Okruh 19 · Planimetria

Analytická geometria v rovine

Body, priamky a kružnice zapísané súradnicami a rovnicami: vzdialenosti, uhly, priesečníky a vzájomné polohy.

asi 90 min · 7 častí · 20 úloh

0 z 7 častí · 0 z 20 úloh

V skratke

Vzdialenosť bodov $A[x_A; y_A]$ a $B[x_B; y_B]$ je $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .
V rovnici $ax + by + c = 0$ je $\vec{n} = (a; b)$ normálový vektor priamky, kolmý na jej smerový vektor. V rovnici $y = kx + q$ je $k$ smernica.
Priamky sú rovnobežné, keď je normálový vektor jednej násobkom normálového vektora druhej alebo $k_1 = k_2$ . Kolmé sú, keď $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ alebo $k_1 \cdot k_2 = -1$ .
Uhol priamok: $\cos\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ , vďaka absolútnej hodnote je $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$ .
Vzdialenosť bodu $M[m_1; m_2]$ od priamky $ax + by + c = 0$ je $\frac{|am_1 + bm_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .
Kružnica so stredom $S[m; n]$ a polomerom $r$ : $(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2$ . Zo všeobecného tvaru ju dostaneš doplnením na štvorce.
Dotyčnica v bode $T[x_0; y_0]$ kružnice: $(x - m)(x_0 - m) + (y - n)(y_0 - n) = r^2$ .

Časť 1prečítaná

Súradnicová sústava

Karteziánska súradnicová sústava: Sú to navzájom kolmé priamky (osi), ktoré prechádzajú jedným bodom, pričom na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky.

Ako súradnicovú sústavu zavedieš

Zvolíš začiatok súradnicovej sústavy $O$ .
Začiatkom $O$ vedieš priamky $x$ , $y$ (v priestore aj $z$ ), ktoré nazývame súradnicové osi.
Osi orientuješ: na každej určíš kladný a záporný smer od začiatku $O$ . Každá os sa tak rozdelí na kladnú a zápornú polos. Kladnú polos zvyčajne označuješ šípkou.
Zvolíš jednotky na osiach.

V takto zvolenej sústave má každý bod priradenú usporiadanú $n$ -ticu reálnych čísel, ktoré nazývame súradnice bodu. A naopak, každá usporiadaná $n$ -tica reálnych čísel určuje polohu práve jedného bodu.

Na priamke (číselnej osi) je bod určený jedným číslom. Číslo $x$ je súradnica bodu $A$ . Zápis $A[x]$ čítaš „bod $A$ má súradnicu $x$ “.

Číselná os s vyznačeným začiatkom 0 a číslami od −4 po 4. Čísla naľavo od začiatku tvoria zápornú polos, čísla napravo kladnú polos. Na kladnej polosi je vyznačený bod A[x] so súradnicou 2.

V rovine je bod určený dvoma číslami, zapisuješ ho $A[x; y]$ . Číslo $x$ je prvá súradnica bodu $A$ (súradnica $x$ ), číslo $y$ je druhá súradnica (súradnica $y$ ). Osi rozdelia rovinu na štyri časti, ktoré nazývame kvadranty.

Súradnicová sústava v rovine s osami x a y a začiatkom 0, na osiach sú jednotky od −4 po 4. I. kvadrant je vpravo hore, II. vľavo hore, III. vľavo dole a IV. vpravo dole. V I. kvadrante je vyznačený bod A[x, y] so súradnicami x = 3 a y = 2.

Znamienka súradníc v kvadrantoch

Kvadrant	Súradnica $x$	Súradnica $y$
I.	$x > 0$	$y > 0$
II.	$x < 0$	$y > 0$
III.	$x < 0$	$y < 0$
IV.	$x > 0$	$y < 0$

Súradnica $x$: $x > 0$
Súradnica $y$: $y > 0$

II.

Súradnica $x$: $x < 0$
Súradnica $y$: $y > 0$

III.

Súradnica $x$: $x < 0$
Súradnica $y$: $y < 0$

IV.

