Okruh 2 · Základy matematiky

Množiny

Čo je množina, ako s množinami počítať (prienik, zjednotenie, rozdiel, doplnok) a aké poznáme číselné množiny.

asi 70 min · 8 častí · 28 úloh

0 z 8 častí · 0 z 28 úloh

V skratke

$A \cap B$ sú prvky v oboch množinách, $A \cup B$ prvky aspoň v jednej z nich a $A - B$ prvky z $A$ , ktoré nie sú v $B$ .
Doplnok $A'_X$ sú prvky množiny $X$ , ktoré nepatria do $A$ . Platí $A - B = A \cap B'$ .
De Morganove pravidlá: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ a $(A \cap B)' = A' \cup B'$ .
Znak $\subset$ pripúšťa aj rovnosť a spája dve množiny, znak $\in$ spája prvok a množinu.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ a reálne čísla sú racionálne spolu s iracionálnymi: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ .
Pri intervaloch lomená zátvorka $\langle\ \rangle$ znamená, že krajné číslo patrí, okrúhla $(\ )$ , že nepatrí. Pri $\infty$ je zátvorka vždy okrúhla.
V slovných úlohách kresli Vennov diagram a vypĺňaj ho od stredu. Pre dve množiny platí $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ .

Časť 1prečítaná

Čo je množina

Množina: Množina je súbor navzájom rôznych objektov (matematických alebo iných), ktoré spĺňajú nejakú vlastnosť. Tieto objekty sa nazývajú prvky množiny.

Množina je jednoznačne určená, keď o každom objekte vieš povedať, či danú vlastnosť má alebo nemá, teda či do množiny patrí alebo nepatrí. Množiny zvyčajne označujeme veľkými písmenami.

Prvok množiny: Objekt, ktorý do množiny patrí a tvorí ju. Zápis $x \in M$ čítaš „ $x$ je prvkom množiny $M$ “ alebo „ $x$ patrí do množiny $M$ “. Zápis $x \notin M$ znamená, že $x$ nie je prvkom množiny $M$ , teda do nej nepatrí.

Podľa počtu prvkov je množina

konečná, ak má určitý (konečný) počet prvkov,
nekonečná, ak má nekonečne veľa prvkov, napríklad množina všetkých prirodzených čísel alebo intervaly ako podmnožiny reálnych čísel.

Množinu môžeš určiť

vymenovaním všetkých jej prvkov, napríklad $A = \{1; 3; 5; 7\}$ . Na poradí prvkov nezáleží. Pri nekonečnej množine s jasným pravidlom použiješ tri bodky: $\mathbb{N} = \{1; 2; 3; \dots\}$ .
charakteristickou vlastnosťou prvkov, ktoré do množiny patria, napríklad $B = \{x \in \mathbb{N};\ \allowbreak 1 < x < 8\}$ .

Prázdna množina: Množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok. Označuješ ju $\emptyset$ alebo $\{\}$ .
Vennove diagramy: Vzťahy medzi množinami a množinové operácie znázorňuješ Vennovými diagramami. Množiny kreslíš ako kruhy (alebo iné oblasti) vnútri obdĺžnika, ktorý predstavuje základnú množinu $U$ .

Časť 2prečítaná

Podmnožina, rovnosť a disjunktné množiny

Podmnožina: Množina $A$ je podmnožinou množiny $B$ , ak každý prvok množiny $A$ je zároveň prvkom množiny $B$ . Tento vzťah sa volá aj množinová inklúzia.

\displaystyle A \subset B \Leftrightarrow (\forall x:\ x \in A \Rightarrow x \in B)

Nadmnožina: Množina $B$ je nadmnožinou množiny $A$ , ak každý prvok množiny $A$ je aj prvkom množiny $B$ . Je to ten istý vzťah ako $A \subset B$ , len z pohľadu väčšej množiny. Píšeš aj $B \supset A$ .

\displaystyle B \supset A \Leftrightarrow A \subset B \Leftrightarrow (\forall x:\ x \in A \Rightarrow x \in B)

Rovnosť množín: Množiny $A$ a $B$ sa rovnajú, ak sa skladajú z tých istých prvkov.

\displaystyle A = B \Leftrightarrow (\forall x:\ x \in A \Leftrightarrow x \in B)

Disjunktné množiny: Množiny, ktoré nemajú žiadny spoločný prvok, teda $A \cap B = \emptyset$ .

Časť 3prečítaná

Operácie s množinami

Zjednotenie množín: Zjednotenie $A \cup B$ je množina, ktorá obsahuje prvky patriace aspoň do jednej z množín $A$ , $B$ .

\displaystyle A \cup B = \{x;\ \allowbreak x \in A \lor x \in B\}

Vennov diagram zjednotenia: dva prekrývajúce sa kruhy A a B v obdĺžniku U, vyfarbené sú oba kruhy celé.

