Okruh 27 · Stereometria

Telesá

Hranol, ihlan, valec, kužeľ, guľa a zrezané telesá: ich časti, objem a povrch.

asi 150 min · 8 častí · 40 úloh

0 z 8 častí · 0 z 40 úloh

V skratke

Hranol a valec majú objem $V = S_p \cdot v$ , ihlan a kužeľ $V = \frac{1}{3}S_p \cdot v$ .
Povrch je súčet podstáv a plášťa: pri hranole a valci $S = 2S_p + S_{pl}$ , pri ihlane a kuželi $S = S_p + S_{pl}$ .
Kocka má stenovú uhlopriečku $a\sqrt{2}$ a telesovú $a\sqrt{3}$ , kváder telesovú $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
Valec: $V = \pi r^2 v$ , $S = 2\pi r(r + v)$ . Kužeľ: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 v$ , $S = \pi r(r + s)$ , kde $s = \sqrt{r^2 + v^2}$ .
Guľa: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , $S = 4\pi r^2$ . Guľový vrchlík aj guľový pás majú obsah $2\pi r v$ .
Zrezaný ihlan: $V = \frac{v}{3}\left(S_{p1} + \sqrt{S_{p1}S_{p2}} + S_{p2}\right)$ , zrezaný kužeľ: $V = \frac{\pi v}{3}\left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2\right)$ .
Výšky, strany a uhly hľadaj v pravouhlých trojuholníkoch v osovom alebo uhlopriečnom reze.

Časť 1prečítaná

Teleso a jeho časti

Teleso: Teleso je uzavretá obmedzená časť priestoru.
Mnohosten: Mnohosten je teleso, ktoré je ohraničené mnohouholníkmi. Tieto mnohouholníky sú steny mnohostena.
Stena: Stena je plošný útvar, ktorý ohraničuje teleso. Steny mnohostena sú mnohouholníky.
Hrana: Hrana mnohostena je úsečka, v ktorej sa pretínajú dve susedné steny. Ohraničujú ju dva vrcholy.
Vrchol: Vrchol mnohostena je bod, v ktorom sa stretávajú hrany. Vrcholy označujeme veľkými tlačenými písmenami, napríklad $A$ , $B$ , $C$ .
Podstava: Podstava je stena telesa, na ktorej teleso stojí. Môže to byť mnohouholník (hranol, ihlan) alebo kruh (valec, kužeľ). Hranol a valec majú dve podstavy, ihlan a kužeľ jednu.
Plášť: Plášť je časť povrchu telesa bez podstáv. Pri hranole a ihlane ho tvoria všetky bočné steny, jeho obsah je súčet ich obsahov. Obsah plášťa označujeme $S_{pl}$ , obsah podstavy $S_p$ .
Stenová a telesová uhlopriečka: Uhlopriečka mnohostena je úsečka, ktorá spája dva vrcholy neležiace na tej istej hrane. Ak patrí do niektorej steny, je to stenová uhlopriečka, ostatné uhlopriečky sú telesové.
Sieť telesa: Sieť je povrch telesa rozvinutý do jednej roviny. Sieť kocky tvorí $6$ zhodných štvorcov, ktoré sú stenami kocky.
Objem telesa: Objem telesa je kladné číslo, ktoré priraďujeme telesu a ktoré vyjadruje, koľko priestoru teleso zaberá. Označujeme ho $V$ .
Povrch telesa: Povrch telesa je obsah plochy, ktorá teleso ohraničuje, teda súčet obsahov podstáv a plášťa. Označujeme ho $S$ .

Časť 2prečítaná

Kocka a kváder

Kocka: Kocka je hranol, ktorého všetky steny sú zhodné štvorce. Má $6$ stien.

Kocka ABCDEFGH s hranou a = |AB|. Vyznačená je stenová uhlopriečka u = |AC| v dolnej podstave a telesová uhlopriečka U = |BH|.

Kocka s hranou

a

má

$8$ vrcholov,
$12$ rovnako dlhých hrán, dĺžka hrany je $a = |AB|$ ,
$6$ stien, ktoré sú zhodné štvorce,
$12$ rovnako dlhých stenových uhlopriečok $u = a\sqrt{2} = |AC|$ ,
$4$ rovnako dlhé telesové uhlopriečky $U = a\sqrt{3} = |BH|$ .

Objem a povrch kocky

\displaystyle V = a^3, \qquad \allowbreak S = 6a^2

Kváder: Kváder je hranol, ktorého všetky steny sú obdĺžniky (pravouholníky).

Kváder ABCDEFGH s hranami a = |AB|, b = |BC| a c = |BF|. Vyznačené sú stenové uhlopriečky u1 = |AC|, u2 = |BE|, u3 = |BG| a telesová uhlopriečka U = |AG|.

Kváder má

$8$ vrcholov,
$12$ hrán, z toho tri štvorice rovnako dlhých, dĺžky rôznych hrán sú $a = |AB|$ , $b = |BC|$ , $c = |BF|$ ,
$6$ stien, ktoré tvoria tri dvojice zhodných obdĺžnikov,
$12$ stenových uhlopriečok, z toho tri štvorice rovnako dlhých,
$4$ rovnako dlhé telesové uhlopriečky.

Stenové uhlopriečky kvádra

\displaystyle u_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = |AC|, \quad \allowbreak u_2 = \sqrt{a^2 + c^2} = |BE|, \quad \allowbreak u_3 = \sqrt{b^2 + c^2} = |BG|

Telesová uhlopriečka kvádra

\displaystyle U = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = |AG|

Trojuholník $ACG$ je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole $C$ , preto $U^2 = u_1^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$ .

