Okruh 18 · Planimetria

Štvoruholníky a mnohouholníky

Mnohouholníky a štvoruholníky: ich uhly, uhlopriečky, vlastnosti a vzorce pre obvod a obsah.

asi 75 min · 8 častí · 22 úloh

0 z 8 častí · 0 z 22 úloh

V skratke

Súčet vnútorných uhlov $n$ -uholníka je $(n-2)\cdot 180^\circ$ a počet jeho uhlopriečok je $\frac{n(n-3)}{2}$ .
Rovnobežník má protiľahlé strany rovnobežné a rovnako dlhé, uhlopriečky sa rozpoľujú a $S = a \cdot v_a = ab\sin\alpha$ .
Kosoštvorec má kolmé uhlopriečky: $S = \frac{ef}{2}$ a $a^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2$ .
Obdĺžnik a štvorec majú rovnako dlhé uhlopriečky: $e = \sqrt{a^2 + b^2}$ , pri štvorci $e = a\sqrt{2}$ .
Obsah lichobežníka je $S = \frac{(a + c)\cdot v}{2}$ , uhly pri tom istom ramene majú súčet $180^\circ$ .
Keď poznáš obvod a uhlopriečku obdĺžnika, obsah dostaneš zo vzťahu $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ .

Časť 1prečítaná

Mnohouholník a jeho časti

Vrchol: Vrchol mnohouholníka je bod, v ktorom sa pretínajú priamky určené dvoma susednými stranami mnohouholníka.
Strana: Strana je úsečka určená dvoma susednými vrcholmi mnohouholníka. Stranou voláme aj jej dĺžku, teda vzdialenosť týchto dvoch vrcholov.
Uhlopriečka: Uhlopriečka je úsečka určená dvoma vrcholmi mnohouholníka, ktoré nesusedia.
Uhol: Uhol $AVB$ je prienik dvoch polrovín: polroviny s hraničnou priamkou $VA$ , v ktorej leží bod $B$ , a polroviny s hraničnou priamkou $VB$ , v ktorej leží bod $A$ . Bod $V$ je vrchol uhla, polpriamky $VA$ a $VB$ sú ramená uhla.
Konvexný mnohouholník: Mnohouholník $M$ je konvexný, ak s každými dvoma svojimi bodmi obsahuje aj celú úsečku medzi nimi: $\forall A, B \in M:\ AB \subset M$ . Všetky vnútorné uhly konvexného mnohouholníka sú menšie ako $180^\circ$ .

Počet uhlopriečok

n

-uholníka

\displaystyle u = \frac{n\,(n-3)}{2}

Z každého z $n$ vrcholov vychádza $n - 3$ uhlopriečok (nie do seba a nie do dvoch susedných vrcholov). Každú uhlopriečku tak započítaš dvakrát, preto delíš dvoma.

Časť 2prečítaná

Vnútorné uhly a pravidelný mnohouholník

Súčet vnútorných uhlov

n

-uholníka

\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = (n-2)\cdot 180^\circ

Platí pre každý konvexný $n$ -uholník. Uhlopriečky z jedného vrcholu ho rozdelia na $n - 2$ trojuholníkov a v každom z nich je súčet uhlov $180^\circ$ .

Pravidelný mnohouholník: Pravidelný $n$ -uholník má $n$ vrcholov a $n$ rovnako dlhých strán a všetky jeho vnútorné uhly sú rovnako veľké.

Vnútorný uhol pravidelného

n

-uholníka

\displaystyle \alpha = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = \frac{180^\circ}{n}\,(n-2) = 180^\circ\left(1 - \frac{2}{n}\right)

Časť 3prečítaná

Rovnobežník

Rovnobežník: Rovnobežník $ABCD$ je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné: $AB \parallel CD$ a $BC \parallel AD$ .

Čo platí v rovnobežníku

Uhlopriečky označujeme $e = |AC|$ a $f = |BD|$ .
Protiľahlé strany sú rovnako dlhé: $a = |AB| = |CD| = c$ a $b = |BC| = |AD| = d$ .
Protiľahlé uhly sú rovnako veľké: $\alpha = \gamma$ a $\beta = \delta$ . Susedné uhly majú súčet $180^\circ$ .
Uhlopriečky sa navzájom rozpoľujú, pretínajú sa v strede $S$ : $|AS| = |SC| = \frac{e}{2}$ a $|BS| = |SD| = \frac{f}{2}$ .
Rovnobežník je stredovo súmerný podľa stredu $S$ .

