Okruh 23 · Planimetria

Zhodné zobrazenia

Zobrazenia, ktoré nemenia vzdialenosti: súmernosti, posunutie a otáčanie, a ako ich použiť v úlohách.

asi 60 min · 8 častí · 11 úloh

0 z 8 častí · 0 z 11 úloh

V skratke

Zhodné zobrazenie zachováva vzdialenosti, $|X'Y'| = |XY|$ , takže obraz útvaru je s ním zhodný.
Patrí sem osová a stredová súmernosť, posunutie, otáčanie, posunutá súmernosť a identita.
Samodružný bod splynie so svojím obrazom: v osovej súmernosti sú to body osi, v stredovej súmernosti a pri otáčaní len stred, posunutie nemá žiadny.
Stredová súmernosť je otáčanie o $180^\circ$ . Stred $S$ je stredom úsečky $XX'$ , v súradniciach $X'[2s_1 - x;\ \allowbreak 2s_2 - y]$ .
Dve osové súmernosti za sebou: rovnobežné osi vo vzdialenosti $d$ dajú posunutie o $2d$ , osi pod uhlom $\varphi$ otáčanie o $2\varphi$ , kolmé osi stredovú súmernosť, totožné osi identitu.
Kladný uhol otáčania znamená otáčanie proti smeru hodinových ručičiek, záporný v smere hodinových ručičiek.
Obraz kružnice je kružnica s rovnakým polomerom, preto stačí zobraziť jej stred.

Časť 1prečítaná

Čo je zhodné zobrazenie

Zhodné zobrazenie: Zobrazenie v rovine sa nazýva zhodné, ak pre každé dva vzorové body $X$ , $Y$ a ich obrazy $X'$ , $Y'$ platí $|X'Y'| = |XY|$ . Vzdialenosť obrazov sa rovná vzdialenosti vzorov.

\displaystyle |XY| = |X'Y'|

Medzi zhodné zobrazenia patria

osová súmernosť,
stredová súmernosť,
posunutie (translácia),
otáčanie (rotácia),
posunutá súmernosť,
identita.

Čo zhodné zobrazenie zachováva

Obrazom úsečky je úsečka s rovnakou dĺžkou.
Obrazom priamky je priamka a obrazom polpriamky polpriamka.
Obrazom uhla je uhol s rovnakou veľkosťou.
Rovnobežné priamky sa zobrazia na rovnobežné priamky.
Obrazom útvaru je útvar s ním zhodný, napríklad obrazom kružnice je kružnica s rovnakým polomerom.

Samodružný bod: Bod, ktorý splynie so svojím obrazom, teda $X' = X$ .
Samodružný útvar: Útvar, ktorý splynie so svojím obrazom (ako celok). Samodružné body mať môže, ale nemusí.

Zhodné zobrazenie je špeciálny prípad podobného zobrazenia. Podobné zobrazenie s koeficientom $k > 0$ zmení každú vzdialenosť $k$ -krát: $|X'Y'| = k \cdot |XY|$ . Zhodné zobrazenie je podobnosť s koeficientom $k = 1$ .

Časť 2prečítaná

Osová súmernosť

Osová súmernosť $S(o)$: Osová súmernosť určená osou $o$ je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré každému bodu priamky $o$ priradí ten istý bod a bodu $X$ , ktorý na priamke $o$ neleží, priradí bod $X' \neq X$ tak, že $XX' \perp o$ a $|Xo| = |X'o|$ . Inými slovami, priamka $o$ je osou úsečky $XX'$ .

Platí

Samodružné body: každý bod osi $o$ a žiadny iný.
Samodružné útvary: os $o$ , každá priamka kolmá na $o$ a každý útvar súmerný podľa $o$ , napríklad kruh so stredom na osi $o$ alebo štvorec, kosoštvorec, rovnoramenný či rovnostranný trojuholník, ak jedna jeho os súmernosti leží na priamke $o$ .

