Okruh 26 · Stereometria

Lineárne útvary v priestore – metrické vzťahy

Ako vypočítať uhly a vzdialenosti bodov, priamok a rovín v priestore, vektormi aj v kocke a ihlane.

asi 130 min · 6 častí · 38 úloh

0 z 6 častí · 0 z 38 úloh

V skratke

Odchýlka (uhol) dvoch útvarov je vždy z intervalu $\langle 0^\circ; 90^\circ \rangle$ , preto je vo vzorcoch absolútna hodnota skalárneho súčinu.
Uhol dvoch priamok: $\cos\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$ , kde $\vec u$ a $\vec v$ sú smerové vektory. Uhol dvoch rovín rovnako, len s normálovými vektormi.
Uhol priamky a roviny počítaš cez sínus: $\sin\alpha = \frac{|\vec n \cdot \vec s|}{|\vec n| \cdot |\vec s|}$ , kde $\vec n$ je normálový vektor roviny.
Vzdialenosť bodu od roviny je $|A, \rho| = \frac{|a a_1 + b a_2 + c a_3 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ , v rovine od priamky rovnako, len bez tretej súradnice.
Vzdialenosť rovnobežných útvarov prevedieš na vzdialenosť bodu od priamky alebo od roviny.
Dve priamky sú kolmé, keď je skalárny súčin ich smerových vektorov nula, dve roviny, keď je nula skalárny súčin ich normálových vektorov. Priamka je kolmá na rovinu, keď je jej smerový vektor násobkom normálového vektora roviny.
V kocke a ihlane hľadaj pravouhlý trojuholník, alebo teleso vlož do súradníc a počítaj s vektormi.

Časť 1prečítaná

Metrické úlohy

Úlohy, v ktorých počítaš vzdialenosti a odchýlky (uhly) bodov, priamok a rovín, sa volajú metrické úlohy. Dajú sa riešiť dvoma spôsobmi.

Dva spôsoby riešenia

Analyticky: útvary zapíšeš v súradniciach a vzdialenosti aj uhly vypočítaš pomocou vektorov a vzorcov z tohto okruhu.
Stereometricky: v telese nájdeš rovinný útvar, väčšinou trojuholník, v ktorom hľadaná vzdialenosť alebo uhol leží, a dopočítaš ho Pytagorovou vetou, goniometrickými funkciami alebo kosínusovou vetou.

Slovo odchýlka v zadaniach znamená to isté ako uhol dvoch útvarov. Odchýlka je vždy z intervalu $\langle 0^\circ; 90^\circ \rangle$ .

Časť 2prečítaná

Uhly lineárnych útvarov

Uhol dvoch priamok: Dve rôznobežné priamky $p$ a $q$ vytvoria dvojicu vedľajších uhlov. Uhlom priamok nazveme tú z oboch veľkostí, ktorá patrí do intervalu $\langle 0^\circ; 90^\circ \rangle$ . Rovnobežné priamky zvierajú uhol $0^\circ$ .

Veľkosť uhla dvoch priamok v rovine aj v priestore počítaš pomocou ich smerových vektorov $\vec u$ a $\vec v$ .

Uhol dvoch priamok

\displaystyle \cos\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}

$\vec u$ a $\vec v$ sú smerové vektory priamok. Absolútna hodnota v čitateli zaručí, že vyjde uhol z intervalu $\langle 0^\circ; 90^\circ \rangle$ .

Uhol dvoch priamok: priamky p a q sa pretínajú, na každej leží jej smerový vektor (u na priamke q, v na priamke p) a medzi vektormi je vyznačený uhol φ.

V rovine môžeš namiesto smerových vektorov použiť normálové vektory priamok, uhol vyjde rovnaký.

Uhol priamky a roviny: Uhol priamky a roviny je uhol priamky a jej pravouhlého priemetu do roviny. Ak je priamka na rovinu kolmá, uhol je $90^\circ$ . Ak je s rovinou rovnobežná alebo v nej leží, uhol je $0^\circ$ .

Uhol priamky a roviny môžeš určiť aj pomocou kolmice $k$ na rovinu. Ak priamky $p$ a $k$ zvierajú uhol $\beta$ a priamka $p$ s rovinou zviera uhol $\alpha$ , tak $\alpha + \beta = 90^\circ$ . Smerový vektor kolmice je normálový vektor roviny, preto namiesto kosínusu uhla $\beta$ počítaš sínus uhla $\alpha$ .

Uhol priamky a roviny

\displaystyle \sin\alpha = \frac{|\vec n \cdot \vec s|}{|\vec n| \cdot |\vec s|}

$\vec n$ je normálový vektor roviny a $\vec s$ je smerový vektor priamky.

Uhol dvoch rovín: Pre každé dve roviny $\rho$ a $\sigma$ platí, že ich uhol $\alpha$ sa rovná uhlu dvoch priamok, z ktorých jedna je kolmá na rovinu $\rho$ a druhá na rovinu $\sigma$ . Priamka kolmá na rovinu má smerový vektor rovný normálovému vektoru roviny. Rovnobežné roviny zvierajú uhol $0^\circ$ .

Uhol dvoch rovín

\displaystyle \cos\alpha = \frac{|\vec n_\rho \cdot \vec n_\sigma|}{|\vec n_\rho| \cdot |\vec n_\sigma|}

$\vec n_\rho$ a $\vec n_\sigma$ sú normálové vektory rovín $\rho$ a $\sigma$ .

Časť 3prečítaná

Vzdialenosti lineárnych útvarov

Vzdialenosť dvoch bodov. Ak má bod $X$ súradnice $[x_1; x_2]$ a bod $Y$ súradnice $[y_1; y_2]$ , vzdialenosť bodov vypočítaš takto:

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

\displaystyle |XY| = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2}

Vzdialenosť dvoch bodov v priestore

\displaystyle |XY| = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + (y_3 - x_3)^2}

V priestore pribudne tretia súradnica: $X[x_1; x_2; x_3]$ , $Y[y_1; y_2; y_3]$ .

