Okruh 24 · Stereometria

Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

Ako nakresliť priestorové útvary na papier: rovnobežné premietanie a kocka, valec, kužeľ a guľa vo VRP.

asi 40 min · 6 častí · 4 úlohy

0 z 6 častí · 0 z 4 úloh

V skratke

Rovnobežné premietanie určuje priemetňa $\pi$ a smer premietania $s$ . Priemet $X'$ bodu $X$ je priesečník priemetne s priamkou, ktorá prechádza bodom $X$ rovnobežne s $s$ .
Obrazom priamky je priamka alebo bod. Zachováva sa rovnobežnosť a pri rovnobežných úsečkách, ktoré sa nezobrazia do bodov, aj pomer ich dĺžok. Preto sa stred úsečky zobrazí do stredu jej obrazu.
Útvar v priečelnej rovine (rovnobežnej s priemetňou) sa zobrazí v skutočnej veľkosti. Ostatné útvary sa skresľujú, napríklad štvorec v hornej stene kocky sa zobrazí ako rovnobežník.
Vo voľnom rovnobežnom premietaní (VRP) kreslíš prednú stenu kocky ako štvorec, hrany smerujúce dozadu spravidla pod uhlom $45^\circ$ a skrátené na polovicu, neviditeľné hrany čiarkovane.
Obrazom kružnice je kružnica, elipsa alebo úsečka. Kružnica vpísaná do hornej alebo bočnej steny kocky sa zobrazí ako elipsa, ktorá sa dotýka strán rovnobežníka v ich stredoch.
Valec vpíšeš do pravidelného štvorbokého hranola, kužeľ do pravidelného štvorbokého ihlana a guľu nakreslíš pre jednoduchosť ako kružnicu s polomerom $r$ .

Časť 1prečítaná

Rovnobežné premietanie

Presné metódy, ako zobraziť trojrozmerný priestor do dvojrozmernej roviny, skúma samostatná matematická disciplína, deskriptívna geometria. Vypracovala viacero takých metód. Najjednoduchšia z nich, a pritom dostatočne názorná, je rovnobežné premietanie.

Rovnobežné premietanie: Rovnobežné premietanie je určené rovinou $\pi$ a priamkou $s$ , ktorá pretína rovinu $\pi$ práve v jednom bode. Rovina $\pi$ sa nazýva priemetňa, priamka $s$ určuje smer premietania.
Priemet bodu: Priemet $X'$ ľubovoľného bodu $X$ získaš takto: bodom $X$ veď priamku $s_X$ rovnobežnú s priamkou $s$ . Priemet $X'$ je priesečník priamky $s_X$ s priemetňou $\pi$ . Rovnobežným priemetom bodu je teda vždy bod.

Zobrazenie bodu: priemetňa je nakreslená ako rovnobežník a šípka s ukazuje smer premietania. Bodom A nad priemetňou vedie čiarkovaná priamka rovnobežná so smerom s, jej priesečník s priemetňou je priemet A´.

Rovnobežný priemet útvaru: Rovnobežný priemet útvaru $U$ je množina priemetov všetkých bodov útvaru $U$ . Každým bodom útvaru vedieš priamku rovnobežnú so smerom premietania a jej priesečník s priemetňou patrí do priemetu.

Časť 2prečítaná

Vlastnosti rovnobežného premietania

Pri konštrukcii rovnobežných priemetov priestorových útvarov využívaš tieto vlastnosti rovnobežného premietania:

Platí

Obrazom priamky je priamka alebo bod.
Obrazom dvoch rovnobežných priamok sú dve rovnobežné priamky (ktoré môžu aj splynúť) alebo dva body.
Ak sa rovnobežné priamky $p$ , $q$ zobrazia do priamok, zachová sa pomer dĺžok úsečiek, ktoré na nich ležia (vzorec nižšie).
Geometrické útvary ležiace v rovinách rovnobežných s priemetňou sa zobrazia do útvarov s nimi zhodných.

Pomer dĺžok rovnobežných úsečiek sa zachováva

\displaystyle |A'B'| : |C'D'| = |AB| : |CD|

Úsečka $AB$ leží na priamke $p$ , úsečka $CD$ na priamke $q$ a $p \parallel q$ . Ich obrazy sú úsečky $A'B'$ a $C'D'$ .

Priečelná rovina: Rovina rovnobežná s priemetňou sa nazýva priečelná rovina. Útvary, ktoré v priečelných rovinách neležia, sa pri rovnobežnom premietaní skresľujú.

