Okruh 22 · Planimetria

Zhodné zobrazenia – osová súmernosť

Zhodné zobrazenia a osová súmernosť: obraz bodu podľa osi, samodružné body, skladanie súmerností a najkratšie cesty.

asi 75 min · 8 častí · 20 úloh

0 z 8 častí · 0 z 20 úloh

V skratke

Zhodné zobrazenie zachováva vzdialenosti aj uhly, obrazom útvaru je zhodný útvar.
V osovej súmernosti $S(o)$ je os $o$ osou úsečky $XX'$ : $XX' \perp o$ a stred úsečky $XX'$ leží na $o$ .
Samodružné body $S(o)$ sú práve body osi, samodružné priamky sú os $o$ a všetky priamky kolmé na $o$ .
Dve súmernosti s tou istou osou dajú identitu, s kolmými osami stredovú súmernosť, s rovnobežnými posunutie o $2d$ a s rôznobežnými otáčanie o $2\beta$ .
Najkratšia cesta z $A$ do $B$ cez priamku $p$ , keď $A$ , $B$ ležia v tej istej polrovine: zostroj $B' = S_p(B)$ , bod na $p$ je $AB' \cap p$ .
V súradniciach: podľa osi $x$ je $[x; y] \to [x; -y]$ , podľa osi $y$ je $[x; y] \to [-x; y]$ .

Časť 1prečítaná

Zobrazenie a samodružné body

Zobrazenie v rovine: Zobrazenie $Z$ v rovine je predpis, ktorý každému bodu $X$ roviny priradí práve jeden bod $X'$ roviny. Bod $X$ je vzor, bod $X'$ je jeho obraz. Zapisujeme $Z: X \to X'$ .
Samodružný bod: Bod $X$ , pre ktorý platí $X' = X$ , teda bod, ktorý splynie so svojím obrazom, je samodružný bod zobrazenia.
Samodružný útvar: Útvar $U$ , pre ktorý platí $U' = U$ , je samodružný útvar zobrazenia. Útvar sa zobrazí sám na seba, ale jeho jednotlivé body sa pritom môžu presunúť, preto samodružný útvar môže, ale nemusí mať samodružné body.
Osovo súmerný útvar: Útvar (na priamke, v rovine aj v priestore) je osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti sa nazýva os útvaru.

Časť 2prečítaná

Zhodné zobrazenia

Zhodné zobrazenie (zhodnosť): Zobrazenie v rovine je zhodné, ak obrazom každej úsečky $XY$ je úsečka $X'Y'$ a platí $|XY| = |X'Y'|$ .

Každé zhodné zobrazenie zachováva vzdialenosti aj veľkosti uhlov. Útvar teda nezmení tvar ani veľkosť, zmení sa len jeho poloha.

V každom zhodnom zobrazení platí

obrazom priamky $AB$ je priamka $A'B'$ ,
obrazom polpriamky $AB$ je polpriamka $A'B'$ ,
obrazom polroviny $pA$ je polrovina $p'A'$ ,
obrazom útvaru $U$ je útvar $U'$ zhodný s útvarom $U$ ,
obrazom rovnobežných priamok sú rovnobežné priamky,
obrazom opačných polpriamok sú opačné polpriamky,
obrazom opačných polrovín sú opačné polroviny,
obrazom uhla $\sphericalangle AVB$ je uhol $\sphericalangle A'V'B'$ zhodný s uhlom $\sphericalangle AVB$ .

Zhodné zobrazenia v rovine

osová súmernosť,
stredová súmernosť,
posunutie,
otáčanie,
posunutá súmernosť (osová súmernosť a za ňou posunutie v smere osi),
identita (každý bod je sám sebe obrazom).

Časť 3prečítaná

Osová súmernosť

Osová súmernosť $S(o)$: Osová súmernosť s osou $o$ je zhodné zobrazenie v rovine, ktoré každému bodu priamky $o$ priradí ten istý bod a každému bodu $X \notin o$ priradí bod $X'$ tak, že priamka $o$ je osou úsečky $XX'$ . Teda $XX' \perp o$ , stred úsečky $XX'$ leží na $o$ a body $X$ , $X'$ majú od osi rovnakú vzdialenosť, $|X, o| = |X', o|$ .