Súradnica $x$: $x > 0$
Súradnica $y$: $y < 0$

Body, ktoré ležia na osiach, nepatria do žiadneho kvadrantu.

Súradnicovú sústavu v rovine používaš aj pri výpočtoch s komplexnými číslami a v goniometrii.

Časť 2prečítaná

Vzdialenosť bodov a vektory

Vzdialenosť bodov

A[x_A; y_A]

B[x_B; y_B]

\displaystyle |AB| = |B - A| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Je to vlastne veľkosť vektora $B - A$ .

Vektor $B - A = (x_B - x_A;\ \allowbreak y_B - y_A)$ vedie z bodu $A$ do bodu $B$ . Pre vektory $\vec{u} = (u_1; u_2)$ a $\vec{v} = (v_1; v_2)$ budeš v tomto okruhu potrebovať veľkosť vektora a skalárny súčin:

Veľkosť vektora a skalárny súčin

\displaystyle |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} \qquad \allowbreak \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2

Nenulové vektory sú na seba kolmé práve vtedy, keď je ich skalárny súčin $0$ .

Stred úsečky

AB

\displaystyle S_{AB}\left[\frac{x_A + x_B}{2};\ \frac{y_A + y_B}{2}\right]

Ťažisko trojuholníka

ABC

\displaystyle T\left[\frac{x_A + x_B + x_C}{3};\ \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right]

Ťažnica spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Jej dĺžku vypočítaš ako vzdialenosť týchto dvoch bodov.

Časť 3prečítaná

Všeobecná rovnica priamky

p

\displaystyle p:\ ax + by + c = 0, \qquad \allowbreak a, b, c \in \mathbb{R}

Čísla $a$ a $b$ nesmú byť naraz obe nulové.

Normálový vektor: Koeficienty $a$ , $b$ sú súradnice normálového vektora $\vec{n} = (a; b)$ priamky $p$ . Normálový vektor je kolmý na smerový vektor priamky $p$ .

Číslo $-c$ sa rovná skalárnemu súčinu polohového vektora ľubovoľného bodu priamky s normálovým vektorom $\vec{n} = (a; b)$ : pre každý bod $X$ priamky platí $(X - O) \cdot \vec{n} = -c$ . Vzdialenosť priamky od začiatku súradnicovej sústavy je $\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ , takže pri $c = 0$ prechádza priamka začiatkom.

Platí

Ľubovoľný nenulový násobok rovnice je rovnicou tej istej priamky. Napríklad $x - 2y + 6 = 0$ a $2x - 4y + 12 = 0$ je tá istá priamka.
Priamka rozdelí rovinu na dve polroviny. Tie majú nerovnice $ax + by + c \leq 0$ a $ax + by + c \geq 0$ .

Časť 4prečítaná

Smernicová rovnica a parametrické vyjadrenie

Smernicová rovnica priamky

p

\displaystyle p:\ y = kx + q, \qquad \allowbreak k, q \in \mathbb{R}

Smernica: Číslo $k$ je smernica priamky. Je to tangens uhla $\varphi$ , ktorý priamka zviera s kladným smerom osi $x$ , teda $k = \operatorname{tg}\varphi$ . Smernica vyjadruje relatívnu zmenu závislej premennej $y$ pri zmene nezávislej premennej $x$ : keď sa $x$ zväčší o $1$ , $y$ sa zmení o $k$ .

Číslo $q$ je $y$ -ová súradnica priesečníka priamky s osou $y$ . Priamka pretína os $y$ v bode $[0; q]$ .

Priamka so smernicou

k

, ktorá prechádza bodom

[x_0; y_0]

\displaystyle y - y_0 = k(x - x_0)

Platí

Ak $k = 0$ , priamka $p$ je rovnobežná s osou $x$ . Jej rovnica je $y = q$ .
Ak je priamka $p$ rovnobežná s osou $y$ , nemá smernicu ani smernicový tvar. Jej rovnica je $x = x_0$ .

