Okruh 1a · Základy matematiky

Výroková logika

Ako skladať výroky pomocou logických spojok, určiť ich pravdivosť a správne ich negovať.

asi 60 min · 8 častí · 13 úloh

0 z 8 častí · 0 z 13 úloh

V skratke

Výrok je oznamovacia veta, o ktorej má zmysel povedať, či je pravdivá ( $1$ ) alebo nepravdivá ( $0$ ).
Konjunkcia $A \land B$ platí, len keď platia oba výroky. Disjunkcia $A \lor B$ platí, keď platí aspoň jeden, alternatíva $A \mathbin{\lor\lor} B$ , keď platí práve jeden.
Implikácia $A \Rightarrow B$ je nepravdivá jedine vtedy, keď $A$ platí a $B$ neplatí. Obmena $B' \Rightarrow A'$ má vždy rovnakú hodnotu, obrátená implikácia $B \Rightarrow A$ ju mať nemusí.
Ekvivalencia $A \Leftrightarrow B$ platí, keď majú $A$ a $B$ rovnakú pravdivostnú hodnotu.
Negácie: $(A \land B)' \Leftrightarrow A' \lor B'$ , $(A \lor B)' \Leftrightarrow A' \land B'$ a $(A \Rightarrow B)' \Leftrightarrow A \land B'$ .
Kvantifikátor pri negácii zmeníš: „každý … je“ na „aspoň jeden … nie je“, „aspoň $n$ “ na „najviac $n-1$ “ a „najviac $n$ “ na „aspoň $n+1$ “.
Tautológia je pravdivá vždy, kontradikcia nikdy a splniteľná forma niekedy áno a niekedy nie. Zistíš to tabuľkou pravdivostných hodnôt.

Časť 1prečítaná

Základné pojmy

Na maturite máš vedieť vysvetliť tieto pojmy: výrok, axióma, definícia, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, obmena implikácie, obrátená implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné a kvantifikátor (existenčný, všeobecný, aspoň, najviac, práve).

Výrok: Každá oznamovacia veta, ktorá zrozumiteľne niečo oznamuje a o ktorej má po obsahovej stránke zmysel povedať, že je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme veľkými písmenami $A, B, \dots, Z$ .

Výrokom teda nie je otázka, rozkaz ani neúplná veta, napríklad „Zatvor okno!“ alebo „Koľko je hodín?“.

Axióma: Tvrdenie, ktoré sa nedokazuje a prijímame ho ako pravdivé. Pomocou axióm zavádzame základné matematické pojmy.
Definícia: Určuje názov nového pojmu a jeho charakteristické vlastnosti pomocou základných pojmov.
Hypotéza: Oznamovacia veta, ktorá má charakter výroku, ale v danom okamihu nevieme jednoznačne určiť, či je pravdivá alebo nepravdivá. Jedna z týchto možností však nastať musí.
Tvrdenie: Výrok, ktorý má byť dokázaný.
Pravdivostná hodnota: Priradenie jednej z dvoch pravdivostných hodnôt danému výroku. Najčastejšie ju značíme číslicami alebo písmenami: pravda je $1$ alebo p, nepravda je $0$ alebo n.

Časť 2prečítaná

Logické spojky a zložené výroky

Logické spojky: Spojky (napríklad „a“, „alebo“, „ak…, potom…“, „je ekvivalentné“, „nie je pravda, že…“), pomocou ktorých z jednoduchých výrokov vytvárame zložitejšie výroky.
Zložený výrok: Výrok, ktorý vznikol použitím logických spojok.

