastane aj $B$

A \cup B

Názov: zjednotenie javov $A$ a $B$
Význam: nastane aspoň jeden z javov $A$ , $B$

A \cap B

Názov: prienik javov $A$ a $B$
Význam: nastanú oba javy $A$ aj $B$

A \cap B = \emptyset

Názov: javy $A$ a $B$ sa navzájom vylučujú
Význam: nemôžu nastať naraz

A'

Názov: jav opačný k javu $A$
Význam: nastane práve vtedy, keď jav $A$ nenastane

Príklad pri hode kockou: $A = \{2, 4, 6\}$ (padne párne číslo) a $B = \{1, 2\}$ (padne číslo menšie ako $3$ ). Potom $A \cup B = \{1, 2, 4, 6\}$ , $A \cap B = \{2\}$ a $A' = \{1, 3, 5\}$ .

Časť 3prečítaná

Pravdepodobnosť javu

Pravdepodobnosť javu $A$ označujeme $P(A)$ . Je to súčet pravdepodobností všetkých výsledkov, ktoré sú javu $A$ priaznivé:

\displaystyle P(A) = \sum_{\omega \in A} p(\omega)

Tu $p(\omega)$ je pravdepodobnosť jedného výsledku $\omega$ .

Klasická pravdepodobnosť

\displaystyle P(A) = \frac{m(A)}{m}

Platí, keď má pokus $m$ rovnako pravdepodobných výsledkov. Číslo $m(A)$ je počet výsledkov priaznivých javu $A$ .

Z definície vyplýva

Pravdepodobnosť nemožného javu sa rovná $0$ , teda $P(\emptyset) = 0$ .
Pravdepodobnosť istého javu sa rovná $1$ , teda $P(\Omega) = 1$ .
Pre pravdepodobnosť ľubovoľného javu $A$ platí $0 \le P(A) \le 1$ .

Pravdepodobnosť opačného javu

\displaystyle P(A') = 1 - P(A)

Časť 4prečítaná

Sčítanie pravdepodobností

Ak sa javy $A$ a $B$ navzájom vylučujú, pravdepodobnosť ich zjednotenia je súčtom ich pravdepodobností:

\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) \qquad \allowbreak \text{pre } A \cap B = \emptyset

To isté platí pre viac javov. Ak sú $A_1, A_2, \dots, A_r$ navzájom sa vylučujúce javy, teda $A_i \cap A_j = \emptyset$ pre každé $i \neq j$ , tak

\displaystyle P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_r) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_r)

Pre ľubovoľné javy

A

B

\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Napríklad pri hode kockou je $A$ : „párne číslo“, $B$ : „číslo menšie ako $3$ “, $A \cap B = \{2\}$ , preto $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Časť 5prečítaná

Nezávislé javy a podmienená pravdepodobnosť

Nezávislé javy: Dva javy sú nezávislé, ak to, či nastane jeden z nich, nemá vplyv na to, či nastane alebo nenastane druhý. Javy $A$ a $B$ sú nezávislé, ak platí

\displaystyle P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Podmienená pravdepodobnosť: Pravdepodobnosť javu $A$ za predpokladu, že jav $B$ už nastal, označujeme $P(A \mid B)$ a počítame ju takto:

\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad \allowbreak P(B) \neq 0

Keď vzorec pre podmienenú pravdepodobnosť vynásobíš menovateľom, dostaneš pravdepodobnosť, že nastanú oba javy. Platí pre ľubovoľné javy (s $P(A) \neq 0$ , $P(B) \neq 0$ ), najčastejšie ho použiješ pri závislých javoch, napríklad pri ťahaní bez vrátenia:

Pravdepodobnosť, že nastanú oba javy

\displaystyle P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)

Časť 6prečítaná

Bernoulliho veta

Nech $A$ je jav s pravdepodobnosťou $p$ . Pravdepodobnosť, že pri $n$ -násobnom nezávislom opakovaní pokusu nastane jav $A$ práve $k$ -krát, je

Bernoulliho veta

\displaystyle P_k = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \qquad \allowbreak k = 0, 1, 2, \dots, n

Hovorí sa tomu aj binomické rozdelenie pravdepodobnosti. Pokusy musia byť navzájom nezávislé a jav $A$ musí mať v každom z nich rovnakú pravdepodobnosť $p$ .