Osovú súmernosť s osou $o$ označujeme $S(o)$ alebo $S_o$ . Zápis $B' = S_p(B)$ znamená, že $B'$ je obraz bodu $B$ v osovej súmernosti s osou $p$ .

Ako zostrojíš obraz bodu

X \notin o

Bodom $X$ veď kolmicu na os $o$ .
Označ $P$ jej priesečník s osou $o$ (pätu kolmice).
Na kolmici nanes za bod $P$ úsečku $PX'$ s dĺžkou $|PX'| = |XP|$ .

Vlastnosti osovej súmernosti

Samodružné body sú práve body osi $o$ .
Samodružné priamky sú os $o$ (každý jej bod je samodružný) a každá priamka kolmá na os $o$ (samodružný je na nej len priesečník s osou).
Osová súmernosť je sama sebe inverzná: ak sa $X$ zobrazí na $X'$ , tak sa $X'$ zobrazí na $X$ . Zložením dvoch osových súmerností s tou istou osou vznikne identita.
Osová súmernosť mení orientáciu: ak idú vrcholy trojuholníka $ABC$ v smere hodinových ručičiek, vrcholy $A'$ , $B'$ , $C'$ idú proti smeru.

Príklady útvarov a ich obrazov v osovej súmernosti:

Mnohouholník naľavo od osi p a jeho obraz napravo od osi. Obraz je zrkadlovo prevrátený a každý jeho vrchol je od osi rovnako ďaleko ako zodpovedajúci vrchol vzoru.

Mnohouholník, ktorý pretína os p, a jeho obraz. Pri osi sa útvary prekrývajú a body na osi sa zobrazia samy na seba.

Kružnica k so stredom A a jej obraz, kružnica k′ so stredom A′, v osovej súmernosti so šikmou osou. Obraz kružnice je kružnica s rovnakým polomerom.

Časť 4prečítaná

Samodružné útvary v osovej súmernosti

V osovej súmernosti $S(o)$ je samodružným útvarom napríklad štvorec, kosoštvorec, rovnoramenný alebo rovnostranný trojuholník, ak je priamka $o$ jeho osou súmernosti. Kružnica a kruh sú samodružné, keď ich stred leží na priamke $o$ .

Samodružný útvar nemusí mať ani jeden samodružný bod. Napríklad dvojica bodov $X$ , $X'$ súmerných podľa osi $o$ je samodružný útvar, hoci $X$ sa zobrazí na $X'$ a $X'$ na $X$ .

Časť 5prečítaná

Osová súmernosť v súradniciach

Obraz bodu podľa súradnicových osí a osí kvadrantov

Os súmernosti	Obraz bodu $X[x; y]$
os $x$ , teda $y = 0$	$X'[x; -y]$
os $y$ , teda $x = 0$	$X'[-x; y]$
$y = x$ (rozpoľuje 1. a 3. kvadrant)	$X'[y; x]$
$y = -x$ (rozpoľuje 2. a 4. kvadrant)	$X'[-y; -x]$

x

, teda

y = 0

X'[x; -y]

y

, teda

x = 0

X'[-x; y]

y = x

(rozpoľuje 1. a 3. kvadrant)

X'[y; x]

y = -x

(rozpoľuje 2. a 4. kvadrant)

X'[-y; -x]

Obraz bodu podľa ľubovoľnej priamky

o

Napíš parametrické rovnice kolmice na $o$ , ktorá prechádza bodom $X$ . Jej smerový vektor je normálový vektor priamky $o$ .
Dosaď ich do rovnice priamky $o$ a nájdi priesečník $P$ , pätu kolmice.
Bod $P$ je stred úsečky $XX'$ , preto $X' = [2p_1 - x; 2p_2 - y]$ , kde $P = [p_1; p_2]$ .

Obraz bodu

X[x_0; y_0]

podľa priamky

ax + by + c = 0

\displaystyle x' = x_0 - 2a\,k, \qquad \allowbreak y' = y_0 - 2b\,k, \qquad \allowbreak \text{kde } k = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2}

Je to ten istý postup zapísaný jedným vzorcom. Výsledok si over: stred úsečky $XX'$ musí ležať na priamke $o$ .