Symboly logických spojok

Spojka	Symbol
konjunktor	$\land$
disjunktor (nevylučujúci)	$\lor$
vylučujúci disjunktor	$\mathbin{\lor\lor}$
implikátor	$\Rightarrow$
ekvivalentor	$\Leftrightarrow$

konjunktor

\land

disjunktor (nevylučujúci)

\lor

vylučujúci disjunktor

\mathbin{\lor\lor}

implikátor

\Rightarrow

ekvivalentor

\Leftrightarrow

Negácia výroku: Výrok utvorený z daného výroku, ktorý popiera jeho pravdivosť. Negáciu výroku $A$ označujeme $A'$ alebo $\neg A$ . Tvoríme ju obvykle tak, že pred výrok dáme „Nie je pravda, že…“, alebo k slovesu pridáme zápor ne-.

Zložené výroky z výrokov

A

B

Názov	Zápis a čítanie	Kedy je pravdivý
konjunkcia	$A \land B$ ( $A$ a $B$ )	práve vtedy, keď sú oba výroky $A$ , $B$ pravdivé
disjunkcia	$A \lor B$ ( $A$ alebo $B$ )	práve vtedy, keď je aspoň jeden z výrokov $A$ , $B$ pravdivý
alternatíva (ostrá disjunkcia)	$A \mathbin{\lor\lor} B$ (buď $A$ , alebo $B$ )	práve vtedy, keď je práve jeden z výrokov $A$ , $B$ pravdivý
implikácia	$A \Rightarrow B$ (ak $A$ , tak $B$ )	práve vtedy, keď nenastane situácia, že $A$ je pravdivý a súčasne $B$ je nepravdivý
ekvivalencia	$A \Leftrightarrow B$ ( $A$ práve vtedy, keď $B$ )	práve vtedy, keď majú výroky $A$ , $B$ rovnakú pravdivostnú hodnotu

konjunkcia

Zápis a čítanie: $A \land B$ ( $A$ a $B$ )
Kedy je pravdivý: práve vtedy, keď sú oba výroky $A$ , $B$ pravdivé

disjunkcia

Zápis a čítanie: $A \lor B$ ( $A$ alebo $B$ )
Kedy je pravdivý: práve vtedy, keď je aspoň jeden z výrokov $A$ , $B$ pravdivý

alternatíva (ostrá disjunkcia)

Zápis a čítanie: $A \mathbin{\lor\lor} B$ (buď $A$ , alebo $B$ )
Kedy je pravdivý: práve vtedy, keď je práve jeden z výrokov $A$ , $B$ pravdivý

implikácia

Zápis a čítanie: $A \Rightarrow B$ (ak $A$ , tak $B$ )
Kedy je pravdivý: práve vtedy, keď nenastane situácia, že $A$ je pravdivý a súčasne $B$ je nepravdivý

ekvivalencia

Zápis a čítanie: $A \Leftrightarrow B$ ( $A$ práve vtedy, keď $B$ )
Kedy je pravdivý: práve vtedy, keď majú výroky $A$ , $B$ rovnakú pravdivostnú hodnotu

Výroky $A$ a $B$ sú ekvivalentné, ak platia obe implikácie $A \Rightarrow B$ aj $B \Rightarrow A$ .

Časť 3prečítaná

Tabuľka pravdivostných hodnôt

Pravdivostné hodnoty negácie a zložených výrokov pre všetky štyri kombinácie hodnôt výrokov $A$ a $B$ :

$A$	$B$	$B'$ ( $\neg B$ )	$A \land B$	$A \lor B$	$A \mathbin{\lor\lor} B$	$A \Rightarrow B$	$A \Leftrightarrow B$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$

$A$	$1$	$1$	$0$	$0$
$B$	$1$	$0$	$1$	$0$
$B'$ ( $\neg B$ )	$0$	$1$	$0$	$1$
$A \land B$	$1$	$0$	$0$	$0$
$A \lor B$	$1$	$1$	$1$	$0$
$A \mathbin{\lor\lor} B$	$0$	$1$	$1$	$0$
$A \Rightarrow B$	$1$	$0$	$1$	$1$
$A \Leftrightarrow B$	$1$	$0$	$0$	$1$

