Okruh 21 · Planimetria

Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie

Kružnice, rovnobežky, osi a oblúky ako množiny bodov s danou vlastnosťou a ich využitie v konštrukčných úlohách.

asi 55 min · 7 častí · 6 úloh

0 z 7 častí · 0 z 6 úloh

V skratke

Body vo vzdialenosti $r$ od bodu $S$ tvoria kružnicu $k(S; r)$ , body vo vzdialenosti $d$ od priamky $p$ dve rovnobežky s $p$ (ekvidištanty).
Body rovnako vzdialené od bodov $A$ a $B$ ležia na osi úsečky $AB$ , od dvoch rôznobežiek na dvoch navzájom kolmých osiach uhlov.
Nerovnosť dáva časť roviny: $|SX| < r$ je kruh bez hraničnej kružnice, $|AX| > |BX|$ polrovina ohraničená osou úsečky $AB$ , v ktorej leží $B$ .
Body, z ktorých vidieť $AB$ pod uhlom $\alpha \in (0^\circ; 180^\circ)$ , tvoria dva oblúky súmerné podľa $AB$ bez bodov $A$ a $B$ . Pre $\alpha = 90^\circ$ je to Tálesova kružnica.
Polomer oblúkov nad úsečkou $AB$ pre uhol $\alpha$ je $r = \frac{|AB|}{2\sin\alpha}$ .
Konštrukčnú úlohu riešiš množinovou metódou: hľadaný bod je prienikom dvoch množín bodov.
Analyticky má kružnica rovnicu $(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2$ a os úsečky dostaneš z rovnice $|AX|^2 = |BX|^2$ .

Časť 1prečítaná

Čo je množina bodov danej vlastnosti

Množinu bodov danej vlastnosti tvoria všetky body roviny, ktoré majú predpísanú vlastnosť, a žiadne iné. Bod $X$ do nej patrí práve vtedy, keď túto vlastnosť má.

Zapisuješ ju v tvare $\{X \in \delta;\ \allowbreak \text{vlastnosť bodu } X\}$ , kde $\delta$ je rovina, v ktorej pracuješ. Zápis $\{X \in \delta;\ \allowbreak |SX| = r\}$ čítaj: všetky body $X$ roviny $\delta$ , ktorých vzdialenosť od bodu $S$ je $r$ .

Vzdialenosť bodu od priamky: Vzdialenosť $|Xp|$ bodu $X$ od priamky $p$ je vzdialenosť bodu $X$ od päty kolmice, ktorú z bodu $X$ spustíš na priamku $p$ .
Vzdialenosť bodu od kružnice: Vzdialenosť $|Xk|$ bodu $X$ od kružnice $k(S; r)$ je vzdialenosť bodu $X$ od najbližšieho bodu kružnice. Platí $|Xk| = \big|\,|SX| - r\,\big|$ .

Časť 2prečítaná

Body s danou vzdialenosťou od bodu, priamky a kružnice

Od bodu. Množina bodov roviny, ktoré majú od bodu $S$ vzdialenosť $r > 0$ , je kružnica so stredom $S$ a polomerom $r$ . Označuješ ju $k(S; r)$ .

Kružnica

\displaystyle k(S; r) = \{X \in \delta;\ \allowbreak |SX| = r\}

Od priamky. Množina bodov roviny, ktoré majú od priamky $p$ vzdialenosť $d > 0$ , je dvojica priamok $e_1$ a $e_2$ rovnobežných s $p$ . Každá leží v inej polrovine s hraničnou priamkou $p$ a od $p$ je vzdialená o $d$ . Volajú sa ekvidištanty priamky $p$ .

Ekvidištanty priamky

\displaystyle \{X \in \delta;\ \allowbreak |Xp| = d\} = e_1 \cup e_2

Priamka p a s ňou rovnobežné priamky e1 nad ňou a e2 pod ňou. Kolmé úsečky medzi p a každou z nich majú rovnakú dĺžku, na obrázku označenú a.