Časť 6prečítaná

Skladanie osových súmerností

Keď bod najprv zobrazíš v súmernosti $S(o_1)$ a jeho obraz potom v súmernosti $S(o_2)$ , dostaneš opäť zhodné zobrazenie. Ktoré, závisí od polohy osí.

Osi $o_1$ a $o_2$	Zložením súmerností vznikne
splývajú, $o_1 = o_2$	identita
sú rovnobežné, rôzne, vo vzdialenosti $d$	posunutie o $2d$ v smere kolmom na osi
sú rôznobežné a zvierajú uhol $\beta$	otáčanie okolo priesečníka osí o uhol $2\beta$
sú na seba kolmé	stredová súmernosť so stredom v priesečníku osí

splývajú,

o_1 = o_2

identita

sú rovnobežné, rôzne, vo vzdialenosti

d

posunutie o

2d

v smere kolmom na osi

sú rôznobežné a zvierajú uhol

\beta

otáčanie okolo priesečníka osí o uhol

2\beta

sú na seba kolmé

stredová súmernosť so stredom v priesečníku osí

Časť 7prečítaná

Osová súmernosť v konštrukčných úlohách

V úlohách sa osová súmernosť najčastejšie využíva dvoma spôsobmi.

Najkratšia cesta cez priamku. Body $A$ , $B$ ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$ a hľadáš bod $X \in p$ , pre ktorý je súčet $|AX| + |XB|$ najmenší. Zostroj $B' = S_p(B)$ , hľadaný bod je $X = AB' \cap p$ . Pre každý bod $X \in p$ platí $|AX| + |XB| = |AX| + |XB'| \geq |AB'|$ (trojuholníková nerovnosť) a rovnosť nastane práve vtedy, keď $X$ leží na úsečke $AB'$ .
Prenesenie bodu na iný útvar. Ak je priamka $o$ osou úsečky $XY$ (úsečka je na ňu kolmá a jej stred leží na $o$ ), tak $Y = S_o(X)$ . Keď má $X$ ležať na útvare $U$ a $Y$ na útvare $V$ , bod $Y$ hľadáš ako spoločný bod útvaru $V$ a obrazu $U' = S_o(U)$ .

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Obraz kružnice podľa priamky

Urči rovnicu obrazu kružnice $k: (x-3)^2 + y^2 = 4$ v osovej súmernosti s osou $o: x - 2y + 2 = 0$ .

Obraz kružnice je kružnica s rovnakým polomerom $r = 2$ , stačí zobraziť stred $S[3; 0]$ .
Kolmica na os $o$ cez bod $S$ má smerový vektor rovný normálovému vektoru osi $\vec{n} = (1; -2)$ :
$\displaystyle x = 3 + t, \qquad \allowbreak y = -2t, \qquad \allowbreak t \in \mathbb{R}$
Dosadíme do rovnice osi a nájdeme pätu kolmice:
$\displaystyle (3 + t) - 2\cdot(-2t) + 2 = 0 \;\Rightarrow\; 5t + 5 = 0 \;\Rightarrow\; t = -1 \;\Rightarrow\; P[2; 2]$
Bod $P$ je stred úsečky $SS'$ , preto $S' = [2 \cdot 2 - 3;\ \allowbreak 2 \cdot 2 - 0] = [1; 4]$ .
Kontrola: $|S, o| = \frac{|3 - 0 + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ a $|S', o| = \frac{|1 - 8 + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ .

Výsledok: $k': (x-1)^2 + (y-4)^2 = 4$

Riešený príklad

Najkratšia cesta cez priamku

Dané sú body $A[1; 2]$ a $B[5; 4]$ . Na osi $x$ nájdi bod $C$ , pre ktorý je súčet $|AC| + |CB|$ najmenší, a urči tento súčet.

Body $A$ a $B$ ležia nad osou $x$ . Zobraz bod $B$ podľa osi $x$ : $B'[5; -4]$ . Pre každý bod $C$ na osi $x$ platí $|CB| = |CB'|$ .
$\displaystyle |AC| + |CB| = |AC| + |CB'| \geq |AB'|$
Rovnosť nastane, keď $C$ leží na úsečke $AB'$ . Priamka $AB'$ má smerový vektor $B' - A = (4; -6)$ :
$\displaystyle x = 1 + 4t, \qquad \allowbreak y = 2 - 6t$
Na osi $x$ je $y = 0$ , teda $t = \frac{1}{3}$ a $x = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$ .
$\displaystyle |AB'| = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Výsledok: $C\left[\frac{7}{3}; 0\right]$ , najmenší súčet je $|AC| + |CB| = 2\sqrt{13} \doteq 7{,}21$ .