1

$B$: $1$
$B'$ ( $\neg B$ ): $0$
$A \land B$: $1$
$A \lor B$: $1$
$A \mathbin{\lor\lor} B$: $0$
$A \Rightarrow B$: $1$
$A \Leftrightarrow B$: $1$

1

$B$: $0$
$B'$ ( $\neg B$ ): $1$
$A \land B$: $0$
$A \lor B$: $1$
$A \mathbin{\lor\lor} B$: $1$
$A \Rightarrow B$: $0$
$A \Leftrightarrow B$: $0$

0

$B$: $1$
$B'$ ( $\neg B$ ): $0$
$A \land B$: $0$
$A \lor B$: $1$
$A \mathbin{\lor\lor} B$: $1$
$A \Rightarrow B$: $1$
$A \Leftrightarrow B$: $0$

0

$B$: $0$
$B'$ ( $\neg B$ ): $1$
$A \land B$: $0$
$A \lor B$: $0$
$A \mathbin{\lor\lor} B$: $0$
$A \Rightarrow B$: $1$
$A \Leftrightarrow B$: $1$

Časť 4prečítaná

Implikácia, jej obmena a obrátená implikácia

Obmena implikácie: Z implikácie $A \Rightarrow B$ ju vytvoríš tak, že vymeníš poradie výrokov $A$ a $B$ a každý z nich zneguješ: $B' \Rightarrow A'$ . Implikácia a obmenená implikácia majú vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu.
Obrátená implikácia: Z implikácie $A \Rightarrow B$ ju vytvoríš tak, že len vymeníš poradie výrokov $A$ a $B$ : $B \Rightarrow A$ . Implikácia a obrátená implikácia nemusia mať rovnakú pravdivostnú hodnotu.

Implikácia a jej obmena sú ekvivalentné

\displaystyle (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (B' \Rightarrow A')

Napríklad pravdivá implikácia „Ak je číslo deliteľné $4$ , tak je párne“ má obmenu „Ak číslo nie je párne, tak nie je deliteľné $4$ “, ktorá je tiež pravdivá. Obrátená implikácia „Ak je číslo párne, tak je deliteľné $4$ “ je nepravdivá, stačí vziať číslo $6$ .

Implikáciu $A \Rightarrow B$ čítame aj „z $A$ vyplýva $B$ “. Keď platí, tak vždy, keď je pravdivý výrok $A$ , je pravdivý aj výrok $B$ . Ekvivalenciu $A \Leftrightarrow B$ čítame aj „ $A$ je ekvivalentné s $B$ “.

Časť 5prečítaná

Výrokové formy a tautológie

Výroková forma: Výraz zostavený z výrokových premenných, zátvoriek a logických spojok tak, že po dosadení ľubovoľných výrokov za výrokové premenné dostaneme výrok.
Tautológia: Výroková forma, ktorá nadobúda hodnotu „pravda“ pri všetkých kombináciách pravdivostných hodnôt svojich premenných.
Kontradikcia: Výroková forma, ktorá nadobúda hodnotu „nepravda“ pri všetkých kombináciách pravdivostných hodnôt svojich premenných.
Splniteľná výroková forma: Výroková forma, ktorá aspoň pre jednu kombináciu pravdivostných hodnôt svojich premenných nadobúda hodnotu „pravda“ a aspoň pre jednu kombináciu hodnotu „nepravda“.

Pravdivostné hodnoty výrokovej formy zisťuješ spravidla pomocou tabuľky s vhodným záhlavím, kde v jednotlivých stĺpcoch sú čiastkové výroky a ich pravdivostné hodnoty.

Riešený príklad

Je to tautológia?

Zisti, či je výroková forma $[(A \Rightarrow B) \land A] \Rightarrow B$ tautológia.