Objem a povrch kvádra

\displaystyle V = abc, \qquad \allowbreak S = 2\,(ab + ac + bc)

Časť 3prečítaná

Hranol

Hranol: Hranol je mnohosten, ktorého dve steny (podstavy) sú navzájom zhodné mnohouholníky s rovnobežnými zodpovedajúcimi hranami a všetky ostatné hrany (bočné hrany) sú navzájom rovnobežné.
Kolmý hranol: Hranol je kolmý, ak sú jeho bočné hrany kolmé na rovinu podstavy. Bočné steny kolmého hranola sú obdĺžniky.
Pravidelný hranol: Ak je podstavou kolmého hranola pravidelný $n$ -uholník, hovoríme o pravidelnom hranole.
Rovnobežnosten: Rovnobežnosten je hranol, ktorého všetky steny sú rovnobežníky. Kváder a kocka sú špeciálne rovnobežnosteny.

Hranol s podstavou

A_1A_2\dots A_n

má

$2n$ vrcholov,
$2n$ podstavných hrán a $n$ bočných hrán,
$2$ podstavy a $n$ bočných stien (pri kolmom hranole sú to obdĺžniky).

Označenie	Význam
$S_p$	obsah podstavy hranola
$S_{pl}$	obsah plášťa hranola (súčet obsahov všetkých bočných stien)
$v$	výška hranola (vzdialenosť rovín podstáv)

S_p

obsah podstavy hranola

S_{pl}

obsah plášťa hranola (súčet obsahov všetkých bočných stien)

v

výška hranola (vzdialenosť rovín podstáv)

Objem a povrch hranola

\displaystyle V = S_p \cdot v, \qquad \allowbreak S = 2S_p + S_{pl}

Časť 4prečítaná

Ihlan a štvorsten

Ihlan: Ihlan je mnohosten, ktorého jedna stena (podstava) je $n$ -uholník a všetky ostatné steny sú trojuholníky so spoločným vrcholom $V$ . Bod $V$ je vrchol ihlana.
Pravidelný ihlan: Ak je podstavou ihlana pravidelný mnohouholník so stredom $S$ a úsečka $VS$ je kolmá na rovinu podstavy, hovoríme o pravidelnom ihlane.

Šesťboký ihlan s vrcholom V. Výška ihlana v je úsečka VS kolmá na rovinu podstavy, bod S je jej päta v podstave.

Ihlan s podstavou

A_1A_2\dots A_n

má

$n$ vrcholov podstavy a vrchol $V$ ,
$n$ podstavných hrán a $n$ bočných hrán,
podstavu a $n$ bočných stien, ktoré sú trojuholníky.

Označenie	Význam
$S_p$	obsah podstavy ihlana
$S_{pl}$	obsah plášťa ihlana (súčet obsahov všetkých bočných stien)
$V$	vrchol ihlana
$v$	výška ihlana (vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy)

S_p

obsah podstavy ihlana

S_{pl}

obsah plášťa ihlana (súčet obsahov všetkých bočných stien)

V

vrchol ihlana

v

výška ihlana (vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy)

Objem a povrch ihlana

\displaystyle V = \frac{1}{3}\,S_p \cdot v, \qquad \allowbreak S = S_p + S_{pl}

Štvorsten: Štvorsten je mnohosten so štyrmi stenami, ktoré sú trojuholníky. Je to trojboký ihlan, za podstavu môžeš zobrať ktorúkoľvek jeho stenu.
Pravidelný štvorsten: Pravidelný štvorsten je štvorsten, ktorého všetky steny sú rovnostranné trojuholníky.
Výšky v štvorstene: Stenová výška je výška v jednej stene (trojuholníku), teda vzdialenosť vrcholu steny od protiľahlej hrany. Telesová výška je vzdialenosť vrcholu od roviny protiľahlej steny (podstavy).

Pravouhlé trojuholníky v pravidelnom ihlane

Výška $v$ , bočná hrana $s$ a polomer $R$ kružnice opísanej podstave tvoria pravouhlý trojuholník: $s^2 = v^2 + R^2$ . V ňom nájdeš uhol bočnej hrany s rovinou podstavy (pri vrchole podstavy).
Výška $v$ , stenová výška $v_s$ a polomer $\rho$ kružnice vpísanej podstave tvoria pravouhlý trojuholník: $v_s^2 = v^2 + \rho^2$ . V ňom nájdeš uhol bočnej steny s rovinou podstavy (pri strede podstavnej hrany).
Bočná hrana $s$ , stenová výška $v_s$ a polovica podstavnej hrany $\frac{a}{2}$ tvoria pravouhlý trojuholník: $s^2 = v_s^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ .

Polomery kružníc pri pravidelnej podstave so stranou

a

Podstava	Opísaná kružnica $R$	Vpísaná kružnica $\rho$
rovnostranný trojuholník	$\frac{a\sqrt{3}}{3}$	$\frac{a\sqrt{3}}{6}$
štvorec	$\frac{a\sqrt{2}}{2}$	$\frac{a}{2}$
pravidelný šesťuholník	$a$	$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

rovnostranný trojuholník

Opísaná kružnica $R$: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Vpísaná kružnica $\rho$: $\frac{a\sqrt{3}}{6}$

štvorec

Opísaná kružnica $R$: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Vpísaná kružnica $\rho$: $\frac{a}{2}$

pravidelný šesťuholník

Opísaná kružnica $R$: $a$
Vpísaná kružnica $\rho$: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Pri trojuholníku je stred podstavy ťažisko, preto $R = 2\rho$ .

Časť 5prečítaná

Rotačný valec a rotačný kužeľ

Valec: Valec je časť priestoru ohraničená kružnicovou valcovou plochou a dvoma navzájom rovnobežnými rovinami, ktoré sú kolmé na všetky priamky valcovej plochy.
Rotačný valec: Rotačný valec vznikne otáčaním obdĺžnika okolo jednej jeho strany.

Rotačný valec so stredmi podstáv S1 (dolná) a S2 (horná), polomerom podstavy r a výškou v.

Označenie	Význam
$v$	výška valca
$r$	polomer podstavy valca
$S_p$	obsah podstavy valca
$S_{pl}$	obsah plášťa valca

v

výška valca

r

polomer podstavy valca

S_p

obsah podstavy valca

S_{pl}

obsah plášťa valca

Objem rotačného valca

\displaystyle V = S_p \cdot v = \pi r^2 v

Povrch rotačného valca

\displaystyle S = 2S_p + S_{pl} = 2\pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r\,(r + v)

Rozvinutý plášť valca je obdĺžnik so stranami $2\pi r$ a $v$ , preto $S_{pl} = 2\pi r v$ .