Priamky $p$ a $q$ môžu byť aj totožné, takže sa zachová aj pomer dĺžok úsečiek na jednej priamke. Preto sa stred úsečky zobrazí do stredu jej obrazu. Obrazom štvorca, ktorý neleží v priečelnej rovine, je rovnobežník (alebo úsečka) a stred štvorca sa zobrazí do priesečníka uhlopriečok tohto rovnobežníka.

Časť 3prečítaná

Čo môže byť obrazom útvaru

Podľa toho, ako útvar leží voči smeru premietania, môže mať jeho rovnobežný priemet rôzny tvar. Vždy však platí, že pri rovnobežnom premietaní sa zachováva rovnobežnosť.

Útvar	Jeho rovnobežný priemet
bod	bod
priamka	priamka, alebo bod, ak je priamka rovnobežná so smerom premietania
rovina	celá priemetňa, alebo priamka, ak je rovina rovnobežná so smerom premietania
dve rovnobežné priamky	dve rovnobežné priamky, jedna priamka (obrazy sa kryjú), alebo dva body, ak sú priamky rovnobežné so smerom premietania
dve rôznobežné priamky	dve rôznobežné priamky, jedna priamka (obrazy sa kryjú), alebo priamka a bod
dve mimobežné priamky	dve rovnobežky, dve rôznobežné priamky, alebo priamka a bod
obrazec v rovine rovnobežnej s priemetňou	obrazec s ním zhodný
kružnica	kružnica, elipsa alebo úsečka

bod

priamka

priamka, alebo bod, ak je priamka rovnobežná so smerom premietania

rovina

celá priemetňa, alebo priamka, ak je rovina rovnobežná so smerom premietania

dve rovnobežné priamky

dve rovnobežné priamky, jedna priamka (obrazy sa kryjú), alebo dva body, ak sú priamky rovnobežné so smerom premietania

dve rôznobežné priamky

dve rôznobežné priamky, jedna priamka (obrazy sa kryjú), alebo priamka a bod

dve mimobežné priamky

dve rovnobežky, dve rôznobežné priamky, alebo priamka a bod

obrazec v rovine rovnobežnej s priemetňou

obrazec s ním zhodný

kružnica

kružnica, elipsa alebo úsečka

Obrazy dvoch priamok splynú do jednej priamky, keď obe priamky ležia v jednej rovine rovnobežnej so smerom premietania a ani jedna z nich nie je so smerom premietania rovnobežná. Priamka rovnobežná so smerom premietania sa zobrazí do bodu.

Obraz priamky zostrojíš z obrazov dvoch jej bodov. Výhodné je vziať priesečník priamky s priemetňou, lebo ten sa zobrazí sám na seba.

Zobrazenie priamky: priamka a pretína priemetňu v bode B, ktorý sa zobrazí sám na seba (B = B´). Bod A priamky a sa v smere s premietne do bodu A´. Obrazom priamky a je priamka a´, ktorá prechádza bodmi A´ a B´.

Zobrazenie priamky do bodu: priamka a je rovnobežná so smerom premietania s, preto sa celá zobrazí do jediného bodu A´ v priemetni.

Časť 4prečítaná

Voľné rovnobežné premietanie kocky

V škole kreslíme telesá vo voľnom rovnobežnom premietaní (VRP). Je to rovnobežné premietanie, v ktorom si obraz telesa zvolíme tak, aby bol názorný a ľahko sa kreslil. Platia v ňom všetky vlastnosti rovnobežného premietania.

Ako zvyčajne nakreslíš kocku s hranou

a

Prednú stenu nakresli ako štvorec so stranou $a$ . Leží v priečelnej rovine, preto má skutočnú veľkosť.
Hrany kolmé na prednú stenu nakresli ako rovnobežné úsečky, spravidla šikmo vpravo hore pod uhlom $45^\circ$ a skrátené na polovicu, teda dĺžky $\frac{a}{2}$ .
Spoj ich koncové body. Zadná stena je znova štvorec so stranou $a$ , len posunutý šikmo dozadu.
Hrany, ktoré by boli zakryté, kresli čiarkovane.

Obraz kocky s prednou stenou ako štvorcom volíme preto, lebo sa s ním najjednoduchšie pracuje. Kocka však môže byť vo VRP zobrazená aj inak, napríklad takto:

Tri ďalšie obrazy kocky vo VRP. Na prvých dvoch je kocka natočená tak, že žiadna jej stena nie je štvorec, vyfarbená je raz ľavá a raz pravá bočná stena. Na treťom je predná stena štvorec a hrany smerujú dozadu šikmo vpravo dole. Neviditeľné hrany sú čiarkované.