Časť 3prečítaná

Stredová súmernosť

Stredová súmernosť $S(S)$: Stredová súmernosť určená stredom $S$ je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré bodu $S$ priradí ten istý bod a každému bodu $X \neq S$ priradí bod $X' \neq X$ na priamke $XS$ tak, že $|XS| = |X'S|$ . Bod $S$ je teda stredom úsečky $XX'$ .

Platí

Samodružný bod: len stred súmernosti $S$ .
Samodružné útvary: napríklad kružnica so stredom $S$ , každá priamka, ktorá prechádza stredom $S$ , a každý útvar súmerný podľa stredu $S$ .
Obrazom priamky, ktorá neprechádza stredom $S$ , je priamka s ňou rovnobežná.
Stredová súmernosť vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi sú na seba kolmé a pretínajú sa v bode $S$ .

Stredová súmernosť so stredom S: priamka p sa zobrazí na priamku p', ktorá je s ňou rovnobežná a leží na opačnej strane od stredu S v rovnakej vzdialenosti.

Stredová súmernosť so stredom S: trojuholník ABC vpravo sa zobrazí na trojuholník A'B'C' vľavo. Bod S je stredom úsečiek AA', BB' aj CC', obraz je voči vzoru otočený o 180 stupňov.

Časť 4prečítaná

Posunutie (translácia)

Posunutie $T[A, B]$: Posunutie určené orientovanou úsečkou $AB$ je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré každému bodu $X$ priradí bod $X'$ tak, že orientované úsečky $AB$ a $XX'$ sú rovnako dlhé a súhlasne orientované. Inak zapísané: $\overrightarrow{XX'} = \overrightarrow{AB}$ .

$[A, B]$ je usporiadaná dvojica bodov, teda záleží na poradí: bod $A$ je začiatok a bod $B$ koniec orientovanej úsečky.

Platí

Samodružné body: žiadne (ak $A \neq B$ ).
Samodružné útvary: všetky priamky rovnobežné so smerom posunutia.
Obrazom priamky je priamka s ňou rovnobežná (alebo tá istá priamka).
Posunutie o dĺžku $2d$ vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi sú navzájom rovnobežné, rôzne a majú vzdialenosť $d$ . Posúva sa kolmo na osi.

Posunutie určené orientovanou úsečkou AB: lomená čiara vľavo sa posunie o vektor AB na zhodnú lomenú čiaru vpravo. Každý jej bod sa posunie rovnakým smerom a o rovnakú dĺžku |AB|.

Časť 5prečítaná

Otáčanie (rotácia)

Otáčanie $R(S; \alpha)$: Otáčanie určené stredom otáčania $S$ a uhlom $\alpha$ je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré stredu $S$ priradí ten istý bod a bodu $X \neq S$ priradí bod $X'$ tak, že $|SX| = |SX'|$ a orientovaný uhol $XSX'$ má veľkosť $\alpha$ .

Smer otáčania

Uhol	Otáčaš
$\alpha > 0$	proti smeru pohybu hodinových ručičiek
$\alpha < 0$	v smere pohybu hodinových ručičiek

\alpha > 0

proti smeru pohybu hodinových ručičiek

\alpha < 0

v smere pohybu hodinových ručičiek

Platí

Samodružný bod: len stred otáčania $S$ (ak $\alpha$ nie je násobkom $360^\circ$ ).
Samodružné útvary: útvary, ktoré po otočení okolo $S$ o uhol $\alpha$ splynú samy so sebou, napríklad kružnica a kruh so stredom $S$ pri ľubovoľnom uhle alebo pravidelný $n$ -uholník so stredom $S$ pri uhle, ktorý je násobkom $\frac{360^\circ}{n}$ . Pri otočení o $360^\circ$ je samodružný každý útvar.
Otáčanie o uhol $\beta$ vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi sa pretínajú v strede $S$ a navzájom zvierajú uhol $\frac{\beta}{2}$ .

