Okruh 20 · Planimetria

Konštrukčné úlohy

Ako krok po kroku zostrojiť trojuholník či kružnicu: rozbor, množiny bodov, postup konštrukcie a diskusia.

asi 90 min · 6 častí · 10 úloh

0 z 6 častí · 0 z 10 úloh

V skratke

Každá konštrukčná úloha má štyri kroky: rozbor, postup konštrukcie, konštrukcia a záver (diskusia).
V rozbore nakresli od ruky náčrt, ako keby útvar už existoval, a vyznač v ňom dané prvky.
Hľadaný bod zostrojíš ako priesečník dvoch množín bodov, napríklad kružnice a rovnobežky.
Vrchol pravého uhla leží na Tálesovej kružnici nad preponou. Pri danej výške $v_c$ leží $C$ na rovnobežkách s $AB$ vo vzdialenosti $v_c$ , pri danej ťažnici na kružnici $k(S_c; t_c)$ .
Stred kružnice s polomerom $r$ , ktorá sa dotýka priamky $p$ , leží na rovnobežkách s $p$ vo vzdialenosti $r$ . Ak sa dotýka kružnice $k(S; R)$ , leží na kružnici $k(S; R + r)$ alebo $k(S; |R - r|)$ .
Počet riešení určíš podľa počtu priesečníkov. Nezabudni na obe polroviny určené danou úsečkou.

Časť 1prečítaná

Postup pri konštrukčnej úlohe

Pri konštrukčnej úlohe máš presne narysovať útvar (trojuholník, štvoruholník, kružnicu), ktorý spĺňa dané podmienky, a zistiť, koľko takých útvarov existuje. Pri každej konštrukčnej úlohe dodržuj tento postup:

Rozbor. Úlohu rozoberieš bez presného rysovania. Nakreslíš si náčrt od ruky, ako keby hľadaný útvar už existoval, vyznačíš v ňom dané prvky a premyslíš si postup konštrukcie.
Postup konštrukcie. Podrobne a v správnom poradí zapíšeš, ako budeš útvar zostrojovať. Každý krok je jeden bod, priamka, polpriamka alebo kružnica.
Konštrukcia. Presne rysuješ podľa zapísaného postupu, ostrou ceruzkou, pravítkom a kružidlom.
Záver (diskusia). Zhrnieš celý príklad: koľko má úloha riešení a prečo, kedy by riešenie neexistovalo, a skúškou overíš, že narysovaný útvar spĺňa všetky podmienky.

Časť 2prečítaná

Zápis postupu konštrukcie

Postup konštrukcie sa zapisuje stručne, pomocou symbolov. Každý krok má poradové číslo, za ním je názov útvaru a za bodkočiarkou to, čím je útvar určený.

Zápis	Význam
$AB;\ \allowbreak \|AB\| = 5\ \text{cm}$	úsečka $AB$ s dĺžkou $5$ cm
$S_c;\ \allowbreak S_c \text{ je stred } AB$	stred $S_c$ úsečky $AB$
$k;\ \allowbreak k(S_c; 4\ \text{cm})$	kružnica $k$ so stredom $S_c$ a polomerom $4$ cm
$\overrightarrow{AX};\ \allowbreak \|\sphericalangle BAX\| = 75^\circ$	polpriamka $AX$ , ktorá zviera s polpriamkou $AB$ uhol $75^\circ$
$p;\ \allowbreak p \parallel AB,\ \allowbreak \|p, AB\| = 2\ \text{cm}$	priamka $p$ rovnobežná s $AB$ vo vzdialenosti $2$ cm
$o;\ \allowbreak o \perp AB,\ \allowbreak S_c \in o$	kolmica na $AB$ cez stred $S_c$ , teda os úsečky $AB$
$C;\ \allowbreak C \in k \cap \overrightarrow{AX}$	bod $C$ je priesečník kružnice $k$ a polpriamky $AX$
$\triangle ABC$	trojuholník $ABC$