Rovnostranný valec: Ak je osovým rezom valca štvorec, teda $v = 2r$ , hovoríme o rovnostrannom valci.
Kužeľový priestor: V rovine $\rho$ je daný kruh $K$ so stredom $S$ a polomerom $r$ a bod $V$ , ktorý neleží v rovine $\rho$ . Zjednotenie všetkých polpriamok $VX$ , kde $X$ je bod kruhu $K$ , je kužeľový priestor s vrcholom $V$ . Polpriamky $VX$ , kde $X$ leží na hraničnej kružnici kruhu $K$ , tvoria kužeľovú plochu.
Kužeľ: Kužeľ je časť kužeľového priestoru medzi vrcholom $V$ a rovinou $\rho$ . Ohraničuje ho podstava (kruh $K$ ) a plášť (časť kužeľovej plochy medzi vrcholom a podstavou). Úsečka plášťa od vrcholu po hraničnú kružnicu podstavy je strana kužeľa $s$ .
Rotačný kužeľ: Rotačný kužeľ vznikne otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej jeho odvesny.

Rotačný kužeľ s vrcholom V, stredom podstavy S, polomerom podstavy r, výškou v = |VS| a stranou s.

Označenie	Význam
$v$	výška kužeľa
$r$	polomer podstavy kužeľa
$s$	dĺžka strany kužeľa, $s = \sqrt{r^2 + v^2}$
$S_p$	obsah podstavy kužeľa
$S_{pl}$	obsah plášťa kužeľa

v

výška kužeľa

r

polomer podstavy kužeľa

s

dĺžka strany kužeľa,

s = \sqrt{r^2 + v^2}

S_p

obsah podstavy kužeľa

S_{pl}

obsah plášťa kužeľa

Objem rotačného kužeľa

\displaystyle V = \frac{1}{3}\,S_p \cdot v = \frac{1}{3}\,\pi r^2 v

Povrch rotačného kužeľa

\displaystyle S = S_p + S_{pl} = \pi r^2 + \pi r s = \pi r\,(r + s)

Rovnostranný kužeľ: Ak je osovým rezom kužeľa rovnostranný trojuholník, teda $s = 2r$ a $v = r\sqrt{3}$ , hovoríme o rovnostrannom kuželi.

Časť 6prečítaná

Zrezaný ihlan a zrezaný kužeľ

Zrezaný ihlan: Rovina rovnobežná s rovinou podstavy, ktorá pretína výšku ihlana, rozdelí ihlan na menší ihlan a zrezaný ihlan.

Zrezaný štvorboký ihlan so stredom dolnej podstavy S1 a stredom hornej podstavy S2. Výška v je vzdialenosť rovín podstáv.

Označenie	Význam
$v$	výška zrezaného ihlana (vzdialenosť rovín podstáv)
$S_{p1},\ \allowbreak S_{p2}$	obsah dolnej a hornej podstavy
$S_{pl}$	obsah plášťa

v

výška zrezaného ihlana (vzdialenosť rovín podstáv)

S_{p1},\ \allowbreak S_{p2}

obsah dolnej a hornej podstavy

S_{pl}

obsah plášťa

Objem zrezaného ihlana

\displaystyle V = \frac{v}{3}\left(S_{p1} + \sqrt{S_{p1}\,S_{p2}} + S_{p2}\right)

Povrch zrezaného ihlana

\displaystyle S = S_{p1} + S_{p2} + S_{pl}

Zrezaný kužeľ: Rovina rovnobežná s rovinou podstavy, ktorá pretína výšku kužeľa, rozdelí kužeľ na menší kužeľ a zrezaný kužeľ.

Zrezaný kužeľ so stredom dolnej (väčšej) podstavy S1, stredom hornej (menšej) podstavy S2, výškou v a stranou s.

Označenie	Význam
$v$	výška zrezaného kužeľa (vzdialenosť rovín podstáv)
$s$	dĺžka strany
$r_1,\ \allowbreak r_2$	polomer dolnej a hornej podstavy
$S_{p1},\ \allowbreak S_{p2}$	obsah dolnej a hornej podstavy
$S_{pl}$	obsah plášťa

v

výška zrezaného kužeľa (vzdialenosť rovín podstáv)

s

dĺžka strany

r_1,\ \allowbreak r_2

polomer dolnej a hornej podstavy

S_{p1},\ \allowbreak S_{p2}

obsah dolnej a hornej podstavy

S_{pl}

obsah plášťa

Objem zrezaného kužeľa

\displaystyle V = \frac{\pi v}{3}\left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2\right)

Povrch zrezaného kužeľa

\displaystyle S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi\,(r_1 + r_2)\,s

Časť 7prečítaná

Guľa, guľový odsek a guľová vrstva

Guľa: Guľa so stredom $S$ a polomerom $r > 0$ je množina všetkých bodov priestoru, ktorých vzdialenosť od bodu $S$ je menšia alebo rovná $r$ . Guľa vznikne otáčaním polkruhu okolo jeho priemeru.

Objem a povrch gule

\displaystyle V = \frac{4}{3}\,\pi r^3, \qquad \allowbreak S = 4\pi r^2

Guľový odsek: Rovina, ktorá prechádza vnútorným bodom priemeru gule, rozdelí guľu na dva guľové odseky. Zakrivená časť povrchu odseku je guľový vrchlík.

Guľa so stredom S, z ktorej rovina odrezala horný guľový odsek. Q je stred podstavy odseku, ρ polomer podstavy a v výška odseku.