Časť 5prečítaná

Kružnica vpísaná do steny kocky

Kružnica, ktorá leží v priečelnej rovine, sa zobrazí ako zhodná kružnica. Ak je rovina kružnice rovnobežná so smerom premietania, obrazom je úsečka. V ostatných prípadoch je obrazom kružnice spravidla elipsa. Vo VRP sa s ňou najčastejšie stretneš ako s obrazom kružnice vpísanej do hornej alebo bočnej steny kocky, prípadne ako s podstavou valca či kužeľa.

Čo pri tom využiješ

Každá stena kocky je štvorec.
Kružnica vpísaná do štvorca má stred v strede štvorca a polomer rovný polovici jeho strany.
Kružnica vpísaná do štvorca sa ho dotýka v stredoch jeho strán.
Obrazom kružnice v bočnej a hornej stene bude elipsa.

Riešený príklad

Kružnice vpísané do stien kocky

Vo VRP je daný obraz kocky s hranou dĺžky $a$ . Znázorni obrazy troch kružníc, ktoré sú vpísané do prednej, bočnej a hornej steny kocky.

Predná stena leží v priečelnej rovine, preto sa zobrazí ako štvorec v skutočnej veľkosti. Vpísanú kružnicu v nej narysuj kružidlom: stred je priesečník uhlopriečok a polomer je $\frac{a}{2}$ .
Horná a bočná stena sa zobrazia ako rovnobežníky a kružnice v nich ako elipsy. Elipsu nakreslíš cez osem bodov, ktoré najprv zostrojíš.
Štyri body sú stredy strán rovnobežníka. Sú to obrazy bodov, v ktorých sa kružnica dotýka strán štvorca, lebo stred úsečky sa zobrazí do stredu. Elipsa sa v nich strán rovnobežníka dotýka.
Ďalšie štyri body ležia na uhlopriečkach. V prednej stene nájdi priesečníky kružnice s uhlopriečkami a veď nimi rovnobežky so stranami štvorca. Tie pretnú hrany prednej steny v bodoch, ktoré sú od najbližšieho vrcholu vzdialené:
$\displaystyle \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\,(2 - \sqrt{2})}{4} \doteq 0{,}15\,a$
Body na hornej hrane prednej steny posuň rovnobežne s hranami smerujúcimi dozadu do hornej steny, body na pravej hrane rovnako do bočnej steny. Kde tieto rovnobežky pretnú uhlopriečky rovnobežníka, tam sú zvyšné štyri body elipsy.
Všetkých osem bodov spoj plynulou krivkou, elipsu kresli od ruky.

Výsledok: V prednej stene je kružnica s polomerom $\frac{a}{2}$ , v hornej a bočnej stene sú elipsy vpísané do rovnobežníkov, ktoré sa dotýkajú ich strán v stredoch.

Kocka vo VRP s kružnicami vpísanými do troch stien. V prednej stene je kružnica, v hornej a bočnej stene sú elipsy. Čiarkované rovnobežky so stranami prechádzajú priesečníkmi kružnice s uhlopriečkami a prenášajú tieto body do ostatných stien. Neviditeľné hrany kocky sú čiarkované.

Časť 6prečítaná

Valec, kužeľ a guľa

Valec a kužeľ kreslíš vo VRP tak, že ich vpíšeš do hranola alebo ihlana, ktorý nakreslíš ľahko. Ich podstavy sa potom zobrazia ako elipsy vpísané do rovnobežníkov, presne ako kružnica v hornej stene kocky.

Riešený príklad

Valec

Vo VRP znázorni valec s polomerom podstavy $r$ a výškou $v$ .

Valec vpíš do pravidelného štvorbokého hranola. Jeho podstavou je štvorec so stranou $2r$ a jeho výška je $v$ .
Nakresli hranol vo VRP. Predná stena je obdĺžnik so stranami $2r$ a $v$ v skutočnej veľkosti, hrany smerujúce dozadu sú šikmé a skrátené na polovicu.
Obrazom dolnej podstavy valca je elipsa vpísaná do dolnej podstavy hranola. Zostrojíš ju rovnako ako elipsu vpísanú do hornej steny kocky.
Obrazom hornej podstavy valca je opäť elipsa, vpísaná do hornej podstavy hranola.
Obe elipsy spoj dvoma zvislými úsečkami dĺžky $v$ , ktoré sa elíps dotýkajú vľavo a vpravo. Tvoria obrys valca.