Prienik množín: Prienik $A \cap B$ je množina, ktorá obsahuje prvky patriace súčasne do oboch množín $A$ aj $B$ .

\displaystyle A \cap B = \{x;\ \allowbreak x \in A \land x \in B\}

Vennov diagram prieniku: dva prekrývajúce sa kruhy A a B v obdĺžniku U, vyfarbená je len ich spoločná časť.

Rozdiel množín: Rozdiel $A - B$ je množina, ktorá obsahuje tie prvky množiny $A$ , ktoré nepatria do množiny $B$ .

\displaystyle A - B = \{x;\ \allowbreak x \in A \land x \notin B\}

Vennov diagram rozdielu A − B: dva prekrývajúce sa kruhy A a B v obdĺžniku U, vyfarbená je časť kruhu A mimo kruhu B.

Doplnok množiny: Ak sú dané dve množiny $A$ , $X$ tak, že $A \subset X$ , tak doplnok množiny $A$ vzhľadom na množinu $X$ je množina všetkých tých prvkov množiny $X$ , ktoré nepatria do množiny $A$ . Označuješ ho $A'_X$ . Keď je jasné, o akú množinu $X$ ide, píšeš len $A'$ .

\displaystyle A'_X = X - A

Doplnok množiny A vzhľadom na X: obdĺžnik X, v jeho rohu biela oblasť A, zvyšok obdĺžnika (sivý) je doplnok množiny A vzhľadom na X.

Časť 4prečítaná

Vlastnosti množinových operácií

Niektoré vlastnosti základných operácií na množinách

Vzťah	Čo hovorí
$A \subset A$	Každá množina je podmnožinou samej seba.
$A = B \Leftrightarrow (A \subset B \land B \subset A)$	Dve množiny sa rovnajú práve vtedy, keď prvá je podmnožinou druhej a naopak.
$\emptyset \subset A$	Prázdna množina je podmnožinou každej množiny.
$A \cup A = A$	Zjednotenie množiny so sebou samou je opäť tá istá množina (idempotentnosť).
$A \cup \emptyset = A$	Prázdna množina je neutrálny prvok vzhľadom na zjednotenie.
$A \cup B = B \cup A$	Zjednotenie množín je komutatívne.
$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$	Zjednotenie množín je asociatívne.
$A \cap A = A$	Prienik množiny so sebou samou je opäť tá istá množina (idempotentnosť).
$A \cap \emptyset = \emptyset$	Prienikom ľubovoľnej množiny s prázdnou množinou je prázdna množina.
$A \cap B = B \cap A$	Prienik množín je komutatívny.
$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$	Prienik množín je asociatívny.
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$	Distributívny zákon.
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$	Distributívny zákon.
$(A')' = A$	Doplnok doplnku je pôvodná množina (dvojitý doplnok).
$(A \cup B)' = A' \cap B'$	De Morganovo pravidlo.
$(A \cap B)' = A' \cup B'$	De Morganovo pravidlo.
$A - B = A \cap B'$	Rozdiel zapíšeš pomocou prieniku a doplnku.

A \subset A

Každá množina je podmnožinou samej seba.

A = B \Leftrightarrow (A \subset B \land B \subset A)

Dve množiny sa rovnajú práve vtedy, keď prvá je podmnožinou druhej a naopak.

\emptyset \subset A

Prázdna množina je podmnožinou každej množiny.

A \cup A = A

Zjednotenie množiny so sebou samou je opäť tá istá množina (idempotentnosť).

A \cup \emptyset = A

Prázdna množina je neutrálny prvok vzhľadom na zjednotenie.

A \cup B = B \cup A

Zjednotenie množín je komutatívne.

A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C

Zjednotenie množín je asociatívne.

A \cap A = A

Prienik množiny so sebou samou je opäť tá istá množina (idempotentnosť).

A \cap \emptyset = \emptyset

Prienikom ľubovoľnej množiny s prázdnou množinou je prázdna množina.

A \cap B = B \cap A

Prienik množín je komutatívny.

A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C

Prienik množín je asociatívny.

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

Distributívny zákon.

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

Distributívny zákon.

(A')' = A

Doplnok doplnku je pôvodná množina (dvojitý doplnok).

(A \cup B)' = A' \cap B'

De Morganovo pravidlo.

(A \cap B)' = A' \cup B'

De Morganovo pravidlo.

A - B = A \cap B'

Rozdiel zapíšeš pomocou prieniku a doplnku.

Doplnky $A'$ a $B'$ berieš vzhľadom na tú istú základnú množinu $U$ .