Označenie	Význam
$v$	výška odseku
$r$	polomer gule
$\rho$	polomer podstavy odseku
$Q$	stred podstavy odseku
$S_p$	obsah podstavy odseku
$S_{pl}$	obsah guľového vrchlíka, $S_{pl} = 2\pi r v$

v

výška odseku

r

polomer gule

\rho

polomer podstavy odseku

Q

stred podstavy odseku

S_p

obsah podstavy odseku

S_{pl}

obsah guľového vrchlíka,

S_{pl} = 2\pi r v

Objem guľového odseku

\displaystyle V = \frac{\pi v}{6}\left(3\rho^2 + v^2\right)

Povrch guľového odseku

\displaystyle S = S_p + S_{pl} = \pi\rho^2 + 2\pi r v

Guľová vrstva: Guľová vrstva je prienik gule a vrstvy ohraničenej dvoma rovnobežnými rovinami. Zakrivená časť jej povrchu je guľový pás.

Guľová vrstva medzi dvoma rovnobežnými rovinami. Q1 a Q2 sú stredy dolnej a hornej podstavy, ρ1 a ρ2 ich polomery, v výška vrstvy a S stred gule.

Označenie	Význam
$v$	výška guľovej vrstvy
$r$	polomer gule
$\rho_1,\ \allowbreak \rho_2$	polomer dolnej a hornej podstavy vrstvy
$Q_1,\ \allowbreak Q_2$	stred dolnej a hornej podstavy vrstvy
$S_{p1},\ \allowbreak S_{p2}$	obsah dolnej a hornej podstavy vrstvy
$S_{pl}$	obsah guľového pásu, $S_{pl} = 2\pi r v$

v

výška guľovej vrstvy

r

polomer gule

\rho_1,\ \allowbreak \rho_2

polomer dolnej a hornej podstavy vrstvy

Q_1,\ \allowbreak Q_2

stred dolnej a hornej podstavy vrstvy

S_{p1},\ \allowbreak S_{p2}

obsah dolnej a hornej podstavy vrstvy

S_{pl}

obsah guľového pásu,

S_{pl} = 2\pi r v

Objem guľovej vrstvy

\displaystyle V = \frac{\pi v}{6}\left(3\rho_1^2 + 3\rho_2^2 + v^2\right)

Povrch guľovej vrstvy

\displaystyle S = S_{p1} + S_{p2} + S_{pl} = \pi\left(\rho_1^2 + \rho_2^2\right) + 2\pi r v

Časť 8prečítaná

Prehľad vzorcov a riešené príklady

Prehľad vzorcov

Teleso	Objem	Povrch
kocka	$V = a^3$	$S = 6a^2$
kváder	$V = abc$	$S = 2(ab + ac + bc)$
hranol	$V = S_p \cdot v$	$S = 2S_p + S_{pl}$
ihlan	$V = \frac{1}{3}S_p \cdot v$	$S = S_p + S_{pl}$
rotačný valec	$V = \pi r^2 v$	$S = 2\pi r(r + v)$
rotačný kužeľ	$V = \frac{1}{3}\pi r^2 v$	$S = \pi r(r + s)$
zrezaný ihlan	$V = \frac{v}{3}\left(S_{p1} + \sqrt{S_{p1}S_{p2}} + S_{p2}\right)$	$S = S_{p1} + S_{p2} + S_{pl}$
zrezaný kužeľ	$V = \frac{\pi v}{3}\left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2\right)$	$S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi(r_1 + r_2)s$
guľa	$V = \frac{4}{3}\pi r^3$	$S = 4\pi r^2$
guľový odsek	$V = \frac{\pi v}{6}\left(3\rho^2 + v^2\right)$	$S = \pi\rho^2 + 2\pi r v$
guľová vrstva	$V = \frac{\pi v}{6}\left(3\rho_1^2 + 3\rho_2^2 + v^2\right)$	$S = \pi\left(\rho_1^2 + \rho_2^2\right) + 2\pi r v$

kocka

Objem: $V = a^3$
Povrch: $S = 6a^2$

kváder

Objem: $V = abc$
Povrch: $S = 2(ab + ac + bc)$

hranol

Objem: $V = S_p \cdot v$
Povrch: $S = 2S_p + S_{pl}$

ihlan

Objem: $V = \frac{1}{3}S_p \cdot v$
Povrch: $S = S_p + S_{pl}$

rotačný valec

Objem: $V = \pi r^2 v$
Povrch: $S = 2\pi r(r + v)$

rotačný kužeľ

Objem: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 v$
Povrch: $S = \pi r(r + s)$

zrezaný ihlan

Objem: $V = \frac{v}{3}\left(S_{p1} + \sqrt{S_{p1}S_{p2}} + S_{p2}\right)$
Povrch: $S = S_{p1} + S_{p2} + S_{pl}$

zrezaný kužeľ

Objem: $V = \frac{\pi v}{3}\left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2\right)$
Povrch: $S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi(r_1 + r_2)s$

guľa

Objem: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Povrch: $S = 4\pi r^2$

guľový odsek

Objem: $V = \frac{\pi v}{6}\left(3\rho^2 + v^2\right)$
Povrch: $S = \pi\rho^2 + 2\pi r v$

guľová vrstva

Objem: $V = \frac{\pi v}{6}\left(3\rho_1^2 + 3\rho_2^2 + v^2\right)$
Povrch: $S = \pi\left(\rho_1^2 + \rho_2^2\right) + 2\pi r v$

Riešený príklad

Pravidelný štvorboký ihlan

Pravidelný štvorboký ihlan má podstavnú hranu $a = 6$ cm a výšku $v = 4$ cm. Urči jeho stenovú výšku, objem a povrch.

Stenovú výšku $v_s$ nájdeš v pravouhlom trojuholníku, ktorého odvesny sú výška ihlana $v = 4$ cm a polomer kružnice vpísanej podstave $\frac{a}{2} = 3$ cm.
$\displaystyle v_s = \sqrt{v^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\ \text{cm}$
$\displaystyle V = \frac{1}{3}\,S_p \cdot v = \frac{1}{3}\cdot 6^2 \cdot 4 = 48\ \text{cm}^3$
Plášť tvoria štyri zhodné trojuholníky so základňou $a = 6$ cm a výškou $v_s = 5$ cm.
$\displaystyle S_{pl} = 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 60\ \text{cm}^2, \qquad \allowbreak S = S_p + S_{pl} = 36 + 60 = 96\ \text{cm}^2$

Výsledok: $v_s = 5$ cm, $V = 48$ cm $^3$ , $S = 96$ cm $^2$ .