Od kružnice. Množina bodov roviny, ktoré majú od kružnice $k(S; r)$ vzdialenosť $d$ , kde $0 < d < r$ , je dvojica kružníc sústredných s $k$ : $e_1(S; r - d)$ a $e_2(S; r + d)$ . Volajú sa ekvidištanty kružnice $k$ .

Ekvidištanty kružnice

\displaystyle \{X \in \delta;\ \allowbreak |Xk| = d\} = e_1(S; r - d) \cup e_2(S; r + d)

Platí pre $0 < d < r$ .

Tri sústredné kružnice so stredom S. Prostredná je kružnica k s polomerom r. Vnútorná kružnica e1 a vonkajšia e2 sú od nej vzdialené o rovnakú vzdialenosť, na obrázku označenú a, pričom 0 < a < r.

Časť 3prečítaná

Body rovnako vzdialené od dvoch útvarov

Od dvoch bodov. Množina bodov roviny, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od dvoch rôznych bodov $A$ a $B$ , je os úsečky $AB$ . Je to priamka kolmá na $AB$ , ktorá prechádza stredom úsečky $AB$ .

Os úsečky

AB

\displaystyle o = \{X \in \delta;\ \allowbreak |AX| = |BX|\}

Úsečka AB a jej os o: čiarkovaná priamka kolmá na AB, ktorá prechádza stredom úsečky AB.

Od dvoch rovnobežných priamok. Množina bodov roviny, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od dvoch rôznych rovnobežných priamok $p$ a $q$ , je os pása $pq$ . Je to priamka rovnobežná s $p$ aj $q$ , ktorá leží presne uprostred medzi nimi.

Os pása

\displaystyle o = \{X \in \delta;\ \allowbreak |Xp| = |Xq|\}, \quad \allowbreak p \parallel q

Rovnobežné priamky p a q a medzi nimi, v rovnakej vzdialenosti od oboch, ich os o.

Od dvoch rôznobežných priamok. Množina bodov roviny, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od dvoch rôznobežiek $p$ a $q$ , je dvojica navzájom kolmých priamok $o_1$ a $o_2$ . Na nich ležia osi uhlov, ktoré priamky $p$ a $q$ zvierajú.

Osi uhlov rôznobežiek

\displaystyle \{X \in \delta;\ \allowbreak |Xp| = |Xq|\} = o_1 \cup o_2, \quad \allowbreak o_1 \perp o_2

Rôznobežky p a q sa pretínajú v jednom bode. Tým istým bodom prechádzajú dve navzájom kolmé priamky o1 a o2, ktoré rozpoľujú uhly medzi p a q.

Časť 4prečítaná

Body bližšie alebo ďalej ako daná vzdialenosť

Keď je vo vlastnosti nerovnosť, množinou nie je čiara, ale časť roviny. Pri ostrej nerovnosti ( $<$ , $>$ ) do nej hraničná čiara nepatrí. Vo všetkých riadkoch tabuľky je $r > 0$ .

Prehľad množín s nerovnosťou

Množina	Čo to je
$\{X \in \delta;\ \allowbreak \|SX\| < r\}$	kruh $K(S; r)$ bez hraničnej kružnice
$\{X \in \delta;\ \allowbreak \|SX\| > r\}$	vonkajšia oblasť kružnice $k(S; r)$
$\{X \in \delta;\ \allowbreak \|Xp\| < r\}$	pás šírky $2r$ medzi ekvidištantami priamky $p$ bez hraničných priamok
$\{X \in \delta;\ \allowbreak \|Xp\| > r\}$	oblasť mimo tohto pásu (dve polroviny bez hraničných priamok)
$\{X \in \delta;\ \allowbreak \|AX\| > \|BX\|\}$	polrovina ohraničená osou úsečky $AB$ , v ktorej leží bod $B$ , bez hraničnej priamky
$\{X \in \delta;\ \allowbreak \|Xa\| > \|Xb\|\}$ , kde $a \parallel b$	polrovina ohraničená osou pása $ab$ , v ktorej leží priamka $b$ , bez hraničnej priamky

