Okruh 28 · Kombinatorika a štatistika

Kombinatorika

Ako spočítať, koľkými spôsobmi sa dajú prvky vybrať alebo usporiadať: variácie, permutácie a kombinácie.

asi 75 min · 8 častí · 23 úloh

0 z 8 častí · 0 z 23 úloh

V skratke

Najprv sa spýtaj: záleží na poradí? Môžu sa prvky opakovať? Podľa toho vyberieš vzorec.
Variácie (na poradí záleží): $V_k(n) = \frac{n!}{(n-k)!}$ , s opakovaním $V'_k(n) = n^k$ .
Permutácie (usporiadanie všetkých $n$ prvkov): $P(n) = n!$ .
Kombinácie (na poradí nezáleží): $C_k(n) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ a $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ , z toho vzniká Pascalov trojuholník.
$k$ -tý člen rozvoja $(a+b)^n$ je $\binom{n}{k-1} a^{n-k+1} b^{k-1}$ .
V rovniciach s faktoriálmi a kombinačnými číslami vždy napíš podmienky a korene mimo $\mathbb{N}$ vyraď.

Časť 1prečítaná

Čo skúma kombinatorika

Kombinatorika sa zaoberá vytváraním $k$ -prvkových skupín z $n$ -prvkovej množiny a určovaním počtu týchto skupín.

Máš konečnú neprázdnu množinu s

n

prvkami,

n \in \mathbb{N}

. Keď z nej vyberáš skupinky prvkov, polož si dve otázky:

Opakujú sa prvky? Môže sa ten istý prvok v skupine objaviť viackrát, alebo nie?
Záleží na poradí? Je skupina $(a, b)$ iná ako $(b, a)$ , alebo je to tá istá skupina?

Ak na poradí záleží, hovoríme, že tvoríme usporiadané $k$ -tice (alebo $n$ -tice).

Kombinatorické pravidlo súčinu: Počet všetkých usporiadaných $k$ -tíc, ktorých prvý člen sa dá vybrať $n_1$ spôsobmi, druhý člen po výbere prvého $n_2$ spôsobmi atď., až $k$ -tý člen po výbere všetkých predchádzajúcich členov $n_k$ spôsobmi, sa rovná $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .
Kombinatorické pravidlo súčtu: Ak $A_1, A_2, \dots, A_n$ sú konečné, navzájom disjunktné množiny, ktoré majú $p_1, p_2, \dots, p_n$ prvkov, tak počet prvkov množiny $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ sa rovná $p_1 + p_2 + \dots + p_n$ .
Disjunktné množiny: Množiny $A$ , $B$ sú disjunktné, ak nemajú spoločný prvok, teda $A \cap B = \emptyset$ .

Pri riešení konkrétnej úlohy používaš obe pravidlá buď samostatne, alebo naraz.

Časť 2prečítaná

Faktoriál

Faktoriál: Faktoriál kladného celého čísla $n$ je súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných $n$ . Zapisuje sa $n!$ a číta sa „ $n$ faktoriál“.

\displaystyle n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

Napríklad $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$ .

Platí

Dohodou je $0! = 1$ .
$n! = n \cdot (n-1)!$ , napríklad $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ .
Podiel faktoriálov sa vykráti: $\frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$ , $\frac{(n+6)!}{(n+4)!} = (n+6)(n+5)$ .

Časť 3prečítaná

Variácie

Variácie bez opakovania: Variácia $k$ -tej triedy z $n$ prvkov je každá usporiadaná $k$ -tica navzájom rôznych prvkov vybraných z $n$ -prvkovej množiny. Prvky sa neopakujú a na poradí záleží. Platí $k, n \in \mathbb{N}$ , $k \le n$ .

Počet variácií

k

-tej triedy z

n

prvkov bez opakovania

\displaystyle V_k(n) = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

Pravá strana je pravidlo súčinu: prvý prvok vyberieš $n$ spôsobmi, druhý $n - 1$ spôsobmi atď. Úlohy s variáciami preto môžeš riešiť aj priamo cez súčin.

Napríklad z číslic $2, 3, 5, 8$ vytvoríš trojciferné čísla s navzájom rôznymi číslicami. Na poradí záleží ( $235 \neq 532$ ), takže ide o variácie 3. triedy zo $4$ prvkov:

\displaystyle V_3(4) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 24 \qquad \allowbreak \text{alebo} \qquad \allowbreak 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

Variácie s opakovaním: Variácia $k$ -tej triedy z $n$ prvkov s opakovaním je každá usporiadaná $k$ -tica prvkov z $n$ -prvkovej množiny, v ktorej sa prvky môžu opakovať. Na poradí záleží a medzi $k$ a $n$ nie je žiadny vzťah, $k$ môže byť aj väčšie ako $n$ .