Riešený príklad

Zrezaný kužeľ

Zrezaný kužeľ má polomery podstáv $r_1 = 5$ cm, $r_2 = 2$ cm a výšku $v = 4$ cm. Urči jeho objem a povrch.

Stranu $s$ vypočítaš z osového rezu, ktorý je rovnoramenný lichobežník. Výška $v$ a rozdiel polomerov $r_1 - r_2 = 3$ cm sú odvesny pravouhlého trojuholníka s preponou $s$ .
$\displaystyle s = \sqrt{v^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\ \text{cm}$
$\displaystyle V = \frac{\pi v}{3}\left(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2\right) = \frac{4\pi}{3}\,(25 + 10 + 4) = 52\pi \doteq 163{,}4\ \text{cm}^3$
$\displaystyle S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi\,(r_1 + r_2)\,s = 25\pi + 4\pi + 35\pi = 64\pi \doteq 201{,}1\ \text{cm}^2$

Výsledok: $V = 52\pi \doteq 163{,}4$ cm $^3$ , $S = 64\pi \doteq 201{,}1$ cm $^2$ .

Riešený príklad

Guľový odsek

Guľu s polomerom $r = 5$ cm pretne rovina vo vzdialenosti $3$ cm od stredu. Urči polomer rezu, objem menšieho guľového odseku a obsah jeho vrchlíka.

Stred gule, stred rezu a bod na okraji rezu tvoria pravouhlý trojuholník s preponou $r = 5$ cm a odvesnou $3$ cm.
$\displaystyle \rho = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\ \text{cm}, \qquad \allowbreak v = r - 3 = 2\ \text{cm}$
$\displaystyle V = \frac{\pi v}{6}\left(3\rho^2 + v^2\right) = \frac{2\pi}{6}\,(48 + 4) = \frac{52}{3}\,\pi \doteq 54{,}5\ \text{cm}^3$
$\displaystyle S_{pl} = 2\pi r v = 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \doteq 62{,}8\ \text{cm}^2$

Výsledok: $\rho = 4$ cm, $V = \frac{52}{3}\pi \doteq 54{,}5$ cm $^3$ , vrchlík má obsah $20\pi \doteq 62{,}8$ cm $^2$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 40

Rozmery kvádra sú v pomere

2 : 3 : 6

. Vypočítaj jeho povrch a objem, ak telesová uhlopriečka kvádra má veľkosť

14

Označ hrany

2k

3k

6k

. Z telesovej uhlopriečky

\sqrt{4k^2 + 9k^2 + 36k^2} = 7k = 14

dostaneš

k

S = 288

V = 288

(hrany kvádra sú

4

6

12

)

Pravidelný štvorboký ihlan má bočnú hranu dĺžky

s = 2a

a stranu štvorcovej podstavy dĺžky

a

. Vypočítaj jeho objem a povrch.

Výšku nájdeš z trojuholníka s bočnou hranou a polovicou uhlopriečky podstavy

\frac{a\sqrt{2}}{2}

, stenovú výšku z trojuholníka s bočnou hranou a polovicou podstavnej hrany

\frac{a}{2}

V = \frac{\sqrt{14}}{6}\,a^3

S = a^2\left(1 + \sqrt{15}\right)

Podstavu kolmého hranola tvorí pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky v pomere

3 : 4

. Výška hranola je o

2

cm menšia ako väčšia odvesna trojuholníkovej podstavy. Urči objem hranola, ak jeho povrch je

468

^2

Odvesny sú

3k

4k

, prepona

5k

a výška

4k - 2

. Z povrchu

2 \cdot 6k^2 + 12k\,(4k - 2) = 468

dostaneš rovnicu

5k^2 - 2k - 39 = 0

V = 540

^3

(odvesny

9

cm a

12

cm, výška hranola

10

cm)

Vyjadri v litroch objem koša na papier, ktorý má tvar pravidelného štvorbokého zrezaného ihlana. Hrany podstáv majú dĺžky

a = 28

cm,

b = 20

cm a bočná hrana má dĺžku

c = 36

cm.

Výšku nájdeš v uhlopriečnom reze. Je to rovnoramenný lichobežník so základňami

28\sqrt{2}

20\sqrt{2}

a ramenom

36

, preto

v^2 = 36^2 - \left(4\sqrt{2}\right)^2

v = 4\sqrt{79} \doteq 35{,}55

cm,

V \doteq 20\,668

^3 \doteq 20{,}7

Kocka a guľa majú rovnaké objemy. V akom pomere sú ich povrchy?

Z rovnosti

a^3 = \frac{4}{3}\pi r^3

vyjadri hranu

a

pomocou

r

a dosaď do pomeru

\frac{6a^2}{4\pi r^2}

S_{\text{kocky}} : S_{\text{gule}} = \sqrt[3]{6} : \sqrt[3]{\pi} \doteq 1{,}24 : 1

Výsek smrekového kmeňa má tvar rotačného valca s polomerom

r = 40

cm a výškou

v = 8

m. Objem kôry je

2

% z celkového objemu výseku. Urči:

a)
objem výseku bez kôry,
b)
hrúbku kôry, ak je všade rovnaká.

Bez kôry ostane valec s tou istou výškou a s polomerom

r_1

, pre ktorý

\pi r_1^2 v = 0{,}98 \cdot \pi r^2 v

. Hrúbka kôry je

r - r_1

a) $V \doteq 3{,}941$ m $^3$
b) $h \doteq 4$ mm

Pomer obsahu podstavy rotačného kužeľa k obsahu jeho plášťa je

3 : 5

. Vypočítaj povrch a objem kužeľa, ak jeho výška je

v = 4

cm.