Časť 5prečítaná

Číselné množiny

Prehľad číselných množín

Označenie	Názov	Čo obsahuje
$\mathbb{N}$	prirodzené čísla	$\{1; 2; 3; \dots\}$
$\mathbb{N}_0$	celé nezáporné čísla	prirodzené čísla a nula, $\{0; 1; 2; 3; \dots\}$
$\mathbb{Z}^-$	celé záporné čísla	$\{\dots; -3; -2; -1\}$
$\mathbb{Z}$	celé čísla	$\{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\}$
$\mathbb{Q}$	racionálne čísla	čísla, ktoré sa dajú zapísať zlomkom $\frac{p}{q}$ , kde $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$
$\mathbb{I}$	iracionálne čísla	reálne čísla, ktoré sa nedajú zapísať zlomkom, napríklad $\sqrt{2}$ alebo $\pi$
$\mathbb{R}$	reálne čísla	zjednotenie $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{I}$

\mathbb{N}

Názov: prirodzené čísla
Čo obsahuje: $\{1; 2; 3; \dots\}$

\mathbb{N}_0

Názov: celé nezáporné čísla
Čo obsahuje: prirodzené čísla a nula, $\{0; 1; 2; 3; \dots\}$

\mathbb{Z}^-

Názov: celé záporné čísla
Čo obsahuje: $\{\dots; -3; -2; -1\}$

\mathbb{Z}

Názov: celé čísla
Čo obsahuje: $\{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\}$

\mathbb{Q}

Názov: racionálne čísla
Čo obsahuje: čísla, ktoré sa dajú zapísať zlomkom $\frac{p}{q}$ , kde $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$

\mathbb{I}

Názov: iracionálne čísla
Čo obsahuje: reálne čísla, ktoré sa nedajú zapísať zlomkom, napríklad $\sqrt{2}$ alebo $\pi$

\mathbb{R}

Názov: reálne čísla
Čo obsahuje: zjednotenie $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{I}$

Ako do seba zapadajú

\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \qquad \allowbreak \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}

Pre každé tri prirodzené čísla

a, b, c \in \mathbb{N}

platí

U (uzavretosť vzhľadom na sčítanie a násobenie): $a + b \in \mathbb{N}$ , $a \cdot b \in \mathbb{N}$ .
N (číslo $1$ je neutrálne vzhľadom na násobenie): $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ .
K (komutatívnosť sčítania a násobenia): $a + b = b + a$ , $a \cdot b = b \cdot a$ .
A (asociatívnosť sčítania a násobenia): $a + (b + c) = (a + b) + c$ , $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ .
D (distributívnosť násobenia vzhľadom na sčítanie): $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .

Množina celých čísel $\mathbb{Z}$ obsahuje okrem prirodzených čísel aj nulu a záporné celé čísla. Platia v nej všetky vety uvedené pri prirodzených číslach a navyše tieto dve:

Platí

U (množina $\mathbb{Z}$ je uzavretá vzhľadom na odčítanie): pre $a, b \in \mathbb{Z}$ je $a - b \in \mathbb{Z}$ .
N (číslo $0$ je neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie): $a + 0 = 0 + a = a$ .

Celé nezáporné čísla $\mathbb{N}_0$ tvoria prirodzené čísla spolu s nulou.

Racionálne čísla: Množina $\mathbb{Q}$ obsahuje okrem celých čísel aj čísla, ktoré vyjadrujú časti celku. Každé racionálne číslo sa dá zapísať v tvare zlomku $\frac{p}{q}$ , kde $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$ . Zlomok je v základnom tvare, ak sú $p$ a $q$ nesúdeliteľné čísla.

V $\mathbb{Q}$ platia všetky vety uvedené pre $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ a navyše U: množina $\mathbb{Q}$ je uzavretá vzhľadom na delenie nenulovým číslom, teda pre $a, b \in \mathbb{Q}$ , $b \neq 0$ je $a : b \in \mathbb{Q}$ .

Iracionálne čísla: Iracionálne čísla ( $\mathbb{I}$ ) sa nedajú zapísať v tvare zlomku, len nekonečným desatinným rozvojom, v ktorom nie je perióda. Sú to napríklad niektoré odmocniny ( $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ ), číslo $\pi$ a mnohé hodnoty logaritmických a goniometrických funkcií.
Reálne čísla: Množina $\mathbb{R}$ je zjednotenie $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{I}$ . Sú to všetky čísla, ktorými vyjadrujeme dĺžky úsečiek, čísla k nim opačné a nula. Množina $\mathbb{R}$ je usporiadaná. Každé reálne číslo je na číselnej osi znázornené práve jedným bodom a každý bod číselnej osi je obrazom práve jedného reálneho čísla.

Časť 6prečítaná

Intervaly

Intervaly sú podmnožiny reálnych čísel, ktoré na číselnej osi tvoria jeden súvislý úsek. Lomená zátvorka znamená, že krajné číslo do intervalu patrí, okrúhla, že nepatrí.