Otáčanie so stredom S o uhol 12 stupňov proti smeru hodinových ručičiek (uhol otáčania je vyznačený vľavo dole). Trojuholník ABC sa otočí okolo bodu S na trojuholník A'B'C'. Zelené polpriamky SA a SA' zvierajú uhol otáčania.

Otáčanie so stredom S o uhol 41,3 stupňa proti smeru hodinových ručičiek: kružnica k so stredom A sa zobrazí na kružnicu k' so stredom A' s rovnakým polomerom. Zelené polpriamky idú zo stredu S cez bod kružnice k a cez jeho obraz na k' a zvierajú uhol otáčania.

Časť 6prečítaná

Posunutá súmernosť, identita a skladanie

Posunutá súmernosť: Posunutá súmernosť $P$ je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré vznikne zložením troch osových súmerností $P = S(a) \circ S(b) \circ S(c)$ , pričom priamky $a$ a $b$ sú rovnobežné (a rôzne) a priamka $c$ s nimi rovnobežná nie je. Dve osi sú teda rovnobežné a tretia ich pretína.

Posunutú súmernosť si môžeš predstaviť aj jednoduchšie: je to osová súmernosť podľa istej osi $o$ , po ktorej nasleduje posunutie v smere tejto osi. Nemá žiadny samodružný bod, samodružná je jej os $o$ .

Identita: Identita priradí každému bodu ten istý bod, takže každý bod aj každý útvar je samodružný. Vznikne zložením dvoch osových súmerností, ktorých osi splývajú.

Zloženie dvoch osových súmerností

S(a)

S(b)

Poloha osí $a$ , $b$	Vznikne
osi splývajú ( $a = b$ )	identita
rovnobežné a rôzne, vo vzdialenosti $d$	posunutie o dĺžku $2d$ kolmo na osi
rôznobežné, pretínajú sa v bode $S$ pod uhlom $\varphi$	otáčanie okolo $S$ o uhol $2\varphi$
kolmé, pretínajú sa v bode $S$	stredová súmernosť so stredom $S$ (otáčanie o $180^\circ$ )

osi splývajú (

a = b

)

identita

rovnobežné a rôzne, vo vzdialenosti

d

posunutie o dĺžku

2d

kolmo na osi

rôznobežné, pretínajú sa v bode

S

pod uhlom

\varphi

otáčanie okolo

S

o uhol

2\varphi

kolmé, pretínajú sa v bode

S

stredová súmernosť so stredom

S

(otáčanie o

180^\circ

)

Poradie súmerností určuje smer posunutia aj smer otáčania. Tri osové súmernosti, z ktorých dve majú rovnobežné osi a tretia os ich pretína, dajú posunutú súmernosť.

Prehľad zhodných zobrazení

Zobrazenie	Samodružné body	Príklady samodružných útvarov
osová súmernosť $S(o)$	všetky body osi $o$	os $o$ , priamky kolmé na $o$ , útvary súmerné podľa $o$
stredová súmernosť $S(S)$	len stred $S$	priamky cez $S$ , kružnica so stredom $S$
posunutie $T[A, B]$	žiadne	priamky rovnobežné so smerom posunutia
otáčanie $R(S; \alpha)$	len stred $S$	kružnica so stredom $S$
posunutá súmernosť	žiadne	jej os
identita	všetky body	každý útvar

osová súmernosť

S(o)

Samodružné body: všetky body osi $o$
Príklady samodružných útvarov: os $o$ , priamky kolmé na $o$ , útvary súmerné podľa $o$

stredová súmernosť

S(S)

Samodružné body: len stred $S$
Príklady samodružných útvarov: priamky cez $S$ , kružnica so stredom $S$

posunutie

T[A, B]

Samodružné body: žiadne
Príklady samodružných útvarov: priamky rovnobežné so smerom posunutia

otáčanie

R(S; \alpha)