AB;\ \allowbreak |AB| = 5\ \text{cm}

úsečka

AB

s dĺžkou

5

S_c;\ \allowbreak S_c \text{ je stred } AB

stred

S_c

úsečky

AB

k;\ \allowbreak k(S_c; 4\ \text{cm})

kružnica

k

so stredom

S_c

a polomerom

4

\overrightarrow{AX};\ \allowbreak |\sphericalangle BAX| = 75^\circ

polpriamka

AX

, ktorá zviera s polpriamkou

AB

uhol

75^\circ

p;\ \allowbreak p \parallel AB,\ \allowbreak |p, AB| = 2\ \text{cm}

priamka

p

rovnobežná s

AB

vo vzdialenosti

2

o;\ \allowbreak o \perp AB,\ \allowbreak S_c \in o

kolmica na

AB

cez stred

S_c

, teda os úsečky

AB

C;\ \allowbreak C \in k \cap \overrightarrow{AX}

bod

C

je priesečník kružnice

k

a polpriamky

AX

\triangle ABC

trojuholník

ABC

Zápis $|A, p|$ znamená vzdialenosť bodu $A$ od priamky $p$ a $|p, AB|$ vzdialenosť dvoch rovnobežiek. Kružnicu so stredom $S$ a polomerom $r$ zapisuješ $k(S; r)$ .

Časť 3prečítaná

Množiny bodov danej vlastnosti

Množina bodov danej vlastnosti: Sú to všetky body roviny, ktoré majú požadovanú vlastnosť, a žiadne iné. Hľadaný bod, napríklad vrchol trojuholníka alebo stred kružnice, zostrojíš ako priesečník dvoch takých množín.

Najčastejšie množiny bodov

Body $X$ , pre ktoré platí	Tvoria
$\|XS\| = r$	kružnicu $k(S; r)$
$\|XA\| = \|XB\|$	os úsečky $AB$ , teda kolmicu na $AB$ cez jej stred
$\|X, p\| = v$	dve rovnobežky s priamkou $p$ vo vzdialenosti $v$ , na každej strane jednu
$X$ má rovnakú vzdialenosť od dvoch rôznobežiek	dve osi uhlov, ktoré rôznobežky zvierajú
$X$ má rovnakú vzdialenosť od dvoch rovnobežiek	rovnobežku, ktorá leží v strede medzi nimi
$\|\sphericalangle AXB\| = 90^\circ$	Tálesovu kružnicu nad priemerom $AB$ bez bodov $A$ , $B$
$\|\sphericalangle AXB\| = \gamma$ , kde $0^\circ < \gamma < 180^\circ$	dva kružnicové oblúky nad úsečkou $AB$ súmerné podľa priamky $AB$ , bez bodov $A$ , $B$

|XS| = r

kružnicu

k(S; r)

|XA| = |XB|

os úsečky

AB

, teda kolmicu na

AB

cez jej stred

|X, p| = v

dve rovnobežky s priamkou

p

vo vzdialenosti

v

, na každej strane jednu

X

má rovnakú vzdialenosť od dvoch rôznobežiek

dve osi uhlov, ktoré rôznobežky zvierajú

X

má rovnakú vzdialenosť od dvoch rovnobežiek

rovnobežku, ktorá leží v strede medzi nimi

|\sphericalangle AXB| = 90^\circ

Tálesovu kružnicu nad priemerom

AB

bez bodov

A

B

|\sphericalangle AXB| = \gamma

, kde

0^\circ < \gamma < 180^\circ

dva kružnicové oblúky nad úsečkou

AB

súmerné podľa priamky

AB

, bez bodov

A

B

Tálesova veta

Každý obvodový uhol nad priemerom kružnice je pravý.
Vrchol $C$ pravého uhla trojuholníka $ABC$ leží na kružnici s priemerom $AB$ (preponou). Jej stred je stred prepony a polomer je $\frac{c}{2}$ .

Tálesova kružnica τ nad priemerom AB so stredom S. Z každého jej bodu okrem A a B, napríklad z bodov C a C', vidno úsečku AB pod pravým uhlom.