Parametrické vyjadrenie priamky

p

\displaystyle p:\ \begin{aligned} x &= A_1 + u_1 t \\ y &= A_2 + u_2 t \end{aligned} \qquad \allowbreak t \in \mathbb{R}

$A[A_1; A_2]$ je bod, ktorý patrí priamke $p$ , $\vec{u} = (u_1; u_2)$ je smerový vektor priamky $p$ a $t$ je parameter. Každej hodnote $t$ zodpovedá jeden bod priamky, pre $t = 0$ je to bod $A$ .

Ak poznáš dva body priamky $A$ a $B$ , smerový vektor je $\vec{u} = B - A$ . Smerovým vektorom je aj každý jeho nenulový násobok.

Časť 5prečítaná

Vzájomná poloha priamok, uhol a vzdialenosť

Dve priamky v rovine sú buď rovnobežné (rôzne alebo totožné), alebo rôznobežné. Rôznobežné priamky majú práve jeden spoločný bod, priesečník. Špeciálnym prípadom rôznobežných priamok sú priamky na seba kolmé.

Rovnobežnosť a kolmosť dvoch priamok

Priamky sú	Podľa normálových vektorov $\vec{m}$ , $\vec{n}$	Podľa smerníc $k_1$ , $k_2$
rovnobežné	$\vec{m}$ je násobkom $\vec{n}$	$k_1 = k_2$
kolmé	$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$	$k_1 \cdot k_2 = -1$

rovnobežné

Podľa normálových vektorov $\vec{m}$ , $\vec{n}$: $\vec{m}$ je násobkom $\vec{n}$
Podľa smerníc $k_1$ , $k_2$: $k_1 = k_2$

kolmé

Podľa normálových vektorov $\vec{m}$ , $\vec{n}$: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$
Podľa smerníc $k_1$ , $k_2$: $k_1 \cdot k_2 = -1$

Príklady rovnobežných priamok

$p: x - 2y + 6 = 0$ má $\vec{n} = (1; -2)$ , $q: 2x - 4y - 10 = 0$ má $\vec{m} = (2; -4)$ . Platí $\vec{m} = 2\vec{n}$ , preto je $p$ rovnobežná s $q$ .
$p: y = 2x + 1$ má $k_1 = 2$ , $q: y = 2x - 10$ má $k_2 = 2$ . Platí $k_1 = k_2$ , preto je $p$ rovnobežná s $q$ .

Odvodenie podmienky kolmosti

k_1 \cdot k_2 = -1

Smernicový tvar	Všeobecný tvar	Normálový vektor
$y = k_1 x + q_1$	$k_1 x - y + q_1 = 0$	$\vec{m} = (k_1; -1)$
$y = k_2 x + q_2$	$k_2 x - y + q_2 = 0$	$\vec{n} = (k_2; -1)$

y = k_1 x + q_1

Všeobecný tvar: $k_1 x - y + q_1 = 0$
Normálový vektor: $\vec{m} = (k_1; -1)$

y = k_2 x + q_2

Všeobecný tvar: $k_2 x - y + q_2 = 0$
Normálový vektor: $\vec{n} = (k_2; -1)$

Priamky sú kolmé, keď

\vec{m} \cdot \vec{n} = 0

\displaystyle \vec{m} \cdot \vec{n} = k_1 k_2 + (-1)\cdot(-1) = k_1 k_2 + 1 = 0 \;\Rightarrow\; k_1 k_2 = -1

Priesečník rôznobežných priamok nájdeš ako riešenie sústavy ich rovníc. Ak je jedna priamka zadaná parametricky, dosaď jej $x$ a $y$ do rovnice druhej priamky, vypočítaj $t$ a dosadením $t$ dostaneš priesečník.

Uhol dvoch priamok

\displaystyle \cos\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

$\vec{u}$ je smerový vektor priamky $p$ , $\vec{v}$ je smerový vektor priamky $q$ . Vzorec je v absolútnej hodnote, aby platilo $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$ .

Dve rôznobežné priamky p a q. Na priamke p leží smerový vektor u, na priamke q smerový vektor v. Medzi vektormi je vyznačený uhol α, ktorý priamky zvierajú.