\pi r^2 : \pi r s = r : s = 3 : 5

máš

r = 3k

s = 5k

a z Pytagorovej vety

v = 4k

V = 12\pi

^3

S = 24\pi

^2

(polomer

r = 3

cm, strana

s = 5

cm)

Do kocky s hranou

a

je vpísaný rotačný kužeľ, pričom jeho podstava je vpísaná do podstavy kocky. Vypočítaj povrch kužeľa.

Kužeľ má polomer podstavy

\frac{a}{2}

a výšku

a

(vrchol leží v strede hornej steny kocky). Stranu dostaneš z

s^2 = a^2 + \frac{a^2}{4}

S = \frac{\pi a^2}{4}\left(1 + \sqrt{5}\right)

V pravidelnom trojbokom ihlane

ABCV

označ

a

dĺžku podstavnej hrany,

v

telesovú výšku,

\alpha

uhol bočnej hrany s rovinou podstavy a

\beta

uhol bočnej steny s rovinou podstavy. Dokáž, že platí

\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\alpha

Päta výšky je ťažisko

T

rovnostranného trojuholníka

ABC

S_{BC}

označ stred hrany

BC

. Z pravouhlých trojuholníkov

ATV

S_{BC}TV

máš

\operatorname{tg}\alpha = \frac{v}{|AT|}

\operatorname{tg}\beta = \frac{v}{|TS_{BC}|}

. Ťažisko delí ťažnicu v pomere

2 : 1

, preto

|AT| = \frac{a\sqrt{3}}{3} = 2\,|TS_{BC}|

10.

Pravouhlý trojuholník s preponou dĺžky

c = 5

cm a obsahom

S = 6

^2

sa otáča okolo prepony.

a)
Vypočítaj objem vzniknutého rotačného telesa.
b)
Aký bude povrch vzniknutého rotačného telesa, ak prepona bude dlhá $10$ cm a obsah trojuholníka sa štvornásobne zväčší?

Vznikne teleso z dvoch kužeľov so spoločnou podstavou. Jej polomer je výška na preponu

v_c = \frac{2S}{c}

, súčet výšok kužeľov je

c

, takže objem je

\frac{1}{3}\pi v_c^2\, c

. Strany kužeľov sú odvesny trojuholníka, povrch je

\pi v_c\,(a + b)

a) $V = \frac{48}{5}\pi \doteq 30{,}16$ cm $^3$
b) $S = \frac{336}{5}\pi \doteq 211{,}1$ cm $^2$

11.

Do gule s polomerom

x

vpíšeš valec tak, aby polomer jeho podstavy bol o

2

cm a jeho výška o

1

cm menšia ako polomer gule. Vypočítaj:

a)
polomer gule,
b)
polomer gule, ak do nej vpíšeš rovnostranný valec (výška valca sa rovná priemeru podstavy) s polomerom $\sqrt{2}$ cm.

Stred gule leží v strede osi valca, preto

x^2 = r^2 + \left(\frac{v}{2}\right)^2

, kde

r

je polomer a

v

výška valca.

a) $x = 17$ cm
b) $2$ cm

12.

Valcová nádoba s polomerom

3

cm je celkom naplnená vodou.

a)
Koľko vody z nej vytlačí guľa s polomerom $5$ cm položená na valec?
b)
Aký je povrch zmáčanej časti gule?
c)
Ako by sa zmenilo riešenie, keby mala guľa polomer $2$ cm?

Guľa leží na okraji nádoby. Do vody zasahuje guľový odsek s polomerom podstavy

\rho = 3

cm a výškou

v = 5 - \sqrt{5^2 - 3^2} = 1

cm.

a) $\frac{14}{3}\pi \doteq 14{,}7$ cm $^3$
b) $10\pi \doteq 31{,}4$ cm $^2$
c)Guľa prepadne do nádoby a ponorí sa celá (ak je nádoba aspoň $4$ cm hlboká). Vytlačí $\frac{32}{3}\pi \doteq 33{,}5$ cm $^3$ vody a zmáčaný je celý jej povrch $16\pi \doteq 50{,}3$ cm $^2$ .

13.

Ako ďaleko sú od seba konce ôsmich povrazov, ktorými je k zemi pripevnený stožiar vysoký

30

m? Povrazy sú dlhé

25

m a sú upevnené v polovici výšky stožiara.

Konce povrazov ležia na kružnici so stredom v päte stožiara a polomerom

\sqrt{25^2 - 15^2} = 20

m. Pri rovnomernom rozmiestnení tvoria pravidelný osemuholník, susedné vrcholy sú od seba

2 \cdot 20 \cdot \sin 22{,}5^\circ

Susedné konce sú od seba približne

15{,}3

14.

Tri olovené gule s polomermi

r_1 = 3

cm,

r_2 = 4

cm,

r_3 = 5

cm zliali do jednej gule. Vypočítaj jej polomer a povrch.

Objem sa pri zliatí nemení, preto

\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\left(r_1^3 + r_2^3 + r_3^3\right)

r = 6

cm,

S = 144\pi \doteq 452{,}4

^2

(objem gule je

288\pi \doteq 904{,}8

^3

)

15.

Podstavu ihlana tvorí pravouhlý trojuholník s preponou dĺžky

c

a s ostrým uhlom

30^\circ

. Bočné hrany ihlana zvierajú s rovinou podstavy uhol

45^\circ

. Urči objem ihlana.

Všetky bočné hrany majú rovnaký sklon, preto sa vrchol premieta do stredu kružnice opísanej podstave, teda do stredu prepony. Výška je

v = \frac{c}{2}

, odvesny podstavy sú

\frac{c}{2}

\frac{c\sqrt{3}}{2}

V = \frac{\sqrt{3}\,c^3}{48}

16.

Uhlopriečny rez kvádra je štvorec s obsahom

4225

^2

. Hrana podstavy

a

je o

23

cm dlhšia ako hrana podstavy

b

. Urči povrch a objem kvádra.