Vzdialenosť bodu od priamky: Zápis $|A, p|$ je vzdialenosť bodu $A$ od päty kolmice, ktorú vedieš bodom $A$ na priamku $p$ .

V rovine: bod

A[a_1; a_2]

a priamka

p: ax + by + c = 0

\displaystyle |A, p| = \frac{|a a_1 + b a_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

V priestore: vzdialenosť bodu od priamky

1. spôsob: nech $P$ je päta kolmice vedenej bodom $A$ na priamku $p$ . Smerový vektor priamky $\vec s$ je kolmý na vektor $\overrightarrow{AP}$ , teda $\vec s \cdot \overrightarrow{AP} = 0$ . Z tejto rovnice vypočítaš parameter bodu $P$ a veľkosť vektora $\overrightarrow{AP}$ je vzdialenosť $|A, p|$ .
2. spôsob: bodom $A$ polož rovinu $\alpha \perp p$ a nájdi priesečník $\alpha \cap p = \{P\}$ . Vzdialenosť bodov $A$ a $P$ je hľadaná vzdialenosť $|A, p|$ .

Vzdialenosť bodu od roviny: Zápis $|A, \rho|$ je vzdialenosť bodu $A$ od päty kolmice, ktorú vedieš bodom $A$ na rovinu $\rho$ .

Bod

A[a_1; a_2; a_3]

a rovina

\rho: ax + by + cz + d = 0

\displaystyle |A, \rho| = \frac{|a a_1 + b a_2 + c a_3 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Rovnobežné útvary

Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok prevedieš na vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej priamky od druhej priamky.
Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín prevedieš na vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej roviny od druhej roviny.
Vzdialenosť priamky rovnobežnej s rovinou počítaš ako vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky od roviny.

Časť 4prečítaná

Kolmosť lineárnych útvarov

Kolmosť priamok: Priamky sú na seba kolmé, ak sa skalárny súčin ich smerových vektorov rovná nule: $\vec u \cdot \vec v = 0$ .

Kolmosť priamky a roviny

Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na každú priamku tejto roviny.
Ak je priamka kolmá na dve rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na rovinu.
Daným bodom možno viesť k danej rovine jedinú kolmú priamku.
Daným bodom možno viesť k danej priamke jedinú kolmú rovinu.
Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, keď jedna z nich obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu.

Pravouhlý priemet bodu: Pravouhlý priemet bodu $X$ do roviny je bod $X'$ , ktorý leží v rovine a na priamke idúcej bodom $X$ kolmo na rovinu.
Pravouhlý priemet priamky: Pravouhlý priemet priamky $p$ do roviny je množina pravouhlých priemetov všetkých bodov priamky $p$ do roviny.
Kolmosť rovín: Roviny sú na seba kolmé, ak sa skalárny súčin ich normálových vektorov rovná nule: $\vec n_\rho \cdot \vec n_\sigma = 0$ .

Platí

Rovina je kolmá na dve rôznobežné roviny práve vtedy, keď je kolmá na ich priesečnicu.

Priamka kolmá k rovine: Je to priamka, ktorej smerový vektor je násobkom normálového vektora roviny.

Časť 5prečítaná

Kocka a ihlan v súradniciach

V kocke $ABCDEFGH$ (aj v kvádri) je $ABCD$ dolná podstava a $EFGH$ horná podstava, pričom $E$ leží nad $A$ , $F$ nad $B$ , $G$ nad $C$ a $H$ nad $D$ . Pravidelný štvorboký ihlan $ABCDV$ má podstavu štvorec $ABCD$ a vrchol $V$ leží nad stredom podstavy. Pravidelný šesťboký ihlan $ABCDEFV$ má podstavu pravidelný šesťuholník.

Zápis $S_{XY}$ znamená stred úsečky $XY$ . Napríklad $S_{EG}$ je stred hornej steny kocky, $AS_{EG}$ je priamka cez body $A$ a $S_{EG}$ a $BCS_{AE}$ je rovina cez body $B$ , $C$ a $S_{AE}$ .

Stred úsečky

XY

\displaystyle S_{XY} = \left[\frac{x_1 + y_1}{2};\ \frac{x_2 + y_2}{2};\ \frac{x_3 + y_3}{2}\right]

Ak chceš úlohu v telese počítať analyticky, umiestni teleso do súradnicovej sústavy tak, aby súradnice vrcholov boli čo najjednoduchšie. Pre telesá z úloh tohto okruhu sa hodí napríklad toto:

Teleso	Súradnice vrcholov
kocka $ABCDEFGH$ , $a = 4$	$A[0; 0; 0]$ , $B[4; 0; 0]$ , $C[4; 4; 0]$ , $D[0; 4; 0]$ , $E[0; 0; 4]$ , $F[4; 0; 4]$ , $G[4; 4; 4]$ , $H[0; 4; 4]$
ihlan $ABCDV$ , $\|AB\| = 4$ , $v = 6$	$A[0; 0; 0]$ , $B[4; 0; 0]$ , $C[4; 4; 0]$ , $D[0; 4; 0]$ , $V[2; 2; 6]$
šesťboký ihlan $ABCDEFV$ , $\|AB\| = 4$ , $v = 6$	$A[4; 0; 0]$ , $B[2; 2\sqrt{3}; 0]$ , $C[-2; 2\sqrt{3}; 0]$ , $D[-4; 0; 0]$ , $E[-2; -2\sqrt{3}; 0]$ , $F[2; -2\sqrt{3}; 0]$ , $V[0; 0; 6]$

kocka

ABCDEFGH

a = 4

A[0; 0; 0]