Označ si čiastkový výrok $C = (A \Rightarrow B) \land A$ . Celá výroková forma je potom $C \Rightarrow B$ .
Zostav tabuľku: najprv stĺpec $A \Rightarrow B$ , potom $C$ (konjunkcia s $A$ ) a nakoniec $C \Rightarrow B$ .
$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & C & C \Rightarrow B \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}$
V poslednom stĺpci sú samé jednotky, takže výroková forma je pravdivá pri každej kombinácii hodnôt $A$ a $B$ .

Výsledok: Je to tautológia. Hovorí, že keď platí implikácia $A \Rightarrow B$ a platí $A$ , musí platiť aj $B$ .

Časť 6prečítaná

Negácia zložených výrokov

Na negovanie zložených výrokov používaš tieto pravidlá. Prvé dve sú de Morganove pravidlá.

Negácia konjunkcie

\displaystyle (A \land B)' \Leftrightarrow A' \lor B'

Negácia disjunkcie

\displaystyle (A \lor B)' \Leftrightarrow A' \land B'

Negácia implikácie

\displaystyle (A \Rightarrow B)' \Leftrightarrow A \land B'

Negácia ekvivalencie

\displaystyle (A \Leftrightarrow B)' \Leftrightarrow (A \land B') \lor (A' \land B)

Časť 7prečítaná

Kvantifikované výroky

Jednoduché kvantifikované výroky: Oznamovacie vety, ktoré udávajú presný počet alebo určitý odhad počtu predmetov, osôb a podobne, ktoré majú uvedenú vlastnosť.
Kvantifikátor: Slovo alebo krátke slovné spojenie, ktoré vo vete vyjadruje údaj o počte objektov, osôb a podobne. Je to číslovka alebo slová a slovné spojenia ako žiadny, každý, práve jeden, existuje aspoň jeden.
Všeobecný (veľký) kvantifikátor $\forall$: Vyjadruje, že každý uvažovaný objekt má vlastnosť, o ktorú ide, alebo že ju žiadny nemá. Okrem slov „každý“ a „žiadny“ sa na to používajú aj slová „všetky“, „ľubovoľný“, „ktorýkoľvek“, „ani jeden“ a podobne.
Existenčný (malý) kvantifikátor $\exists$: Vyjadruje, že aspoň jeden uvažovaný objekt má alebo nemá vlastnosť, o ktorú ide. Okrem slov „aspoň jeden“ sa používajú slová „niektorý“, „možno nájsť“, „existuje“ a podobne.

Kvantifikovaný výrok môžeš znegovať tak, že pred neho dáš slová „Nie je pravda, že…“. Stručnejšie a častejšie ho však neguješ tak, že zmeníš kvantifikátor.

Negácia kvantifikovaných výrokov

Výrok	Negácia výroku
aspoň $n$ … je …	najviac $n-1$ … je …
najviac $n$ … je …	aspoň $n+1$ … je …
práve $n$ … je …	najviac $n-1$ alebo aspoň $n+1$ … je …
každý … je …	aspoň jeden … nie je …
aspoň jeden … je …	ani jeden … nie je …

aspoň

n

… je …

najviac

n-1

… je …

najviac

n

… je …

aspoň

n+1

… je …

práve

n

… je …

najviac

n-1

alebo aspoň

n+1

… je …

každý … je …

aspoň jeden … nie je …

aspoň jeden … je …

ani jeden … nie je …

Symbolicky: ak $V(x)$ označuje vlastnosť objektu $x$ , pri negácii sa všeobecný kvantifikátor mení na existenčný, existenčný na všeobecný a vlastnosť sa zneguje.