Strana štvorca je

65

cm. Je to výška kvádra aj uhlopriečka podstavy, preto

b^2 + (b + 23)^2 = 65^2

S = 15\,266

^2

V = 120\,120

^3

(hrany

a = 56

cm,

b = 33

cm a výška

65

cm)

17.

Hmotnosť železnej kocky je

60

kg a hustota železa je

\rho = 7{,}5\ \text{kg}\cdot\text{dm}^{-3}

. Vypočítaj veľkosť jej hrany.

Objem kocky je

V = \frac{m}{\rho}

a = 2

18.

Urči objem pravidelného osemstena vpísaného do gule s polomerom

r

Osemsten sa skladá z dvoch pravidelných štvorbokých ihlanov so spoločnou podstavou. Podstava je štvorec s uhlopriečkou

2r

, teda s obsahom

2r^2

, a výška každého ihlana je

r

V = \frac{4}{3}\,r^3

19.

Podstavou kolmého hranola je pravouhlý trojuholník, ktorého dĺžky odvesien sú v pomere

3 : 4

. Výška hranola je o

2

cm menšia ako dlhšia z odvesien podstavy. Povrch hranola je

468

^2

. Vypočítaj jeho objem.

Postupuj ako v úlohe 3: odvesny

3k

4k

, prepona

5k

, výška

4k - 2

V = 540

^3

(je to tá istá úloha ako úloha 3)

20.

Stred hornej podstavy pravidelného štvorbokého hranola a stredy hrán dolnej podstavy tvoria vrcholy ihlana s objemom

V

. Urči objem hranola.

Stredy hrán štvorca so stranou

a

tvoria štvorec s polovičným obsahom

\frac{a^2}{2}

. Výška ihlana je rovnaká ako výška hranola.

6V

21.

Dĺžka telesovej uhlopriečky kocky je

3\sqrt{6}

cm. Vypočítaj:

a)
dĺžku hrany kocky,
b)
objem kocky,
c)
povrch kocky.

a) $a = 3\sqrt{2}$ cm
b) $V = 54\sqrt{2}$ cm $^3$
c) $S = 108$ cm $^2$

22.

Hranu kocky zväčšíš dvakrát. Koľkokrát sa zväčší:

a)
objem kocky,
b)
povrch kocky?

a) $8$ -krát
b) $4$ -krát

23.

Objem pravidelného štvorbokého hranola

ABCDEFGH

64

^3

. Odchýlka telesovej uhlopriečky

AG

od roviny podstavy je

45^\circ

. Vypočítaj jeho povrch.

Pri uhle

45^\circ

je výška hranola rovnaká ako uhlopriečka podstavy,

v = a\sqrt{2}

. Z rovnice

a^2 \cdot a\sqrt{2} = 64

vypočítaj

a

S = 16\sqrt[3]{4}\left(1 + 2\sqrt{2}\right) \doteq 97{,}2

^2

24.

Vypočítaj objem a povrch pravidelného šesťbokého hranola. Dĺžka podstavnej hrany je

4

cm, výška hranola je

6

cm.

Podstava je pravidelný šesťuholník zo šiestich rovnostranných trojuholníkov so stranou

4

cm.

V = 144\sqrt{3}

^3

S = \left(48\sqrt{3} + 144\right)

^2

25.

Vypočítaj objem a povrch pravidelného šesťbokého ihlana, ktorého podstavná hrana meria

3

cm a dĺžka bočnej hrany je

6

cm.

Polomer kružnice opísanej pravidelnému šesťuholníku sa rovná jeho strane, preto

v = \sqrt{6^2 - 3^2}

. Stenová výška je

\sqrt{6^2 - 1{,}5^2}

V = 40{,}5

^3

S = \frac{27}{2}\left(\sqrt{3} + \sqrt{15}\right) \doteq 75{,}7

^2

26.

Vypočítaj objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana, ktorého podstavná hrana má

4

cm. Odchýlka bočnej hrany od roviny podstavy je

60^\circ

Polovica uhlopriečky podstavy je

2\sqrt{2}

cm, preto

v = 2\sqrt{2}\cdot\operatorname{tg}60^\circ

a bočná hrana je

\frac{2\sqrt{2}}{\cos 60^\circ}

V = \frac{32\sqrt{6}}{3}

^3

S = 16\left(1 + \sqrt{7}\right)

^2

27.

Vypočítaj objem a povrch rotačného kužeľa s výškou

10

cm, ktorého strana má od roviny podstavy odchýlku

30^\circ

V osovom reze je

\operatorname{tg}30^\circ = \frac{v}{r}

\sin 30^\circ = \frac{v}{s}

V = 1000\pi

^3

S = 100\pi\left(3 + 2\sqrt{3}\right)

^2

(polomer

r = 10\sqrt{3}

cm, strana

s = 20

cm)

28.

Vypočítaj polomer podstavy a objem rotačného kužeľa, ak jeho rozvinutý plášť je kruhový výsek s polomerom

3

cm a so stredovým uhlom

120^\circ

Polomer výseku je strana kužeľa

s = 3

cm. Oblúk výseku

\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi s

sa rovná obvodu podstavy

2\pi r

r = 1

cm,

V = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\pi

^3

29.

Nálevka má tvar rovnostranného kužeľa. Vypočítaj obsah plochy zmáčanej vodou, ak do nálevky naleješ

3

litre vody.

Voda vyplní menší rovnostranný kužeľ (vrcholom nadol), pre ktorý

\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r\sqrt{3} = 3

^3

. Zmáčaný je jeho plášť

\pi r s = 2\pi r^2

S = 6\sqrt[3]{\pi} \doteq 8{,}79

^2

30.

Urči rozmery valcovej nádoby s objemom

5

litrov, ak výška nádoby sa rovná polovici priemeru podstavy.

Výška sa rovná polomeru, preto

\pi r^2 \cdot r = 5

^3

r = v = \sqrt[3]{\frac{5}{\pi}} \doteq 1{,}17

dm (priemer podstavy je asi

2{,}34

dm)

31.