Ako zostrojiť oblúky, z ktorých vidno úsečku

AB

pod uhlom

\gamma

Zostroj os $o$ úsečky $AB$ .
V bode $A$ zostroj polpriamku $AX$ tak, aby $|\sphericalangle BAX| = \gamma$ .
V bode $A$ zostroj kolmicu na $AX$ . Jej priesečník s osou $o$ je stred $O$ kružnice, ktorá prechádza bodmi $A$ , $B$ .
Hľadaný oblúk je tá časť kružnice $k(O; |OA|)$ , ktorá leží v polrovine určenej priamkou $AB$ , v ktorej nie je bod $X$ .
Druhý oblúk dostaneš osovou súmernosťou podľa priamky $AB$ , jeho stred je $O'$ . Body $A$ , $B$ do množiny nepatria.

Dva kružnicové oblúky nad úsečkou AB so stredmi O a O' na osi o, súmerné podľa priamky AB. Z bodov C, C1 aj C2 na oblúkoch vidno úsečku AB pod tým istým uhlom γ. Bodkované časti kružníc do množiny nepatria.

Kde leží stred hľadanej kružnice s polomerom

r

Hľadaná kružnica	Jej stred leží na
prechádza bodom $A$	kružnici $k(A; r)$
prechádza bodmi $A$ a $B$	osi úsečky $AB$
dotýka sa priamky $p$	rovnobežkách s $p$ vo vzdialenosti $r$
dotýka sa priamky $p$ v jej bode $T$	kolmici na $p$ v bode $T$
dotýka sa kružnice $k(S; R)$ zvonka	kružnici $k(S; R + r)$
dotýka sa kružnice $k(S; R)$ zvnútra	kružnici $k(S; \|R - r\|)$ , ak $r \neq R$

prechádza bodom

A

kružnici

k(A; r)

prechádza bodmi

A

B

osi úsečky

AB

dotýka sa priamky

p

rovnobežkách s

p

vo vzdialenosti

r

dotýka sa priamky

p

v jej bode

T

kolmici na

p

v bode

T

dotýka sa kružnice

k(S; R)

zvonka

kružnici

k(S; R + r)

dotýka sa kružnice

k(S; R)

zvnútra

kružnici

k(S; |R - r|)

, ak

r \neq R

Pri vnútornom dotyku leží pri $r < R$ hľadaná kružnica vnútri kružnice $k$ , pri $r > R$ je naopak kružnica $k$ vnútri hľadanej kružnice.

Časť 4prečítaná

Konštrukcia trojuholníka

Pri trojuholníku $ABC$ býva často daná strana $AB$ a hľadáš vrchol $C$ . Každý ďalší daný prvok ti povie, na akej množine bodov vrchol $C$ leží. Bod $S_c$ je stred strany $AB$ .

Daný prvok	Vrchol $C$ leží na
uhol $\alpha$ pri vrchole $A$	polpriamke $AX$ , kde $\|\sphericalangle BAX\| = \alpha$
strana $b = \|AC\|$	kružnici $k(A; b)$
strana $a = \|BC\|$	kružnici $k(B; a)$
výška $v_c$	rovnobežkách s $AB$ vo vzdialenosti $v_c$
ťažnica $t_c = \|CS_c\|$	kružnici $k(S_c; t_c)$
uhol $\gamma$ pri vrchole $C$	oblúkoch, z ktorých vidno $AB$ pod uhlom $\gamma$
pravý uhol pri vrchole $C$	Tálesovej kružnici nad $AB$
polomer $r$ opísanej kružnice	kružnici $k(O; r)$ , kde stred $O$ leží na osi $AB$ a $\|OA\| = r$

uhol

\alpha

pri vrchole

A

polpriamke

AX

, kde

|\sphericalangle BAX| = \alpha

strana

b = |AC|

kružnici

k(A; b)

strana

a = |BC|

kružnici

k(B; a)

výška

v_c

rovnobežkách s

AB

vo vzdialenosti

v_c

ťažnica

t_c = |CS_c|

kružnici

k(S_c; t_c)

uhol

\gamma

pri vrchole

C

oblúkoch, z ktorých vidno

AB

pod uhlom

\gamma

pravý uhol pri vrchole

C

Tálesovej kružnici nad

AB

polomer

r

opísanej kružnice

kružnici

k(O; r)