Počet variácií

k

-tej triedy z

n

prvkov s opakovaním

\displaystyle V'_k(n) = n^k

Na každé z $k$ miest môžeš dať ktorýkoľvek z $n$ prvkov.

Napríklad z číslic $2, 3, 5, 8$ vytvoríš s opakovaním číslic $4^3 = 64$ trojciferných čísel.

Časť 4prečítaná

Permutácie

Permutácie bez opakovania: Permutácia z $n$ prvkov je každá usporiadaná $n$ -tica zo všetkých $n$ prvkov danej množiny. Je to variácia $n$ -tej triedy z $n$ prvkov, teda $k = n$ : usporiadavaš všetky prvky.

Počet permutácií z

n

prvkov

\displaystyle P(n) = V_n(n) = n!

Napríklad $20$ žiakov vieš postaviť do radu $P(20) = 20!$ spôsobmi.

Časť 5prečítaná

Kombinácie a kombinačné číslo

Kombinácie bez opakovania: Kombinácia $k$ -tej triedy z $n$ prvkov je každá $k$ -prvková podmnožina $n$ -prvkovej množiny. Prvky sa neopakujú a na poradí nezáleží.

Počet kombinácií

k

-tej triedy z

n

prvkov

\displaystyle C_k(n) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Variácií je $k!$ -krát viac ako kombinácií: $V_k(n) = k! \cdot C_k(n)$ . Každú $k$ -prvkovú skupinu totiž vieš usporiadať $k!$ spôsobmi.

Napríklad keď z $20$ žiakov posielaš na súťaž $5$ žiakov a nikomu nepriraďuješ funkciu, počítaš kombinácie $C_5(20)$ (pozri riešený príklad nižšie).

Kombinačné číslo: Kvôli stručnejšiemu zápisu sa zaviedol symbol $\binom{n}{k}$ , ktorý čítame „ $n$ nad $k$ “ a voláme kombinačné číslo: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ pre $0 \le k \le n$ .

Ako rozoznáš, čo počítaš

Skupina	Poradie	Opakovanie	Počet
variácie bez opakovania	záleží	nie	$V_k(n) = \frac{n!}{(n-k)!}$
variácie s opakovaním	záleží	áno	$V'_k(n) = n^k$
permutácie (všetkých $n$ prvkov)	záleží	nie	$P(n) = n!$
kombinácie bez opakovania	nezáleží	nie	$C_k(n) = \binom{n}{k}$

variácie bez opakovania

Poradie: záleží
Opakovanie: nie
Počet: $V_k(n) = \frac{n!}{(n-k)!}$

variácie s opakovaním

Poradie: záleží
Opakovanie: áno
Počet: $V'_k(n) = n^k$

permutácie (všetkých

n

prvkov)

Poradie: záleží
Opakovanie: nie
Počet: $P(n) = n!$

kombinácie bez opakovania

Poradie: nezáleží
Opakovanie: nie
Počet: $C_k(n) = \binom{n}{k}$

Časť 6prečítaná

Vlastnosti kombinačných čísel a Pascalov trojuholník

Pre každé

n \in \mathbb{N}

platí:

$\binom{n}{1} = n$
$\binom{n}{n} = 1$
$\binom{n}{0} = 1$ a tiež $\binom{0}{0} = 1$ (lebo $0! = 1$ )

Pre každé

k \le n

\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Vybrať $k$ prvkov je to isté ako určiť $n - k$ prvkov, ktoré nevyberieš. Napríklad $\binom{x-1}{x-2} = \binom{x-1}{1} = x - 1$ .

Pre každé

k < n

(Pascalovo pravidlo)

\displaystyle \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}

Pascalov trojuholník: Pascalov trojuholník je schéma kombinačných čísel, ktorú rýchlo zapíšeš takto: krajné čísla sú $1$ a každé ďalšie číslo sa rovná súčtu dvoch čísel bezprostredne nad ním. Presne to hovorí Pascalovo pravidlo vyššie.

Riadky

n = 0

až

n = 4

\displaystyle \begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{array}

Tie isté riadky zapísané kombinačnými číslami

\displaystyle \begin{array}{c} \binom{0}{0} \\[4pt] \binom{1}{0} \quad \binom{1}{1} \\[4pt] \binom{2}{0} \quad \binom{2}{1} \quad \binom{2}{2} \\[4pt] \binom{3}{0} \quad \binom{3}{1} \quad \binom{3}{2} \quad \binom{3}{3} \\[4pt] \binom{4}{0} \quad \binom{4}{1} \quad \binom{4}{2} \quad \binom{4}{3} \quad \binom{4}{4} \end{array}

V $n$ -tom riadku sú čísla $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ .

Časť 7prečítaná

Binomická veta

Kombinačné čísla sú koeficienty pri umocňovaní dvojčlena. Využiješ to pri zjednodušovaní výrazov typu $(a+1)^4$ a pri hľadaní konkrétneho člena rozvoja.

Binomická veta

\displaystyle (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1} b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n

Koeficienty sú čísla z $n$ -tého riadku Pascalovho trojuholníka.

k

-tý člen rozvoja

(a+b)^n

\displaystyle M_k = \binom{n}{k-1}\, a^{n-k+1}\, b^{k-1}

Rozvoje, ktoré sa oplatí poznať

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4$
$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3 b + 6a^2 b^2 - 4ab^3 + b^4$

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Štvorciferné čísla, keď je medzi číslicami nula

Koľko štvorciferných čísel s navzájom rôznymi číslicami vytvoríš z číslic $0, 1, 2, 5, 7, 8$ ?

Na poradí záleží a číslice sa neopakujú, ide o variácie 4. triedy zo $6$ prvkov. Všetkých usporiadaných štvoríc je $V_4(6) = \frac{6!}{2!} = 360$ .
Číslo však nesmie začínať nulou. Každá zo šiestich číslic je na prvom mieste rovnako často, takže nula je na prvom mieste v jednej šestine štvoríc. Tie odpočítaš:
$\displaystyle V_4(6) - \frac{1}{6}\, V_4(6) = \frac{5}{6}\, V_4(6) = \frac{5}{6} \cdot 360 = 300$
Rýchlejšie to ide pravidlom súčinu: na prvé miesto dáš jednu z $5$ číslic (všetky okrem nuly), na druhé jednu zo zvyšných $5$ (už aj nulu), na tretie jednu zo $4$ a na štvrté jednu z $3$ .
$\displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300$

Výsledok: Vytvoríš $300$ štvorciferných čísel.

Riešený príklad

Výber bez funkcií a s funkciami

Z $20$ žiakov posielaš na súťaž $5$ . Koľkými spôsobmi ich môžeš vybrať? A koľkými, keby mal každý z piatich inú funkciu?

Bez funkcií na poradí nezáleží, vyberáš $5$ -prvkovú podmnožinu. Sú to kombinácie:
$\displaystyle C_5(20) = \binom{20}{5} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5!} = \frac{1\,860\,480}{120} = 15\,504$
Keď má každý vybraný žiak inú funkciu, na poradí záleží. Sú to variácie:
$\displaystyle V_5(20) = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 = 1\,860\,480$
Variácií je $5! = 120$ -krát viac, lebo každú päticu žiakov vieš medzi funkcie rozdeliť $120$ spôsobmi.

Výsledok: Bez funkcií $15\,504$ spôsobmi, s funkciami $1\,860\,480$ spôsobmi.

Riešený príklad

Rovnica s faktoriálmi

Rieš v $\mathbb{N}$ rovnicu $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 30$ .

Podmienka: $(x-1)!$ má zmysel pre $x - 1 \ge 0$ , teda $x \ge 1$ .
Väčší faktoriál rozpíšeš: $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$ . Potom sa $(x-1)!$ vykráti.
$\displaystyle (x+1) \cdot x = 30 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 30 = 0 \;\Rightarrow\; (x+6)(x-5) = 0$
Koreň $x = -6$ podmienku nespĺňa, ostáva $x = 5$ . Skúška: $\frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30$ .

Výsledok: $x = 5$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 23

Zjednoduš:

a)
$\frac{(n+6)!}{(n+4)!} - \frac{n!}{(n-2)!}$
b)
$\frac{1}{n!} - \frac{3}{(n+1)!} - \frac{n^2 - 4}{(n+2)!}$

V a) vykráť:

\frac{(n+6)!}{(n+4)!} = (n+6)(n+5)

\frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)

. V b) preveď zlomky na spoločného menovateľa

(n+2)!

a) $12n + 30$ , pre $n \ge 2$
b) $0$ , pre $n \ge 0$

Rieš v

\mathbb{N}

rovnicu:

\displaystyle \frac{x!}{(x-2)!} + \frac{(x-1)!}{(x-3)!} = 8, \quad \allowbreak x \ge 3

Vykráť:

\frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)