\displaystyle \neg\,(\forall x \colon V(x)) \Leftrightarrow \exists x \colon \neg V(x)

\displaystyle \neg\,(\exists x \colon V(x)) \Leftrightarrow \forall x \colon \neg V(x)

Riešený príklad

Negácia bez „Nie je pravda, že…“

Neguj výroky: a) Ak sa naučím, napíšem písomku na jednotku. b) Práve dvaja žiaci z triedy majú auto.

a) Výrok má tvar $A \Rightarrow B$ , kde $A$ : Naučím sa, $B$ : Napíšem písomku na jednotku. Použi pravidlo pre negáciu implikácie:
$\displaystyle (A \Rightarrow B)' \Leftrightarrow A \land B'$
Negácia je teda: Naučím sa a nenapíšem písomku na jednotku.
b) Podľa tabuľky sa „práve $n$ “ neguje ako „najviac $n-1$ alebo aspoň $n+1$ “. Tu je $n = 2$ : pôvodný výrok neplatí práve vtedy, keď auto má najviac jeden žiak alebo ho majú aspoň traja žiaci.

Výsledok: a) Naučím sa a nenapíšem písomku na jednotku. b) Auto má najviac jeden žiak z triedy alebo ho majú aspoň traja žiaci z triedy.

Časť 8prečítaná

Slovné úlohy z logiky

V slovných úlohách (kto prišiel, kde je chyba, čo si vybrať) postupuj takto:

Jednoduché výroky označ písmenami, napríklad $A$ : Adam pôjde na výlet.
Každú vetu zo zadania prepíš ako zložený výrok pomocou logických spojok.
Zisti, pre ktoré kombinácie pravdivostných hodnôt majú všetky výroky takú hodnotu, akú žiada zadanie. Pomôže ti tabuľka pravdivostných hodnôt alebo úvaha s obmenou implikácie.

Riešený príklad

Kto pôjde na výlet

Na výlet pôjde Adam alebo Boris. Ak pôjde Boris, nepôjde Cyril. Cyril pôjde. Urči, kto pôjde na výlet.

Označ $A$ : Adam pôjde, $B$ : Boris pôjde, $C$ : Cyril pôjde. Pravdivé sú výroky $A \lor B$ , $B \Rightarrow C'$ a $C$ .
Obmena implikácie $B \Rightarrow C'$ je $C \Rightarrow B'$ . Keďže platí $C$ , platí aj $B'$ , teda Boris nepôjde.
Disjunkcia $A \lor B$ je pravdivá a $B$ je nepravdivý, preto musí byť pravdivý $A$ . Adam pôjde.

Výsledok: Na výlet pôjdu Adam a Cyril, Boris nepôjde.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 13

Dané sú vety. Urči, ktorá je výrok, výroková forma, hypotéza, kvantifikovaný výrok.

a)
Graf funkcie $f: y = 2x^2$ prechádza bodom $X[1; 2]$ .
b)
Otec osôb a, b.
c)
$x$ je synom $y$ .
d)
$\forall x \in \mathbb{R}: x^2 > 4$
e)
$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$
f)
Číslo $5$ vyhovuje rovnici $x + 7 = 12$ .
g)
$x + 7 = 12$
h)
Rieš v $\mathbb{Z}$ rovnicu!
i)
Mám ostrý nôž.
j)
Susedné strany pravouholníka sú zhodné.
k)
Na Marse existuje život.
l)
$\exists x \in \mathbb{R}$ tak, že $x^3 = 8$ .
m)
$6x - 2 \leq 9$

Výroková forma obsahuje premennú a výrokom sa stane až po dosadení. Niektoré vety nie sú výrokom vôbec, napríklad rozkaz alebo neúplná veta. Všeobecnú vetu o útvaroch, napríklad o pravouholníku, chápeme ako tvrdenie o každom takom útvare.

a)výrok (pravdivý, lebo $2 \cdot 1^2 = 2$ )
b)nie je výrok
c)výroková forma
d)kvantifikovaný výrok (nepravdivý, napríklad pre $x = 0$ )
e)výrok (pravdivý)
f)výrok (pravdivý)
g)výroková forma
h)nie je výrok (rozkaz)
i)výrok
j)výrok (nepravdivý, napríklad obdĺžnik so stranami $2$ a $3$ nemá susedné strany zhodné)
k)hypotéza
l)kvantifikovaný výrok (pravdivý, $x = 2$ )
m)výroková forma