Samodružné body: len stred $S$
Príklady samodružných útvarov: kružnica so stredom $S$

posunutá súmernosť

Samodružné body: žiadne
Príklady samodružných útvarov: jej os

identita

Samodružné body: všetky body
Príklady samodružných útvarov: každý útvar

Časť 7prečítaná

Zhodné zobrazenia v súradniciach

Keď poznáš súradnice, zhodné zobrazenia vieš aj vypočítať. Pre bod $X[x; y]$ platí:

Zobrazenie	Obraz bodu $X[x; y]$
stredová súmernosť so stredom $S[s_1; s_2]$	$X'[2s_1 - x;\ \allowbreak 2s_2 - y]$
posunutie o vektor $\vec{u} = (u_1; u_2)$	$X'[x + u_1;\ \allowbreak y + u_2]$
osová súmernosť podľa osi $x$	$X'[x; -y]$
osová súmernosť podľa osi $y$	$X'[-x; y]$
osová súmernosť podľa priamky $y = x$	$X'[y; x]$
otáčanie okolo bodu $[0; 0]$ o $90^\circ$	$X'[-y; x]$

stredová súmernosť so stredom

S[s_1; s_2]

X'[2s_1 - x;\ \allowbreak 2s_2 - y]

posunutie o vektor

\vec{u} = (u_1; u_2)

X'[x + u_1;\ \allowbreak y + u_2]

osová súmernosť podľa osi

x

X'[x; -y]

osová súmernosť podľa osi

y

X'[-x; y]

osová súmernosť podľa priamky

y = x

X'[y; x]

otáčanie okolo bodu

[0; 0]

90^\circ

X'[-y; x]

Obraz bodu v osovej súmernosti s osou

o

Bodom $X$ veď kolmicu na os $o$ . Jej smerovým vektorom je normálový vektor priamky $o$ .
Nájdi pätu kolmice $P$ , teda priesečník kolmice s osou $o$ .
Bod $P$ je stredom úsečky $XX'$ , preto $X' = [2p_1 - x;\ \allowbreak 2p_2 - y]$ .

Riešený príklad

Stredová súmernosť v súradniciach

V stredovej súmernosti so stredom $S[2; -1]$ zobraz bod $A[-1; 3]$ a priamku $p: 2x + y - 5 = 0$ .

Stred $S$ je stredom úsečky $AA'$ , preto $A' = [2s_1 - x;\ \allowbreak 2s_2 - y]$ .
$\displaystyle A' = [2 \cdot 2 - (-1);\ \allowbreak 2 \cdot (-1) - 3] = [5; -5]$
Obrazom priamky je priamka s ňou rovnobežná, má teda rovnicu $p': 2x + y + c = 0$ . Stačí zobraziť jeden bod priamky $p$ , napríklad $B[0; 5]$ .
$\displaystyle B' = [4 - 0;\ \allowbreak -2 - 5] = [4; -7]$
Bod $B'$ dosaď do rovnice $p'$ : $2 \cdot 4 + (-7) + c = 0$ , odkiaľ $c = -1$ .

Výsledok: $A'[5; -5]$ , $p': 2x + y - 1 = 0$

Riešený príklad

Obraz bodu v osovej súmernosti

Nájdi obraz bodu $A[3; 4]$ v osovej súmernosti s osou $o: x + y - 1 = 0$ .

Bod $A'$ leží na kolmici na os $o$ , ktorá prechádza bodom $A$ . Normálový vektor osi $\vec{n} = (1; 1)$ je smerovým vektorom tejto kolmice.
$\displaystyle x = 3 + t,\quad \allowbreak y = 4 + t,\quad \allowbreak t \in \mathbb{R}$
Pätu kolmice $P$ nájdeš dosadením do rovnice osi:
$\displaystyle (3 + t) + (4 + t) - 1 = 0 \;\Rightarrow\; t = -3 \;\Rightarrow\; P[0; 1]$
Päta $P$ je stredom úsečky $AA'$ , preto $A' = [2 \cdot 0 - 3;\ \allowbreak 2 \cdot 1 - 4] = [-3; -2]$ .
Kontrola: stred úsečky $AA'$ je $[0; 1]$ a leží na osi $o$ , lebo $0 + 1 - 1 = 0$ .