\{X \in \delta;\ \allowbreak |SX| < r\}

kruh

K(S; r)

bez hraničnej kružnice

\{X \in \delta;\ \allowbreak |SX| > r\}

vonkajšia oblasť kružnice

k(S; r)

\{X \in \delta;\ \allowbreak |Xp| < r\}

pás šírky

2r

medzi ekvidištantami priamky

p

bez hraničných priamok

\{X \in \delta;\ \allowbreak |Xp| > r\}

oblasť mimo tohto pásu (dve polroviny bez hraničných priamok)

\{X \in \delta;\ \allowbreak |AX| > |BX|\}

polrovina ohraničená osou úsečky

AB

, v ktorej leží bod

B

, bez hraničnej priamky

\{X \in \delta;\ \allowbreak |Xa| > |Xb|\}

, kde

a \parallel b

polrovina ohraničená osou pása

ab

, v ktorej leží priamka

b

, bez hraničnej priamky

Časť 5prečítaná

Body, z ktorých vidieť úsečku pod daným uhlom

Z bodu $X$ vidieť úsečku $AB$ pod uhlom $\alpha$ , ak $|\sphericalangle AXB| = \alpha$ . Pre $\alpha \in (0^\circ; 180^\circ)$ tvoria všetky také body dva kružnicové oblúky nad úsečkou $AB$ , ktoré sú súmerné podľa priamky $AB$ . Body $A$ a $B$ do množiny nepatria.

Konštrukcia pre

0^\circ < \alpha < 180^\circ

Zostroj os $o$ úsečky $AB$ .
Zostroj uhol $BAQ$ s veľkosťou $\alpha$ v jednej z polrovín s hraničnou priamkou $AB$ .
Bodom $A$ veď priamku kolmú na polpriamku $AQ$ .
Priesečník tejto kolmice s osou $o$ je stred $S$ . Zostroj aj bod $S'$ súmerný s bodom $S$ podľa priamky $AB$ .
Zostroj kružnice $k(S; |SA|)$ a $k'(S'; |S'A|)$ .
Hľadanú množinu tvorí oblúk kružnice $k$ , ktorý leží v opačnej polrovine ako bod $Q$ , a s ním súmerný oblúk kružnice $k'$ , oba bez bodov $A$ a $B$ .

Úsečka AB s osou o. Polpriamka AQ zviera s AB uhol α a leží pod AB. Kolmica na AQ v bode A pretína os o v strede S nad AB, bod S' je s ním súmerný podľa AB. Hrubo sú vyznačené oblúk kružnice k nad AB a oblúk kružnice k' pod AB, z ich bodov vidieť AB pod uhlom α, napríklad z bodu X. Body A a B sú prázdne krúžky, do množiny nepatria.

Prečo to funguje: polpriamka $AQ$ je kolmá na polomer $SA$ , preto je dotyčnicou kružnice $k$ v bode $A$ . Úsekový uhol $BAQ$ medzi tetivou $AB$ a touto dotyčnicou má rovnakú veľkosť ako obvodový uhol $AXB$ pre každý bod $X$ oblúka v opačnej polrovine ako $Q$ . Všetky tieto obvodové uhly majú preto veľkosť $\alpha$ .

Polomer oblúkov

\displaystyle r = |SA| = \frac{|AB|}{2\sin\alpha}

Vyplýva zo sínusovej vety v trojuholníku $ABX$ . Hodí sa na kontrolu konštrukcie.