Interval	Množina
$\langle a; b \rangle$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a \leq x \leq b\}$
$(a; b)$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a < x < b\}$
$\langle a; b)$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a \leq x < b\}$
$(a; b \rangle$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a < x \leq b\}$
$\langle a; \infty)$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x \geq a\}$
$(a; \infty)$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x > a\}$
$(-\infty; b \rangle$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x \leq b\}$
$(-\infty; b)$	$\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x < b\}$

\langle a; b \rangle

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a \leq x \leq b\}

(a; b)

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a < x < b\}

\langle a; b)

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a \leq x < b\}

(a; b \rangle

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak a < x \leq b\}

\langle a; \infty)

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x \geq a\}

(a; \infty)

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x > a\}

(-\infty; b \rangle

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x \leq b\}

(-\infty; b)

\{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x < b\}

Časť 7prečítaná

Počet prvkov a slovné úlohy

Počet prvkov množiny: Počet prvkov konečnej množiny $A$ označujeme $|A|$ . Napríklad pre $A = \{2; 4; 6\}$ je $|A| = 3$ a pre prázdnu množinu $|\emptyset| = 0$ .

Počet prvkov zjednotenia dvoch množín

\displaystyle |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

V súčte $|A| + |B|$ sú prvky prieniku započítané dvakrát, preto ich raz odčítaš.

Počet prvkov zjednotenia troch množín

\displaystyle |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|

Postup pri slovnej úlohe

Nakresli Vennov diagram: každá skupina je jeden kruh, všetci spolu sú obdĺžnik.
Do oblastí diagramu píš počty. Začni od najmenšej časti v strede (prienik všetkých množín) a postupuj von.
Neznámy počet označ $x$ a zostav rovnicu, najčastejšie z celkového počtu.
Nezabudni na tých, čo nepatria do žiadnej množiny (nemajú nič, nechodia nikam).

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Operácie s intervalmi

Sú dané intervaly $A = \langle -3; 4)$ a $B = (1; 6\rangle$ . Urči $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A - B$ , $B - A$ a doplnok $A'_{\mathbb{R}}$ .

Nakresli oba intervaly na číselnú os. Interval $A$ ide od $-3$ (patrí) po $4$ (nepatrí), interval $B$ od $1$ (nepatrí) po $6$ (patrí).
Spoločná časť je medzi $1$ a $4$ , pričom ani $1$ (nie je v $B$ ), ani $4$ (nie je v $A$ ) do nej nepatrí.
$\displaystyle A \cap B = (1; 4), \qquad \allowbreak A \cup B = \langle -3; 6 \rangle$
Pri $A - B$ odoberieš z $A$ všetko, čo je v $B$ . Číslo $1$ v $B$ nie je, preto v rozdiele ostane. Pri $B - A$ ostane číslo $4$ , lebo v $A$ nie je.
$\displaystyle A - B = \langle -3; 1 \rangle, \qquad \allowbreak B - A = \langle 4; 6 \rangle$
Doplnok $A$ v $\mathbb{R}$ je všetko na osi mimo $A$ . Číslo $-3$ do doplnku nepatrí, číslo $4$ áno.
$\displaystyle A'_{\mathbb{R}} = (-\infty; -3) \cup \langle 4; \infty)$

Výsledok: $A \cap B = (1; 4)$ , $A \cup B = \langle -3; 6 \rangle$ , $A - B = \langle -3; 1 \rangle$ , $B - A = \langle 4; 6 \rangle$ , $A'_{\mathbb{R}} = (-\infty; -3) \cup \langle 4; \infty)$ .

Riešený príklad

Slovná úloha s dvoma množinami

V triede je $32$ žiakov. Futbal hrá $18$ žiakov, basketbal $15$ žiakov a $6$ žiakov nehrá ani jeden z týchto športov. Koľko žiakov hrá oba športy a koľko hrá len futbal?

Aspoň jeden šport hrá $32 - 6 = 26$ žiakov. Označ $F$ futbalistov a $B$ basketbalistov, potom $|F \cup B| = 26$ .
$\displaystyle |F \cap B| = |F| + |B| - |F \cup B| = 18 + 15 - 26 = 7$
Len futbal hrá $18 - 7 = 11$ žiakov a len basketbal $15 - 7 = 8$ žiakov.
Kontrola: $11 + 7 + 8 + 6 = 32$ .

Výsledok: Oba športy hrá $7$ žiakov, len futbal $11$ žiakov.

Riešený príklad

Slovná úloha s tromi množinami

V skupine je $40$ študentov. Angličtinu sa učí $22$ , nemčinu $18$ a francúzštinu $10$ študentov. Angličtinu aj nemčinu sa učí $8$ , angličtinu aj francúzštinu $4$ , nemčinu aj francúzštinu $3$ a všetky tri jazyky $2$ študenti. Koľko študentov sa neučí žiadny z týchto jazykov a koľko sa učí práve jeden?