Výsledok: $A'[-3; -2]$

Časť 8prečítaná

Zhodné zobrazenia v konštrukčných úlohách

V konštrukčných úlohách často hľadáš dva body $X$ , $Y$ , ktoré ležia na daných útvaroch a sú navzájom viazané, napríklad $Y$ je obrazom $X$ v nejakom zhodnom zobrazení. Vtedy zobraz celý útvar, na ktorom leží $X$ . Bod $Y$ musí ležať na tomto obraze aj na druhom útvare, je teda ich priesečníkom.

Ktoré zobrazenie použiť

Bod $M$ má byť stredom úsečky $XY$ : stredová súmernosť so stredom $M$ .
Hľadáš rovnostranný trojuholník s daným vrcholom $C$ : otáčanie okolo $C$ o $60^\circ$ a o $-60^\circ$ .
Hľadáš najkratšiu cestu z bodu $A$ do bodu $B$ cez bod na priamke: osová súmernosť podľa tejto priamky.
Úsečka má mať daný smer a danú dĺžku: posunutie.

Riešený príklad

Najkratšia cesta cez priamku

Na osi $x$ nájdi bod $C$ , pre ktorý je súčet $|AC| + |CB|$ najmenší, ak $A[1; 2]$ a $B[5; 4]$ .

Oba body ležia nad osou $x$ . Zobraz bod $B$ v osovej súmernosti podľa osi $x$ : $B'[5; -4]$ .
Pre každý bod $C$ na osi $x$ platí $|CB| = |CB'|$ , preto $|AC| + |CB| = |AC| + |CB'| \geq |AB'|$ . Rovnosť nastane práve vtedy, keď $C$ leží na úsečke $AB'$ .
Priamka $AB'$ má smerový vektor $\overrightarrow{AB'} = (4; -6)$ , teda $x = 1 + 4t$ , $y = 2 - 6t$ . Priesečník s osou $x$ dostaneš pre $y = 0$ :
$\displaystyle 2 - 6t = 0 \;\Rightarrow\; t = \frac{1}{3} \;\Rightarrow\; C\left[\frac{7}{3}; 0\right]$
Najmenší súčet je $|AB'| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .

Výsledok: $C\left[\frac{7}{3}; 0\right]$ , najmenší súčet je $2\sqrt{13} \doteq 7{,}21$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 11

Daný je lichobežník

ABCD

. V určených zobrazeniach načrtni obrazy útvarov:

a)
v posunutí $T$ určenom dvojicou bodov $[A; C]$ zobraz orientovanú úsečku $\overrightarrow{BD}$ : $\overrightarrow{BD} \xrightarrow{T} \overrightarrow{B'D'}$
b)
v otáčaní $R\left(C; -\frac{2}{3}\pi\right)$ zobraz úsečku $DA$ : $DA \xrightarrow{R} D'A'$
c)
v stredovej súmernosti $S$ so stredom $O$ zobraz trojuholník $ACD$ : $\triangle ACD \xrightarrow{S} \triangle A'C'D'$ , kde $O \in BC \land |BC| = 2|OC|$

a) Posuň oba body o vektor

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AC}

\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AC}

. Úsečka

B'D'

je s

BD

rovnobežná, rovnako dlhá a rovnako orientovaná. b) Uhol

-\frac{2}{3}\pi = -120^\circ

znamená otáčanie okolo bodu

C

120^\circ

v smere hodinových ručičiek, pričom

|CD'| = |CD|

|CA'| = |CA|

. c) Bod

O

je stredom strany

BC

, preto

C' = B

. Body

A'

D'

zostrojíš tak, aby

O

bol stredom úsečiek

AA'