Špeciálne uhly

Uhol $\alpha$	Množina bodov
$\alpha = 90^\circ$	Tálesova kružnica nad priemerom $AB$ bez bodov $A$ a $B$ . Kolmica na $AQ$ je vtedy samotná priamka $AB$ , preto $S$ je stred úsečky $AB$ a $S' = S$ .
$\alpha = 180^\circ$	vnútorné body úsečky $AB$
$\alpha = 0^\circ$	body priamky $AB$ , ktoré ležia mimo úsečky $AB$

\alpha = 90^\circ

Tálesova kružnica nad priemerom

AB

bez bodov

A

B

. Kolmica na

AQ

je vtedy samotná priamka

AB

, preto

S

je stred úsečky

AB

S' = S

\alpha = 180^\circ

vnútorné body úsečky

AB

\alpha = 0^\circ

body priamky

AB

, ktoré ležia mimo úsečky

AB

Časť 6prečítaná

Analytické vyjadrenie v súradniciach

V súradnicovej sústave zapíšeš vlastnosť bodu $X = [x; y]$ rovnicou alebo nerovnicou pre jeho súradnice. Vzdialenosť bodu $X$ od bodu $A = [a_1; a_2]$ je $|AX| = \sqrt{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2}$ .

Kružnica

k(S; r)

so stredom

S = [m; n]

\displaystyle (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2

Kruh bez hraničnej kružnice opisuje nerovnica $(x - m)^2 + (y - n)^2 < r^2$ , vonkajšiu oblasť $(x - m)^2 + (y - n)^2 > r^2$ a celý kruh $K(S; r)$ nerovnica $(x - m)^2 + (y - n)^2 \leq r^2$ .

Vzdialenosť bodu

X = [x_0; y_0]

od priamky

p\colon ax + by + c = 0

\displaystyle |Xp| = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Ekvidištanty priamky

p\colon ax + by + c = 0

vo vzdialenosti

d

\displaystyle ax + by + c = d\sqrt{a^2 + b^2} \quad \allowbreak \text{a} \quad \allowbreak ax + by + c = -d\sqrt{a^2 + b^2}

Pás medzi nimi bez hraničných priamok opisuje nerovnica $|ax + by + c| < d\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Os úsečky

AB

, kde

A = [a_1; a_2]

B = [b_1; b_2]

\displaystyle (x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 = (x - b_1)^2 + (y - b_2)^2

Je to rovnica $|AX|^2 = |BX|^2$ . Po roznásobení sa členy $x^2$ a $y^2$ odčítajú a ostane všeobecná rovnica priamky.

Osi uhlov rôznobežiek

p\colon a_1 x + b_1 y + c_1 = 0

q\colon a_2 x + b_2 y + c_2 = 0

\displaystyle \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm\,\frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}

Znamienko $+$ dá jednu os, znamienko $-$ druhú. Vznikne z rovnosti $|Xp| = |Xq|$ .

Časť 7prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Množinová metóda pri konštrukcii trojuholníka

Zostroj trojuholník $ABC$ , v ktorom $c = |AB| = 6$ cm, $\gamma = 90^\circ$ a $v_c = 2$ cm. Koľko riešení má úloha?

Stranu $AB$ narysuješ hneď. Hľadáš už len vrchol $C$ , ktorý musí mať dve vlastnosti naraz.
Z bodu $C$ vidieť úsečku $AB$ pod uhlom $90^\circ$ , preto $C$ leží na Tálesovej kružnici $k(S; 3\ \text{cm})$ , kde $S$ je stred úsečky $AB$ , bez bodov $A$ a $B$ .
Bod $C$ má od priamky $AB$ vzdialenosť $v_c = 2$ cm, preto leží na jednej z dvoch rovnobežiek s $AB$ vo vzdialenosti $2$ cm.
Keďže $2 < 3$ , každá rovnobežka pretne Tálesovu kružnicu v dvoch bodoch. Vzniknú štyri body $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ , $C_4$ , súmerné podľa priamky $AB$ aj podľa osi úsečky $AB$ .
Všetky štyri trojuholníky sú zhodné, úloha má teda jedno riešenie. Na kontrolu odmeraj odvesny:
$\displaystyle \sqrt{18 + 6\sqrt{5}} \doteq 5{,}61\ \text{cm} \qquad \allowbreak \sqrt{18 - 6\sqrt{5}} \doteq 2{,}14\ \text{cm}$
Pri $v_c = 3$ cm by sa rovnobežky Tálesovej kružnice len dotkli a vznikol by rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Pri $v_c > 3$ cm by úloha nemala riešenie.