, kde stred

O

leží na osi

AB

|OA| = r

Vzdialenosť stredu opísanej kružnice od strany

AB

\displaystyle |O, AB| = \sqrt{r^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2}

Stred $O$ zostrojíš ako priesečník osi úsečky $AB$ s kružnicou $k(A; r)$ . Pri $r > \frac{c}{2}$ dostaneš dva také body, pri $r = \frac{c}{2}$ je $O$ stred $AB$ a pri $r < \frac{c}{2}$ trojuholník neexistuje.

Trojuholník zo všetkých troch strán zostrojíš, len ak platí trojuholníková nerovnosť: každá strana je menšia ako súčet zvyšných dvoch.

Časť 5prečítaná

Záver a počet riešení

Hľadaný bod je priesečník dvoch množín bodov, preto počet riešení závisí od toho, koľko majú tieto množiny spoločných bodov.

Priamka

p

a kružnica

k(S; r)

Vzdialenosť $d = \|S, p\|$	Spoločné body
$d < r$	$2$
$d = r$	$1$ , priamka je dotyčnica
$d > r$	žiadny

d < r

2

d = r

1

, priamka je dotyčnica

d > r

žiadny

Kružnice

k_1(S_1; r_1)

k_2(S_2; r_2)

Vzdialenosť stredov $d = \|S_1S_2\|$	Spoločné body
$\|r_1 - r_2\| < d < r_1 + r_2$	$2$
$d = r_1 + r_2$	$1$ , vonkajší dotyk
$0 < d = \|r_1 - r_2\|$	$1$ , vnútorný dotyk
$d > r_1 + r_2$ alebo $d < \|r_1 - r_2\|$	žiadny

|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2

2

d = r_1 + r_2

1

, vonkajší dotyk

0 < d = |r_1 - r_2|

1

, vnútorný dotyk

d > r_1 + r_2

alebo

d < |r_1 - r_2|

žiadny

Na čo myslieť v závere

Keď je daná úsečka $AB$ , hľadaj vrchol $C$ v oboch polrovinách určených priamkou $AB$ . Riešenia súmerné podľa priamky $AB$ sú zhodné trojuholníky, no v rovine ležia inde, preto v závere uveď ich počet, prípadne aj počet riešení v jednej polrovine.
Keď poloha útvaru daná nie je (sú dané len dĺžky a uhly), za rôzne riešenia sa považujú len navzájom nezhodné útvary.
Bod, ktorý padne na priamku $AB$ , trojuholník nedá. Trojuholník by bol zdegenerovaný, takže to nie je riešenie.
Skúška: na hotovom útvare odmeraj všetky dané prvky a over, že sedia.

Časť 6prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Pravouhlý trojuholník z prepony a výšky

Zostroj všetky pravouhlé trojuholníky $ABC$ , ktoré majú preponu $c = 6$ cm a výšku $v_c = 2{,}5$ cm.

Rozbor. Prepona je strana $AB$ , pravý uhol je pri vrchole $C$ . Podľa Tálesovej vety leží $C$ na kružnici $\tau$ s priemerom $AB$ . Výška $v_c = 2{,}5$ cm hovorí, že $C$ má od priamky $AB$ vzdialenosť $2{,}5$ cm, teda leží na jednej z rovnobežiek $p$ , $p'$ s priamkou $AB$ . Vrchol $C$ je priesečník kružnice $\tau$ s týmito rovnobežkami.
Postup konštrukcie.
$\displaystyle \begin{array}{ll} 1. & AB;\ |AB| = 6\ \text{cm} \\ 2. & S;\ S \text{ je stred } AB \\ 3. & \tau;\ \tau(S; 3\ \text{cm}) \\ 4. & p, p';\ p \parallel AB,\ p' \parallel AB, \\ & |p, AB| = |p', AB| = 2{,}5\ \text{cm} \\ 5. & C;\ C \in \tau \cap (p \cup p') \\ 6. & \triangle ABC \end{array}$
Konštrukcia. Narysuj presne podľa postupu. Výsledok vidíš na obrázku pod príkladom.
Záver. Polomer kružnice $\tau$ je $3$ cm a rovnobežky sú od jej stredu vzdialené $2{,}5$ cm. Keďže $2{,}5 < 3$ , každá z nich pretne $\tau$ v dvoch bodoch. Dostaneš štyri body $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ , $C_4$ , v každej polrovine určenej priamkou $AB$ dva. Všetky štyri trojuholníky sú navzájom zhodné, lebo sú súmerné podľa priamky $AB$ alebo podľa osi úsečky $AB$ . Poloha prepony v zadaní daná nebola, preto má úloha až na zhodnosť jedno riešenie.
Pri $v_c = 3$ cm by sa rovnobežky kružnice $\tau$ len dotýkali (vznikol by rovnoramenný pravouhlý trojuholník) a pri $v_c > 3$ cm by úloha nemala riešenie.