DD'

V stredovej súmernosti so stredom

S

sa bod

K[-2; 4]

zobrazí na bod

K'[4; -6]

. Urči súradnice stredu súmernosti

S

a v tejto stredovej súmernosti zobraz dané útvary:

a)
$k: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$
b)
$q: x - y + 3 = 0$

Stred

S

je stredom úsečky

KK'

. Pri kružnici stačí zobraziť jej stred

[1; 2]

, polomer sa nemení. Obraz priamky

q

je s ňou rovnobežný, stačí zobraziť jeden jej bod, napríklad

[0; 3]

Stred súmernosti je

S[1; -1]

a) $k': (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 4$
b) $q': x - y - 7 = 0$

Nájdi rovnicu kružnice súmernej s kružnicou

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1

vzhľadom na priamku

x - y - 3 = 0

Zobraz stred

[1; 2]

v osovej súmernosti podľa danej priamky: veď ním kolmicu na priamku, nájdi pätu kolmice a tá je stredom úsečky medzi stredom a jeho obrazom. Polomer sa nemení.

(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1

Dané sú dve rôznobežky

p

q

a bod

C

, ktorý na nich neleží. Zostroj všetky rovnostranné trojuholníky

ABC

tak, aby

A \in p \land B \in q

Bod

B

vznikne otočením bodu

A

okolo

C

60^\circ

alebo o

-60^\circ

. Otoč preto celú priamku

p

okolo bodu

C

60^\circ

aj o

-60^\circ

. Priesečník otočenej priamky s priamkou

q

je vrchol

B

, vrchol

A

na priamke

p

dostaneš spätným otočením bodu

B

. Ak priamky

p

q

nezvierajú uhol

60^\circ

, úloha má práve dve riešenia. Ak zvierajú uhol

60^\circ

, jedna z otočených priamok je s

q

rovnobežná: vtedy je riešenie jedno, alebo ich je nekonečne veľa, keď otočená priamka s

q

splynie.

Bodom

M

, ktorý je vnútorným bodom konvexného uhla

AVB

, veď priamku

p

, ktorá pretína ramená uhla v bodoch

P

Q

tak, aby bod

M

bol stredom úsečky

PQ

Použi stredovú súmernosť so stredom

M

. Obraz ramena

VA

pretne rameno

VB

v bode

Q

a bod

P

na ramene

VA

je obrazom bodu

Q

. Inak: zobraz vrchol

V

V'

a bodom

V'

veď rovnobežky s ramenami, štvoruholník

VPV'Q

je rovnobežník so stredom

M

. Pre uhol menší ako

180^\circ

má úloha práve jedno riešenie.

Daná je priamka

p

a dva rôzne body

A

B

, ktoré ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou

p

. Na priamke

p

zostroj bod

C

tak, aby obvod trojuholníka

ABC

bol minimálny.

Dĺžka

|AB|

sa nemení, stačí nájsť najmenší súčet

|AC| + |CB|

. Zobraz bod

B

v osovej súmernosti podľa priamky

p

na bod

B'

. Pre každý bod

C \in p

platí

|CB| = |CB'|

, preto hľadaný bod

C

je priesečník úsečky

AB'

s priamkou

p

Daný je trojuholník

ABC

, kružnica

k(S; r)

a bod

Q

. Zostroj všetky úsečky

XY

so stredom

Q

tak, aby

X \in \triangle ABC

Y \in k

Bod

Q

je stredom úsečky

XY

, teda

X

je obrazom

Y

v stredovej súmernosti so stredom

Q

. Zobraz kružnicu

k

v tejto súmernosti, dostaneš kružnicu

k'(S'; r)

. Body

X

sú spoločné body kružnice

k'

a trojuholníka

ABC

a k nim zostrojíš body

Y

ako ich obrazy v tej istej súmernosti. Počet riešení závisí od počtu spoločných bodov.

Čo vznikne zložením dvoch rovnakých zhodných zobrazení?

