Okruh 25 · Stereometria

Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy

Ako ležia priamky a roviny v priestore voči sebe, ako to zistíš výpočtom a ako zostrojíš rez telesa rovinou.

asi 110 min · 8 častí · 25 úloh

0 z 8 častí · 0 z 25 úloh

V skratke

Dve priamky v priestore sú rovnobežné (rôzne alebo totožné), rôznobežné alebo mimobežné: mimobežné nemajú spoločný bod a neležia v jednej rovine.
Priamku v priestore zapisuješ parametricky, $X = A + t \cdot \vec{u}$ . Rovnica $ax + by + cz + d = 0$ je v priestore rovina s normálovým vektorom $\vec{n} = (a; b; c)$ .
Pri dvoch priamkach porovnaj smerové vektory a potom rieš sústavu s dvoma rôznymi parametrami. Nerovnobežné priamky bez spoločného bodu sú mimobežné.
Roviny s normálovými vektormi, ktoré sú násobkami, sú rovnobežné (alebo totožné), inak sú rôznobežné a pretínajú sa v priesečnici.
Pri priamke a rovine rozhodne počet riešení sústavy: jedno riešenie je priesečník, žiadne znamená rovnobežnosť, nekonečne veľa znamená, že priamka leží v rovine.
Pri reze telesa spájaj body v tej istej stene, v rovnobežných stenách veď rovnobežky a chýbajúce body nájdi predĺžením priamky rezu po priesečník s priamkou hrany.

Časť 1prečítaná

Základné pojmy a vety stereometrie

Stereometria: Stereometria (priestorová geometria) skúma geometrické útvary v priestore a ich vzťahy. Úlohy v nej bývajú dôkazové, výpočtové alebo konštrukčné. Postup riešenia je v zásade rovnaký ako v planimetrii, ťažšie je len zobraziť konštrukciu.

Základné pojmy bod, priamka, rovina a priestor charakterizuje sústava základných viet stereometrie:

Základné vety stereometrie

Ku každej priamke v priestore existujú body, ktoré na nej ležia, aj body, ktoré na nej neležia.
Dvoma rôznymi bodmi $A$ , $B$ prechádza práve jedna priamka $p = AB$ .
Priamkou $p$ a bodom $A$ , ktorý na nej neleží, prechádza práve jedna rovina $\rho = pA$ .
Ak ležia dva rôzne body $A$ , $B$ v rovine $\rho$ , tak v nej leží aj celá priamka $AB$ .
Ak majú dve rôzne roviny $\rho$ , $\sigma$ spoločný bod, majú spoločnú celú priamku, ktorá týmto bodom prechádza, a okrem nej už nemajú žiadny spoločný bod.

Priamym dôsledkom základných viet sú vety o vzájomnej polohe. Každá dvojica útvarov má práve jednu z týchto polôh:

Vzájomné polohy v priestore

Útvary	Možné polohy
dve priamky	totožné; rôznobežné (práve jeden spoločný bod); rovnobežné (žiadny spoločný bod, ležia v jednej rovine); mimobežné (žiadny spoločný bod, neležia v jednej rovine)
priamka a rovina	priamka leží v rovine; rovnobežné (žiadny spoločný bod); rôznobežné (práve jeden spoločný bod)
dve roviny	totožné; rovnobežné (žiadny spoločný bod); rôznobežné (spoločná je práve jedna priamka)

dve priamky

totožné; rôznobežné (práve jeden spoločný bod); rovnobežné (žiadny spoločný bod, ležia v jednej rovine); mimobežné (žiadny spoločný bod, neležia v jednej rovine)

priamka a rovina

priamka leží v rovine; rovnobežné (žiadny spoločný bod); rôznobežné (práve jeden spoločný bod)

dve roviny

totožné; rovnobežné (žiadny spoločný bod); rôznobežné (spoločná je práve jedna priamka)

Totožné priamky a totožné roviny sa často počítajú medzi rovnobežné, hovorí sa o nich rovnobežné totožné.

Časť 2prečítaná

Súradnice v priestore

Karteziánska sústava súradníc v priestore: Je to pravotočivá trojrozmerná ortonormálna sústava súradníc s osami $x$ , $y$ , $z$ (značia sa aj $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ ). Každý bod priestoru má tri súradnice, karteziánske súradnice, píšeme $A[a_1; a_2; a_3]$ . Iné názvy sú karteziánska súradnicová sústava alebo karteziánsky systém súradníc.

Pre osi súradníc platí

Všetky tri osi majú spoločný bod $O[0; 0; 0]$ , začiatok sústavy súradníc.
Osi sú navzájom kolmé.
Jednotka dĺžky je na všetkých osiach rovnaká.
Pri pohľade zo strany kladnej osi $z$ dostaneš kladnú os $y$ otočením kladnej osi $x$ o $90^\circ$ proti smeru hodinových ručičiek (doľava, nie doprava). Prvá súradnica sa volá abscisa, druhá ordináta a tretia aplikáta.

Karteziánska sústava súradníc v priestore: os x vodorovne doprava, os y zvisle nahor, os z šikmo nadol doľava, teda smerom k tebe. Osi sa pretínajú v začiatku 0.

S bodmi a vektormi počítaš rovnako ako v rovine, len s treťou súradnicou. Vektor z bodu $A$ do bodu $B$ je $\overrightarrow{AB} = B - A = (b_1 - a_1; b_2 - a_2; b_3 - a_3)$ .