Výsledok: Obraz valca tvoria dve zhodné elipsy nad sebou vo vzdialenosti $v$ a dve zvislé úsečky, ktoré sa ich dotýkajú.

Valec vpísaný do pravidelného štvorbokého hranola vo VRP. Dolná aj horná podstava valca sú elipsy vpísané do rovnobežníkov, ktoré sú obrazmi štvorcových podstáv hranola. Elipsy spájajú dve zvislé úsečky na krajoch.

Riešený príklad

Kužeľ

Vo VRP znázorni kužeľ s polomerom podstavy $r$ a výškou $v$ .

Kužeľ vpíš do pravidelného štvorbokého ihlana. Jeho podstavou je štvorec so stranou $2r$ , výška je $v$ a vrchol leží nad stredom podstavy.
Podstavu nakresli ako rovnobežník a vpíš doň elipsu. Body elipsy na uhlopriečkach nájdeš pomocou podstavy v skutočnej veľkosti: pod prednú hranu podstavy nakresli štvorec so stranou $2r$ , vpíš doň kružnicu a jej priesečníky s uhlopriečkami prenes kolmicou na prednú hranu a odtiaľ rovnobežne s tými hranami podstavy, ktoré smerujú dozadu.
Stred podstavy $S$ je priesečník uhlopriečok rovnobežníka. Os kužeľa je zvislá a leží v priečelnej rovine, preto nad bod $S$ nanes zvislo skutočnú výšku $v$ a dostaneš vrchol $V$ .
Z vrcholu $V$ veď k elipse dve dotyčnice. Tvoria obrys kužeľa.

Výsledok: Obraz kužeľa tvorí elipsa, vrchol $V$ vo výške $v$ zvislo nad jej stredom a dve dotyčnice z bodu $V$ k elipse.

Kužeľ vpísaný do pravidelného štvorbokého ihlana vo VRP. Pod prednou hranou podstavy je pomocný štvorec podstavy v skutočnej veľkosti s vpísanou kružnicou a uhlopriečkami, z neho sa prenášajú body elipsy. Z vrcholu kužeľa vedú k elipse dve dotyčnice, čiarkovane sú nakreslené hrany ihlana a výška.

Guľu s polomerom $r$ zobrazuješ vo VRP pre jednoduchosť ako kružnicu s polomerom $r$ .

Guľa vo VRP nakreslená ako kružnica s vyznačeným polomerom r.

Kružnica je dohodnutý zjednodušený obraz gule. Tieň lopty na chodníku pri šikmom slnku je v skutočnosti elipsa, kružnica vyjde len vtedy, keď je smer premietania kolmý na priemetňu.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 4

Vo voľnom rovnobežnom premietaní (VRP) je daný obraz kocky s hranou dĺžky

a

. Znázorni obrazy troch kružníc, ktoré sú vpísané do prednej, bočnej a hornej steny kocky.

Kocku nakresli s prednou stenou ako štvorcom a hranami dozadu pod uhlom

45^\circ

dĺžky

\frac{a}{2}

. Do prednej steny vpíš kružnicu s polomerom

\frac{a}{2}

. V hornej a bočnej stene nakresli elipsy: dotýkajú sa strán rovnobežníkov v ich stredoch a prechádzajú štyrmi bodmi na uhlopriečkach, ktoré preneseš z prednej steny rovnobežkami s hranami. Celý postup je v riešenom príklade.

Vo voľnom rovnobežnom premietaní znázorni valec s polomerom podstavy

r

a výškou

v

Valec vpíš do pravidelného štvorbokého hranola s podstavnou hranou

2r

a výškou

v

. Do dolnej aj hornej podstavy hranola nakresli elipsu rovnako ako do hornej steny kocky a elipsy spoj dvoma zvislými úsečkami, ktoré sa ich dotýkajú.

Vo voľnom rovnobežnom premietaní znázorni kužeľ s polomerom podstavy

r

a výškou

v

Kužeľ vpíš do pravidelného štvorbokého ihlana s podstavnou hranou

2r

a výškou

v

. Do podstavy nakresli elipsu, nad jej stredom nanes zvislo výšku

v

a z vrcholu veď k elipse dve dotyčnice.

Vo voľnom rovnobežnom premietaní znázorni guľu s polomerom

r

Pre jednoduchosť nakresli guľu ako kružnicu s polomerom

r

a vyznač jej stred a polomer.

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.