Výsledok: Štyri trojuholníky $ABC_1$ až $ABC_4$ , v každej polrovine dva, všetky navzájom zhodné. Až na zhodnosť má úloha jedno riešenie.

Úsečka AB dlhá 6 cm so stredom S, Tálesova kružnica τ s polomerom 3 cm a rovnobežky p, p' s AB vo vzdialenosti 2,5 cm. Pretínajú sa v bodoch C1 až C4. Trojuholník ABC1 s pravým uhlom pri C1 a výškou vc je zvýraznený.

Riešený príklad

Trojuholník z ťažnice a dvoch strán

Je daná úsečka $AS$ , $|AS| = 4$ cm. Zostroj všetky trojuholníky $ABC$ , pre ktoré je $AS$ ťažnica $t_a$ a platí $b = 5$ cm, $c = 6$ cm.

Rozbor. Bod $S$ je stred strany $BC$ . Predĺž ťažnicu za bod $S$ o $|AS|$ a dostaneš bod $A'$ . Uhlopriečky $AA'$ a $BC$ štvoruholníka $ABA'C$ sa v bode $S$ rozpoľujú, preto je to rovnobežník a $|BA'| = |AC| = 5$ cm. Trojuholník $ABA'$ má strany $|AB| = 6$ cm, $|BA'| = 5$ cm a $|AA'| = 2t_a = 8$ cm, takže vrchol $B$ vieš zostrojiť. Vrchol $C$ je obraz bodu $B$ v stredovej súmernosti so stredom $S$ .
Postup konštrukcie.
$\displaystyle \begin{array}{ll} 1. & AS;\ |AS| = 4\ \text{cm} \\ 2. & A';\ A' \in \overrightarrow{AS},\ |AA'| = 8\ \text{cm} \\ 3. & k_1;\ k_1(A; 6\ \text{cm}) \\ 4. & k_2;\ k_2(A'; 5\ \text{cm}) \\ 5. & B;\ B \in k_1 \cap k_2 \\ 6. & C;\ C \in \overrightarrow{BS},\ |BC| = 2\,|BS| \\ 7. & \triangle ABC \end{array}$
Konštrukcia. Narysuj presne podľa postupu, výsledok vidíš na obrázku pod príkladom.
Záver. Trojuholník $ABA'$ existuje, lebo $5 + 6 > 8$ . Kružnice $k_1$ a $k_2$ majú stredy vzdialené $8$ cm a platí $6 - 5 < 8 < 6 + 5$ , preto sa pretnú v dvoch bodoch súmerných podľa priamky $AS$ . Úloha má dve riešenia, ktoré sú navzájom zhodné.
Skúška: odmeraj $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 5$ cm a over, že $S$ je stred $BC$ . Stranu $a$ si môžeš overiť aj výpočtom zo vzťahu pre ťažnicu:
$\displaystyle a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4t_a^2 = 50 + 72 - 64 = 58 \;\Rightarrow\; a = \sqrt{58} \doteq 7{,}6\ \text{cm}$

Výsledok: Dve riešenia, súmerné podľa priamky $AS$ a navzájom zhodné.