Obvod rovnobežníka

\displaystyle o = a + b + c + d = 2\,(a + b)

Obsah rovnobežníka odvodíš tak, že z neho odrežeš pravouhlý trojuholník a priložíš ho na druhú stranu. Vznikne obdĺžnik s rovnakým obsahom.

Rovnobežník ABCD so stranou a = |AB|, stranou b = |AD| = |BC| a výškou na stranu a. A' je päta kolmice z bodu D a B' päta kolmice z bodu C na priamku AB. Trojuholníky AA'D a BB'C sú zhodné, uhol ω pri vrcholoch D a C je uhol medzi ramenom a výškou.

Odvodenie obsahu

Body $A'$ a $B'$ sú päty kolmíc z bodov $D$ a $C$ na priamku $AB$ , takže $|DA'| = |CB'| = v_a$ .
Trojuholníky $AA'D$ a $BB'C$ sú zhodné podľa vety $usu$ : majú rovnako dlhé strany $|AD| = |BC|$ a pri nich rovnaké uhly $\alpha$ a $\omega = 90^\circ - \alpha$ . Preto $|AA'| = |BB'|$ .
Keď trojuholník $AA'D$ odrežeš a priložíš na miesto trojuholníka $BB'C$ , dostaneš obdĺžnik $A'B'CD$ s rovnakým obsahom. Jeho strana je $|A'B'| = |AB| = a$ .

Obsah rovnobežníka

\displaystyle S_{ABCD} = S_{A'BCD} + S_{AA'D} = S_{A'BCD} + S_{BB'C} = S_{A'B'CD} = |A'B'| \cdot v_a = a \cdot v_a

Obsah pomocou uhla

\displaystyle \sin\alpha = \frac{v_a}{b} \;\Rightarrow\; S = a \cdot b \cdot \sin\alpha

Výšku $v_a$ vyjadríš z pravouhlého trojuholníka $AA'D$ s preponou $|AD| = d = b$ .

Časť 4prečítaná

Kosoštvorec

Kosoštvorec: Kosoštvorec je špeciálny rovnobežník, ktorý má všetky strany rovnako dlhé: $a = b = c = d$ .

Okrem vlastností rovnobežníka platí

Uhlopriečky sú na seba kolmé: $AC \perp BD$ .
Uhlopriečka $AC$ je osou uhlov $DAB$ a $BCD$ , uhlopriečka $BD$ je osou uhlov $ABC$ a $CDA$ .
Kosoštvorec je osovo súmerný podľa oboch uhlopriečok $AC$ a $BD$ .

Obsah kosoštvorca

\displaystyle S = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2}

Uhlopriečky rozdelia kosoštvorec na štyri zhodné pravouhlé trojuholníky s odvesnami $\frac{e}{2}$ a $\frac{f}{2}$ .

Obvod kosoštvorca

\displaystyle o = 4a

Strana z uhlopriečok

\displaystyle a^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2

Pytagorova veta v jednom zo štyroch pravouhlých trojuholníkov.

Časť 5prečítaná

Obdĺžnik a štvorec

Obdĺžnik: Obdĺžnik je špeciálny rovnobežník, ktorý má všetky uhly pravé: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ$ .

Obdĺžnik ABCD so stranami a a b, uhlopriečkami AC a BD so stredom S a dvoma čiarkovanými osami súmernosti: zvislá os prechádza stredmi strán a a c, vodorovná os stredmi strán b a d.

Okrem vlastností rovnobežníka platí

Obdĺžnik je osovo súmerný podľa osí strán $o_{ac}$ a $o_{bd}$ . Os $o_{ac}$ je spoločná os strán $a$ a $c$ , os $o_{bd}$ je spoločná os strán $b$ a $d$ .
Uhlopriečky sú rovnako dlhé: $|AC| = e = |BD| = f$ .

Obsah a obvod obdĺžnika

\displaystyle S = a \cdot b, \qquad \allowbreak o = 2\,(a + b)

Uhlopriečka obdĺžnika

\displaystyle e = f = \sqrt{a^2 + b^2}

Pytagorova veta v pravouhlom trojuholníku $ABC$ .

Prečo je obsah obdĺžnika

a \cdot b

Rozdeľ obdĺžnik na štvorce so stranou $x = \mathrm{NSD}(a, b)$ , teda s najväčším spoločným deliteľom dĺžok strán (dôkaz predpokladá, že $a$ a $b$ majú spoločnú mieru, napríklad sú to celé čísla).
Pozdĺž strany $a$ sa zmestí $\frac{a}{x}$ štvorcov a pozdĺž strany $b$ ich je $\frac{b}{x}$ . Spolu je to $n = \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{x} = \frac{ab}{x^2}$ štvorcov.
Jeden štvorec má obsah $S_1 = x^2$ .
Obsah obdĺžnika je $S = n \cdot S_1 = \frac{ab}{x^2} \cdot x^2 = a \cdot b$ .