Parametrické vyjadrenie priamky

\displaystyle p: X = A + t \cdot \vec{u}, \ \allowbreak t \in \mathbb{R} \qquad \allowbreak \text{teda} \qquad \allowbreak x = a_1 + t u_1, \ \ \allowbreak y = a_2 + t u_2, \ \ \allowbreak z = a_3 + t u_3

$A$ je bod priamky a $\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$ jej nenulový smerový vektor, napríklad $\overrightarrow{AB}$ pre dva body priamky.

Parametrické vyjadrenie roviny

\displaystyle \rho: X = A + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}, \ \allowbreak s, t \in \mathbb{R}

$\vec{u}$ a $\vec{v}$ sú smerové vektory roviny, ktoré nie sú násobkami jeden druhého. Ich súradnice prečítaš z čísel pri parametroch: pri $x = 1 - s + t$ má vektor pri $s$ prvú súradnicu $-1$ a vektor pri $t$ prvú súradnicu $1$ . Bod $A$ tvoria čísla bez parametra.

Všeobecná rovnica roviny

\displaystyle \rho: ax + by + cz + d = 0, \qquad \allowbreak \vec{n} = (a; b; c)

Vektor $\vec{n}$ je normálový vektor roviny, je na ňu kolmý. Bod leží v rovine práve vtedy, keď jeho súradnice vyhovujú rovnici.

Časť 3prečítaná

Vzájomná poloha dvoch priamok

Dve priamky v priestore sú

rovnobežné rôzne: ležia v jednej rovine a nemajú spoločný bod,
rovnobežné totožné: ležia v jednej rovine a majú spoločné všetky body,
rôznobežné: ležia v jednej rovine a majú práve jeden spoločný bod (priesečník),
mimobežné: neležia v jednej rovine, a preto nemajú ani spoločný bod.

Ako polohu zistíš výpočtom

Porovnaj smerové vektory $\vec{u}$ a $\vec{v}$ . Ak je $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ , priamky sú rovnobežné. Dosaď bod jednej priamky do rovníc druhej: ak na nej leží, sú totožné, inak sú rovnobežné rôzne.
Ak smerové vektory nie sú násobkami, polož rovnaké súradnice: $a_1 + t u_1 = b_1 + k v_1$ a rovnako pre $y$ a $z$ . Dostaneš sústavu troch rovníc s neznámymi $t$ a $k$ .
Ak má sústava riešenie, priamky sú rôznobežné a priesečník dostaneš dosadením $t$ do rovníc prvej priamky. Ak riešenie nemá, priamky sú mimobežné.

Časť 4prečítaná

Vzájomná poloha dvoch rovín

Dve roviny sú rovnobežné rôzne, rovnobežné totožné alebo rôznobežné. Rôznobežné roviny majú spoločnú práve jednu priamku, ich priesečnicu.

Nech $\rho: X = A + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{u}'$ a $\sigma: X = B + i \cdot \vec{v} + j \cdot \vec{v}'$ . Vektor $\vec{w}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec{u}$ , $\vec{u}'$ , ak existujú čísla $a$ , $b$ také, že $\vec{w} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u}'$ .

Roviny v parametrickom tvare sú

totožné, ak sú $\vec{v}$ , $\vec{v}'$ aj $B - A$ lineárnou kombináciou vektorov $\vec{u}$ , $\vec{u}'$ ,
rovnobežné rôzne, ak sú $\vec{v}$ , $\vec{v}'$ lineárnou kombináciou vektorov $\vec{u}$ , $\vec{u}'$ , ale $B - A$ nie je,
rôznobežné, ak $\vec{v}$ alebo $\vec{v}'$ nie je lineárnou kombináciou vektorov $\vec{u}$ , $\vec{u}'$ .

Roviny vo všeobecnom tvare

Ak normálové vektory $\vec{n}_1$ , $\vec{n}_2$ nie sú násobkami, roviny sú rôznobežné.
Ak je $\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1$ , roviny sú rovnobežné. Keď je $k$ -násobkom prvej rovnice celá druhá rovnica (aj s číslom $d$ ), sú totožné, inak sú rovnobežné rôzne.

Riešený príklad

Poloha dvoch rovín v parametrickom tvare

Vyšetri vzájomnú polohu rovín $\rho: x = 1 - s + t,\ \allowbreak y = 2 + s - 2t,\ \allowbreak z = 3 + 2s - t$ a $\sigma: x = 4 - i - j,\ \allowbreak y = 4 + 2j,\ \allowbreak z = 4 + 3i - 5j$ , kde $s, t, i, j \in \mathbb{R}$ .

Smerové vektory prečítaš z čísel pri parametroch, body z čísel bez parametra (napríklad pred parametrom $s$ je v rovnici pre $x$ znamienko mínus, preto je prvá súradnica vektora $\vec{u}$ rovná $-1$ ):
$\displaystyle \vec{u} = (-1; 1; 2), \ \ \allowbreak \vec{u}' = (1; -2; -1), \ \ \allowbreak A[1; 2; 3] \qquad \allowbreak \vec{v} = (-1; 0; 3), \ \ \allowbreak \vec{v}' = (-1; 2; -5), \ \ \allowbreak B[4; 4; 4]$
Vektor $\vec{v}$ je lineárnou kombináciou: z $a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u}' = \vec{v}$ vyjde $a = 2$ , $b = 1$ a naozaj $2 \cdot (-1; 1; 2) + (1; -2; -1) = (-1; 0; 3)$ .
Pre $\vec{v}'$ dajú prvé dve súradnice $-a + b = -1$ a $a - 2b = 2$ , teda $a = 0$ , $b = -1$ . Tretia súradnica by potom bola $2a - b = 1$ , ale $\vec{v}'$ má tretiu súradnicu $-5$ .
Vektor $\vec{v}'$ teda nie je lineárnou kombináciou vektorov $\vec{u}$ , $\vec{u}'$ . Rovnako to vidíš z normálových vektorov $\vec{u} \times \vec{u}' = (3; 1; 1)$ a $\vec{v} \times \vec{v}' = (-6; -8; -2)$ , ktoré nie sú násobkami.