Trojuholník ABC s ťažnicou AS, ktorá je predĺžená za stred S strany BC do bodu A'. Štvoruholník ABA'C je rovnobežník: |AB| = |A'C| = c a |AC| = |BA'| = b.

Riešený príklad

Kružnice, ktoré sa dotýkajú kružnice a prechádzajú bodom

Je daná kružnica $k(S; 2\ \text{cm})$ a bod $A$ , $|SA| = 4$ cm. Zostroj všetky kružnice s polomerom $1{,}5$ cm, ktoré prechádzajú bodom $A$ a dotýkajú sa kružnice $k$ .

Rozbor. Stred $O$ hľadanej kružnice má od bodu $A$ vzdialenosť $1{,}5$ cm, leží teda na kružnici $m(A; 1{,}5\ \text{cm})$ . Pri vonkajšom dotyku s kružnicou $k$ platí $|SO| = 2 + 1{,}5 = 3{,}5$ cm, pri vnútornom dotyku $|SO| = 2 - 1{,}5 = 0{,}5$ cm.
Postup konštrukcie.
$\displaystyle \begin{array}{ll} 1. & k;\ k(S; 2\ \text{cm}) \\ 2. & A;\ |SA| = 4\ \text{cm} \\ 3. & m;\ m(A; 1{,}5\ \text{cm}) \\ 4. & n;\ n(S; 3{,}5\ \text{cm}) \\ 5. & O;\ O \in m \cap n \\ 6. & l;\ l(O; 1{,}5\ \text{cm}) \end{array}$
Záver. Kružnice $m$ a $n$ majú stredy vzdialené $4$ cm a platí $3{,}5 - 1{,}5 < 4 < 3{,}5 + 1{,}5$ , preto sa pretnú v dvoch bodoch $O_1$ , $O_2$ . Vnútorný dotyk nenastane: kružnice $m$ a $k(S; 0{,}5\ \text{cm})$ sa nepretnú, lebo $1{,}5 + 0{,}5 < 4$ . Hľadaná kružnica by totiž ležala vnútri $k$ , no bod $A$ je mimo $k$ .

Výsledok: Dve kružnice $l_1(O_1; 1{,}5\ \text{cm})$ a $l_2(O_2; 1{,}5\ \text{cm})$ , obe sa dotýkajú kružnice $k$ zvonka.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 10

Je daná priamka

p

a bod

A

tak, že

|A, p| = 3

cm. Zostroj všetky kružnice, ktoré majú polomer

r = 2

cm, prechádzajú bodom

A

a dotýkajú sa priamky

p

Stred hľadanej kružnice leží na kružnici

k(A; 2\ \text{cm})

a zároveň na jednej z dvoch rovnobežiek s

p

vo vzdialenosti

2

cm. Porovnaj vzdialenosť bodu

A

od každej rovnobežky s polomerom

2

cm.

Dve kružnice. Ich stredy sú priesečníky kružnice

k(A; 2\ \text{cm})

s rovnobežkou, ktorá leží na strane bodu

A

a je od neho vzdialená

1

cm. Druhá rovnobežka je od

A

vzdialená

5

cm, preto ju kružnica

k(A; 2\ \text{cm})

nepretne.

Zostroj všetky pravouhlé trojuholníky

ABC

, ktoré majú preponu

c = 6

cm a výšku

v_c = 2{,}5

cm.

Vrchol

C

leží na Tálesovej kružnici nad preponou

AB

a na rovnobežkách s

AB

vo vzdialenosti

2{,}5

cm. Celé riešenie nájdeš v časti Riešené príklady.

Jedno riešenie až na zhodnosť. Pri pevne narysovanej prepone

AB

dostaneš štyri trojuholníky, v každej polrovine dva, a všetky sú navzájom zhodné.