Štvorec: Štvorec je špeciálny rovnobežník, ktorý má všetky uhly pravé a všetky strany rovnako dlhé: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ$ a $a = b = c = d$ . Je teda obdĺžnikom aj kosoštvorcom zároveň.

Štvorec ABCD so stranou a, uhlopriečkami AC a BD so stredom S a dvoma čiarkovanými osami strán, zvislou a vodorovnou.

Okrem vlastností rovnobežníka platí

Uhlopriečky sú na seba kolmé a rovnako dlhé: $AC \perp BD$ a $|AC| = e = |BD| = f$ .
Uhlopriečka $AC$ je osou uhlov $DAB$ a $BCD$ , uhlopriečka $BD$ je osou uhlov $ABC$ a $CDA$ .
Štvorec má štyri osi súmernosti: osi strán $o_{ac}$ a $o_{bd}$ a priamky $AC$ a $BD$ .

Obsah a obvod štvorca

\displaystyle S = a^2, \qquad \allowbreak o = 4a

Obsah štvorca $S = a^2$ je definovaný. Z neho sa odvodzujú obsahy ostatných útvarov.

Uhlopriečka štvorca

\displaystyle e = f = a\sqrt{2}

Časť 6prečítaná

Lichobežník

Lichobežník: Lichobežník je štvoruholník, ktorý má jednu dvojicu rovnobežných strán a jednu dvojicu rôznobežných strán.

Pomenovanie a vlastnosti

Základne sú rovnobežné strany $AB$ a $CD$ , teda $AB \parallel CD$ .
Ramená sú rôznobežné strany $BC$ a $AD$ .
Výška $v$ je vzdialenosť rovnobežných priamok $AB$ a $CD$ .
Uhlopriečky sú $e = |AC|$ a $f = |BD|$ .
Súčet vnútorných uhlov je $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$ .
Uhly pri tom istom ramene majú súčet $180^\circ$ : $\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ$ .

Obvod lichobežníka

\displaystyle o = a + b + c + d

Rovnoramenný lichobežník: Rovnoramenný lichobežník je lichobežník, ktorý je osovo súmerný podľa spoločnej osi oboch základní.

V rovnoramennom lichobežníku navyše platí

Ramená sú rovnako dlhé: $b = d$ .
Uhlopriečky sú rovnako dlhé: $e = f$ .
Uhly pri tej istej základni sú rovnako veľké: $\alpha = \beta$ a $\gamma = \delta$ .

Obsah lichobežníka odvodíš rozdelením na rovnobežník a trojuholník. Na základni $AB$ zvoľ bod $P$ tak, aby $|AP| = c$ . Potom $PC \parallel AD$ a $APCD$ je rovnobežník so stranou $c$ a výškou $v$ . Zvyšok je trojuholník $PBC$ so stranou $|PB| = a - c$ a tou istou výškou $v$ .

Lichobežník ABCD rozdelený úsečkou PC na rovnobežník APCD so stranami c a d a trojuholník PBC so základňou PB dĺžky a − c a výškou v z vrcholu C.

Odvodenie

\displaystyle S_{ABCD} = S_{APCD} + S_{PBC} = c \cdot v + \frac{1}{2}(a - c)\cdot v = c \cdot v + \frac{1}{2}\,a \cdot v - \frac{1}{2}\,c \cdot v = \frac{1}{2}\,a \cdot v + \frac{1}{2}\,c \cdot v

Obsah lichobežníka

\displaystyle S = \frac{(a + c)\cdot v}{2}

Časť 7prečítaná

Prehľad štvoruholníkov

Útvar	Strany a uhly	Uhlopriečky	Obsah a obvod
rovnobežník	protiľahlé strany rovnobežné a rovnako dlhé, $\alpha = \gamma$ , $\beta = \delta$	rozpoľujú sa	$S = a \cdot v_a = ab\sin\alpha$ , $o = 2(a + b)$
kosoštvorec	všetky strany rovnako dlhé, protiľahlé uhly rovnaké	kolmé, rozpoľujú sa, sú osami uhlov	$S = \frac{ef}{2}$ , $o = 4a$
obdĺžnik	protiľahlé strany rovnako dlhé, všetky uhly pravé	rovnako dlhé, rozpoľujú sa	$S = ab$ , $o = 2(a + b)$
štvorec	všetky strany rovnako dlhé, všetky uhly pravé	rovnako dlhé, kolmé, rozpoľujú sa, sú osami uhlov	$S = a^2$ , $o = 4a$
lichobežník	práve jedna dvojica rovnobežných strán (základne), $\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ$	v rovnoramennom rovnako dlhé	$S = \frac{(a + c)\,v}{2}$ , $o = a + b + c + d$