B[4; 0; 0]

C[4; 4; 0]

D[0; 4; 0]

E[0; 0; 4]

F[4; 0; 4]

G[4; 4; 4]

H[0; 4; 4]

ihlan

ABCDV

|AB| = 4

v = 6

A[0; 0; 0]

B[4; 0; 0]

C[4; 4; 0]

D[0; 4; 0]

V[2; 2; 6]

šesťboký ihlan

ABCDEFV

|AB| = 4

v = 6

A[4; 0; 0]

B[2; 2\sqrt{3}; 0]

C[-2; 2\sqrt{3}; 0]

D[-4; 0; 0]

E[-2; -2\sqrt{3}; 0]

F[2; -2\sqrt{3}; 0]

V[0; 0; 6]

Pri šesťbokom ihlane je stred podstavy v začiatku sústavy. Pravidelný šesťuholník so stranou $4$ sa skladá zo šiestich rovnostranných trojuholníkov, preto má každý vrchol od stredu vzdialenosť $4$ .

Normálový vektor roviny cez tri body

\displaystyle \vec n = \vec u \times \vec v = (u_2 v_3 - u_3 v_2;\ \allowbreak u_3 v_1 - u_1 v_3;\ \allowbreak u_1 v_2 - u_2 v_1)

Pre rovinu $ABC$ zober $\vec u = \overrightarrow{AB}$ a $\vec v = \overrightarrow{AC}$ . Vektorový súčin je kolmý na oba vektory. Rovnako dobre môžeš vyriešiť sústavu $\vec n \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ , $\vec n \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ .

Čo sa pri stereometrickom riešení hodí

Uhlopriečka steny kocky s hranou $a$ má dĺžku $a\sqrt{2}$ , telesová uhlopriečka $a\sqrt{3}$ .
V pravidelnom štvorbokom ihlane s podstavnou hranou $a$ a výškou $v$ má bočná hrana dĺžku $\sqrt{v^2 + \frac{a^2}{2}}$ a výška bočnej steny dĺžku $\sqrt{v^2 + \frac{a^2}{4}}$ .
Spojnica stredov dvoch strán trojuholníka (stredná priečka) je rovnobežná s treťou stranou a má polovičnú dĺžku.

Časť 6prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Uhol priamky a roviny

Urči veľkosť uhla priamky $p: x = 1 + 3t,\ \allowbreak y = 2t,\ \allowbreak z = 4 - t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}$ a roviny $\alpha: 2x + y - z + 1 = 0$ .

Smerový vektor priamky je $\vec s = (3; 2; -1)$ , normálový vektor roviny je $\vec n = (2; 1; -1)$ . Hľadaný uhol označíme $\varphi$ , lebo písmeno $\alpha$ už má rovina.
$\displaystyle \vec n \cdot \vec s = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) = 9, \qquad \allowbreak |\vec n| = \sqrt{6}, \qquad \allowbreak |\vec s| = \sqrt{14}$
$\displaystyle \sin\varphi = \frac{|\vec n \cdot \vec s|}{|\vec n| \cdot |\vec s|} = \frac{9}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{9}{2\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{14} \doteq 0{,}982$
Uhol dopočítaš kalkulačkou.

Výsledok: $\varphi \doteq 79^\circ 06'$

Riešený príklad

Vzdialenosť bodu od priamky v priestore

Vypočítaj vzdialenosť bodu $A[6; -6; 5]$ od priamky $p: x = 4,\ \allowbreak y = 1 - 6t,\ \allowbreak z = 4 - 6t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}$ .

Použijeme 1. spôsob. Päta kolmice $P$ leží na priamke, preto má tvar $P[4; 1 - 6t; 4 - 6t]$ pre nejaké $t$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AP} = P - A = (-2;\ \allowbreak 7 - 6t;\ \allowbreak -1 - 6t), \qquad \allowbreak \vec s = (0; -6; -6)$
Vektor $\overrightarrow{AP}$ je kolmý na smerový vektor priamky, ich skalárny súčin je preto nula.
$\displaystyle \vec s \cdot \overrightarrow{AP} = 0 - 6(7 - 6t) - 6(-1 - 6t) = -36 + 72t = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{1}{2}$
Päta kolmice je $P[4; -2; 1]$ a $\overrightarrow{AP} = (-2; 4; -4)$ .
$\displaystyle |A, p| = |\overrightarrow{AP}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$

Výsledok: $|A, p| = 6$

Riešený príklad

Uhol priamky a roviny v kocke

V kocke $ABCDEFGH$ s hranou $a$ urči odchýlku priamky $BH$ od roviny $ABC$ .

Bod $H$ leží nad bodom $D$ , preto pravouhlý priemet priamky $BH$ do roviny $ABC$ je priamka $BD$ . Hľadaný uhol je $\alpha = |\sphericalangle DBH|$ .
Trojuholník $BDH$ je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole $D$ . Odvesna $|DH| = a$ je hrana kocky a odvesna $|BD| = a\sqrt{2}$ je uhlopriečka štvorca.
$\displaystyle \operatorname{tg}\alpha = \frac{|DH|}{|BD|} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \doteq 0{,}707$
Uhol nezávisí od veľkosti hrany. Rovnaký výsledok dá aj analytický vzorec: v súradniciach z tabuľky je $\vec s = \overrightarrow{BH} = (-4; 4; 4)$ , $\vec n = (0; 0; 1)$ a $\sin\alpha = \frac{4}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Výsledok: $\alpha \doteq 35^\circ 16'$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 38

Vypočítaj uhol priamok

x + 5y + 9 = 0

2x - 3y + 1 = 0

V rovine môžeš použiť normálové vektory

(1; 5)