Vzdialenosť bodu

M[m_1; m_2]

od priamky

p: ax + by + c = 0

\displaystyle |M, p| = \frac{|a m_1 + b m_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Priamka p a bod M mimo nej. Z bodu M vedie na priamku p kolmica (prerušovaná čiara), jej dĺžka je vzdialenosť bodu M od priamky p.

Časť 6prečítaná

Rovnica kružnice

Kružnica: Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od daného bodu $S$ . Bod $S$ je stred kružnice a vzdialenosť $r$ ľubovoľného bodu kružnice od stredu je polomer.

Stredový tvar rovnice kružnice so stredom

S[0; 0]

\displaystyle k:\ x^2 + y^2 = r^2

Stredový tvar rovnice kružnice so stredom

S[m; n]

\displaystyle k:\ (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2

Všeobecný tvar rovnice kružnice

\displaystyle k:\ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Zo stredového tvaru na všeobecný prejdeš tak, že roznásobíš zátvorky a upravíš rovnicu, napríklad:

\displaystyle \begin{aligned} (x - 1)^2 + (y - 6)^2 &= 5 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 12y + 36 &= 5 \\ x^2 + y^2 - 2x - 12y + 32 &= 0 \end{aligned}

\displaystyle (x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 5

\displaystyle x^2 - 2x + 1 + y^2 - 12y + 36 = 5

\displaystyle x^2 + y^2 - 2x - 12y + 32 = 0

Zo všeobecného tvaru na stredový prejdeš tak, že do zátvoriek zoskupíš výrazy s rovnakou premennou a doplníš ich na štvorec (kvadratický trojčlen). Nezabudni potom odčítať to, čo si pripočítal.

\displaystyle \begin{aligned} x^2 + y^2 - 2x - 12y + 32 &= 0 \\ (x^2 - 2x) + (y^2 - 12y) + 32 &= 0 \\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 12y + 36) + 32 - 1 - 36 &= 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 6)^2 &= 5 \end{aligned}

\displaystyle x^2 + y^2 - 2x - 12y + 32 = 0

\displaystyle (x^2 - 2x) + (y^2 - 12y) + 32 = 0

\displaystyle (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 12y + 36) + 32 - 1 - 36 = 0

\displaystyle (x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 5

Kružnica má stred $S[1; 6]$ a polomer $r = \sqrt{5}$ .

Dotyčnica ku kružnici

(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2

v bode dotyku

T[x_0; y_0]

\displaystyle (x - m)(x_0 - m) + (y - n)(y_0 - n) = r^2

Bod $T$ musí ležať na kružnici. Dotyčnica je kolmá na polomer $ST$ .

Bod, priamka a kružnica

k(S; r)

Vzťah	Poloha	Počet spoločných bodov alebo dotyčníc
$\|SM\| < r$	bod $M$ je vo vnútri kružnice	z $M$ nevedie žiadna dotyčnica
$\|SM\| = r$	bod $M$ leží na kružnici	z $M$ vedie jedna dotyčnica
$\|SM\| > r$	bod $M$ je mimo kružnice	z $M$ vedú dve dotyčnice
$\|S, p\| < r$	priamka $p$ je sečnica	$2$ spoločné body
$\|S, p\| = r$	priamka $p$ je dotyčnica	$1$ spoločný bod
$\|S, p\| > r$	priamka $p$ je nesečnica	žiadny spoločný bod

|SM| < r

Poloha: bod $M$ je vo vnútri kružnice
Počet spoločných bodov alebo dotyčníc: z $M$ nevedie žiadna dotyčnica

|SM| = r

Poloha: bod $M$ leží na kružnici
Počet spoločných bodov alebo dotyčníc: z $M$ vedie jedna dotyčnica

|SM| > r

Poloha: bod $M$ je mimo kružnice
Počet spoločných bodov alebo dotyčníc: z $M$ vedú dve dotyčnice

|S, p| < r

Poloha: priamka $p$ je sečnica
Počet spoločných bodov alebo dotyčníc: $2$ spoločné body

|S, p| = r

Poloha: priamka $p$ je dotyčnica
Počet spoločných bodov alebo dotyčníc: $1$ spoločný bod

|S, p| > r

Poloha: priamka $p$ je nesečnica
Počet spoločných bodov alebo dotyčníc: žiadny spoločný bod

Spoločné body kružnice a priamky nájdeš riešením sústavy ich rovníc: z rovnice priamky vyjadríš jednu premennú (alebo použiješ parametrické vyjadrenie) a dosadíš do rovnice kružnice. Vznikne kvadratická rovnica a počet jej riešení je počet spoločných bodov.