rovnobežník

Strany a uhly: protiľahlé strany rovnobežné a rovnako dlhé, $\alpha = \gamma$ , $\beta = \delta$
Uhlopriečky: rozpoľujú sa
Obsah a obvod: $S = a \cdot v_a = ab\sin\alpha$ , $o = 2(a + b)$

kosoštvorec

Strany a uhly: všetky strany rovnako dlhé, protiľahlé uhly rovnaké
Uhlopriečky: kolmé, rozpoľujú sa, sú osami uhlov
Obsah a obvod: $S = \frac{ef}{2}$ , $o = 4a$

obdĺžnik

Strany a uhly: protiľahlé strany rovnako dlhé, všetky uhly pravé
Uhlopriečky: rovnako dlhé, rozpoľujú sa
Obsah a obvod: $S = ab$ , $o = 2(a + b)$

štvorec

Strany a uhly: všetky strany rovnako dlhé, všetky uhly pravé
Uhlopriečky: rovnako dlhé, kolmé, rozpoľujú sa, sú osami uhlov
Obsah a obvod: $S = a^2$ , $o = 4a$

lichobežník

Strany a uhly: práve jedna dvojica rovnobežných strán (základne), $\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ$
Uhlopriečky: v rovnoramennom rovnako dlhé
Obsah a obvod: $S = \frac{(a + c)\,v}{2}$ , $o = a + b + c + d$

Kosoštvorec, obdĺžnik aj štvorec sú špeciálne rovnobežníky, preto pre ne platí všetko, čo pre rovnobežník. Štvorec je zároveň obdĺžnik aj kosoštvorec.

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Pravidelný desaťuholník

Urči veľkosť vnútorného uhla pravidelného desaťuholníka a počet jeho uhlopriečok.

Súčet vnútorných uhlov desaťuholníka je $(10 - 2)\cdot 180^\circ = 1440^\circ$ . Všetky uhly sú rovnako veľké, preto má jeden uhol:
$\displaystyle \alpha = \frac{1440^\circ}{10} = 144^\circ$
Počet uhlopriečok vypočítaš zo vzorca pre $n = 10$ :
$\displaystyle u = \frac{n\,(n-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$

Výsledok: Vnútorný uhol má $144^\circ$ , desaťuholník má $35$ uhlopriečok.

Riešený príklad

Obdĺžnik z obvodu a uhlopriečky

Obdĺžnik má obvod $o = 34$ cm a uhlopriečku $e = 13$ cm. Urči jeho obsah a rozmery.

Z obvodu máš $2(a + b) = 34$ , teda $a + b = 17$ . Z Pytagorovej vety $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$ .
Obsah $S = ab$ vypočítaš aj bez riešenia sústavy, stačí umocniť súčet strán:
$\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \;\Rightarrow\; 289 = 169 + 2ab \;\Rightarrow\; ab = 60$
Strany sú korene kvadratickej rovnice $t^2 - 17t + 60 = 0$ , teda $t_1 = 12$ a $t_2 = 5$ .

Výsledok: $S = 60$ cm $^2$ , obdĺžnik má rozmery $12$ cm a $5$ cm.

Riešený príklad

Rovnoramenný lichobežník

Rovnoramenný lichobežník má základne $a = 10$ cm, $c = 4$ cm a ramená $b = d = 5$ cm. Urči jeho výšku, obsah a uhol $\alpha$ .