(2; -3)

. Vyjde

\cos\varphi = \frac{13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\varphi = 45^\circ

Vypočítaj uhol priamok

p: x = 10 + 10t,\ \allowbreak y = 2 + 2t,\ \allowbreak z = 11 + 11t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}

q: x = 1 + 3s,\ \allowbreak y = -2 + 12s,\ \allowbreak z = 4s,\ \allowbreak s \in \mathbb{R}

Smerové vektory sú

\vec u = (10; 2; 11)

\vec v = (3; 12; 4)

. Ich veľkosti vyjdú celé čísla:

|\vec u| = 15

|\vec v| = 13

\cos\varphi = \frac{98}{195}

\varphi \doteq 59^\circ 50'

Urči veľkosť uhla priamky

p: x = 1 + 3t,\ \allowbreak y = 2t,\ \allowbreak z = 4 - t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}

a roviny

\alpha: 2x + y - z + 1 = 0

Postup je v riešenom príklade:

\vec s = (3; 2; -1)

\vec n = (2; 1; -1)

a vzorec so sínusom.

\sin\varphi = \frac{3\sqrt{21}}{14}

\varphi \doteq 79^\circ 06'

Urči veľkosť uhla rovín

2x + y - z + 1 = 0

x - y + z = 0

Skalárny súčin normálových vektorov

(2; 1; -1)

(1; -1; 1)

vyjde nula.

\alpha = 90^\circ

, roviny sú na seba kolmé.

Vypočítaj vzdialenosť bodu

A[3; 5]

od priamky

p: 3x + 3y - 2 = 0

|A, p| = \frac{22}{\sqrt{18}} = \frac{11\sqrt{2}}{3} \doteq 5{,}19

Vypočítaj vzdialenosť bodu

A[6; -6; 5]

od priamky

p: x = 4,\ \allowbreak y = 1 - 6t,\ \allowbreak z = 4 - 6t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}

Celý postup je v riešenom príklade. Päta kolmice vyjde

P[4; -2; 1]

|A, p| = 6

Vypočítaj vzdialenosť priamok

3x - 4y - 20 = 0

6x - 8y + 25 = 0

Normálové vektory

(3; -4)

(6; -8)

sú násobky, priamky sú teda rovnobežné. Zober bod prvej priamky, napríklad

[0; -5]

, a vypočítaj jeho vzdialenosť od druhej priamky.

Priamky sú rovnobežné, ich vzdialenosť je

\frac{13}{2} = 6{,}5

Napíš rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom

A[2; 3]

a má od bodu

B[0; -1]

vzdialenosť

v = 4

Priamku hľadaj v tvare

a(x - 2) + b(y - 3) = 0

a vzdialenosť bodu

B

od nej polož rovnú

4

. Priamka

x = 2

rovnobežná s osou

y

má od

B

vzdialenosť len

2

Úlohe vyhovujú dve priamky:

y - 3 = 0

4x + 3y - 17 = 0

Vypočítaj vzdialenosť bodu

A[3; 1; 5]

od roviny

x - y + 2z - 3 = 0

|A, \rho| = \frac{9}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \doteq 3{,}67

10.

Vypočítaj vzdialenosť rovín

2x - 3y + 4z - 1 = 0

2x - 3y + 4z - 10 = 0

Roviny majú rovnaký normálový vektor

(2; -3; 4)

. Vzdialenosť je

\frac{|-1 - (-10)|}{\sqrt{4 + 9 + 16}}

Roviny sú rovnobežné, ich vzdialenosť je

\frac{9}{\sqrt{29}} = \frac{9\sqrt{29}}{29} \doteq 1{,}67

11.

Napíš rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom

A[1; 3]

tak, že s priamkou

p: 4y - 5 = 0

zviera uhol

\alpha = 45^\circ

Priamka

p

je rovnobežná s osou

x

. Priamka, ktorá s ňou zviera uhol

45^\circ

, má smernicu

k = 1

alebo

k = -1

Úlohe vyhovujú dve priamky:

x - y + 2 = 0

x + y - 4 = 0

12.

Napíš všeobecnú rovnicu roviny

\tau

, ktorá prechádza priesečnicou rovín

\alpha: x - y + 1 = 0

\beta: 2x + y + z = 0

a je kolmá na rovinu

\rho: 2x + y + z + 3 = 0

Každá rovina, ktorá prechádza priesečnicou rovín

\alpha

\beta

(okrem samotnej roviny

\beta

), má rovnicu

(x - y + 1) + \lambda(2x + y + z) = 0

. Číslo

\lambda

urči z podmienky, že skalárny súčin jej normálového vektora a vektora

(2; 1; 1)

je nula. Vyjde

\lambda = -\frac{1}{6}

. Rovina

\beta

úlohe nevyhovuje, lebo je s

\rho

rovnobežná.

\tau: 4x - 7y - z + 6 = 0

13.

Na priamke

p: 5x - 4y = 28

urči bod, ktorý má od bodov

M[1; 5]

N[7; -3]

rovnakú vzdialenosť.

Body s rovnakou vzdialenosťou od

M

N

ležia na osi úsečky

MN

, tá má rovnicu

3x - 4y - 8 = 0

. Hľadaný bod je jej priesečník s priamkou

p

X\left[10; \frac{11}{2}\right]

14.

Vzdialenosť bodu

A

od roviny

\sigma

predstavuje stranu štvorca

ABCD

. Vypočítaj obsah tohto štvorca, ak platí

\sigma: 3x + 2y - 6z + 26 = 0

A[9; -2; 0]

Vzdialenosť je

\frac{|27 - 4 - 0 + 26|}{\sqrt{9 + 4 + 36}} = \frac{49}{7}

|A, \sigma| = 7

, obsah štvorca je

S = 49

15.