\frac{(x-1)!}{(x-3)!} = (x-1)(x-2)

. Dostaneš kvadratickú rovnicu.

x = 3

(koreň

x = -1

nespĺňa podmienku)

Rieš v

\mathbb{N}

rovnicu:

\displaystyle \frac{(x-3)! + (x-1)!}{(x-2)!} = 3, \quad \allowbreak x \ge 3

Podmienka je

x \ge 3

, lebo výraz

(x-3)!

má zmysel až vtedy. Zlomok rozdeľ na dva:

\frac{(x-3)!}{(x-2)!} = \frac{1}{x-2}

\frac{(x-1)!}{(x-2)!} = x - 1

. Rovnicu potom vynásob výrazom

x - 2

x = 3

(skúška:

\frac{0! + 2!}{1!} = 3

)

Rieš v

\mathbb{Z}

rovnicu:

\displaystyle \log\left[(x+1)!\right] - \log\left(x!\right) = 1, \quad \allowbreak x \ge 0

Rozdiel logaritmov je logaritmus podielu a

1 = \log 10

. Teda

\frac{(x+1)!}{x!} = 10

x = 9

Ktoré číslo je väčšie:

a = 50! + 53!

alebo

b = 51! + 52!

V oboch číslach vyber pred zátvorku

50!

, napríklad

53! = 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdot 50!

a > b

, lebo

a = 50! \cdot (1 + 51 \cdot 52 \cdot 53)

b = 50! \cdot (51 + 52 \cdot 51)

Rieš v

\mathbb{N}

rovnicu:

\displaystyle \binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 4

Podmienka je

x \ge 3

. Rozpíš

\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2}

\binom{x-1}{2} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}

x = 3

(koreň

x = -1

nespĺňa podmienku)

Rieš v

\mathbb{N}

rovnicu:

\displaystyle \binom{x-1}{x-2} + \binom{x-2}{x-4} = 4, \quad \allowbreak x \ge 4

Použi

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

\binom{x-1}{x-2} = \binom{x-1}{1} = x - 1

\binom{x-2}{x-4} = \binom{x-2}{2} = \frac{(x-2)(x-3)}{2}

x = 4

(koreň

x = -1

nespĺňa podmienku)

Zjednoduš:

\displaystyle \frac{(a+1)^4 + (a-1)^4}{(a+1)^4 - (a-1)^4}

Obe mocniny rozpíš binomickou vetou, koeficienty sú

1, 4, 6, 4, 1

. Čitateľ vyjde

2a^4 + 12a^2 + 2

, menovateľ

8a^3 + 8a

\frac{a^4 + 6a^2 + 1}{4a^3 + 4a} = \frac{a^4 + 6a^2 + 1}{4a(a^2 + 1)}

, pre

a \neq 0

Zjednoduš:

\displaystyle a_3 = \frac{(2+\sqrt{3})^3 - (2-\sqrt{3})^3}{2\sqrt{3}}

Rozpíš

(2+\sqrt{3})^3

(2-\sqrt{3})^3

podľa vzorca

(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3

. Po odčítaní ostane

30\sqrt{3}

a_3 = 15

10.

Urči štvrtý člen binomického rozvoja:

\displaystyle \left(x + \frac{2}{x}\right)^8

Použi

M_k = \binom{n}{k-1} a^{n-k+1} b^{k-1}

pre

a = x

b = \frac{2}{x}

n = 8

k = 4

M_4 = \binom{8}{3} x^5 \left(\frac{2}{x}\right)^3 = 448x^2

11.

Daná je množina

M = \{a, b, c, d\}

. Z prvkov tejto množiny vytvor variácie 2. triedy bez opakovania a s opakovaním. Vypočítaj ich počet.

Vypisuj usporiadané dvojice,

ab

ba

sú rôzne variácie. Pri opakovaní pribudnú dvojice s rovnakými prvkami.

Bez opakovania

V_2(4) = 4 \cdot 3 = 12

ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc

. S opakovaním

V'_2(4) = 4^2 = 16

: k predošlým pribudnú

aa, bb, cc, dd

12.

Do školského výboru zvolili

7

žiakov. Koľkými spôsobmi sa dá z nich vybrať predseda, podpredseda, tajomník a pokladník?

Každý z vybraných má inú funkciu, takže na poradí záleží: variácie 4. triedy zo

7

prvkov.

V_4(7) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840

spôsobmi

13.

Osem študentov si sľúbilo, že si z prázdninových ciest navzájom pošlú pohľadnice. Koľko pohľadníc rozoslali?