Riešený príklad

Úsečka s danou osou

Dané sú priamky $a$ , $b$ a kružnica $k$ . Zostroj úsečku $XY$ tak, aby $X \in b$ , $Y \in k$ a priamka $a$ bola osou úsečky $XY$ .

Rozbor: ak je $a$ osou úsečky $XY$ , tak $Y = S_a(X)$ .
Bod $X$ leží na priamke $b$ , preto jeho obraz $Y$ leží na obraze $b' = S_a(b)$ . Zároveň $Y \in k$ , teda $Y \in b' \cap k$ .
Konštrukcia: zostroj priamku $b'$ (stačí zobraziť dva jej body), nájdi jej priesečníky s kružnicou $k$ a ku každému takému bodu $Y$ zostroj $X = S_a(Y)$ .
Diskusia: priamka $b'$ a kružnica $k$ majú $0$ , $1$ alebo $2$ spoločné body. Bod, ktorý leží na osi $a$ , nevyhovuje, lebo by bolo $X = Y$ .

Výsledok: Úloha má toľko riešení, koľko spoločných bodov mimo priamky $a$ majú priamka $b'$ a kružnica $k$ , teda $0$ , $1$ alebo $2$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 20

Daný je lichobežník

ABCD

so základňami

AB

CD

. Zostroj lichobežník, ktorý je s ním súmerný podľa osi, ak je v tejto súmernosti vrcholu

A

priradený stred

A'

strany

BC

Bod

A'

je obraz bodu

A

, preto je os súmernosti osou úsečky

AA'

(kolmica na

AA'

cez jej stred). Potom zostroj obrazy

B'

C'

D'

ostatných vrcholov: z každého veď kolmicu na os a nanes rovnakú vzdialenosť za os. Úloha má jediné riešenie.

V sústave súradníc je daný trojuholník

ABC

A[0; 1]

B[5; 3]

C[3; -2]

. Zostroj trojuholník

A'B'C'

, ktorý je s ním súmerne združený podľa:

a)
osi $x$ ,
b)
osi $y$ .

Pri súmernosti podľa osi

x

zmeň znamienko

y

-ovej súradnice, pri súmernosti podľa osi

y

znamienko

x

-ovej súradnice.

a) $A'[0; -1]$ , $B'[5; -3]$ , $C'[3; 2]$
b) $A'[0; 1] = A$ , $B'[-5; 3]$ , $C'[-3; -2]$ (vrchol $A$ leží na osi $y$ , je samodružný)

V sústave súradníc je daná kružnica

k(S; r)

S[2; 3]

r = 3

. Zostroj kružnicu

k'

, ktorá je s kružnicou

k

súmerne združená podľa:

a)
osi $x$ ,
b)
osi $y$ ,
c)
priamky $o$ , ktorá rozpoľuje druhý a štvrtý kvadrant.

Polomer sa nemení, zobraz len stred

S

. Priamka, ktorá rozpoľuje 2. a 4. kvadrant, má rovnicu

y = -x

a bod

[x; y]

zobrazí na bod

[-y; -x]

a) $S'[2; -3]$ , $r = 3$ , teda $k': (x-2)^2 + (y+3)^2 = 9$
b) $S'[-2; 3]$ , $r = 3$ , teda $k': (x+2)^2 + (y-3)^2 = 9$
c) $o: y = -x$ , $S'[-3; -2]$ , $r = 3$ , teda $k': (x+3)^2 + (y+2)^2 = 9$

Zostroj dráhu biliardovej gule, ktorá prejde z polohy

A

po odraze od mantinelu do polohy

B

A \neq B

Mantinel je priamka

m

a body

A

B

ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou

m

. Zostroj

B' = S_m(B)

. Guľa narazí do mantinelu v bode

X = AB' \cap m

a jej dráha je lomená čiara

AXB

. Uhol dopadu sa rovná uhlu odrazu, lebo priamky

XB

XB'

sú súmerné podľa

m

Nájdi rovnicu kružnice súmernej s kružnicou

(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1

vzhľadom na priamku

x - y - 3 = 0

Zobraz stred

S[1; 2]

. Kolmica na os cez

S

x = 1 + t

y = 2 - t

. Nájdi jej priesečník

P

s osou, bod

P

je stred úsečky

SS'

. Polomer ostáva

1

(x-5)^2 + (y+2)^2 = 1

Daná je priamka

p

a dva rôzne body

A

B

, ktoré ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou

p

. Na priamke

p

zostroj bod

C

tak, aby obvod trojuholníka

ABC

bol najmenší.