Vrcholy štvorstena sú body

A[2; -1; 1]

B[4; 1; -9]

C[3; -2; 4]

D[14; 11; -5]

. Urči odchýlku hrany

AD

od roviny

\rho = ABC

Normálový vektor roviny

ABC

je napríklad

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-4; -16; -4)

, teda aj

(1; 4; 1)

. Smerový vektor hrany je

\overrightarrow{AD} = (12; 12; -6)

, teda aj

(2; 2; -1)

. Vyjde

\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}

\alpha = 45^\circ

16.

Urči rovnice dvoch navzájom kolmých priamok, ktoré prechádzajú bodom

A[7; 1]

a od začiatku súradnicovej sústavy majú rovnakú vzdialenosť.

Ak má prvá priamka normálový vektor

(a; b)

, druhá má normálový vektor

(-b; a)

. Obe priamky prechádzajú bodom

A

, porovnaj ich vzdialenosti od bodu

[0; 0]

. Vyjde

|7a + b| = |a - 7b|

p: 3x + 4y - 25 = 0

q: 4x - 3y - 25 = 0

, obe majú od začiatku vzdialenosť

5

17.

Sú dané body

M[-2; 3]

A[5; -1]

B[3; 7]

. Nájdi všetky priamky, ktoré prechádzajú bodom

M

a majú od bodov

A

B

rovnakú vzdialenosť.

Priamka má od bodov

A

B

rovnakú vzdialenosť práve vtedy, keď je rovnobežná s priamkou

AB

alebo keď prechádza stredom úsečky

AB

, tu bodom

[4; 3]

Dve priamky:

4x + y + 5 = 0

(rovnobežná s

AB

) a

y - 3 = 0

(prechádza stredom úsečky

AB

18.

Je daný kváder

ABCDEFGH

s rozmermi

|AB| = 12

cm,

|BC| = 8

cm,

|CG| = 5

cm. Urči vzájomnú polohu priamok a vypočítaj ich uhol:

a)
$EB$ a $HC$ ,
b)
$AF$ a $CD$ ,
c)
$EG$ a $DG$ .

EBCH

je obdĺžnik. b)

CD \parallel AB

, preto hľadáš uhol

FAB

v pravouhlom trojuholníku

ABF

. c) Strany trojuholníka

DEG

sú

|EG| = \sqrt{208}

|DG| = 13

|DE| = \sqrt{89}

, použi kosínusovú vetu.

a)rovnobežné, $\varphi = 0^\circ$
b)mimobežné, $\cos\varphi = \frac{12}{13}$ , $\varphi \doteq 22^\circ 37'$
c)rôznobežné (pretínajú sa v bode $G$ ), $\cos\varphi = \frac{36\sqrt{13}}{169}$ , $\varphi \doteq 39^\circ 49'$

19.

Body

M

N

sú stredy hrán

CD

AB

pravidelného štvorstena

ABCD

. Dokáž, že:

a)
rovina $AMB$ je kolmá na priamku $CD$ ,
b)
$MN \perp AB$ a $MN \perp CD$ ,
c)
$AB \perp CD$ .

a) Steny

ACD

BCD

sú rovnostranné trojuholníky, preto ich ťažnice

AM

BM

sú zároveň výšky:

AM \perp CD

BM \perp CD

. Priamka

CD

je kolmá na dve rôznobežné priamky roviny

AMB

, teda na celú rovinu. b) Trojuholník

ABM

je rovnoramenný (

|AM| = |BM|

) a

N

je stred jeho základne, preto

MN \perp AB

. Rovnako trojuholník

CDN

je rovnoramenný a

M

je stred

CD

, preto

MN \perp CD

. c) Priamka

AB

leží v rovine

AMB

, ktorá je podľa a) kolmá na

CD

20.

Pomer výšky pravidelného šesťbokého ihlana

ABCDEFV

k veľkosti jeho podstavnej hrany je

\sqrt{6} : 4

. Urči uhol rovín

BCV

DEV

Zvoľ podstavnú hranu

4

, výška je potom

\sqrt{6}

. Ihlan umiestni do súradníc ako v tabuľke (len s

V[0; 0; \sqrt{6}]

) a vypočítaj uhol normálových vektorov rovín

BCV

DEV

\alpha = 60^\circ

21.

Je daná kocka

ABCDEFGH

. Vypočítaj odchýlku priamok:

a)
$AC$ a $CH$ ,
b)
$AC$ a $EC$ ,
c)
$AG$ a $BH$ ,
d)
$AF$ a $CH$ ,
e)
$AE$ a $BH$ ,
f)
$AS_{EG}$ a $S_{AB}S_{BC}$ ,
g)
$AF$ a $BH$ ,
h)
$DE$ a $BH$ ,
i)
$AC$ a $BH$ .

Mimobežku posuň rovnobežne do spoločného bodu (napr. pri e) je

AE \parallel BF

, takže hľadáš uhol

FBH

), alebo kocku umiestni do súradníc a počítaj so smerovými vektormi. Pri a) je trojuholník

ACH

rovnostranný.

a) $60^\circ$
b) $\cos\varphi = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , $\varphi \doteq 35^\circ 16'$
c) $\cos\varphi = \frac{1}{3}$ , $\varphi \doteq 70^\circ 32'$
d) $90^\circ$
e) $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\varphi \doteq 54^\circ 44'$
f) $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\varphi \doteq 54^\circ 44'$
g) $90^\circ$
h) $90^\circ$
i) $90^\circ$

22.

Je daná kocka

ABCDEFGH

. Urči konštrukčne odchýlku daných priamok. Veľkosť odchýlky odmeraj uhlomerom.

a)
$BH$ a $DF$ ,
b)
$AS_{BC}$ a $CH$ ,
c)
$DH$ a $BS_{GH}$ .