Začni od stredu diagramu: všetky tri jazyky sa učia $2$ študenti.
Dvojice bez tretieho jazyka: len angličtinu a nemčinu $8 - 2 = 6$ , len angličtinu a francúzštinu $4 - 2 = 2$ , len nemčinu a francúzštinu $3 - 2 = 1$ .
Práve jeden jazyk: len angličtinu $22 - 6 - 2 - 2 = 12$ , len nemčinu $18 - 6 - 1 - 2 = 9$ , len francúzštinu $10 - 2 - 1 - 2 = 5$ , spolu $26$ .
Počet študentov, ktorí sa učia aspoň jeden jazyk, overíš vzorcom:
$\displaystyle 22 + 18 + 10 - 8 - 4 - 3 + 2 = 37$
Žiadny jazyk sa neučia $40 - 37 = 3$ študenti. Kontrola: $12 + 9 + 5 + 6 + 2 + 1 + 2 = 37$ .

Výsledok: Žiadny jazyk sa neučia $3$ študenti, práve jeden jazyk $26$ študentov.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 28

Dané sú množiny

A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}

B = \{2; 4; 6; 8; 10; 12\}

. Zisti:

a)
$A \cap B$
b)
$A \cup B$
c)
$A - B$
d)
$B - A$

a) $\{2; 4; 6\}$
b) $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 12\}$
c) $\{1; 3; 5; 7\}$
d) $\{8; 10; 12\}$

Sú dané množiny

A = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}

B = \{1; 3; 5\}

C = \{-2; 8; 10; 12\}

. Urči:

a)
$A - B$
b)
$C \cup A$
c)
$B - C$
d)
$A \cap B$
e)
$A'_{\mathbb{Z}}$ (doplnok množiny $A$ v množine celých čísel)
f)
$(C - A) \cap B$
g)
$(B \cup C) - A$

a) $\{-3; -2; -1; 0; 2\}$
b) $\{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 8; 10; 12\}$
c) $\{1; 3; 5\}$
d) $\{1; 3\}$
e) $A'_{\mathbb{Z}} = \{\dots; -5; -4; 4; 5; \dots\}$ , teda všetky celé čísla $x$ , pre ktoré $|x| \geq 4$
f) $\emptyset$
g) $\{5; 8; 10; 12\}$

Sú dané tri intervaly:

A = \langle -7; 2 \rangle

B = \langle -2; 5)

C = \langle 2; \infty)

. Zapíš:

a)
$A \cap C$
b)
$(A \cap B) \cup C$
c)
$(A \cap C) \cup (B \cap C)$
d)
$A - B$

Nakresli všetky tri intervaly pod seba na jednu číselnú os a pozorne sleduj, ktoré krajné body patria do intervalu.

a) $\{2\}$
b) $\langle -2; \infty)$
c) $\langle 2; 5)$
d) $\langle -7; -2)$

Sú dané množiny

A = (-\infty; 10)

B = \langle -8; -1 \rangle

C = (-2; 12 \rangle

. Urči (zápis

X'_{\mathbb{R}}

je doplnok množiny

X

v množine reálnych čísel):

a)
$A'_{\mathbb{R}}$
b)
$B \cup C$
c)
$A \cap B$
d)
$C - A$
e)
$A'_{\mathbb{R}} \cap C$
f)
$B - C'_{\mathbb{R}}$
g)
$B'_{\mathbb{R}} \cap C$
h)
$(A - B)'_{\mathbb{R}}$
i)
$\left(A'_{\mathbb{R}} \cup B\right)'_{\mathbb{R}}$
j)
$B \cup (A - C)$
k)
$\left(B'_{\mathbb{R}} - A\right) - C$
l)
$(B \cup C) \cap A$
m)
$C - (B - A)$
n)
$A \cap B \cap C$

Pri zložených výrazoch najprv vypočítaj zátvorku. Pomôže ti, že

B \subset A

, takže

B - A = \emptyset

, a že

B - C'_{\mathbb{R}} = B \cap C

a) $\langle 10; \infty)$
b) $\langle -8; 12 \rangle$
c) $\langle -8; -1 \rangle$
d) $\langle 10; 12 \rangle$
e) $\langle 10; 12 \rangle$
f) $(-2; -1 \rangle$
g) $(-1; 12 \rangle$
h) $\langle -8; -1 \rangle \cup \langle 10; \infty)$
i) $(-\infty; -8) \cup (-1; 10)$
j) $(-\infty; -1 \rangle$
k) $(12; \infty)$
l) $\langle -8; 10)$
m) $(-2; 12 \rangle$
n) $(-2; -1 \rangle$