Výsledok: Úloha má jedno riešenie, štyri polohy bodu $C$ dávajú zhodné trojuholníky.

Riešený príklad

Oblúky pre uhol

30^\circ

Úsečka $AB$ má dĺžku $4$ cm. Opíš množinu bodov, z ktorých vidieť úsečku $AB$ pod uhlom $30^\circ$ . Vypočítaj polomer jej oblúkov a vzdialenosť ich stredov od priamky $AB$ .

Množinu tvoria dva oblúky súmerné podľa priamky $AB$ , bez bodov $A$ a $B$ . Ich stredy $S$ a $S'$ ležia na osi úsečky $AB$ .
$\displaystyle r = \frac{|AB|}{2\sin 30^\circ} = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4\ \text{cm}$
Stred $S$ , stred úsečky $AB$ a bod $A$ tvoria pravouhlý trojuholník s preponou $|SA| = 4$ cm a odvesnou $\frac{|AB|}{2} = 2$ cm. Druhá odvesna je hľadaná vzdialenosť:
$\displaystyle \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \doteq 3{,}46\ \text{cm}$
Keďže $30^\circ < 90^\circ$ , každý oblúk je väčší ako polkružnica a jeho stred leží v tej istej polrovine ako oblúk.

Výsledok: Dva oblúky s polomerom $4$ cm. Ich stredy ležia na osi úsečky $AB$ vo vzdialenosti $2\sqrt{3} \doteq 3{,}46$ cm od priamky $AB$ .

Riešený príklad

Os úsečky a polrovina v súradniciach

Sú dané body $A = [1; 2]$ a $B = [5; 4]$ . Napíš rovnicu osi úsečky $AB$ a nerovnicou opíš množinu bodov, ktoré majú od bodu $A$ väčšiu vzdialenosť ako od bodu $B$ .

Bod $X = [x; y]$ leží na osi práve vtedy, keď $|AX|^2 = |BX|^2$ :
$\displaystyle (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 5)^2 + (y - 4)^2$
$\displaystyle x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 8y + 16$
$\displaystyle 8x + 4y - 36 = 0 \;\Rightarrow\; 2x + y - 9 = 0$
Kontrola: stred úsečky $AB$ je $[3; 3]$ a naozaj $2 \cdot 3 + 3 - 9 = 0$ .
Podmienka $|AX| > |BX|$ sa tou istou úpravou zmení na $2x + y - 9 > 0$ . Bod $B$ jej vyhovuje, lebo $2 \cdot 5 + 4 - 9 = 5 > 0$ , takže je to polrovina s bodom $B$ .

Výsledok: Os úsečky: $2x + y - 9 = 0$ . Množina: $2x + y - 9 > 0$ , polrovina ohraničená osou, v ktorej leží bod $B$ , bez hraničnej priamky.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 6

Daná je úsečka

AB

. Urči množinu bodov, ktorých vzdialenosť od priamky

AB

sa rovná dĺžke úsečky

AB

a z ktorých vidieť úsečku

AB

pod uhlom

45^\circ

Hľadaj prienik dvoch množín: rovnobežiek s priamkou

AB

vo vzdialenosti

|AB|

a dvoch oblúkov, z ktorých vidieť

AB

pod uhlom

45^\circ

. Ich polomer je

\frac{|AB|}{\sqrt{2}}

Štyri body. Ležia na kolmiciach na priamku

AB

v bodoch

A

B

vo vzdialenosti

|AB|

od priamky

AB

, na každej kolmici dva, po jednom v každej polrovine. Napríklad pre bod

X

na kolmici v bode

B

je trojuholník

ABX

pravouhlý a rovnoramenný, preto

|\sphericalangle AXB| = 45^\circ

Daný je bod

A

a kružnica

k

. Nájdi množinu všetkých stredov

S

úsečiek

AX

, ak

X

je ľubovoľný bod kružnice

k

Označ

O

stred a

r

polomer kružnice

k

O'

stred úsečky

AO

. Úsečka

O'S

je stredná priečka trojuholníka

AOX

, preto

|O'S| = \frac{r}{2}

pre každý bod

X

kružnice

k

Kružnica so stredom v strede

O'