Výsledok: Roviny $\rho$ a $\sigma$ sú rôznobežné.

Riešený príklad

Priesečnica dvoch rovín

Napíš parametrické vyjadrenie priesečnice rovín $\rho: 2x - y + z + 1 = 0$ a $\sigma: x + y + 2z - 3 = 0$ .

Nájdeš dva body priesečnice $A$ , $B$ a priamku zapíšeš ako $X = A + t \cdot (B - A)$ . Za $z$ dosaď ľubovoľné číslo, najjednoduchšie $0$ , a vyrieš sústavu:
$\displaystyle \begin{aligned} 2x - y + 1 &= 0 \\ x + y - 3 &= 0 \end{aligned} \quad \allowbreak \Rightarrow \quad \allowbreak x = \frac{2}{3}, \ \ \allowbreak y = \frac{7}{3}, \qquad \allowbreak A\left[\frac{2}{3}; \frac{7}{3}; 0\right]$
Druhý bod dostaneš pre iné $z$ , napríklad $z = 2$ :
$\displaystyle \begin{aligned} 2x - y + 2 + 1 &= 0 \\ x + y - 3 + 4 &= 0 \end{aligned} \quad \allowbreak \Rightarrow \quad \allowbreak x = -\frac{4}{3}, \ \ \allowbreak y = \frac{1}{3}, \qquad \allowbreak B\left[-\frac{4}{3}; \frac{1}{3}; 2\right]$
Smerový vektor je $B - A = (-2; -2; 2)$ . Kontrola: vektorový súčin normálových vektorov $(2; -1; 1) \times (1; 1; 2) = (-3; -3; 3)$ je jeho násobok.

Výsledok: $x = \frac{2}{3} - 2t,\ \allowbreak y = \frac{7}{3} - 2t,\ \allowbreak z = 2t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}$

Časť 5prečítaná

Vzájomná poloha priamky a roviny

Priamka a rovina sú rovnobežné (nemajú spoločný bod), priamka leží v rovine alebo sú rôznobežné (majú práve jeden spoločný bod, priesečník).

Postup riešenia

Súradnice $x$ , $y$ , $z$ z rovníc roviny porovnaj so súradnicami $x$ , $y$ , $z$ z rovníc priamky. Ak je rovina daná všeobecnou rovnicou, dosaď do nej parametrické rovnice priamky. Ak je aj priamka daná ako priesečnica dvoch rovín, riešiš sústavu troch všeobecných rovníc.
Vyrieš sústavu rovníc, pri parametrickej rovine je to sústava troch rovníc s tromi neznámymi.
Práve jedno riešenie dá súradnice priesečníka. Sústava bez riešenia znamená, že priamka je s rovinou rovnobežná. Nekonečne veľa riešení znamená, že priamka leží v rovine.

Riešený príklad

Poloha priamky a roviny

Vyšetri vzájomnú polohu roviny $\sigma: x = 0{,}5 - r + 2s,\ \allowbreak y = 3r,\ \allowbreak z = 4r - 5s$ a priamky $p: x = 1 - t,\ \allowbreak y = 2 + t,\ \allowbreak z = 3t$ , kde $r, s, t \in \mathbb{R}$ .

Porovnaj súradnice bodov priamky a roviny:
$\displaystyle \begin{aligned} 1 - t &= 0{,}5 - r + 2s \\ 2 + t &= 3r \\ 3t &= 4r - 5s \end{aligned}$
$\displaystyle 1 - t = 0{,}5 - r + 2s$
$\displaystyle 2 + t = 3r$
$\displaystyle 3t = 4r - 5s$
Z druhej rovnice je $t = 3r - 2$ . Dosaď ho do prvej a tretej rovnice:
$\displaystyle 3 - 3r = 0{,}5 - r + 2s \;\Rightarrow\; r + s = 1{,}25 \qquad\qquad \allowbreak 9r - 6 = 4r - 5s \;\Rightarrow\; r + s = 1{,}2$
Súčet $r + s$ nemôže byť naraz $1{,}25$ aj $1{,}2$ . Sústava nemá riešenie, priamka a rovina nemajú žiadny spoločný bod.

Výsledok: Priamka $p$ je s rovinou $\sigma$ rovnobežná.

Časť 6prečítaná

Vety o rovnobežnosti

V stereometrii platí

Rovina je jednoznačne určená troma bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, alebo priamkou a bodom, ktorý na nej neleží, alebo dvoma rôznobežnými priamkami.
Ak dva rôzne body priamky ležia v rovine, tak celá priamka leží v tejto rovine.
Dvoma rôznymi rovnobežnými priamkami prechádza práve jedna rovina.
Ak dve rovnobežné priamky majú spoločný bod, splynú. Ak dve rovnobežné roviny majú spoločný bod, splynú. Ak priamka rovnobežná s rovinou má s ňou spoločný bod, leží v nej.
Ak sú dve priamky rovnobežné s tou istou priamkou, sú rovnobežné. Ak sú dve roviny rovnobežné s tou istou rovinou, sú rovnobežné.
Ak je jedna z dvoch rovnobežných priamok rovnobežná s rovinou, je s touto rovinou rovnobežná aj druhá priamka. Ak je priamka rovnobežná s jednou z dvoch rovnobežných rovín, je rovnobežná aj s druhou rovinou.
Ak rovina obsahuje dve rôznobežné priamky, ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou, tak sú tieto roviny rovnobežné.