Vytvor negáciu výrokov bez použitia slov „Nie je pravda, že…“.

a)
Každý trojuholník má jeden tupý uhol.
b)
Aspoň jedno prirodzené číslo je menšie ako $6$ .
c)
Žiadne prvočíslo nie je párne.
d)
Mám najviac troch kamarátov.
e)
Prší.
f)
Každý mlčal.
g)
$\forall x \in \mathbb{R}: |x| > 0$
h)
$\exists x \in \mathbb{R}: x^2 = 0$
i)
Mám jednu sestru a jedného brata.
j)
Kvadratická rovnica nemá koreň, alebo má dva korene.
k)
Keď nehovorím, pracujem.
l)
Na futbal pôjdem práve vtedy, keď nebude pršať.
m)
Nikto neodišiel.

Pri kvantifikátoroch použi tabuľku negácií kvantifikovaných výrokov, pri spojkách pravidlá pre negáciu zložených výrokov.

a)Aspoň jeden trojuholník nemá jeden tupý uhol.
b)Neexistuje prirodzené číslo menšie ako $6$ .
c)Existuje párne prvočíslo.
d)Mám aspoň štyroch kamarátov.
e)Neprší.
f)Aspoň jeden nemlčal.
g) $\exists x \in \mathbb{R}: |x| \leq 0$
h) $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \neq 0$
i)Nemám jednu sestru alebo nemám jedného brata.
j)Kvadratická rovnica má aspoň jeden koreň a súčasne nemá dva korene.
k)Nehovorím a nepracujem.
l)Pôjdem na futbal a bude pršať, alebo nepôjdem na futbal a nebude pršať.
m)Niekto odišiel.

Dané sú výroky

A

: V sobotu pôjdeme do lesa.

B

: V nedeľu pôjdeme na návštevu. Z výrokov

A

B

utvor:

a)
negáciu
b)
konjunkciu
c)
disjunkciu
d)
alternatívu
e)
implikáciu
f)
ekvivalenciu

a) $A'$ : V sobotu nepôjdeme do lesa. $B'$ : V nedeľu nepôjdeme na návštevu.
b) $A \land B$ : V sobotu pôjdeme do lesa a v nedeľu pôjdeme na návštevu.
c) $A \lor B$ : V sobotu pôjdeme do lesa alebo v nedeľu pôjdeme na návštevu.
d) $A \mathbin{\lor\lor} B$ : Buď v sobotu pôjdeme do lesa, alebo v nedeľu pôjdeme na návštevu.
e) $A \Rightarrow B$ : Ak v sobotu pôjdeme do lesa, tak v nedeľu pôjdeme na návštevu.
f) $A \Leftrightarrow B$ : V sobotu pôjdeme do lesa práve vtedy, keď v nedeľu pôjdeme na návštevu.

Dané sú výroky

X

: Kúpim mäso.

Y

: Budem robiť rezne. Z výrokov

X

Y

utvor:

a)
implikáciu
b)
obrátenú implikáciu
c)
obmenenú implikáciu
d)
negáciu implikácie

a) $X \Rightarrow Y$ : Ak kúpim mäso, tak budem robiť rezne.
b) $Y \Rightarrow X$ : Ak budem robiť rezne, tak kúpim mäso.
c) $Y' \Rightarrow X'$ : Ak nebudem robiť rezne, tak nekúpim mäso.
d) $X \land Y'$ : Kúpim mäso a nebudem robiť rezne.