Vzájomná poloha dvoch kružníc,

d = |S_1 S_2|

Vzťah	Poloha kružníc	Spoločné body
$d > r_1 + r_2$	ležia mimo seba	žiadny
$d = r_1 + r_2$	dotýkajú sa zvonka	$1$
$\|r_1 - r_2\| < d < r_1 + r_2$	pretínajú sa	$2$
$d = \|r_1 - r_2\|$ , $d > 0$	dotýkajú sa zvnútra	$1$
$d < \|r_1 - r_2\|$	jedna je vo vnútri druhej	žiadny

d > r_1 + r_2

Poloha kružníc: ležia mimo seba
Spoločné body: žiadny

d = r_1 + r_2

Poloha kružníc: dotýkajú sa zvonka
Spoločné body: $1$

|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2

Poloha kružníc: pretínajú sa
Spoločné body: $2$

d = |r_1 - r_2|

d > 0

Poloha kružníc: dotýkajú sa zvnútra
Spoločné body: $1$

d < |r_1 - r_2|

Poloha kružníc: jedna je vo vnútri druhej
Spoločné body: žiadny

Ak $d = 0$ a $r_1 \neq r_2$ , kružnice sú sústredné. Spoločné body dvoch pretínajúcich sa kružníc nájdeš tak, že ich rovnice od seba odčítaš. Vznikne rovnica priamky, ktorú dosadíš do jednej z kružníc.

Časť 7prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Stred a polomer kružnice

Dokáž, že rovnica $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 21 = 0$ je rovnicou kružnice, a urči jej stred a polomer.

Ak je to kružnica $k(S; r)$ , rovnica sa dá upraviť na stredový tvar $(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2$ s kladným číslom na pravej strane. Členy s $x$ a s $y$ dáš k sebe a číslo presunieš na druhú stranu:
$\displaystyle x^2 + 6x + y^2 - 8y = -21$
Členy s $x$ aj s $y$ doplníš na štvorec. Čísla $9$ a $16$ , ktoré pripočítaš na ľavej strane, pripočítaš aj na pravej:
$\displaystyle x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = -21 + 9 + 16$
$\displaystyle (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$
Na pravej strane vyšlo kladné číslo $4 = 2^2$ , takže rovnica naozaj opisuje kružnicu. Z tvaru $(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2$ prečítaš $m = -3$ , $n = 4$ a $r = \sqrt{4} = 2$ .

Výsledok: Je to kružnica so stredom $S[-3; 4]$ a polomerom $r = 2$ .

Riešený príklad

Kružnica cez tri body

Napíš rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi $A[7; 3]$ , $B[-2; 6]$ a $C[5; -1]$ .

Ak hľadaná kružnica existuje, má rovnicu vo všeobecnom tvare s neznámymi koeficientmi $M$ , $N$ , $L$ :
$\displaystyle x^2 + y^2 + Mx + Ny + L = 0$
Bod $A$ leží na kružnici, takže jeho súradnice spĺňajú rovnicu: $7^2 + 3^2 + 7M + 3N + L = 0$ . Rovnako dosadíš body $B$ a $C$ . Dostaneš sústavu troch rovníc s tromi neznámymi:
$\displaystyle \begin{aligned} 58 + 7M + 3N + L &= 0 \\ 40 - 2M + 6N + L &= 0 \\ 26 + 5M - N + L &= 0 \end{aligned}$
$\displaystyle 58 + 7M + 3N + L = 0$
$\displaystyle 40 - 2M + 6N + L = 0$
$\displaystyle 26 + 5M - N + L = 0$
Odčítaním druhej rovnice od prvej zmizne $L$ : $18 + 9M - 3N = 0$ , teda $N = 3M + 6$ . Odčítaním tretej rovnice od prvej: $32 + 2M + 4N = 0$ , teda $M + 2N = -16$ .
Po dosadení $N = 3M + 6$ vyjde $7M + 12 = -16$ , takže $M = -4$ a $N = -6$ . Z tretej rovnice $26 - 20 + 6 + L = 0$ , teda $L = -12$ .
$\displaystyle x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$
Skúška pre bod $A[7; 3]$ : $(7 - 2)^2 + (3 - 3)^2 = 25$ . Rovnako vyjde aj pre $B$ a $C$ .