Časť 7prečítaná

Rez telesa a rezy kocky

Rez telesa: Rez telesa je prienik telesa a roviny. Je to rovinný útvar (pri mnohostene mnohouholník), ktorého hranica je prienikom hranice telesa s rovinou rezu. Hranica rezu sa teda skladá z prienikov roviny rezu so stenami telesa.

Rovina rezu je jednoznačne určená troma bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, priamkou a bodom, ktorý na nej neleží, alebo dvoma rôznobežnými priamkami. V každej stene, ktorú rovina pretína, hľadáš úsečku rezu. Na to potrebuješ dva body roviny rezu, ktoré ležia v rovine tej steny.

Pri rezoch využívaš

Dva body roviny rezu, ktoré ležia v tej istej stene, spoj: úsečka medzi nimi je rez tejto steny.
Ak je rovina rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, pretína ich v rovnobežných priamkach.
Ak je priamka rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami, je rovnobežná aj s ich priesečnicou.

Kocka ABCDEFGH s červene vyznačenými hranami EH a FG. Rovina hornej podstavy EFGH pretína rovnobežné steny ADHE a BCGF v rovnobežných priamkach EH a FG.

Na obrázku je rovina $EFGH$ rôznobežná s rovnobežnými rovinami $ADHE$ a $BCGF$ a pretína ich v priamkach $EH$ a $FG$ , ktoré sú navzájom rovnobežné.

Kocka so sivými stenami ADHE a DCGH. Červená priamka FB je rovnobežná s oboma stenami a zelená priesečnica stien DH je s ňou rovnobežná.

Priamka $FB$ je rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami $ADHE$ a $DCGH$ , preto je s ňou rovnobežná aj ich priesečnica $DH$ .

Príklad 1. Zostroj rez kocky $ABCDEFGH$ rovinou $HPQ$ , ak bod $P$ leží na priamke $CG$ a bod $Q$ v prednej stene $ABFE$ .

Zadanie: kocka ABCDEFGH, vyznačený vrchol H, bod P na hrane CG a bod Q v prednej stene ABFE.

Postup

Body $H$ a $P$ ležia v zadnej stene $DCGH$ . Spoj ich, úsečka $HP$ je rez zadnej steny.
Rovina $HPQ$ je rôznobežná s rovnobežnými rovinami prednej a zadnej steny, preto ich pretína v rovnobežných priamkach. Bodom $Q$ veď rovnobežku s $HP$ . Pretne hranu $AE$ v bode $X$ a hranu $AB$ v bode $Y$ .
Body $X$ a $H$ ležia v ľavej bočnej stene $ADHE$ , úsečka $XH$ je jej rez.
Pravá bočná stena $BCGF$ je rovnobežná s ľavou, preto bodom $P$ veď rovnobežku s $XH$ . Pretne hranu $BC$ v bode $Z$ , ktorý leží rovnako ako $Y$ v rovine podstavy.
Spoj body $Y$ a $Z$ , úsečka $YZ$ je rez podstavy. Rezom kocky je päťuholník $HPZYX$ .

Výsledný rez kocky rovinou HPQ: päťuholník HPZYX, kde X leží na hrane AE, Y na hrane AB a Z na hrane BC. Úsečka XY prechádza bodom Q a je rovnobežná s HP, úsečka PZ je rovnobežná s XH.

Príklad 2. Zostroj rez kocky $ABCDEFGH$ rovinou $KLM$ , ak bod $K$ leží na priamke $AE$ , bod $L$ na priamke $EH$ a bod $M$ v zadnej stene $DCGH$ .

Postup

Body $K$ a $L$ ležia v ľavej stene $ADHE$ , spoj ich priamkou.
Predĺž priamku $HD$ nad bod $H$ a predĺž aj priamku $KL$ . Obe ležia v rovine ľavej steny, a preto sa pretnú v bode $P$ .
Bod $P$ leží na priamke $DH$ , teda aj v rovine zadnej steny. Bodom $P$ veď priamku cez bod $M$ , pretne hrany $HG$ a $CG$ v bodoch $X$ a $Y$ . Úsečka $XY$ je rez zadnej steny.
Predná stena je rovnobežná so zadnou: bodom $K$ veď rovnobežku s $XY$ , pretne hranu $AB$ v bode $T$ .
Pravá stena je rovnobežná s ľavou: bodom $Y$ veď rovnobežku s $KL$ , pretne hranu $BC$ v bode $Z$ .
Spoj body $L$ a $X$ v hornej podstave a body $T$ a $Z$ v dolnej podstave. Rezom kocky je šesťuholník $KLXYZT$ .

Rez kocky rovinou KLM: pomocný bod P na predĺžení hrany DH nad bodom H, priamka PM pretína hrany HG a CG v bodoch X a Y. Rezom je šesťuholník KLXYZT s bodom T na hrane AB a bodom Z na hrane BC.

Časť 8prečítaná

Rezy hranola a štvorstena

Pri rezoch mnohostenov pomáha veta o troch rovinách. Nech sú každé dve z troch rovín rôznobežné.

Veta o troch rovinách

Ak sú dve z ich priesečníc rôznobežné, prechádza aj tretia priesečnica priesečníkom prvých dvoch.
Ak sú dve z priesečníc rovnobežné, je s nimi rovnobežná aj tretia priesečnica.