Riešený príklad

Päťka práve osemkrát

Hádžeme $15$ -krát kockou. Aká je pravdepodobnosť, že číslo $5$ padne práve $8$ -krát?

Jeden hod je pokus a jav $A$ je „padne päťka“, takže $p = \frac{1}{6}$ . Hody sú nezávislé, $n = 15$ a $k = 8$ .
$\displaystyle P_8 = \binom{15}{8} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{8} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7}$
Kombinačné číslo je $\binom{15}{8} = 6435$ , preto
$\displaystyle P_8 = \frac{6435 \cdot 5^7}{6^{15}} \doteq 0{,}00107$

Výsledok: $P_8 \doteq 0{,}00107$ , teda asi $0{,}1$ %.

Časť 7prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Výber žiakov

V triede je $12$ chlapcov a $8$ dievčat. Náhodne vyberieme $3$ žiakov. Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi budú práve $2$ dievčatá?

Na poradí vybraných žiakov nezáleží, preto rátame kombinácie. Všetkých možných výberov $3$ žiakov z $20$ je
$\displaystyle m = \binom{20}{3} = 1140$
Priaznivý výber obsahuje $2$ dievčatá z $8$ a $1$ chlapca z $12$ :
$\displaystyle m(A) = \binom{8}{2} \cdot \binom{12}{1} = 28 \cdot 12 = 336$
$\displaystyle P(A) = \frac{m(A)}{m} = \frac{336}{1140} = \frac{28}{95} \doteq 0{,}295$

Výsledok: $P(A) = \frac{28}{95} \doteq 0{,}295$

Riešený príklad

Aspoň jedna šestka cez opačný jav

Hádžeme dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť javu $A$ , že aspoň na jednej kocke padne šestka?

Všetkých výsledkov je $6 \cdot 6 = 36$ . Opačný jav $A'$ znamená, že šestka nepadne ani na jednej kocke. Na každej kocke je vtedy $5$ možností, spolu $5 \cdot 5 = 25$ .
$\displaystyle P(A') = \frac{25}{36}$
$\displaystyle P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \doteq 0{,}306$

Výsledok: $P(A) = \frac{11}{36} \doteq 0{,}306$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 14

Z osemnástich lístkov očíslovaných

1

až

18

vytiahneme náhodne jeden lístok. Aká je pravdepodobnosť, že na vytiahnutom lístku bude:

a)
párne číslo
b)
číslo deliteľné $3$
c)
prvočíslo
d)
číslo deliteľné $6$

Všetkých výsledkov je

18

. Spočítaj, koľko čísel od

1

18

má danú vlastnosť, a vydeľ ich počet číslom

18

a) $\frac{9}{18} = \frac{1}{2} = 0{,}5$
b) $\frac{6}{18} = \frac{1}{3} \doteq 0{,}333$
c) $\frac{7}{18} \doteq 0{,}389$ (prvočísla $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ )
d) $\frac{3}{18} = \frac{1}{6} \doteq 0{,}167$

Aká je pravdepodobnosť, že pri hode dvoma kockami (červenou a modrou) padne:

a)
súčet $8$
b)
súčet, ktorý je deliteľný piatimi
c)
súčet, ktorý bude párny

Kocky rozlíšiš farbou, takže všetkých výsledkov je

6 \cdot 6 = 36

usporiadaných dvojíc. Vypíš dvojice, ktoré dávajú požadovaný súčet.

a) $\frac{5}{36} \doteq 0{,}139$
b) $\frac{7}{36} \doteq 0{,}194$ (súčet $5$ alebo $10$ )
c) $\frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Hazardný hráč, ktorý hádzal tromi kockami, položil G. Galileimu otázku: „Mám staviť na súčet

11

alebo na súčet

12

?“ Čo mu Galilei odpovedal?