Výsledok: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$ , stred je $S[2; 3]$ a polomer $r = \sqrt{25} = 5$ .

Riešený príklad

Priamka cez dva body a vzdialenosť bodu od nej

Urči parametrické vyjadrenie, všeobecnú a smernicovú rovnicu priamky $p = AB$ , kde $A[1; 3]$ a $B[3; 7]$ . Potom vypočítaj vzdialenosť bodu $M[4; 0]$ od priamky $p$ .

Smerový vektor je $\vec{u} = B - A = (2; 4)$ . S bodom $A$ dostaneš parametrické vyjadrenie:
$\displaystyle p:\ x = 1 + 2t, \quad \allowbreak y = 3 + 4t, \qquad \allowbreak t \in \mathbb{R}$
Normálový vektor je $(4; -2)$ , stačí jeho polovica $\vec{n} = (2; -1)$ . Rovnica je teda $2x - y + c = 0$ . Dosadíš bod $A$ : $2 \cdot 1 - 3 + c = 0$ , takže $c = 1$ .
$\displaystyle p:\ 2x - y + 1 = 0 \;\Rightarrow\; y = 2x + 1$
Skúška pre bod $B[3; 7]$ : $2 \cdot 3 - 7 + 1 = 0$ . Smernica priamky je $k = 2$ .
$\displaystyle |M, p| = \frac{|2 \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5}$

Výsledok: $x = 1 + 2t$ , $y = 3 + 4t$ ; $2x - y + 1 = 0$ ; $y = 2x + 1$ ; vzdialenosť $|M, p| = \frac{9\sqrt{5}}{5} \doteq 4{,}02$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 20

Nájdi rovnicu priamky

p

, ktorá prechádza bodom

M[3; 1]

a je:

a)
rovnobežná s osou $x$ ,
b)
rovnobežná s osou $y$ ,
c)
rovnobežná s priamkou $q$ určenou rovnicou $x + 3y - 1 = 0$ ,
d)
kolmá na priamku $r$ určenú rovnicou $2x + 3y - 12 = 0$ .

Rovnobežná priamka má ten istý normálový vektor. Kolmá priamka má normálový vektor rovný smerovému vektoru danej priamky. Číslo

c

dopočítaš dosadením bodu

M

a) $y = 1$
b) $x = 3$
c) $x + 3y - 6 = 0$
d) $3x - 2y - 7 = 0$

Priamka

p

je určená parametrickými rovnicami

x = 3 - t

y = 2 + 2t

t \in \mathbb{R}

. Nájdi priesečníky priamky

p

a)
osou $x$ ,
b)
osou $y$ ,
c)
priamkou $q$ určenou rovnicou $4x - 2y = 0$ .

Na osi

x

y = 0

, na osi

y

x = 0

. Vypočítaj

t

a dosaď ho späť do oboch rovníc. Pri priamke

q

dosaď

x

y

z parametrických rovníc do jej rovnice.

a) $[4; 0]$
b) $[0; 8]$
c) $[2; 4]$

Urči vzájomnú polohu priamok

p

q

daných rovnicami

p: x = 7 + 3t

y = 2 - t

t \in \mathbb{R}

q: 2x - 3y + 1 = 0

Smerový vektor priamky

p

(3; -1)

, priamky

q

(3; 2)

. Nie sú násobkami, takže priamky sú rôznobežné. Priesečník nájdeš dosadením

x

y

p

do rovnice

q

Priamky sú rôznobežné, priesečník je

P[4; 3]

Zisti vzdialenosť bodu

A[4; 3]

od priamky

p

určenej rovnicou

4x - 3y + 18 = 0

|A, p| = 5

Sú dané súradnice troch bodov

A[2; 2]

B[0; -4]

C[6; 0]

. Vypočítaj súradnice ťažiska

T

trojuholníka

ABC

a dĺžky jeho ťažníc.