Prípad a): steny ADHE, ABCD a DCGH kocky sa pretínajú v priamkach DH, DA a DC, ktoré prechádzajú spoločným bodom D.

Prípad b): roviny ADHE, ABCD a BCHE sa pretínajú v priamkach AD, BC a EH, ktoré sú navzájom rovnobežné.

Príklad 3. Zostroj rez štvorbokého nepravidelného hranola $ABCDEFGH$ rovinou $XYZ$ , ak bod $Y$ leží na priamke $DH$ , bod $Z$ na priamke $GH$ a bod $X$ na priamke $AB$ .

Zadanie: štvorboký hranol ABCDEFGH s podstavou ABCD, bod Y na hrane DH, bod Z na hrane GH a bod X na hrane AB.

Postup

Body $Y$ a $Z$ ležia v zadnej stene $DCGH$ . Spoj ich, úsečka $YZ$ je rez zadnej steny.
Predĺž priamky $DC$ a $YZ$ . Obe ležia v rovine zadnej steny, pretnú sa v bode $P$ .
Bod $P$ leží na priamke $DC$ , teda v rovine podstavy, rovnako ako bod $X$ . Bodom $P$ veď priamku cez bod $X$ , pretne hranu $AD$ v bode $R$ . Úsečka $RX$ je rez podstavy.
Horná podstava je rovnobežná s dolnou: bodom $Z$ veď rovnobežku s $RX$ , pretne hranu $FG$ v bode $Q$ .
Bodom $X$ veď rovnobežku s $YZ$ , pretne hranu $BF$ v bode $S$ .
Spoj body $S$ a $Q$ a body $R$ a $Y$ . Rezom hranola je šesťuholník $XSQZYR$ .

Rez hranola rovinou XYZ: pomocný bod P je priesečník priamok DC a YZ, priamka PX pretína hranu AD v bode R. Rezom je šesťuholník XSQZYR s bodom Q na hrane FG a bodom S na hrane BF.

Príklad 4. Zostroj rez štvorstena $ABCD$ rovinou $KLM$ , ak bod $K$ leží v rovine $ACD$ , bod $L$ v rovine $ABD$ a bod $M$ v rovine podstavy $ABC$ .

Zadanie: štvorsten ABCD s bodom K v stene ACD, bodom L v stene ABD a bodom M v podstave ABC. Modré priamky vedú z vrcholu D cez body K a L do podstavy.

Pri ihlane a štvorstene prekladáš pomocnú rovinu, ktorá obsahuje hlavný vrchol, tu vrchol $D$ .

Postup

Priamky $DK$ a $DL$ pretnú podstavu v bodoch $K'$ (na hrane $AC$ ) a $L'$ (na hrane $AB$ ). Sú to obrazy bodov $K$ a $L$ v rovine podstavy.
Body $K'$ a $L'$ spoj priamkou a rovnako spoj aj pôvodné body $K$ a $L$ . Obe priamky ležia v pomocnej rovine $DK'L'$ , pretnú sa v bode $P$ , ktorý leží v rovine podstavy aj v rovine rezu.
Bodom $P$ veď priamku cez bod $M$ . Pretne hrany $AC$ a $AB$ v bodoch $X$ a $Y$ , úsečka $XY$ je rez podstavy.
Bodom $X$ veď priamku cez bod $K$ , v stene $ACD$ pretne hranu $CD$ v bode $Z$ . Bodom $Y$ veď priamku cez bod $L$ , v stene $ABD$ pretne hranu $BD$ v bode $U$ .
Spoj body $Z$ a $U$ v stene $BCD$ . Rezom štvorstena je štvoruholník $XYUZ$ .

Rez štvorstena rovinou KLM: modré body sú obrazy K' a L' na hranách AC a AB, pomocný bod P je priesečník priamok KL a K'L'. Priamka PM pretína hrany AC a AB v bodoch X a Y, rezom je štvoruholník XYUZ s bodmi Z na CD a U na BD.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 25

Vyšetri vzájomnú polohu priamok

p

q

. Ak sú rôznobežné, urči súradnice ich priesečníka.

a)
$p = \{[1 + 2t; 2 - 3t],\ \allowbreak t \in \mathbb{R}\}$ , $q = \{[-1 + 2k; 7 - 3k],\ \allowbreak k \in \mathbb{R}\}$
b)
$p = \{[1 + 2t; 2 - 3t],\ \allowbreak t \in \mathbb{R}\}$ , $q = \{[1 + 4k; 5 - 2k],\ \allowbreak k \in \mathbb{R}\}$
c)
$p = \{[1 + 2t; 2 - 3t],\ \allowbreak t \in \mathbb{R}\}$ , $q = \{[5 + 4k; -4 - 6k],\ \allowbreak k \in \mathbb{R}\}$

Priamky ležia v rovine, body majú dve súradnice. Porovnaj smerové vektory:

p

má

(2; -3)

q

v a)

(2; -3)

, v b)

(4; -2)

, v c)

(4; -6)

. Pri rovnobežných priamkach skús, či bod

[-1; 7]

, resp.