Nájdi také množiny

A

B

, pre ktoré platí:

A \cup B = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}

A \cap B = \{1; 2; 3\}

B - A = \{5; 6\}

Nakresli Vennov diagram. Do prieniku napíš čísla

1

2

3

, do časti len

B

čísla

5

6

. Zvyšné prvky zjednotenia patria len do

A

A = \{0; 1; 2; 3; 4; 7\}

B = \{1; 2; 3; 5; 6\}

Urči množiny

A

B

, ktoré sú podmnožinami množiny

\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}

a spĺňajú podmienky:

A \cup B = \{3; 5; 6; 8\}

A \cap \{4; 6; 8\} = \emptyset

B \cap \{1; 3; 5; 7\} = \{3; 5\}

Čísla

6

8

nemôžu byť v

A

, a predsa sú v

A \cup B

, preto musia byť v

B

B = \{3; 5; 6; 8\}

a pre

A

sú štyri možnosti:

A = \emptyset

A = \{3\}

A = \{5\}

alebo

A = \{3; 5\}

Zapíš vymenovaním prvkov nasledujúce množiny:

a)
$A = \{x \in \mathbb{N};\ \allowbreak x^2 < 20\}$
b)
$B = \{x \in \mathbb{Z};\ \allowbreak |x| = 5\}$
c)
$C = \{x \in \mathbb{N};\ \allowbreak x \leq 5\}$
d)
$D = \{x \in \mathbb{Z};\ \allowbreak -5 \leq x < 5\}$
e)
$E = \{x \in \mathbb{Q};\ \allowbreak 3x + 1 = x + 5\}$
f)
$F = \{x \in \mathbb{Z};\ \allowbreak 3x = 5\}$
g)
$G = \{x \in \mathbb{N};\ \allowbreak 2 \mid x \land x < 16\}$ (zápis $2 \mid x$ znamená, že $2$ delí $x$ )

a) $A = \{1; 2; 3; 4\}$
b) $B = \{-5; 5\}$
c) $C = \{1; 2; 3; 4; 5\}$
d) $D = \{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\}$
e) $E = \{2\}$
f) $F = \emptyset$ , lebo $x = \frac{5}{3}$ nie je celé číslo
g) $G = \{2; 4; 6; 8; 10; 12; 14\}$

Dané množiny zapíš ako intervaly:

a)
$A = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak -1{,}5 < x \leq 6\}$
b)
$B = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak |x| \leq 3\}$
c)
$C = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak 0{,}5 \leq x \leq 1{,}5\}$
d)
$D = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x < 4\}$
e)
$E = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x > -2\}$
f)
$F = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak |x| \geq 2\}$
g)
$G = \{x \in \mathbb{R};\ \allowbreak x \leq 0\}$

Nerovnica

|x| \leq 3

znamená, že

x

je od nuly vzdialené najviac

3

, teda

-3 \leq x \leq 3

a) $A = (-1{,}5; 6 \rangle$
b) $B = \langle -3; 3 \rangle$
c) $C = \langle 0{,}5; 1{,}5 \rangle$
d) $D = (-\infty; 4)$
e) $E = (-2; \infty)$
f) $F = (-\infty; -2 \rangle \cup \langle 2; \infty)$
g) $G = (-\infty; 0 \rangle$

Zakresli pomocou Vennových diagramov:

a)
$(A \cup B) \cup C$
b)
$(A \cap B) \cup C$
c)
$(A \cup B) - C$
d)
$(A \cap B) - C$
e)
$\left[(A \cup C) \cap B'\right] - (A \cap C)$
f)
$(B' \cap C) \cap (A \cup B')$
g)
$(B \cap C') \cap (A \cup C)'$

Nakresli tri prekrývajúce sa kruhy

A

B

C

v obdĺžniku. Diagram má

8

oblastí (

7

v kruhoch a jednu mimo nich). Pri každej rozhodni, či do výslednej množiny patrí, a doplnok

X'

ber ako všetko mimo kruhu

X

a)Vyfarbíš všetky tri kruhy celé, teda $A \cup B \cup C$ .
b)Vyfarbíš celý kruh $C$ a k nemu spoločnú časť kruhov $A$ a $B$ .
c)Vyfarbíš kruhy $A$ a $B$ okrem častí, ktoré ležia v kruhu $C$ .
d)Vyfarbíš len spoločnú časť kruhov $A$ a $B$ , ktorá neleží v kruhu $C$ .
e)Vyfarbíš časť, ktorá je len v $A$ , a časť, ktorá je len v $C$ , teda $\left(A - (B \cup C)\right) \cup \left(C - (A \cup B)\right)$ .
f)Vyfarbíš kruh $C$ okrem časti, ktorá leží v kruhu $B$ , teda $C - B$ .
g)Vyfarbíš len časť kruhu $B$ , ktorá neleží ani v $A$ , ani v $C$ , teda $B - (A \cup C)$ .