Je daná úsečka

AB

|AB| = 5

cm. Zostroj všetky trojuholníky

ABC

, ak platí:

a)
$\alpha = 75^\circ$ , $t_c = 4$ cm
b)
$t_c = 3$ cm, $v_c = 2$ cm
c)
$\gamma = 60^\circ$ , $v_c = 3$ cm
d)
$\gamma = 30^\circ$ , $t_c = 5$ cm

Vrchol

C

hľadaj ako priesečník dvoch množín bodov podľa tabuľky v časti Konštrukcia trojuholníka. Bod

S_c

je stred úsečky

AB

a)Dva trojuholníky, v každej polrovine určenej priamkou $AB$ jeden. Vrchol $C$ je priesečník polpriamky $AX$ , kde $|\sphericalangle BAX| = 75^\circ$ , s kružnicou $k(S_c; 4\ \text{cm})$ . Bod $A$ leží vnútri tejto kružnice, preto druhý priesečník leží na opačnej polpriamke.
b)Štyri trojuholníky, v každej polrovine dva, všetky navzájom zhodné. Rovnobežky s $AB$ vo vzdialenosti $2$ cm pretnú kružnicu $k(S_c; 3\ \text{cm})$ každá v dvoch bodoch, lebo $2 < 3$ .
c)Štyri trojuholníky, v každej polrovine dva, všetky navzájom zhodné. Oblúk s uhlom $60^\circ$ má polomer $\frac{5}{\sqrt{3}} \doteq 2{,}89$ cm a jeho najvzdialenejší bod je od $AB$ vzdialený $\frac{5\sqrt{3}}{2} \doteq 4{,}33$ cm, čo je viac ako $3$ cm.
d)Štyri trojuholníky, v každej polrovine dva, všetky navzájom zhodné. Oblúk s uhlom $30^\circ$ má polomer $5$ cm a kružnica $k(S_c; 5\ \text{cm})$ ho pretne v dvoch bodoch.

Sú dané dve sústredné kružnice

k_1(S; 5\ \text{cm})

k_2(S; 3\ \text{cm})

a priamka

p

. Zostroj všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú kružníc

k_1

k_2

a priamky

p

, ak:

a)
$|S, p| = 2$ cm
b)
$|S, p| = 3{,}5$ cm
c)
$|S, p| = 3$ cm

Kružnica, ktorá sa dotýka oboch sústredných kružníc, buď leží v medzikruží (polomer

1

cm, stred na kružnici

m_1(S; 4\ \text{cm})

), alebo má kružnicu

k_2

vo svojom vnútri a sama leží vnútri

k_1

(polomer

4

cm, stred na kružnici

m_2(S; 1\ \text{cm})

). Stred musí mať od priamky

p

vzdialenosť rovnú polomeru, teda leží aj na rovnobežkách s

p

vo vzdialenosti

1

cm alebo

4

cm.

a)Štyri kružnice, všetky s polomerom $1$ cm.
b)Štyri kružnice: dve s polomerom $1$ cm a dve s polomerom $4$ cm.
c)Štyri kružnice: tri s polomerom $1$ cm a jedna s polomerom $4$ cm. Priamka $p$ sa vtedy dotýka kružnice $k_2$ a dve z hľadaných kružníc sa dotýkajú priamky $p$ aj kružnice $k_2$ v ich spoločnom bode dotyku.

Je zostrojená úsečka

BS

|BS| = 4

cm. Zostroj všetky trojuholníky

ABC

s ťažnicou

t_b = BS

, ak je dané:

b = 6

cm,

|BC| = a

cm, kde

a \in \mathbb{R}^+

Bod

S

je stred strany

AC

, preto

|SA| = |SC| = 3

cm. Vrchol

C

leží na kružnici

k(S; 3\ \text{cm})

aj na kružnici

k(B; a)

a vrchol

A

je obraz bodu

C

v stredovej súmernosti so stredom

S

. Zisti, aké vzdialenosti od bodu

B

majú body kružnice

k(S; 3\ \text{cm})

Pre

1 < a < 7

dve riešenia, súmerné podľa priamky

BS

a navzájom zhodné. Pre

0 < a \leq 1

a pre

a \geq 7

riešenie neexistuje. Pri

a = 1

a = 7

by vrchol

C

ležal na priamke

BS

a trojuholník by nevznikol.