Strana

AB

sa nemení, takže hľadáš najmenší súčet

|AC| + |CB|

. Zostroj

B' = S_p(B)

, hľadaný bod je

C = AB' \cap p

. Ak je

AB \perp p

, bod

C

by ležal na priamke

AB

a trojuholník by nevznikol, vtedy úloha riešenie nemá.

Zostroj obraz kruhu

k(K; r)

v osovej súmernosti

S_a

. Polohu kruhu vzhľadom na priamku

a

voľ postupne takto:

a)
$k \cap a = \emptyset$ ,
b)
$K \in a$ ,
c)
$k \cap a$ je jednoprvková množina,
d)
kruh $k$ a priamka $a$ majú spoločnú úsečku a $K \notin a$ .

Vo všetkých prípadoch zostroj obraz stredu

K' = S_a(K)

a kruh

k'(K'; r)

s rovnakým polomerom.

a)Kruh $k'$ leží v opačnej polrovine a s kruhom $k$ nemá spoločný bod.
b) $K' = K$ , preto $k' = k$ : kruh je samodružný útvar, samodružné sú len body jeho priemeru, ktorý leží na priamke $a$ .
c)Priamka $a$ sa kruhu dotýka a kruhy $k$ , $k'$ sa zvonka dotýkajú v bode dotyku, ktorý je jediným samodružným bodom.
d)Kruhy $k$ a $k'$ sa prekrývajú, ich spoločná tetiva na priamke $a$ ostáva na mieste a každý jej bod je samodružný.

Daný je štvorec

ABCD

v rovine. Urči všetky osové súmernosti, v ktorých je tento štvorec samodružným útvarom.

Os musí prechádzať stredom štvorca a súmernosť musí vrcholy zobraziť opäť na vrcholy štvorca.

Sú štyri: súmernosti s osami

AC

BD

(uhlopriečky) a súmernosti s osami, ktoré prechádzajú stredmi protiľahlých strán

AB

CD

, resp.

BC

AD

10.

Načrtni niekoľko útvarov súmerných podľa osi

o

, ktorých každý bod je samodružný, a niekoľko útvarov, ktoré nemajú všetky body samodružné.

Každý bod je samodružný len pri útvaroch, ktoré ležia celé na osi

o

: bod, úsečka alebo polpriamka na osi, prípadne celá priamka

o

. Nie všetky body sú samodružné napríklad pri kružnici so stredom na osi, pri rovnoramennom trojuholníku s osou

o

, pri priamke kolmej na

o

alebo pri dvojici bodov súmerných podľa

o

11.

Daná je priamka

b

a kružnice

p

q

. Zostroj úsečku

XY

tak, aby

X \in p

Y \in q

, stred úsečky

XY

bol bodom priamky

b

a priamka

XY

bola kolmá na priamku

b

. Urob diskusiu.

Priamka

b

je osou úsečky

XY

, preto

Y = S_b(X)

. Zostroj kružnicu

p' = S_b(p)

. Bod

Y

je spoločný bod kružníc

p'

q

X = S_b(Y)

. Diskusia: počet riešení je počet spoločných bodov kružníc

p'

q

, ktoré neležia na priamke

b

, teda

0

1

alebo

2

. Ak

p' = q

, riešení je nekonečne veľa.

12.

Urči dráhu biliardovej gule po biliardovom stole tak, aby z bodu

A

prešla do bodu

B

po jednom odraze od niektorej steny. Predpokladaj ideálnu platnosť zákona odrazu.

Postupuj ako v úlohe 4 pre každú stenu

m

: zostroj

B' = S_m(B)

a bod odrazu

X = AB' \cap m

. Na obdĺžnikovom stole dostaneš pre každú zo štyroch stien jednu dráhu

AXB

14.