10.

Rozhodni, či platia nasledujúce množinové inklúzie:

a)
$\{3\} \subset \{2; 3; 4\}$
b)
$\{5; 4\} \subset \{4; 5\}$
c)
$4 \subset \{2; 3; 4\}$
d)
$\{-1; 1\} \subset \{x \in \mathbb{Z};\ \allowbreak -2 \leq x \leq 4\}$
e)
$\{x \in \mathbb{N};\ \allowbreak 3 \leq x < 5\} \subset \{x \in \mathbb{Z};\ \allowbreak -1 < x \leq 4\}$

a)Platí.
b)Platí (obe množiny sa dokonca rovnajú).
c)Neplatí, číslo $4$ je prvok, nie množina. Správne je $4 \in \{2; 3; 4\}$ alebo $\{4\} \subset \{2; 3; 4\}$ .
d)Platí.
e)Platí, lebo $\{3; 4\} \subset \{0; 1; 2; 3; 4\}$ .

11.

30

žiakov školy sa zúčastní turnaja v stolnom tenise alebo v šachu, z toho

8

je prihlásených na obe súťaže. Iba stolnotenisovej súťaže sa zúčastní

19

žiakov. Koľko žiakov sa zúčastní šachového turnaja?

11

žiakov (

3

len šach a

8

aj stolný tenis)

12.

Do cukrárne doniesli dva nové druhy zákuskov. Zo

153

zákazníkov

65

neodolalo a kúpilo si prvý druh zákuskov. Druhý druh si kúpilo

49

zákazníkov. Tých, ktorí si kúpili oba druhy, bola len jedna pätina počtu zákazníkov, ktorí si kúpili aspoň jeden druh zákuskov. Koľkí zákazníci si kúpili iba prvý a koľkí iba druhý druh zákuskov? Koľko bolo zákazníkov, ktorí si kúpili oba druhy? Koľko bolo takých, ktorí odolali obom zvodom?

Počet tých, čo kúpili oba druhy, označ

x

. Aspoň jeden druh kúpilo

65 + 49 - x

zákazníkov, takže platí

x = \frac{1}{5}(114 - x)

Iba prvý druh

46

, iba druhý druh

30

, oba druhy

19

zákazníkov a nič si nekúpilo

58

zákazníkov.

13.

129

študentov prvého ročníka chodí pravidelne do jedálne na obed alebo večeru

116

študentov.

62

študentov chodí najviac na jedno z týchto jedál. Pritom na obed chodí o

47

študentov viac než na večeru. Koľko študentov chodí na obedy aj večere, koľko len na večere a koľko len na obedy?

„Najviac na jedno jedlo“ chodia aj tí, čo nechodia na žiadne. Takých je

129 - 116 = 13

, takže len na jedno jedlo chodí

62 - 13 = 49

študentov.

Na obedy aj večere chodí

67

študentov, len na večere

1

študent a len na obedy

48

študentov.

14.

Na recepcii na vyslanectve každý ovláda aspoň jeden cudzí jazyk:

15

ľudí hovorí po anglicky,

12

po nemecky a

7

oboma jazykmi. Z koľkých ľudí sa skladá táto spoločnosť, ak v nej nikto iný jazyk neovláda?

20

ľudí

15.

35

žiakov odoberá časopis A

8

žiakov a časopis B

10

žiakov.

21

žiakov neodoberá ani jeden z týchto dvoch časopisov. Koľko z nich odoberá oba časopisy?

4

žiaci

16.

Za jeden deň opravili v autodielni na

46

autách

24

chýb na brzdách a

36

chýb na motore. Koľko áut malo chybu len na brzdách a koľko len na motore?

Predpokladaj, že každé z

46

áut malo aspoň jednu chybu a na brzdách aj na motore najviac jednu. Potom obe chyby malo

24 + 36 - 46

áut.

Len na brzdách

10

áut, len na motore

22

áut (obe chyby malo

14

áut).

17.

Prieskum čitateľských záujmov ukázal, že

60\ \%

žiakov číta časopis A,

50\ \%

časopis B,

50\ \%

časopis C,

30\ \%

časopisy A aj B,

20\ \%

časopisy B aj C,

30\ \%

časopisy A aj C a

10\ \%

všetky tri časopisy. Koľko percent žiakov číta práve dva časopisy a koľko percent nečíta ani jeden z týchto časopisov?

Začni od stredu diagramu. Všetky tri časopisy číta

10\ \%

žiakov, takže časopisy A a B, ale nie C, číta

30 - 10 = 20\ \%

žiakov.

Práve dva časopisy číta

50\ \%

žiakov a žiadny z nich

10\ \%

žiakov.