Všetkých výsledkov je

6^3 = 216

. Oba súčty sa dajú rozložiť na

6

trojíc čísel, ale trojice sa dajú na kockách usporiadať rôzne veľa spôsobmi, napríklad

4 + 4 + 4

len jedným,

6 + 4 + 1

šiestimi.

Má staviť na súčet

11

. Súčet

11

padne s pravdepodobnosťou

\frac{27}{216} = 0{,}125

, súčet

12

len s pravdepodobnosťou

\frac{25}{216} \doteq 0{,}116

Dlhodobé výskumy na istom území ukázali, že zo

100\,000

detí sa

82\,170

dožije

40

rokov a

37\,930

sa dožije

70

rokov. Aká je pravdepodobnosť, že človek, ktorý sa dožije

40

rokov, dožije sa aj

70

rokov?

Je to podmienená pravdepodobnosť. Označ

A

: dožije sa

70

rokov,

B

: dožije sa

40

rokov. Kto sa dožije

70

rokov, dožil sa aj

40

, preto

A \cap B = A

P(A \mid B) = \frac{37\,930}{82\,170} \doteq 0{,}46

V meste sú štyri križovatky so svetelnými semaformi. Každý z nich uvoľňuje alebo uzatvára dopravu s rovnakou pravdepodobnosťou

0{,}5

. Aká je pravdepodobnosť, že auto:

a)
prejde prvou križovatkou bez zdržania
b)
prejde prvými dvoma križovatkami bez zdržania
c)
prejde všetkými štyrmi križovatkami bez zdržania

Semafory fungujú nezávisle od seba, preto pravdepodobnosti voľnej cesty na jednotlivých križovatkách násobíš.

a) $0{,}5$
b) $0{,}5^2 = 0{,}25$
c) $0{,}5^4 = 0{,}0625$

32

hracích kartách sú

4

esá a

12

figúr (

4

králi,

4

horníci a

4

dolníci). Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá jedna karta bude eso alebo figúra?

Javy

A

: eso a

B

: figúra sa navzájom vylučujú, preto ich pravdepodobnosti môžeš sčítať.

P(A \cup B) = \frac{4}{32} + \frac{12}{32} = \frac{1}{2} = 0{,}5

Otcovia sú šťastní, keď sa im narodí syn. Z dlhodobých štatistík je známe, že pravdepodobnosť narodenia chlapca je

P(A) = 0{,}51

. Otec si naplánoval

5

detí. Aká je pravdepodobnosť, že z týchto detí budú práve

3

synovia?

Použi Bernoulliho vetu (binomické rozdelenie) pre

n = 5

k = 3

p = 0{,}51

P_3 = \binom{5}{3} \cdot 0{,}51^3 \cdot 0{,}49^2 \doteq 0{,}318

V šestnástich fľašiach sú minerálky. Vieme, že v

10

fľašiach je Slatina a v

6

fľašiach je Baldovská. Aká je pravdepodobnosť, že medzi

4

náhodne vybratými fľašami sú

2

Slatiny a

2

Baldovské?

Všetkých výberov

4

fliaš zo

16

\binom{16}{4}

. Priaznivý výber zložíš z

2

fliaš Slatiny z

10

2

fliaš Baldovskej zo

6

P = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{16}{4}} = \frac{45 \cdot 15}{1820} = \frac{135}{364} \doteq 0{,}37

V hazardnej číselnej hre sa losuje

6

čísel zo

49

čísel. Aká je pravdepodobnosť získať:

a)
štvrté poradie
b)
tretie poradie
c)
druhé poradie
d)
prvé poradie

Prvé poradie je za

6

uhádnutých čísel, druhé za

5

, tretie za

4

a štvrté za

3

. Všetkých možností je

\binom{49}{6} = 13\,983\,816

. Pri

k

uhádnutých číslach vyberáš

k

6

vylosovaných a zvyšok zo

43

nevylosovaných.

a) $\frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} \doteq 0{,}01765$
b) $\frac{\binom{6}{4} \cdot \binom{43}{2}}{\binom{49}{6}} \doteq 0{,}0009686$
c) $\frac{\binom{6}{5} \cdot \binom{43}{1}}{\binom{49}{6}} \doteq 0{,}00001845$
d) $\frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13\,983\,816} \doteq 0{,}0000000715$

10.