Dané sú dve kružnice

k_1

k_2

a priamka

p

. Zostroj všetky rovnostranné trojuholníky

ABC

, ktorých ťažnica

t_c

je časťou priamky

p

a vrcholy

A

B

ležia postupne na kružniciach

k_1

k_2

V rovnostrannom trojuholníku je ťažnica

t_c

zároveň výškou, takže

p

je osou strany

AB

B = S_p(A)

. Bod

B

je spoločný bod kružnice

k_2

a obrazu

k_1' = S_p(k_1)

A = S_p(B)

. Vrchol

C

leží na

p

vo vzdialenosti

\frac{\sqrt{3}}{2}\,|AB|

od stredu strany

AB

, na jednu alebo na druhú stranu. Každý vhodný bod

B

mimo priamky

p

preto dá dva trojuholníky. Kružnice

k_1'

k_2

majú

0

1

alebo

2

spoločné body, takže úloha má najviac

4

riešenia (spoločný bod na priamke

p

nevyhovuje). Keď

k_1' = k_2

, riešení je nekonečne veľa.

15.

Úlohu o dráhe biliardovej gule (úloha 12) vyrieš pre prípad, keď:

a)
spojnica bodov $A$ , $B$ je kolmá na niektorý mantinel,
b)
guľa sa má odraziť od dvoch susedných mantinelov,
c)
guľa sa má odraziť od dvoch protiľahlých mantinelov,
d)
guľa sa má odraziť postupne od troch susedných mantinelov.

a) Pre mantinel

m \perp AB

leží

B' = S_m(B)

na priamke

AB

: guľa narazí do

m

kolmo a vráti sa po tej istej priamke (ak je

B

bližšie k

m

ako

A

, prejde cez

B

už pred odrazom). Pri ostatných mantineloch postupuj ako v úlohe 12. b) až d) Bod

B

zobrazuj postupne podľa mantinelov v opačnom poradí, ako ich guľa zasiahne. Keď guľa narazí najprv do

m

a potom do

n

, zostroj

B_1 = S_n(B)

B_2 = S_m(B_1)

, prvý odraz je

X = AB_2 \cap m

a druhý

Y = XB_1 \cap n

. Pri susedných mantineloch je

B_2

súmerný s

B

podľa rohu stola (osi sú kolmé, vznikne stredová súmernosť), pri protiľahlých je

B_2

posunutý o dvojnásobok vzdialenosti mantinelov. Pri troch mantineloch pridáš ešte jeden obraz rovnakým spôsobom.

16.

Daná je priamka

p

a vnútri jednej z polrovín s hraničnou priamkou

p

dva rôzne body

R

S

, pričom priamka

RS

nie je kolmá na

p

. Zostroj trojuholník

RST

s vrcholom

T \in p

tak, aby mal najmenší možný obvod.

Postupuj ako v úlohe 6: zostroj obraz

S'

bodu

S

v súmernosti podľa priamky

p

, hľadaný vrchol je

T = RS' \cap p

. Podmienka, že

RS

nie je kolmá na

p

, zaručí, že

T

neleží na priamke

RS

a trojuholník naozaj vznikne.

17.

Dané sú tri navzájom rôznobežné priamky

a

b

c

, ktoré neprechádzajú tým istým bodom. Zostroj úsečku

BC \perp a

tak, aby

B \in b

C \in c

a stred úsečky

BC

bol bodom priamky

a

Priamka

a

je osou úsečky

BC

, preto

C = S_a(B)

. Zostroj

b' = S_a(b)

, potom

C = b' \cap c

B = S_a(C)

. Ak

b' \parallel c

, úloha nemá riešenie, inak má práve jedno. Priesečník

b' \cap c

nemôže ležať na priamke

a

, lebo by to bol spoločný bod všetkých troch priamok.

18.