úsečky

AO

a s polomerom

\frac{r}{2}

, kde

O

je stred a

r

polomer kružnice

k

. Ak bod

A

leží na kružnici

k

, samotný bod

A

do množiny nepatrí, lebo pre

X = A

úsečka nevznikne.

Daná je úsečka

AB

|AB| = 4

cm. Uhol

ACB

má veľkosť

60^\circ

a výška na stranu

c

3

cm. Zostroj trojuholník

ABC

Bod

C

leží na oblúkoch, z ktorých vidieť

AB

pod uhlom

60^\circ

(polomer

\frac{4}{\sqrt{3}} \doteq 2{,}31

cm), a zároveň na rovnobežke s

AB

vo vzdialenosti

3

cm.

Úloha má jedno riešenie. Najvyšší bod oblúka je od priamky

AB

vzdialený

2\sqrt{3} \doteq 3{,}46

cm, čo je viac ako

3

cm, preto rovnobežka pretne každý oblúk v dvoch bodoch. Všetky štyri trojuholníky sú zhodné, strany

a

b

majú približne

4{,}53

cm a

3{,}06

cm.

Je daná kružnica

k(C; 3\ \text{cm})

a priamka

p

, pričom

|Cp| = 1

cm. Zostroj všetky kružnice s polomerom

1

cm, ktoré sa dotýkajú priamky

p

aj kružnice

k

Stred hľadanej kružnice má od priamky

p

aj od kružnice

k

vzdialenosť

1

cm. Leží teda na niektorej ekvidištante priamky

p

a na niektorej z kružníc

k_1(C; 4\ \text{cm})

k_2(C; 2\ \text{cm})

Úloha má

7

riešení. Rovnobežka s

p

, ktorá prechádza bodom

C

, pretne

k_1

k_2

v dvoch bodoch, to sú

4

kružnice. Druhá rovnobežka je od

C

vzdialená

2

cm, pretne

k_1

v dvoch bodoch a

k_2

sa dotkne v jednom bode, to sú ďalšie

3

kružnice.

Daná je úsečka

AB

|AB| = 4

cm. Uhol

ACB

má veľkosť

45^\circ

|BC| = 5

cm. Zostroj trojuholník

ABC

Bod

C

leží na kružnici

k(B; 5\ \text{cm})

a na oblúkoch, z ktorých vidieť

AB

pod uhlom

45^\circ

(polomer

2\sqrt{2} \doteq 2{,}83

cm).

Úloha má

2

riešenia, dva nezhodné trojuholníky. V každej polrovine s hraničnou priamkou

AB

pretne kružnica

k(B; 5\ \text{cm})

oblúk v dvoch bodoch. Strana

b = |AC|

má dĺžku

\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2} \doteq 5{,}41

cm alebo

\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{14}}{2} \doteq 1{,}66

cm.

Daná je úsečka

AB

|AB| = 4

cm. Výška na stranu

c

má dĺžku

4

cm a ťažnica na stranu

c

má dĺžku

6

cm. Zostroj trojuholník

ABC

Bod

C

leží na rovnobežke s

AB

vo vzdialenosti

4

cm a na kružnici so stredom v strede

S_c

úsečky

AB

a polomerom

6

cm.

Úloha má jedno riešenie. Keďže

6 > 4

, každá rovnobežka pretne kružnicu

k(S_c; 6\ \text{cm})

v dvoch bodoch a všetky štyri trojuholníky sú zhodné. Strany

a

b

majú dĺžky

2\sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \doteq 4{,}70

cm a

2\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} \doteq 7{,}61

cm.

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.