Daná je kružnica

k(S; r = 2)

a bod

A

tak, že

|SA| = 4

. Zostroj všetky kružnice v rovine, ktoré prechádzajú bodom

A

, dotýkajú sa kružnice

k

a majú polomer

3

Stred hľadanej kružnice leží na kružnici

k(A; 3)

. Pri vonkajšom dotyku s kružnicou

k

leží aj na kružnici

k(S; 5)

, pri vnútornom dotyku (kružnica

k

je vnútri hľadanej kružnice) na kružnici

k(S; 1)

Tri kružnice. Dve sa dotýkajú kružnice

k

zvonka, ich stredy sú priesečníky kružníc

k(A; 3)

k(S; 5)

. Tretia má kružnicu

k

vo svojom vnútri: kružnice

k(A; 3)

k(S; 1)

sa dotýkajú, takže jej stred leží na úsečke

SA

vo vzdialenosti

1

od bodu

S

Je daná úsečka

AB

|AB| = 4

cm. Zostroj všetky trojuholníky

ABC

, ktoré majú

t_c = 3

cm,

r = 2{,}5

, kde

r

je polomer kružnice opísanej trojuholníku

ABC

Stred

O

opísanej kružnice leží na osi úsečky

AB

a platí

|OA| = 2{,}5

cm, takže je od

AB

vzdialený

\sqrt{2{,}5^2 - 2^2} = 1{,}5

cm, v každej polrovine jeden. Vrchol

C

je priesečník opísanej kružnice

k(O; 2{,}5\ \text{cm})

s kružnicou

k(S_c; 3\ \text{cm})

Štyri trojuholníky, v každej polrovine určenej priamkou

AB

dva, všetky navzájom zhodné.

Je daná úsečka

AS

|AS| = 5

cm. Zostroj všetky trojuholníky

ABC

, pre ktoré je

AS

ťažnica

t_a

a platí:

b = 7

cm,

c = 6

cm.

Predĺž ťažnicu za bod

S

do bodu

A'

tak, aby

|AA'| = 10

cm. Štvoruholník

ABA'C

je rovnobežník, preto trojuholník

ABA'

má strany

6

cm,

7

cm a

10

cm. Postup je rovnaký ako v riešenom príklade o ťažnici.

Dve riešenia, súmerné podľa priamky

AS

a navzájom zhodné. Na kontrolu:

a = \sqrt{70} \doteq 8{,}4

cm.

Zostroj lichobežník

KLMN

, kde platí:

k = 9

cm,

l = 4

cm,

m = 5

cm,

\alpha = 45^\circ

Základne sú

KL

MN

\alpha

je uhol pri vrchole

K

. Na úsečke

KL

zostroj bod

X

tak, aby

|KX| = m = 5

cm. Potom

KXMN

je rovnobežník,

XM \parallel KN

a trojuholník

XLM

má

|XL| = 4

cm,

|LM| = 4

cm a uhol pri vrchole

X

rovný

45^\circ

. Z neho dostaneš bod

M

. Bod

N

je priesečník rovnobežky s

KL

cez bod

M

a polpriamky z bodu

K

, ktorá zviera s

KL

uhol

45^\circ

Až na zhodnosť jedno riešenie. Ak narysuješ základňu

KL

pevne, dostaneš dva zhodné lichobežníky, v každej polrovine určenej priamkou

KL

jeden. Vyjde pravouhlý lichobežník: uhol pri vrchole

L

90^\circ

, výška je

4

cm a

|KN| = 4\sqrt{2} \doteq 5{,}66

cm.

10.

Daná je priamka

AB

a bod

C

, ktorý na nej neleží. Zostroj všetky kružnice, ktoré prechádzajú bodmi

A

C

a dotýkajú sa priamky

AB

Kružnica prechádza bodom

A

priamky

AB

, preto sa jej môže dotýkať len v bode

A

. Jej stred leží na kolmici na

AB

v bode

A

a zároveň na osi úsečky

AC

Práve jedna kružnica. Jej stred je priesečník kolmice na

AB

v bode

A

a osi úsečky

AC

. Tieto priamky sú rôznobežné, lebo bod

C

neleží na priamke

AB

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.