[5; -4]

leží na

p

a)rovnobežné rôzne
b)rôznobežné, priesečník $P\left[-2; \frac{13}{2}\right]$ ( $t = -\frac{3}{2}$ , $k = -\frac{3}{4}$ )
c)rovnobežné totožné

Napíš parametrické vyjadrenie priamky

p

, ktorá prechádza bodom

A[2; 4; 1]

a je rovnobežná s osou

z

Smerovým vektorom osi

z

(0; 0; 1)

p: x = 2,\ \allowbreak y = 4,\ \allowbreak z = 1 + t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}

Urči vzájomnú polohu priamok

p: [x; y; z] = [2 - 3t; -5; 2t]

q: [x; y; z] = [-1 + 4u; 3 - u; -3u]

, kde

t, u \in \mathbb{R}

Smerové vektory

(-3; 0; 2)

(4; -1; -3)

nie sú násobkami. Z rovnice pre

y

vyjde

u = 8

, z rovnice pre

z

potom

t = -12

, ale rovnica pre

x

dá

38 \neq 31

. Sústava nemá riešenie.

mimobežné

Napíš parametrické rovnice osi

x

x

prechádza začiatkom

O[0; 0; 0]

a jej smerový vektor je

(1; 0; 0)

x = t,\ \allowbreak y = 0,\ \allowbreak z = 0,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}

(správne je aj napríklad

x = 1 + t,\ \allowbreak y = 0,\ \allowbreak z = 0

)

Sú dané body

A[2; 3; -1]

B[4; 3; -2]

a)
Rozhodni, či body $E[0; 4; 2]$ , $F[2\sqrt{3}; 3; -\sqrt{3}]$ ležia na priamke $AB$ .
b)
Urči $r, s \in \mathbb{R}$ tak, aby bod $N[r; 2r; s]$ ležal na priamke $AB$ .

Priamka

AB

má rovnice

x = 2 + 2t,\ \allowbreak y = 3,\ \allowbreak z = -1 - t

. Pri b) z rovnice pre

y

vyjde

2r = 3

a) $E$ na priamke $AB$ neleží, $F$ na nej leží (pre $t = \sqrt{3} - 1$ ).
b) $r = \frac{3}{2}$ , $s = -\frac{3}{4}$ , teda $N[1{,}5; 3; -0{,}75]$

Napíš parametrické rovnice priamky

p

, ktorá je daná bodmi

A[1; -1; 3]

B[2; 3; 0]

Smerový vektor je

\overrightarrow{AB} = B - A = (1; 4; -3)

p: x = 1 + t,\ \allowbreak y = -1 + 4t,\ \allowbreak z = 3 - 3t,\ \allowbreak t \in \mathbb{R}

(alebo z bodu

B

so smerom

\overrightarrow{BA}

x = 2 - t,\ \allowbreak y = 3 - 4t,\ \allowbreak z = 3t

)

Urči vzájomnú polohu priamok

p

q

v rovine, ak

p: [x; y] = [1 - t; 2 - 3t]

t \in \mathbb{R}

, a

q: 2x + 6y + 3 = 0

Dosaď

x = 1 - t

y = 2 - 3t

do rovnice priamky

q

. Vyjde

17 - 20t = 0

, teda práve jedno riešenie

t = \frac{17}{20}

rôznobežné, priesečník

P\left[\frac{3}{20}; -\frac{11}{20}\right]

Ktoré z bodov

A[3; 2; 7]

B[0; 2; 1]

C[-8; -2; -1]

ležia v rovine

\tau: 2x - 3y - 2z + 8 = 0

? Aká musí byť hodnota

x

, aby bod

M[x; -6; 2]

ležal tiež v danej rovine?

Dosaď súradnice bodov do rovnice roviny. Pre bod

A

vyjde ľavá strana

-6 \neq 0

A

v rovine neleží,

B

C

v nej ležia.

x = -11

, teda

M[-11; -6; 2]

Vypočítaj súradnice bodov, v ktorých priamka

p = \{[2; 1 - t; 4t],\ \allowbreak t \in \mathbb{R}\}

pretína súradnicové roviny.

Rovina

xy

má rovnicu

z = 0

, rovina

xz

rovnicu

y = 0

a rovina

yz

rovnicu

x = 0

P_{xy}[2; 1; 0]

P_{xz}[2; 0; 4]

, rovinu

yz

priamka nepretína (je s ňou rovnobežná, lebo stále

x = 2

10.

Zisti, či body

C[1; 11]

D[3; 2]

ležia na priamke určenej bodom

A[-5; 7]

a smerovým vektorom

\vec{u} = (3; 2)

Priamka má rovnice

x = -5 + 3t,\ \allowbreak y = 7 + 2t

. Pre bod

D

dá rovnica pre

x

hodnotu

t = \frac{8}{3}

, ale rovnica pre

y

by potrebovala

t = -\frac{5}{2}

C

na priamke leží (pre

t = 2

D

na nej neleží.

11.

Urči vzájomnú polohu rovín

\rho

\tau

\displaystyle \rho: 11x - 2y - 10z + 15 = 0, \qquad \allowbreak \tau: 11x - 2y - 10z - 45 = 0

Obe roviny majú normálový vektor

(11; -2; -10)

, ale rôzne čísla

d

rovnobežné rôzne

12.

Zisti vzájomnú polohu priamky

p

a roviny

\tau: x + y + z + 1 = 0

. Ak sú rôznobežné, urči ich priesečník.

\displaystyle p: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{1 - z}{1}

Spoločnú hodnotu zlomkov označ

t

. Dostaneš

x = 1 + 2t

y = -1 + t

z = 1 - t

. Po dosadení do rovnice roviny vyjde

2t + 2 = 0

, teda

t = -1

rôznobežné, priesečník

P[-1; -2; 2]

13.