Ak sa priamky nepretínajú, jednu posuň rovnobežne do bodu druhej (napr. pri b) je

CH \parallel BE

). Potom zostroj v skutočnej veľkosti trojuholník, v ktorom uhol leží, jeho strany poznáš z kocky, a uhol odmeraj.

a)približne $71^\circ$ (výpočtom $\cos\varphi = \frac{1}{3}$ , $\varphi \doteq 70^\circ 32'$ )
b)približne $51^\circ$ (výpočtom $\cos\varphi = \frac{\sqrt{10}}{5}$ , $\varphi \doteq 50^\circ 46'$ )
c)približne $48^\circ$ (výpočtom $\cos\varphi = \frac{2}{3}$ , $\varphi \doteq 48^\circ 11'$ )

23.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj odchýlku priamok:

a)
$AV$ a $DV$ ,
b)
$AV$ a $CV$ ,
c)
$AB$ a $VS_{AB}$ ,
d)
$BC$ a $AV$ ,
e)
$BD$ a $AV$ ,
f)
$AC$ a $BV$ ,
g)
$AC$ a $VS_{BC}$ ,
h)
$AS_{CV}$ a $CS_{AV}$ ,
i)
$AS_{CV}$ a $BS_{DV}$ .

Bočná hrana má dĺžku

\sqrt{36 + 8} = 2\sqrt{11}

. Pri a) a b) použi kosínusovú vetu v trojuholníku

ADV

, resp.

ACV

. Na ostatné sa hodia súradnice

A[0; 0; 0]

B[4; 0; 0]

C[4; 4; 0]

D[0; 4; 0]

V[2; 2; 6]

a) $\cos\varphi = \frac{9}{11}$ , $\varphi \doteq 35^\circ 06'$
b) $\cos\varphi = \frac{7}{11}$ , $\varphi \doteq 50^\circ 29'$
c) $90^\circ$
d) $\cos\varphi = \frac{\sqrt{11}}{11}$ , $\varphi \doteq 72^\circ 27'$
e) $90^\circ$
f) $90^\circ$
g) $\cos\varphi = \frac{\sqrt{5}}{10}$ , $\varphi \doteq 77^\circ 05'$
h) $\cos\varphi = \frac{1}{3}$ , $\varphi \doteq 70^\circ 32'$
i) $\cos\varphi = \frac{1}{3}$ , $\varphi \doteq 70^\circ 32'$

24.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Urči konštrukčne odchýlku daných priamok. Veľkosť odchýlky odmeraj uhlomerom.

a)
$AD$ a $BV$ ,
b)
$CD$ a $BS_{CV}$ ,
c)
$BD$ a $CV$ .

Pri a) je

AD \parallel BC

, takže meriaš uhol

CBV

v bočnej stene. Pri b) je

CD \parallel AB

. Bočnú stenu alebo potrebný trojuholník zostroj v skutočnej veľkosti a uhol odmeraj.

a)približne $72^\circ$ (výpočtom $\cos\varphi = \frac{\sqrt{11}}{11}$ , $\varphi \doteq 72^\circ 27'$ )
b)približne $77^\circ$ (výpočtom $\cos\varphi = \frac{\sqrt{19}}{19}$ , $\varphi \doteq 76^\circ 44'$ )
c) $90^\circ$

25.

Je daná kocka

ABCDEFGH

. Vypočítaj odchýlku priamky od roviny:

a)
$BH$ a $ABC$ ,
b)
$BH$ a $BCF$ ,
c)
$AG$ a $BCG$ ,
d)
$AS_{EG}$ a $BDH$ ,
e)
$AS_{EG}$ a $CDH$ ,
f)
$AS_{EG}$ a $BCF$ ,
g)
$CE$ a $CDH$ ,
h)
$EC$ a $AGH$ ,
i)
$AC$ a $EGS_{CD}$ .

Nájdi pravouhlý priemet priamky do roviny a uhol hľadaj v pravouhlom trojuholníku (ako v riešenom príklade), alebo použi vzorec so sínusom. Pri i) je

AC \parallel EG

a priamka

EG

leží v rovine.

a) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$
b) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$
c) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$
d) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$
e) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{6}$ , $\alpha \doteq 24^\circ 06'$
f) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{6}$ , $\alpha \doteq 24^\circ 06'$
g) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$
h) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , $\alpha \doteq 54^\circ 44'$
i) $0^\circ$ , priamka je s rovinou rovnobežná

26.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj odchýlku priamky od roviny:

a)
$VS_{AC}$ a $ABC$ ,
b)
$VS_{AC}$ a $BCV$ ,
c)
$AV$ a $ABC$ ,
d)
$AV$ a $BCV$ ,
e)
$BS_{DV}$ a $ABC$ ,
f)
$BS_{DV}$ a $S_{AB}S_{CD}V$ .

VS_{AC}

je výška ihlana, preto je kolmá na podstavu. Pri b) sa výška premieta do roviny

BCV

na priamku

VS_{BC}

, uhol je v trojuholníku so stranami

|VS_{AC}| = 6

|S_{AC}S_{BC}| = 2

. Na ostatné sa hodia súradnice.

a) $90^\circ$
b) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$ , $\alpha \doteq 18^\circ 26'$
c) $\sin\alpha = \frac{3\sqrt{11}}{11}$ , $\alpha \doteq 64^\circ 46'$
d) $\sin\alpha = \frac{3\sqrt{110}}{55}$ , $\alpha \doteq 34^\circ 54'$
e) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$
f) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$

27.