Urči pravdivostnú hodnotu daných výrokov:

a)
$(-5 < -4 < -2) \Leftrightarrow 15 \leq 8$
b)
$(0{,}5 \leq 2) \Rightarrow (2 \mid 13 \lor 2 \mid 12)$
c)
$[\sqrt{25} = -5 \land (-5)^2 = 25] \Leftrightarrow [(2 \neq 8 \lor 3 \mid 9) \Rightarrow 5 \leq 9]$
d)
$\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0$

Najprv urči hodnotu každého jednoduchého výroku, potom použi tabuľku spojok. Zápis

a \mid b

znamená „

a

delí

b

“.

a) $0$ (ľavá strana je pravdivá, pravá nepravdivá)
b) $1$ (predpoklad aj záver sú pravdivé, lebo $2 \mid 12$ )
c) $0$ (ľavá strana je nepravdivá, lebo $\sqrt{25} = 5$ , pravá strana je pravdivá)
d) $1$

Urči, či je daný výrok tautológia. Ak nie je, urči jeho typ:

a)
$[(A \land B) \Rightarrow C] \Leftrightarrow [(A \land C') \Rightarrow B']$
b)
$A \Leftrightarrow [A' \Rightarrow (B \land B')]$
c)
$[(A \Rightarrow B) \land A'] \lor (B \Rightarrow A)$
d)
$(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow [(A \land B) \lor (A \land B)]$
e)
$(A \land B') \Rightarrow (A' \land B')$
f)
$[A \Rightarrow (B \lor C)] \Leftrightarrow [(A \Rightarrow B) \lor (A \Rightarrow C)]$

Zostav tabuľku pravdivostných hodnôt so stĺpcami pre všetky čiastkové výroky. Pri troch premenných má tabuľka

8

riadkov. V časti d si všimni, že

(A \land B) \lor (A \land B)

je to isté ako

A \land B

a)tautológia
b)tautológia
c)tautológia
d)splniteľná výroková forma (nepravdivá len pre $A = 0$ , $B = 0$ )
e)nie je tautológia, je to splniteľná výroková forma (nepravdivá len pre $A = 1$ , $B = 0$ )
f)tautológia

Ak dostane Peter lístky na zápas, pôjde s ním Pavol. Peter však lístky nedostal. Vyplýva z toho, že Pavol nie je na zápase?

Označ

P

: Peter dostane lístky,

Z

: Pavol pôjde na zápas. Platí

P \Rightarrow Z

P

je nepravdivý. Pozri sa do tabuľky pravdivostných hodnôt implikácie.

Nie. Implikácia s nepravdivým predpokladom je pravdivá pri pravdivom aj nepravdivom závere, takže Pavol na zápase môže, ale nemusí byť.

Ak kúpi Jana lístky, pôjde s ňou Eva do kina. Evu sme stretli v kine. Vyplýva z toho, že Jana kúpila lístky?

Označ

J

: Jana kúpi lístky,

E

: Eva pôjde do kina. Platí

J \Rightarrow E

E

je pravdivý. Pozri sa do tabuľky pravdivostných hodnôt implikácie.

Nie. Implikácia s pravdivým záverom je pravdivá pri pravdivom aj nepravdivom predpoklade, takže Jana lístky mohla, ale nemusela kúpiť.

Rodina Cestovateľov sa rozhoduje o tom, kde pôjdu tento rok na dovolenku. Členovia rodiny navrhovali. Matka: Ja som za Španielsko alebo Taliansko. Syn: Ja som za Nórsko alebo Španielsko. Dcéra: Ja som za Nórsko alebo Taliansko. Otec chcel vyhovieť všetkým, a preto navštívili všetky tri štáty. Splnil skutočne ich želania? Museli navštíviť tri štáty, aby im vyhovel?

Každé želanie je disjunkcia a disjunkcia je pravdivá, keď platí aspoň jedna jej časť. Vyskúšaj, či stačí jeden alebo dva štáty.

Áno, želania splnil. Tri štáty však navštíviť nemuseli, stačili ľubovoľné dva. Jeden štát by nestačil.

10.