Každý pošle pohľadnicu každému z ostatných a záleží na tom, kto komu posiela: usporiadané dvojice z

8

študentov.

V_2(8) = 8 \cdot 7 = 56

pohľadníc

14.

Z koľkých rôznych prvkov môžeme vytvoriť

240

variácií 2. triedy?

Rieš rovnicu

V_2(x) = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1) = 240

16

prvkov (koreň

x = -15

nevyhovuje)

15.

Ak sa počet prvkov zväčší o

2

, zväčší sa počet variácií 3. triedy o

384

. Koľko je prvkov?

Zostav rovnicu

V_3(x+2) = V_3(x) + 384

, kde

V_3(x) = x(x-1)(x-2)

. Kubické členy sa odčítajú a ostane

6x^2 = 384

8

prvkov (

V_3(10) - V_3(8) = 720 - 336 = 384

)

16.

Vo vrecku je

6

rôznych lístkov označených číslicami

1

až

6

. Koľkými rôznymi spôsobmi môžeme postupne, s prihliadnutím na poradie, vybrať tri z nich, ak sa vybrané lístky do vrecka:

a)
nevracajú
b)
vracajú

Na poradí záleží. Keď sa lístky nevracajú, nemôžu sa opakovať, keď sa vracajú, môžu.

a) $V_3(6) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$
b) $V'_3(6) = 6^3 = 216$

17.

V rovine je

6

rôznych bodov (žiadne

3

neležia na jednej priamke). Koľko rôznych úsečiek dostaneme pospájaním všetkých týchto bodov navzájom?

Úsečka je určená dvojicou bodov a na poradí bodov nezáleží (

AB = BA

C_2(6) = \binom{6}{2} = 15

úsečiek

18.

Na kružnici je rozmiestnených

9

bodov. Koľko existuje rôznych trojuholníkov, ktorých vrcholy sú tieto body?

Žiadne tri body kružnice neležia na jednej priamke, takže každá trojica bodov určí trojuholník. Na poradí vrcholov nezáleží.

C_3(9) = \binom{9}{3} = 84

trojuholníkov

19.

Uhlopriečky mnohouholníka:

a)
Odvoď vzorec pre počet $N$ uhlopriečok vypuklého $n$ -uholníka.
b)
Koľko uhlopriečok má vypuklý $10$ -uholník?

Každá dvojica vrcholov určuje buď stranu, alebo uhlopriečku. Dvojíc vrcholov je

\binom{n}{2}

a strán je

n

a) $N = \binom{n}{2} - n = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n(n-3)}{2}$
b) $N = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$

20.

Koľkými spôsobmi možno vytiahnuť

8

32

hracích kariet, keď na ich poradí nezáleží?

Na poradí nezáleží a karty sa neopakujú: kombinácie 8. triedy z

32

prvkov.

C_8(32) = \binom{32}{8} = 10\,518\,300

spôsobmi

21.

Skúšajúci má pripravených

20

príkladov z aritmetiky a

30

z geometrie. Koľko má možností zostaviť rôzne zadania, ak chce na písomku dať:

a)
$3$ aritmetické a $2$ geometrické príklady
b)
$1$ aritmetický a $2$ geometrické príklady

Aritmetické aj geometrické príklady vyberáš ako kombinácie (na poradí nezáleží). Oba výbery robíš naraz, preto počty vynásobíš (pravidlo súčinu).

a) $\binom{20}{3} \cdot \binom{30}{2} = 1140 \cdot 435 = 495\,900$
b) $\binom{20}{1} \cdot \binom{30}{2} = 20 \cdot 435 = 8\,700$

22.

Na pomaturitnom stretnutí po rokoch si účastníci štrngli pohármi. Uskutočnilo sa

253

štrngnutí. Koľko účastníkov bolo na stretnutí?

Každé štrngnutie je dvojica účastníkov a na poradí nezáleží. Rieš

\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2} = 253

23

účastníkov (koreň

x = -22

nevyhovuje)

23.

Ak sa zväčší počet prvkov o

8

, zväčší sa počet kombinácií 2. triedy bez opakovania

11

-krát. Pre koľko prvkov to platí?

Zostav rovnicu

\binom{x+8}{2} = 11 \cdot \binom{x}{2}

, teda

\frac{(x+8)(x+7)}{2} = 11 \cdot \frac{x(x-1)}{2}

. Dostaneš

5x^2 - 13x - 28 = 0

Pre

4

prvky (

\binom{12}{2} = 66 = 11 \cdot \binom{4}{2}

, koreň

x = -\frac{7}{5}

nevyhovuje)

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.