Hádžeme štyrmi mincami, ktoré vieme rozoznať (prvú až štvrtú). Na každej minci môže padnúť líce alebo rub, označíme to

l

r

. Aká je pravdepodobnosť javu

A

: líce padlo aspoň na troch minciach?

Všetkých výsledkov je

2^4 = 16

. Líce aspoň na troch minciach znamená líce práve na troch (

4

možnosti) alebo na všetkých štyroch (

1

možnosť).

P(A) = \frac{5}{16} = 0{,}3125

11.

Aká je pravdepodobnosť výhry 5. ceny v Športke? 5. cenu získame, ak uhádneme aspoň tri čísla zo

6

vyžrebovaných.

V Športke sa žrebuje

6

čísel zo

49

, všetkých možností je

\binom{49}{6}

. Postupuj rovnako ako pri štvrtom poradí v úlohe 9:

3

čísla vyberáš zo

6

vylosovaných a zvyšné

3

43

nevylosovaných.

P = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} = \frac{246\,820}{13\,983\,816} \doteq 0{,}01765

. Je to pravdepodobnosť práve

3

uhádnutých čísel, za

4

5

alebo

6

uhádnutých čísel je už vyššia cena. Ak započítaš všetky prípady s aspoň

3

uhádnutými číslami, vyjde

\frac{4654}{249\,711} \doteq 0{,}0186

12.

V debni je

30

výrobkov, z ktorých sú tri chybné. Aká je pravdepodobnosť javu

A

, že medzi

5

náhodne vybranými výrobkami bude najviac jeden chybný?

Najviac jeden chybný znamená žiadny chybný alebo práve jeden chybný. Tieto dva javy sa vylučujú, preto ich pravdepodobnosti sčítaš.

P(A) = \frac{\binom{27}{5} + \binom{3}{1} \cdot \binom{27}{4}}{\binom{30}{5}} = \frac{80\,730 + 52\,650}{142\,506} = \frac{190}{203} \doteq 0{,}936

13.

Hádžeme troma kockami. Urči, aká je pravdepodobnosť javu, že aspoň na jednej kocke padne šestka.

Vypočítaj pravdepodobnosť opačného javu: šestka nepadne ani na jednej kocke.

P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{91}{216} \doteq 0{,}4213

14.

V osudí je

9

bielych gúľ a

1

červená guľa. Vytiahneme jednu guľu, vrátime ju a pridáme guľu rovnakej farby. Potom ťaháme druhýkrát.

a)
Urči, aká je pravdepodobnosť, že v oboch ťahoch vytiahneme červenú guľu.
b)
Urči pravdepodobnosť, že v oboch ťahoch vytiahneme bielu guľu.
c)
Urči, aká je pravdepodobnosť $P(C_2)$ , že v druhom ťahu vytiahneme červenú guľu (pravdepodobnosť nepodmieňujeme výsledkom 1. ťahu).

Po prvom ťahu je v osudí

11

gúľ a zloženie závisí od prvého ťahu, použi

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)

. Pri c) rozlíš, či bola v prvom ťahu červená alebo biela guľa, a obe možnosti sčítaj.

a) $\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{11} = \frac{1}{55} \doteq 0{,}018$
b) $\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11} = \frac{9}{11} \doteq 0{,}818$
c) $P(C_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{11} + \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{11} = \frac{11}{110} = \frac{1}{10} = 0{,}1$

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.