Je daná kocka

ABCDEFGH

. Vypočítaj odchýlku daných rovín:

a)
$ACG$ a $BDH$ ,
b)
$ABC$ a $BDG$ ,
c)
$EFC$ a $AGH$ ,
d)
$ABC$ a $S_{BF}S_{CG}S_{EH}$ ,
e)
$ABG$ a $BEG$ ,
f)
$ABG$ a $ACE$ .

Nájdi priesečnicu rovín a v každej rovine veď na ňu kolmicu z toho istého bodu, alebo porovnaj normálové vektory. Pri b) je priesečnica

BD

a uhol leží v trojuholníku

GCS_{BD}

s pravým uhlom pri

C

a) $90^\circ$
b) $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\alpha \doteq 54^\circ 44'$
c) $90^\circ$
d) $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ , $\alpha \doteq 26^\circ 34'$
e) $\cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$ , $\alpha \doteq 35^\circ 16'$
f) $60^\circ$

28.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj odchýlku daných rovín:

a)
$ABC$ a $ADV$ ,
b)
$ADV$ a $BCV$ ,
c)
$BCV$ a $VS_{AB}S_{CD}$ ,
d)
$ABV$ a $BCV$ ,
e)
$BCS_{AV}$ a $ADS_{BV}$ ,
f)
$ADV$ a $BCS_{AV}$ .

Pri a) leží uhol v pravouhlom trojuholníku s odvesnami

v = 6

\frac{|AB|}{2} = 2

(výška ihlana a vzdialenosť stredu podstavy od hrany

AD

), teda

\operatorname{tg}\alpha = 3

. Na ostatné sa hodia normálové vektory v súradniciach.

a) $\cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$ , $\alpha \doteq 71^\circ 34'$
b) $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ , $\alpha \doteq 36^\circ 52'$
c) $\cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ , $\alpha \doteq 18^\circ 26'$
d) $\cos\alpha = \frac{1}{10}$ , $\alpha \doteq 84^\circ 16'$
e) $90^\circ$
f) $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ , $\alpha \doteq 63^\circ 26'$

29.

Je daný pravidelný šesťboký ihlan

ABCDEFV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj odchýlku daných rovín:

a)
$ABV$ a $ABC$ ,
b)
$ABV$ a $DEV$ ,
c)
$ABV$ a $BCV$ ,
d)
$ABV$ a $CDV$ .

Stred podstavy má od hrany

AB

vzdialenosť

2\sqrt{3}

(výška rovnostranného trojuholníka so stranou

4

). Pri a) je preto

\operatorname{tg}\alpha = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}

. Na ostatné sa hodia súradnice z tabuľky.

a) $60^\circ$
b) $60^\circ$
c) $\cos\alpha = \frac{5}{8}$ , $\alpha \doteq 51^\circ 19'$
d) $\cos\alpha = \frac{1}{8}$ , $\alpha \doteq 82^\circ 49'$

30.

Je daná kocka

ABCDEFGH

a = 4

cm. Vypočítaj vzdialenosť daných bodov:

a)
$A$ a $G$ ,
b)
$A$ a $S_{GH}$ ,
c)
$A$ a $S_{EG}$ ,
d)
$B$ a $S_{AH}$ ,
e)
$S_{AC}$ a $S_{CG}$ ,
f)
$S_{BG}$ a $S_{AF}$ .

Použi Pytagorovu vetu v trojuholníku, alebo vzorec pre vzdialenosť bodov v súradniciach z tabuľky, napr.

S_{GH} = [2; 4; 4]

a) $4\sqrt{3}$ cm
b) $6$ cm
c) $2\sqrt{6}$ cm
d) $2\sqrt{6}$ cm
e) $2\sqrt{3}$ cm
f) $2\sqrt{2}$ cm

31.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj vzdialenosť daných dvoch bodov:

a)
$A$ a $V$ ,
b)
$V$ a $S_{BC}$ ,
c)
$A$ a $S_{CV}$ ,
d)
$A$ a $S_{DV}$ ,
e)
$S_{AC}$ a $S_{CV}$ ,
f)
$S_{AD}$ a $S_{CV}$ .

V súradniciach je

V[2; 2; 6]

a napr.

S_{CV} = [3; 3; 3]

S_{DV} = [1; 3; 3]

a) $2\sqrt{11}$ cm
b) $2\sqrt{10}$ cm
c) $3\sqrt{3}$ cm
d) $\sqrt{19}$ cm
e) $\sqrt{11}$ cm
f) $\sqrt{19}$ cm

32.

Je daná kocka

ABCDEFGH

a = 4

cm. Vypočítaj vzdialenosť daného bodu od danej priamky:

a)
$F$ a $AB$ ,
b)
$F$ a $AC$ ,
c)
$F$ a $AD$ ,
d)
$F$ a $AH$ ,
e)
$E$ a $BH$ ,
f)
$A$ a $FH$ ,
g)
$H$ a $AS_{CG}$ ,
h)
$S_{AD}$ a $BG$ ,
i)
$B$ a $S_{AH}S_{FH}$ .

Pri b) je trojuholník

ACF

a pri d) a f) trojuholník

AFH

rovnostranný so stranou

4\sqrt{2}

, hľadaná vzdialenosť je jeho výška. Pri c) je

AD

kolmá na stenu

ABFE

, preto je vzdialenosť rovná

|AF|

. Pri e) je trojuholník

BEH

pravouhlý s pravým uhlom pri

E

a vzdialenosť je výška na preponu

BH

. Inak použi 1. spôsob so súradnicami.

a) $4$ cm
b) $2\sqrt{6}$ cm
c) $4\sqrt{2}$ cm
d) $2\sqrt{6}$ cm
e) $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ cm
f) $2\sqrt{6}$ cm
g) $4$ cm
h) $3\sqrt{2}$ cm
i) $\sqrt{22}$ cm

33.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj vzdialenosť daného bodu od danej priamky:

a)
$V$ a $BC$ ,
b)
$A$ a $CV$ ,
c)
$S_{CV}$ a $AV$ ,
d)
$S_{CV}$ a $BD$ ,
e)
$B$ a $S_{AV}S_{DV}$ ,
f)
$A$ a $S_{CV}S_{DV}$ .