18.

Na ihrisku sa hralo

26

detí.

11

detí malo autíčko,

17

detí malo lopatku. Len formičku malo

5

detí. Nikto nemal autíčko a formičku zároveň, každé dieťa malo aspoň jednu hračku. Práve dve hračky malo

15

detí.

a)
Koľko detí malo formičku?
b)
Koľko detí malo všetky tri hračky?
c)
Koľko detí malo len lopatku?

Keďže nikto nemal autíčko s formičkou, prienik autíčka a formičky je prázdny. Dve hračky (spolu

15

detí) sú teda len autíčko s lopatkou alebo lopatka s formičkou.

a) $13$ detí
b) $0$ , nikto
c) $2$ deti

19.

V škole sú tri záujmové krúžky: fotografický, motoristický a šachový. Každý žiak v triede chodí do niektorého z nich. Do fotografického chodí

16

žiakov, do motoristického

17

a do šachového

14

žiakov. Osem žiakov chodí súčasne do fotografického aj motoristického, šesť do fotografického aj šachového, štyria do motoristického aj šachového. Traja žiaci navštevujú všetky tri krúžky. Koľko žiakov je v triede?

32

žiakov

20.

Označme

T

množinu trojslabičných slov,

S

množinu šesťpísmenových slov a

A

množinu slov obsahujúcich písmeno „A“. Ktoré z uvedených slov patrí do množiny

(T \cup S) \cap A

? Možnosti: (A) JAMKA, (B) VIETOR, (C) MONITOR, (D) BUNKA, (E) KLAVÍR.

Slovo musí obsahovať písmeno A a zároveň mať tri slabiky alebo šesť písmen. JAMKA a BUNKA majú dve slabiky a päť písmen, VIETOR a MONITOR písmeno A neobsahujú.

(E) KLAVÍR: má šesť písmen a obsahuje písmeno A.

21.

V triede je

38

žiakov,

16

z nich pretekalo v behu a

20

v plávaní. Žiadneho z týchto pretekov sa nezúčastnilo

10

žiakov. Koľko žiakov behalo aj plávalo?

8

žiakov

22.

V triede je

15

chlapcov a

16

dievčat.

11

chlapcov sa vie korčuľovať,

13

detí sa nevie korčuľovať. Koľko dievčat sa vie korčuľovať?

7

dievčat

23.

V triede je

24

detí.

9

detí sa neučí po anglicky.

5

chlapcov sa učí po anglicky. Koľko dievčat sa učí po anglicky, ak vieš, že v triede je toľko chlapcov, koľko je dievčat?

10

dievčat

24.

V triede je

30

detí. Horský bicykel má

15

detí. Koľko detí má pretekársky bicykel, ak vieš, že oba bicykle má

5

detí a šiesti nemajú bicykel?

14

detí

25.

Na školskom výlete bolo

88

detí.

50

z nich si kúpilo na občerstvenie džús,

35

si kúpilo zmrzlinu. Koľko detí si kúpilo iba džús a koľko iba zmrzlinu, ak vieš, že džús aj zmrzlinu si kúpilo

15

detí? Koľko detí si nekúpilo nič?

Iba džús

35

detí, iba zmrzlinu

20

detí a nič si nekúpilo

18

detí.

26.

V oáze pri jazierku sa počas nekonečných dní sucha stretli hrochy a slony. Vo vode sa v danom okamihu nachádza

22

zvierat, z toho

12

hrochov. Koľko hrochov je na brehu, ak stádo zvierat má

55

členov a na brehu je

11

slonov?

22

hrochov

27.

Trieda má

30

žiakov. Na konci školského roka mali piati žiaci triedy jednotku z matematiky a nikto z tohto predmetu neprepadol.

18

žiakov triedy malo z matematiky horšiu známku ako jednotku, ale lepšiu ako štvorku.

16

žiakov triedy malo z matematiky horšiu známku ako dvojku. Koľko žiakov triedy malo na konci školského roka z matematiky trojku? Pri riešení môžeš využiť Vennov diagram.

Skupina „horšia známka ako jednotka, ale lepšia ako štvorka“ sú dvojky a trojky (

18

žiakov). Skupina „horšia známka ako dvojka“ sú trojky a štvorky (

16

žiakov), lebo nikto neprepadol. Ich prienik sú trojky. Dvojky až štvorky má

30 - 5 = 25

žiakov.

9

žiakov

28.

V rodinnom albume je

77

fotografií, na ktorých sú dvojičky Adam alebo Jana. Obe dvojičky sú spolu na

30

fotografiách. Fotografií, na ktorých je len Jana, je o

5

viac ako fotografií, na ktorých je len Adam. Na koľkých fotografiách albumu je len Jana?

26

fotografiách

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.