Prejdi postupne všetky zhodné zobrazenia a zisti, kam sa po dvoch rovnakých krokoch dostane bod

X

Závisí od zobrazenia: dve rovnaké osové súmernosti aj dve rovnaké stredové súmernosti dajú identitu, dve rovnaké posunutia dajú posunutie o dvojnásobný vektor, dve rovnaké otáčania

R(S; \alpha)

dajú otáčanie

R(S; 2\alpha)

, dve rovnaké posunuté súmernosti dajú posunutie o dvojnásobný vektor v smere osi a zložením dvoch identít je identita.

Daný je štvorec

ABCD

so stranou dĺžky

8

cm. Zobraz tento štvorec v posunutí danom orientovanou úsečkou

AA'

, ak

A'

je vnútorný bod úsečky

AC

|AA'| = 0{,}25\,|AC|

. Nech

U

je útvar, ktorý je zjednotením štvorca

ABCD

a jeho obrazu

A'B'C'D'

a)
Urči, či je útvar $U$ osovo, prípadne stredovo súmerný.
b)
Rozhodni, či body $A, B, D, B', C'$ ležia na tej istej kružnici.
c)
Vypočítaj, akú časť útvaru $U$ tvorí útvar $A'BCD'$ .

Zvoľ súradnice

A[0; 0]

B[8; 0]

C[8; 8]

D[0; 8]

. Posúvaš o vektor

\overrightarrow{AA'} = \frac{1}{4}\,\overrightarrow{AC} = (2; 2)

, takže

A'[2; 2]

B'[10; 2]

C'[10; 10]

D'[2; 10]

. Štvorce sa prekrývajú v štvorci so stranou

6

cm.

a)Útvar $U$ je osovo súmerný podľa dvoch osí: priamky $AC$ (leží na nej aj $A'$ a $C'$ ) a priamky kolmej na $AC$ , ktorá prechádza stredom úsečky $A'C$ . Je aj stredovo súmerný so stredom v strede úsečky $A'C$ (to je zároveň stred úsečky $AC'$ ).
b)Neležia. Body $A$ , $B$ , $D$ určujú kružnicu opísanú štvorcu $ABCD$ s polomerom $4\sqrt{2}$ cm, ale bod $B'$ je od jej stredu vzdialený $2\sqrt{10}$ cm a bod $C'$ až $6\sqrt{2}$ cm.
c) $\frac{12}{23}$ útvaru $U$ : rovnobežník $A'BCD'$ má obsah $48$ cm $^2$ a útvar $U$ má obsah $64 + 64 - 36 = 92$ cm $^2$ .

10.

Ukáž, že každé dve kružnice (úsečky, štvorce, pravidelné

n

-uholníky) sú podobné.

Treba nájsť podobné zobrazenie, ktoré jeden útvar zobrazí na druhý. Pri kružniciach

k_1(S_1; r_1)

k_2(S_2; r_2)

posuň

k_1

o vektor

\overrightarrow{S_1S_2}

a potom použi rovnoľahlosť so stredom

S_2

a koeficientom

\frac{r_2}{r_1}

, teda zväčšenie alebo zmenšenie zo stredu

S_2

. Pri úsečkách je koeficient pomer ich dĺžok, pri štvorcoch a pravidelných

n

-uholníkoch s rovnakým

n

pomer dĺžok strán. Po zmene veľkosti sú útvary zhodné a na seba ich zobrazí zhodné zobrazenie.

11.

Nech sú dva rovinné útvary podobné s koeficientom podobnosti

k

. V akom vzťahu budú obvody a obsahy týchto dvoch útvarov?

Pri podobnosti sa každá dĺžka vynásobí číslom

k

. Vyskúšaj to na štvorci so stranou

a

a jeho obraze so stranou

k \cdot a

Obvody sú v pomere

k

a obsahy v pomere

k^2

o' = k \cdot o

S' = k^2 \cdot S

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.