Pri a) je vzdialenosť výška bočnej steny. Pri b) počítaj výšku trojuholníka

ACV

so stranami

4\sqrt{2}

2\sqrt{11}

2\sqrt{11}

z vrcholu

A

cez jeho obsah. Pri c) je

S_{CV}

stred strany

CV

, preto je vzdialenosť polovicou výšky z vrcholu

C

, ktorá je rovnako dlhá ako výška z

A

. Pri e) a f) ležia stredy bočných hrán v rovine

z = 3

, napr.

S_{AV} = [1; 1; 3]

S_{DV} = [1; 3; 3]

. Pozor na zámenu pri e): v zdrojových výsledkoch je uvedené

\sqrt{17}

cm, to je však vzdialenosť bodu

B

od priamky

S_{AV}S_{CV}

. Pre priamku

S_{AV}S_{DV}

(body

[1; y; 3]

) vyjde

3\sqrt{2}

cm.

a) $2\sqrt{10}$ cm
b) $\frac{12\sqrt{22}}{11}$ cm
c) $\frac{6\sqrt{22}}{11}$ cm
d) $\sqrt{11}$ cm
e) $3\sqrt{2}$ cm
f) $3\sqrt{2}$ cm

34.

Je daná kocka

ABCDEFGH

a = 4

cm. Vypočítaj vzdialenosť rovnobežných priamok:

a)
$AE$ a $CG$ ,
b)
$S_{AB}S_{BC}$ a $S_{EH}S_{GH}$ ,
c)
$AS_{BG}$ a $S_{AE}S_{FG}$ .

Zober ľubovoľný bod jednej priamky a vypočítaj jeho vzdialenosť od druhej priamky. Pri a) je to uhlopriečka steny.

a) $4\sqrt{2}$ cm
b) $2\sqrt{6}$ cm
c) $\frac{\sqrt{30}}{3}$ cm

35.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Dokáž, že dané priamky sú rovnobežné, a vypočítaj ich vzdialenosť:

a)
$AB$ a $S_{CV}S_{DV}$ ,
b)
$AV$ a $S_{AB}S_{BV}$ ,
c)
$CV$ a $S_{AC}S_{AV}$ .

Rovnobežnosť dokážeš strednou priečkou: pri a) je

S_{CV}S_{DV}

stredná priečka trojuholníka

CDV

, preto je rovnobežná s

CD

, a

CD \parallel AB

. Pri b) je

S_{AB}S_{BV}

stredná priečka trojuholníka

ABV

a pri c) je

S_{AC}S_{AV}

stredná priečka trojuholníka

ACV

. Vzdialenosť potom počítaj ako vzdialenosť bodu od priamky.

a) $3\sqrt{2}$ cm
b) $\frac{2\sqrt{110}}{11}$ cm
c) $\frac{6\sqrt{22}}{11}$ cm

36.

Je daná kocka

ABCDEFGH

a = 4

cm. Vypočítaj vzdialenosť:

a)
bodu $F$ od roviny $BEH$ ,
b)
bodu $F$ od roviny $BEG$ ,
c)
bodu $F$ od roviny $BCS_{AE}$ ,
d)
bodu $E$ od roviny $S_{EH}S_{EF}S_{AB}$ ,
e)
bodu $S_{EF}$ od roviny $ABG$ ,
f)
bodu $S_{EF}$ od roviny $ABS_{CG}$ .

Urči rovnicu roviny z troch bodov (normálový vektor cez vektorový súčin) a použi vzorec pre vzdialenosť bodu od roviny. Pri a) je rovina

BEH

tá istá ako

BCHE

a je kolmá na stenu

ABFE

, preto stačí vzdialenosť bodu

F

od priamky

BE

, teda polovica uhlopriečky

AF

a) $2\sqrt{2}$ cm
b) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm
c) $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ cm
d) $\sqrt{2}$ cm
e) $2\sqrt{2}$ cm
f) $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ cm

37.

Je daný pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj vzdialenosť bodu od roviny:

a)
$S_{AV}$ a $ABC$ ,
b)
$S_{AV}$ a $BCV$ ,
c)
$A$ a $S_{AV}S_{BV}S_{CV}$ ,
d)
$S_{BV}$ a $BCS_{AV}$ .

Pri a) je vzdialenosť polovica výšky ihlana. Pri c) je rovina stredov bočných hrán rovnobežná s podstavou vo výške

3

. Pri b) a d) urči rovnicu roviny v súradniciach, napr. rovina

BCV

3x + z - 12 = 0

a) $3$ cm
b) $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ cm
c) $3$ cm
d) $\sqrt{2}$ cm

38.

Je daný pravidelný šesťboký ihlan

ABCDEFV

|AB| = 4

cm,

v = 6

cm. Vypočítaj vzdialenosť:

a)
bodu $A$ od roviny $CFV$ ,
b)
bodu $A$ od roviny $BCV$ ,
c)
bodu $A$ od roviny $DEV$ ,
d)
bodu $A$ od roviny $CDV$ .

Rovina

CFV

je kolmá na podstavu, preto pri a) stačí vzdialenosť bodu

A

od priamky

CF

v podstave. Pri ostatných urči rovnicu roviny v súradniciach z tabuľky.

a) $2\sqrt{3}$ cm
b) $3$ cm
c) $6$ cm
d) $6$ cm

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.