Daná je priamka

m

a dva rôzne body

K

L

, ktoré ležia v navzájom opačných polrovinách určených priamkou

m

. Zostroj bod

M \in m

tak, aby sa ostrý uhol priamok

KM

m

rovnal polovici ostrého uhla priamok

LM

m

Priamka

KM

má byť osou uhla, ktorý zviera priamka

m

s priamkou

LM

. Súmernosť podľa

KM

teda zobrazí bod

L

na bod

L_1 \in m

a platí

|KL_1| = |KL|

. Zostroj kružnicu so stredom

K

a polomerom

|KL|

, jej priesečníky s priamkou

m

sú možné body

L_1

. Os úsečky

LL_1

prechádza bodom

K

a pretne priamku

m

v hľadanom bode

M

. To isté zopakuj s bodom

L' = S_m(L)

namiesto

L

, teda s kružnicou so stredom

K

a polomerom

|KL'|

a osou úsečky

L'L_1

. Pri každom bode

M

over, či je uhol priamok

LM

m

ostrý a dvakrát väčší. Podľa polohy bodov má úloha žiadne, jedno alebo viac riešení.

19.

Daný je uhol

\sphericalangle AVB

, ktorého vrchol je neprístupný (leží mimo nákresne). Zostroj os tohto uhla.

Os uhla je os súmernosti, ktorá zobrazí jedno rameno na druhé, a jej body majú od oboch ramien rovnakú vzdialenosť. Vo vnútri uhla zostroj priamky

a_1 \parallel VA

b_1 \parallel VB

v tej istej vzdialenosti

d

od ramien. Ich priesečník

P

leží na osi uhla. Pri dosť veľkom

d

P

v nákresni a os uhla, ktorý zvierajú priamky

a_1

b_1

s vrcholom

P

, je zároveň osou uhla

\sphericalangle AVB

20.

Štyria kamaráti táborili na lúke (v mieste

A

) a mali presne nakreslený plán okolia. Hľadali najkratšiu cestu z tábora

A

po maliny, potom k rybníku a potom späť do tábora. Našiel ju Stano. Akú cestu zvolil? Ako presvedčil kamarátov, že zvolil správne? Vedel by si nájsť najkratšiu cestu z tábora k rybníku, po maliny a späť do tábora?

Plán okolia tábora: dve rôznobežné priamky, hore okraj malín a dole breh rybníka, a medzi nimi bod A, tábor.

Zostroj body

A_1

A_2

súmerné s bodom

A

podľa okraja malín a podľa brehu rybníka. Úsečka

A_1A_2

pretne okraj malín v bode

X

a breh rybníka v bode

Y

. Cesta

A \to X \to Y \to A

má dĺžku

|A_1X| + |XY| + |YA_2| = |A_1A_2|

. Každá iná cesta má podľa trojuholníkovej nerovnosti dĺžku aspoň

|A_1A_2|

, tak Stano presvedčil kamarátov. Najkratšia cesta najprv k rybníku a potom po maliny je tá istá cesta prejdená opačným smerom, je rovnako dlhá.

21.

Dané sú dve rôzne rovnobežné priamky

x

y

a priamka

z

, ktorá je s nimi rôznobežná. Zostroj všetky štvorce

XYZV

, ktorých vrchol

X \in x

, vrchol

Z \in z

a uhlopriečka

YV

leží na priamke

y

Uhlopriečky štvorca sú na seba kolmé a navzájom sa rozpoľujú, preto je priamka

y

osou uhlopriečky

XZ

Z = S_y(X)

. Zostroj

x' = S_y(x)

, potom

Z = x' \cap z

X = S_y(Z)

. Vrcholy

Y

V

ležia na priamke

y

vo vzdialenosti

\frac{|XZ|}{2}

od stredu úsečky

XZ

. Priamka

x'

je rovnobežná s

x

, takže ju

z

pretne práve v jednom bode.

Existuje práve jeden taký štvorec. Vrcholy

Y

V

na priamke

y

môžeš označiť dvoma spôsobmi.

22.

Nad úsečkou

AB

možno zostrojiť nekonečne veľa trojuholníkov

ABC

, ktoré majú rovnako veľkú výšku

v_c

. Zostroj ten z nich, pre ktorý je súčet strán

AC

BC

najmenší.

Vrchol

C

leží na priamke

q \parallel AB

vo vzdialenosti

v_c

AB

. Zostroj

B' = S_q(B)

, hľadaný vrchol je

C = AB' \cap q

Je to rovnoramenný trojuholník so základňou

AB

, vrchol

C

leží na osi úsečky

AB

. Najmenší súčet je

|AC| + |BC| = \sqrt{c^2 + 4v_c^2}

, kde

c = |AB|

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.