Urči vzájomnú polohu rovín

\sigma

\eta

, ak platí:

\displaystyle \sigma: x + 2y + 3z - 1 = 0, \qquad \allowbreak \eta: x + y - z - 4 = 0

Normálové vektory

(1; 2; 3)

(1; 1; -1)

nie sú násobkami.

rôznobežné

14.

Urči reálne čísla

a

b

tak, aby roviny

\pi

\tau

boli rovnobežné, ak platí:

\displaystyle \pi: ax + by - z + 4 = 0, \qquad \allowbreak \tau: 7x - y + 3z + 6 = 0

Normálový vektor

(a; b; -1)

musí byť násobkom vektora

(7; -1; 3)

. Z tretej súradnice je to násobok

-\frac{1}{3}

a = -\frac{7}{3}

b = \frac{1}{3}

15.

Je daná kocka

ABCDEFGH

. Načrtni jej obraz v rovnobežnom premietaní a zobraz na ňom bod

S

, ktorý je stredom úsečky

EG

a)
Rozhodni o polohe priamok $AS$ a $BG$ .
b)
Rozhodni o polohe priamky $CF$ a roviny $ABS$ .
c)
Znázorni uhol priamky $CF$ a roviny $ABS$ .
d)
Znázorni vzdialenosť bodu $C$ od roviny $ABS$ .
e)
Znázorni priesečník priamky $AS$ s rovinou $BCG$ .

Bod

S

je stred hornej podstavy. Rovina

ABS

obsahuje priamku

AB

, ktorá je kolmá na stenu

BCGF

, preto je rovina

ABS

na túto stenu kolmá. Pri e) použi rovinu

ACGE

: leží v nej priamka

AS

aj priamka

CG

a)mimobežné
b)rôznobežné, priesečník delí úsečku $CF$ v pomere $2 : 1$ od bodu $C$
c)Rovina $ABS$ je kolmá na stenu $BCGF$ a pretína ju v priamke $BN$ , kde $N$ je stred hrany $FG$ . Priemetom priamky $CF$ do roviny $ABS$ je preto $BN$ a hľadaný uhol je uhol priamok $CF$ a $BN$ : $\sin\varphi = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ , $\varphi \doteq 71^\circ 34'$ .
d)Je to dĺžka kolmice z bodu $C$ na priamku $BN$ v stene $BCGF$ ( $N$ je stred hrany $FG$ ). Pri hrane kocky $a$ vyjde $\frac{2\sqrt{5}}{5}a$ .
e)Priesečník $R$ leží na predĺžení hrany $CG$ za bodom $G$ a $|GR| = |CG|$ .

16.

Je daný kváder

ABCDEFGH

so štvorcovou podstavou

ABCD

. Načrtni jeho obraz v rovnobežnom premietaní a zobraz na ňom bod

M

, ktorý je stredom hrany

GH

a)
Rozhodni o polohe priamky $BF$ a roviny $AEM$ .
b)
Znázorni uhol priamky $AF$ a roviny $AEM$ .
c)
Znázorni uhol priamky $AF$ a roviny $AEM$ .
d)
Znázorni uhol rovín $AEM$ a $BDH$ .
e)
Znázorni vzdialenosť bodu $B$ od roviny $AEM$ .

Rovina

AEM

obsahuje zvislú hranu

AE

, je teda kolmá na obe podstavy a prechádza aj stredom

M'

hrany

CD

pod bodom

M

. Uhly a vzdialenosti preto hľadaj v podstavách.

a)rovnobežné (priamka $BF$ je rovnobežná s priamkou $AE$ , ktorá v rovine leží)
b)Bodom $F$ veď v hornej podstave kolmicu na priamku $EM$ , jej pätu označ $F'$ . Rovina $AEM$ je kolmá na hornú podstavu, preto je $F'$ pravouhlým priemetom bodu $F$ do roviny $AEM$ a hľadaný uhol je $\sphericalangle FAF'$ .
c)Zadanie je rovnaké ako v časti b), hľadaný uhol je $\sphericalangle FAF'$ .
d)Obe roviny sú kolmé na podstavu, preto je ich uhol rovnaký ako uhol priamok $AM'$ a $BD$ v podstave, kde $M'$ je stred hrany $CD$ : $\cos\varphi = \frac{\sqrt{10}}{10}$ , $\varphi \doteq 71^\circ 34'$ .
e)Rovina $AEM$ je kolmá na podstavu a pretína ju v priamke $AM'$ , kde $M'$ je stred hrany $CD$ . Vzdialenosť je dĺžka kolmice z bodu $B$ na priamku $AM'$ , pri podstavnej hrane $a$ vyjde $\frac{2\sqrt{5}}{5}a$ .

17.

Zobraz pravidelný štvorboký ihlan

ABCDV

a zostroj jeho rez rovinou

\sigma = ACM

, kde

M

je stred bočnej hrany

BV

. Dokáž, že priamka

VD

je s rovinou

\sigma

rovnobežná.

Rezom je rovnoramenný trojuholník

ACM

. Pri dôkaze označ

S

stred podstavy, teda priesečník uhlopriečok

AC

BD

. V trojuholníku

BDV

SM

stredná priečka (

S

je stred

BD

M

stred

BV

), preto

SM \parallel DV

. Priamka

SM

leží v rovine

\sigma

, lebo

S \in AC

. Priamka

VD

v rovine

\sigma

neleží a je rovnobežná s jej priamkou

SM

, preto je s rovinou

\sigma

rovnobežná.

18.