Spolužiačky Oľga, Petra, Radka, Slávka a Táňa boli pozvané na oslavu Janiných narodenín. Sľúbili, že prídu, a ich účasť na oslave možno vyjadriť výrokmi: Príde Oľga a príde aj Petra. Príde Petra, alebo príde Táňa. Ak príde Táňa, tak príde aj Radka. Slávka príde vtedy, ak príde Táňa. Pre nepriaznivé počasie na oslavu neprišla ani jedna spolužiačka. Urči, ktorá z pozvaných sľub dodržala.

Keďže neprišla žiadna spolužiačka, každý jednoduchý výrok (príde Oľga, príde Petra, …) je nepravdivý. Zisti, ktoré zo štyroch zložených výrokov sú aj tak pravdivé.

Sľub dodržali Radka a Slávka (implikácie s nepravdivým predpokladom „príde Táňa“ sú pravdivé).

11.

Vierka sa chystá na ples. Jej radcami sú dve tety a matka. Prvá teta: Ak si dáš náramok, daj si i retiazku. Druhá teta: Daj si retiazku alebo brošňu. Matka: Keď si nedáš náramok, nedaj si ani brošňu. Aké má Vierka možnosti, aby splnila všetky tri podmienky?

Označ

N

: dá si náramok,

R

: dá si retiazku,

B

: dá si brošňu. Podmienky sú

N \Rightarrow R

R \lor B

N' \Rightarrow B'

. Vyskúšaj všetkých

8

kombinácií.

Tri možnosti: náramok, retiazku aj brošňu, alebo náramok a retiazku, alebo len retiazku.

12.

Auto stojí na vozovke neschopné ďalšej jazdy. Traja motoristi hľadajú chybu. Prvý tvrdí: Chyba je v karburátore alebo v rýchlostnej skrini, ale rozhodne nie v zapaľovaní. Druhý si myslí: Chyba nie je ani v karburátore, ani v rýchlostnej skrini. Tretí hovorí: Chyba je v zapaľovaní, a nie v karburátore. Ukázalo sa, že prvý motorista nemal pravdu, ale mali ju druhý a tretí motorista. V čom bola chyba?

Označ

K

R

Z

: chyba je v karburátore, v rýchlostnej skrini, v zapaľovaní. Prvý tvrdí

(K \lor R) \land Z'

, druhý

K' \land R'

a tretí

Z \land K'

Chyba bola v zapaľovaní (nie v karburátore ani v rýchlostnej skrini).

13.

V podniku nastala situácia, ktorú riešil technik vydaním pokynu. Nesmie nastať prípad: ak je v činnosti stroj

A

, tak je v činnosti stroj

B

a súčasne stroj

B

pracuje práve vtedy, keď je stroj

C

v pokoji. Aké sú možnosti činnosti týchto strojov?

Označ

A

B

C

: daný stroj je v činnosti. Zakázaný je prípad

(A \Rightarrow B) \land (B \Leftrightarrow C')

. Hľadáš všetky kombinácie, pre ktoré je tento výrok nepravdivý.

Päť možností: všetky tri stroje sú v činnosti; v činnosti sú

A

C

, stroj

B

je v pokoji; v činnosti je len

A

, stroje

B

C

sú v pokoji; v činnosti sú

B

C

, stroj

A

je v pokoji; všetky tri stroje sú v pokoji.

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.

$A$	$B$	$B'$ ( $\neg B$ )	$A \land B$	$A \lor B$	$A \mathbin{\lor\lor} B$	$A \Rightarrow B$	$A \Leftrightarrow B$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$

$A$	$B$	$B'$ ( $\neg B$ )	$A \land B$	$A \lor B$	$A \mathbin{\lor\lor} B$	$A \Rightarrow B$	$A \Leftrightarrow B$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$

$A$	$B$	$B'$ ( $\neg B$ )	$A \land B$	$A \lor B$	$A \mathbin{\lor\lor} B$	$A \Rightarrow B$	$A \Leftrightarrow B$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$