Ťažnica

t_a

spája vrchol

A

so stredom strany

BC

, ten je

[3; -2]

. Podobne

t_b

t_c

T\left[\frac{8}{3}; -\frac{2}{3}\right]

t_a = \sqrt{17}

t_b = \sqrt{41}

t_c = \sqrt{26}

Nájdi súradnice stredu

S

a polomer

r

kružnice

k

určenej rovnicou

x^2 - 2x + 4y + y^2 + 1 = 0

a urči jej priesečníky s:

a)
osou $x$ ,
b)
osou $y$ .

Doplň na štvorce:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4

. Pre priesečník s osou

x

dosaď

y = 0

, pre os

y

dosaď

x = 0

S[1; -2]

r = 2

a) $[1; 0]$ , os $x$ je dotyčnica kružnice
b) $[0; -2 + \sqrt{3}] \doteq [0; -0{,}27]$ a $[0; -2 - \sqrt{3}] \doteq [0; -3{,}73]$

Vypočítaj uhol priamok

p

q

, ak je dané

p: 5x + 3y - 7 = 0

q: 4x - y + 5 = 0

Použi normálové vektory

(5; 3)

(4; -1)

. Vyjde

\cos\alpha = \frac{17}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{17}}

\alpha = 45^\circ

Zisti všeobecnú rovnicu priamky

p

, ak poznáš bod

A[4; 1]

, ktorý leží na

p

, a priamku

q: y = 3x + 2

, ktorá je kolmá na

p

Pre kolmé priamky platí

k_1 \cdot k_2 = -1

, takže smernica priamky

p

-\frac{1}{3}

. Použi rovnicu

y - y_0 = k(x - x_0)

x + 3y - 7 = 0

Urči vzájomnú polohu priamok

p: 2x - y + 1 = 0

q: x + 2y - 7 = 0

Vypočítaj skalárny súčin normálových vektorov

(2; -1)

(1; 2)

. Priesečník je riešenie sústavy oboch rovníc.

Priamky sú rôznobežné a navzájom kolmé, priesečník je

P[1; 3]

10.

Napíš rovnicu kružnice, ktorá má stred v bode

S[-2; 4]

a prechádza bodom

A[1; 5]

Polomer je vzdialenosť

|SA|

(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 10

11.

Urči stred a polomer kružnice, ktorá je daná rovnicou

x^2 + y^2 - 10x + 10y - 20 = 0

S[5; -5]

r = \sqrt{70}

12.

Napíš rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi

A[-3; 2]

B[-1; 4]

C[3; 0]

Postupuj ako v riešenom príklade: dosaď všetky tri body do rovnice

x^2 + y^2 + Mx + Ny + L = 0

a vyrieš sústavu. Vyjde

M = 0

N = -2

L = -9

x^2 + (y - 1)^2 = 10

, teda stred

S[0; 1]

a polomer

r = \sqrt{10}

13.

Napíš rovnicu kružnice so stredom

S[-5; 4]

, ktorej sa dotýka priamka

p: 3x - 4y + 6 = 0

Polomer je vzdialenosť stredu

S

od dotyčnice

p

(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 25

14.

Rozhodni, či je možné zostrojiť dotyčnicu ku kružnici

x^2 + y^2 + 4x - 2y + 4 = 0

z bodu

M[3; 4]

Uprav rovnicu na stredový tvar a porovnaj vzdialenosť

|SM|

s polomerom.

Áno. Kružnica má stred

S[-2; 1]

a polomer

r = 1

a bod

M

leží mimo nej, lebo

|SM| = \sqrt{34} > 1

15.