Osovým rezom valca je obdĺžnik s uhlopriečkou dĺžky

20

cm. Výška valca je dvakrát väčšia ako priemer podstavy. Vypočítaj objem valca v litroch.

Osový rez má strany

2r

v = 4r

, preto

(2r)^2 + (4r)^2 = 20^2

V = 160\sqrt{5}\,\pi\ \text{cm}^3 \doteq 1{,}1

32.

Aká je približne dĺžka vlny, ktorá je namotaná na klbku tvaru gule s polomerom

8

cm, ak je priemer vlny

1

mm?

Vlnu si predstav ako veľmi dlhý valec s priemerom

1

mm, ktorý vyplní celú guľu. Z rovnosti objemov

\pi \cdot 0{,}05^2 \cdot \ell = \frac{4}{3}\pi \cdot 8^3

(v centimetroch) vypočítaj dĺžku

\ell

približne

2730

33.

Pravidelný štvorboký zrezaný ihlan má podstavné hrany dĺžok

6

cm a

4

cm. Bočná stena zviera s podstavou uhol

60^\circ

. Vypočítaj objem a povrch zrezaného ihlana.

V reze cez stredy protiľahlých hrán (rovnoramenný lichobežník so základňami

6

4

) je

v = 1 \cdot \operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}

cm a stenová výška

\frac{1}{\cos 60^\circ} = 2

cm.

V = \frac{76\sqrt{3}}{3}

^3

S = 92

^2

34.

Pravidelný štvorboký zrezaný ihlan má podstavné hrany dĺžok

6

cm a

4

cm. Bočná hrana zviera s podstavou uhol

60^\circ

. Vypočítaj objem a povrch zrezaného ihlana.

V uhlopriečnom reze (lichobežník so základňami

6\sqrt{2}

4\sqrt{2}

) je

v = \sqrt{2}\cdot\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{6}

cm a bočná hrana

2\sqrt{2}

cm. Stenová výška je

\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2 - 1^2} = \sqrt{7}

cm.

V = \frac{76\sqrt{6}}{3}

^3

S = \left(52 + 20\sqrt{7}\right)

^2

35.

Zrezaný kužeľ (

r_1 = 4

cm,

r_2 = 2

cm,

v = 6

cm) je rozdelený rovinou rovnobežnou s podstavou na dve časti s rovnakým objemom. Vypočítaj:

a)
polomer kružnice, ktorá je rezom,
b)
pomer, v ktorom rovina rezu delí výšku.

Doplň zrezaný kužeľ na celý kužeľ s výškou

12

cm. Vo vzdialenosti

z

od vrcholu je polomer rezu

\frac{z}{3}

. Zrezaný kužeľ má objem

56\pi

^3

a odrezaný kužeľ pri vrchole

8\pi

^3

, preto kužeľ od vrcholu po rovinu rezu musí mať objem

8\pi + 28\pi = 36\pi

^3

a) $r = \sqrt[3]{36} \doteq 3{,}30$ cm
b) $h_1 : h_2 \doteq 3{,}91 : 2{,}09 \doteq 1{,}865 : 1$ , kde $h_1$ je časť výšky pri menšej podstave a $h_2$ časť pri väčšej podstave

36.

Kocke opíš a vpíš guľu. Vypočítaj pomer objemov gule opísanej, kocky a gule vpísanej.

Polomer opísanej gule je polovica telesovej uhlopriečky

\frac{a\sqrt{3}}{2}

, polomer vpísanej gule je polovica hrany

\frac{a}{2}

V_{\text{op}} : V_{\text{k}} : V_{\text{vp}} = 3\sqrt{3}\,\pi : 6 : \pi

37.

Akú časť zemského povrchu vidíš z výšky

350

km nad Zemou?

Vidíš guľový vrchlík, ktorý ohraničujú body dotyku dotyčníc z tvojho miesta. Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov je jeho výška

k = R - \frac{R^2}{R + 350}

a obsah

2\pi R k

približne

13\,300\,000

^2

(pre polomer Zeme

R \doteq 6378

km), teda asi

2{,}6

% povrchu Zeme

38.

Vypočítaj objem a povrch šošovky, ktorá vznikne ako prienik dvoch gúľ s polomermi

8

cm a

4

cm. Vzdialenosť stredov gúľ je

10

cm.

Šošovka sa skladá z dvoch guľových odsekov so spoločnou podstavou. Rovina rezu je vo vzdialenosti

x

od stredu väčšej gule, kde

8^2 - x^2 = 4^2 - (10 - x)^2

, teda

x = 7{,}4

cm. Výšky odsekov sú

0{,}6

cm a

1{,}4

cm.

V = \frac{146}{15}\pi \doteq 30{,}6

^3

S = \frac{104}{5}\pi \doteq 65{,}3

^2

39.

Do krabice tvaru kvádra so štvorcovou podstavou s hranou

a = 6

cm a výškou

v = 4

cm dáš guľu s polomerom

3

cm. Vypočítaj obsah guľového vrchlíka, ktorý leží mimo kvádra.

Guľa leží na dne a dotýka sa bočných stien, jej najvyšší bod je vo výške

6

cm. Nad krabicou je vrchlík s výškou

2

cm.

S = 12\pi \doteq 37{,}7

^2

40.

Kužeľ má výšku

v = 6

cm a polomer podstavy

r = 2

cm.

a)
Vypočítaj polomer gule vpísanej do kužeľa.
b)
Vypočítaj, koľkokrát je objem kužeľa väčší ako objem gule vpísanej.

V osovom reze hľadáš kružnicu vpísanú do rovnoramenného trojuholníka so základňou

2r

, výškou

v

a ramenami

s = \sqrt{r^2 + v^2}

. Jej polomer je obsah trojuholníka delený polovicou obvodu:

\rho = \frac{r v}{r + s}

a) $\rho = \frac{2\left(\sqrt{10} - 1\right)}{3} \doteq 1{,}44$ cm
b)približne $2$ -krát ( $\frac{V_{\text{kužeľa}}}{V_{\text{gule}}} \doteq 2{,}003$ )

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.