Dokáž, že priamka

DF

je kolmá na rovinu

ACH

, ak určujúce body priamky a roviny sú vrcholy kocky

ABCDEFGH

Stačí ukázať, že

DF

je kolmá na dve rôznobežné priamky roviny

ACH

, napríklad

AC

AH

. Priamka

AC

je kolmá na

BD

(uhlopriečky štvorca) aj na

DH

(hrana kolmá na podstavu), teda na celú rovinu

BDHF

, v ktorej leží

DF

. Rovnako je

AH

kolmá na

DE

(uhlopriečky štvorca

ADHE

) aj na

EF

(hrana kolmá na stenu

ADHE

), teda na rovinu

CDEF

, v ktorej leží

DF

. Preto

DF \perp AC

DF \perp AH

19.

Dokáž, že priamka

DF

je kolmá na rovinu

ACH

, ak určujúce body priamky a roviny sú vrcholy kocky

ABCDEFGH

Zadanie je rovnaké ako v úlohe 18. Skús to teraz v súradniciach: pre kocku s hranou

1

A[0; 0; 0]

C[1; 1; 0]

D[0; 1; 0]

F[1; 0; 1]

H[0; 1; 1]

. Potom

\overrightarrow{DF} = (1; -1; 1)

\overrightarrow{AC} = (1; 1; 0)

\overrightarrow{AH} = (0; 1; 1)

a oba skalárne súčiny

\overrightarrow{DF} \cdot \overrightarrow{AC}

\overrightarrow{DF} \cdot \overrightarrow{AH}

sú nulové.

20.

Zostroj rez kocky

ABCDEFGH

rovinou

\rho = KLM

, ak

K

je stred hrany

EH

L

je stred hrany

GH

a bod

M

leží na hrane

BC

tak, že

|CM| = \frac{1}{4}|BC|

Priamku

KL

predĺž, pretne priamku

FG

v bode

R

mimo kocky. Body

R

M

ležia v rovine pravej steny

BCGF

, priamka

RM

pretne hranu

CG

v bode

P

. Ďalej využi rovnobežné steny: bodom

M

veď v dolnej podstave rovnobežku s

KL

, pretne hranu

AB

v bode

N

. Bodom

N

veď v prednej stene rovnobežku s

LP

, pretne hranu

AE

v bode

Q

. Nakoniec spoj

L

P

Q

K

Rez je šesťuholník

KLPMNQ

, kde

P

leží na hrane

CG

|CP| = \frac{1}{3}|CG|

N

leží na hrane

AB

|AN| = \frac{1}{4}|AB|

, a

Q

leží na hrane

AE

|AQ| = \frac{1}{3}|AE|

21.

Zostroj rez kocky

ABCDEFGH

rovinou

\rho = ABH

Rovina rezu pretína prednú stenu

ABFE

v priamke

AB

. Zadná stena

DCGH

je s prednou rovnobežná, preto ju rovina pretína v rovnobežke s

AB

cez bod

H

, teda v hrane

HG

Rez je obdĺžnik

ABGH

so stranami

|AB| = a

|BG| = a\sqrt{2}

, kde

a

je hrana kocky.

22.

Zostroj rez kocky rovinou

KLM

, ak

K

leží na hrane

AB

L

leží na hrane

CG

M

leží na hrane

EH

Žiadne dva z daných bodov neležia v jednej stene. Premietni body

L

M

kolmo do roviny podstavy

ABCD

: obrazom bodu

L

C

, obrazom bodu

M

je bod

M'

hrany

AD

. Priamky

LM

CM'

ležia v jednej rovine kolmej na podstavu a ich priesečník

P

leží v podstave aj v rovine rezu. Priamka

PK

je priesečnica roviny rezu s podstavou (ak je

LM \parallel CM'

, veď bodom

K

rovnobežku s nimi). Potom pokračuj ako v riešených príkladoch: spájaj body v tej istej stene a v rovnobežných stenách veď rovnobežky.

23.

Zostroj rez štvorbokého nepravidelného hranola

ABCDEFGH

rovinou

XYZ

, ak bod

Y

leží na priamke

AD

, bod

Z

leží na priamke

GH

a bod

X

na priamke

AC

Body

X

Y

ležia v rovine dolnej podstavy, preto je priamka

XY

priesečnica roviny rezu s dolnou podstavou. Horná podstava je s dolnou rovnobežná, bodom

Z

teda veď rovnobežku s

XY

. V každej bočnej stene potom nájdi priesečník priamky

XY

s priamkou jej dolnej hrany a priesečník rovnobežky cez

Z

s priamkou jej hornej hrany. Tieto dva body určujú priamku rezu v tej stene.

24.

Zostroj rez štvorstena

ABCD

rovinou

KLM

, ak bod

K

leží v rovine

ACB

, bod

L

leží v rovine

ABD

a bod

M

v rovine podstavy

ABC

Body

K

M

ležia v tej istej rovine

ABC

, priamka

KM

je preto priesečnica roviny rezu s podstavou. Nájdi jej priesečník

R

s priamkou

AB

. Bod

R

leží aj v rovine

ABD

, takže priamka

RL

je priesečnica roviny rezu so stenou

ABD

(ak je

KM \parallel AB

, veď bodom

L

rovnobežku s

AB

). Rez dokonči v zvyšných stenách spojením bodov rezu, ktoré na ich hranách už máš. Ak má bod

K

ležať v rovine

ACD

, postupuj ako v príklade 4.

25.

Zostroj rez štvorstena

ABCD

rovinou

ABK

, ak bod

K

leží v rovine

ACD

Body

A

K

ležia v rovine steny

ACD

. Priamka

AK

pretne hranu

CD

v bode

X

(ak

K

leží vnútri steny

ACD

). Rezom je trojuholník

ABX

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.