Nájdi rovnicu dotyčnice kružnice so stredom v bode

S[4; 2]

a polomerom

r = 2

cm, ktorá je rovnobežná s priamkou

x - y + 3 = 0

Rovnobežná priamka má rovnicu

x - y + c = 0

. Číslo

c

vypočítaš z podmienky, že vzdialenosť stredu

S

od nej je

r = 2

\frac{|2 + c|}{\sqrt{2}} = 2

Úlohe vyhovujú dve dotyčnice:

x - y - 2 + 2\sqrt{2} = 0

x - y - 2 - 2\sqrt{2} = 0

16.

Je daná kružnica so stredom

S[1; 2]

a polomerom

r = 5

. Ďalej sú dané body

A[5; 9]

B[2; 0]

. Aká je vzájomná poloha kružnice a

a)
priamky $AB$ ,
b)
úsečky $AB$ ,
c)
polpriamky $AB$ ,
d)
polpriamky $SA$ ?

Priamku

AB

zapíš parametricky, napríklad

x = 2 + t

y = 3t

(pre

t = 0

dostaneš bod

B

, pre

t = 3

bod

A

), a dosaď do rovnice

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25

. Vyjde

t = 2

alebo

t = -1

. Pri úsečke a polpriamke skontroluj, ktoré hodnoty

t

do nich patria. Stred

S

je vo vnútri kružnice, preto polpriamka

SA

pretne kružnicu práve raz.

a)priamka $AB$ je sečnica, spoločné body sú $P_1[4; 6]$ a $P_2[1; -3]$
b)jeden spoločný bod $P[4; 6]$
c)dva spoločné body $P_1[4; 6]$ a $P_2[1; -3]$
d)jeden spoločný bod $P\left[1 + \frac{4\sqrt{65}}{13}; 2 + \frac{7\sqrt{65}}{13}\right] \doteq [3{,}48; 6{,}34]$

17.

Vypočítaj uhol, ktorý zvierajú priamky

p

q

, ak:

a)
$p: x - y + 16 = 0$ , $q: 2y - 5 = 0$ ,
b)
$p: x = 2t$ , $y = 4 - t$ , $t \in \mathbb{R}$ a $q: 2x - y + 3 = 0$ .

a) $45^\circ$
b) $90^\circ$

18.

Vypočítaj vzdialenosť bodu

A

od priamky

p

, ak:

a)
$A[1; -3]$ , $p: 2x - y - 5 = 0$ ,
b)
$A[1; -3]$ , $p: y = x$ .

a) $0$ , bod $A$ leží na priamke $p$
b) $2\sqrt{2}$

19.

Zostroj dotyčnicu ku kružnici

(x - 3)^2 + (y + 12)^2 = 100

a urči jej rovnicu:

a)
z bodu $L[9; -4]$ ,
b)
z bodu $M[5; 2]$ .

Najprv zisti, či bod leží na kružnici so stredom

S[3; -12]

a polomerom

r = 10

. Pre bod na kružnici použi rovnicu dotyčnice v bode dotyku. Pre bod mimo kružnice hľadaj priamku

y - 2 = k(x - 5)

, ktorej vzdialenosť od stredu

S

10

a)bod $L$ leží na kružnici, dotyčnica je jedna: $3x + 4y - 11 = 0$
b)bod $M$ leží mimo kružnice, dotyčnice sú dve: $3x - 4y - 7 = 0$ s bodom dotyku $[-3; -4]$ a $4x + 3y - 26 = 0$ s bodom dotyku $[11; -6]$

20.

Vypočítaj vzájomnú polohu kružníc

k_1

so stredom

S_1[2; 9]

a polomerom

r_1 = \sqrt{10}

k_2

so stredom

S_2[0; 10]

a polomerom

r_2 = 5

Porovnaj vzdialenosť stredov

|S_1 S_2|

so súčtom a s rozdielom polomerov. Spoločné body nájdeš tak, že rovnice kružníc od seba odčítaš (vyjde

y = 2x

) a dosadíš do jednej z nich.

Kružnice sa pretínajú, majú dva spoločné body

P_1[3; 6]

P_2[5; 10]

. Platí

|r_2 - r_1| < |S_1 S_2| = \sqrt{5} < r_1 + r_2

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.