Päta výšky z vrcholu $D$ odreže zo základne $a$ úsek dĺžky $\frac{a - c}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$ cm. Vznikne pravouhlý trojuholník s preponou $d = 5$ cm a odvesnou $3$ cm.
$\displaystyle v = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\ \text{cm}$
$\displaystyle S = \frac{(a + c)\cdot v}{2} = \frac{(10 + 4)\cdot 4}{2} = 28\ \text{cm}^2$
Uhol $\alpha$ je v tom istom pravouhlom trojuholníku pri odvesne dĺžky $3$ cm:
$\displaystyle \cos\alpha = \frac{3}{5} \;\Rightarrow\; \alpha \doteq 53{,}13^\circ$

Výsledok: $v = 4$ cm, $S = 28$ cm $^2$ , $\alpha \doteq 53{,}13^\circ$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 22

Šnúra na bielizeň dlhá

3

m je zavesená medzi bodmi

A

B

, ktorých vzdialenosť je

2

m a ktoré sú

2

m vysoko od zeme. Vo vzdialenostiach po jednom metri sú na šnúre pevne prichytené dve závažia. O koľko cm klesne jedno závažie, ak odstrániš druhé závažie?

S dvoma závažiami tvorí šnúra rovnoramenný lichobežník so základňami

2

m a

1

m a ramenami

1

m. S jedným závažím vznikne trojuholník so stranami

1

2

m a

|AB| = 2

m. Porovnaj, ako hlboko je závažie pod priamkou

AB

v oboch prípadoch.

Závažie klesne o

\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \doteq 0{,}102

m, teda asi o

10{,}2

cm.

Dĺžky strán konvexného štvoruholníka sú

|KL| = 20

cm,

|LM| = 21

cm,

|MN| = 22

cm,

|NK| = 23

cm a uhlopriečka

LN

má dĺžku

25

cm. Vypočítaj dĺžku druhej uhlopriečky.

Uhlopriečka

LN

rozdelí štvoruholník na trojuholníky

KLN

LMN

. Kosínusovou vetou vypočítaj uhly

\sphericalangle KLN

\sphericalangle NLM

, ich súčet je uhol

\sphericalangle KLM

. Potom použi kosínusovú vetu v trojuholníku

KLM

|KM| \doteq 34{,}9

Dĺžky strán konvexného štvoruholníka sú

|AB| = 3

cm,

|BC| = 5

cm,

|CD| = 4

cm a

|DA| = 6

cm, uhlopriečka

AC

je osou uhla pri vrchole

A

. Vypočítaj jeho plošný obsah.

Označ

x = |AC|

\varphi

polovicu uhla pri vrchole

A

. Napíš kosínusovú vetu pre trojuholníky

ABC

ACD

. Odčítaním rovníc dostaneš

x\cos\varphi

, potom

x

\sin\varphi

|AC| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

cm,

S = 18

^2

Peter si kreslí len štvoruholníky, ktoré majú dve protiľahlé strany rovnobežné a súčasne druhé dve protiľahlé strany rovnako dlhé. Adam si kreslí len štvoruholníky, ktorým sa dá opísať kružnica a ktoré majú súčasne rovnaké uhlopriečky. Zisti, či platí, že:

a)
každý Adamov štvoruholník je aj Petrov,
b)
každý Petrov štvoruholník je aj Adamov.

Petrove štvoruholníky sú rovnobežníky a rovnoramenné lichobežníky. Adamove sú rovnoramenné lichobežníky a obdĺžniky. Rovnobežníku, ktorý nie je obdĺžnik, sa kružnica opísať nedá.

a)áno
b)nie

Vyrieš obe časti úlohy.

a)
Vypočítaj uhol uhlopriečok $AF$ a $GD$ v pravidelnom osemuholníku $ABCDEFGH$ .
b)
Daný je pravouhlý lichobežník $KLMN$ , v ktorom strana $KN$ s dĺžkou $12$ cm je kolmá na základne. Urči obvod a obsah trojuholníka $LMM'$ , ak $M'$ je kolmý priemet bodu $M$ na základňu $KL$ , $|KL| = 17$ cm a obsah lichobežníka $KLMN$ je $174$ cm $^2$ .

a) Vrcholy ležia na opísanej kružnici a každej strane prislúcha stredový uhol

45^\circ

. Nech

Z

je priesečník uhlopriečok. V trojuholníku

AGZ

sú

\sphericalangle GAF

\sphericalangle AGD

obvodové uhly nad oblúkmi

GF

AD

. b) Z obsahu lichobežníka vypočítaj základňu

MN

, potom

|M'L| = |KL| - |MN|

|MM'| = |KN|

a) $90^\circ$
b) $S = 30$ cm $^2$ , $o = 30$ cm (trojuholník má strany $5$ cm, $12$ cm a $13$ cm)

Daný je obdĺžnik

KLMN

s rozmermi

5

cm a

3

cm. Urči množinu všetkých bodov

X

roviny

KLM

, pre ktoré platí

|\sphericalangle KXM| = |\sphericalangle LXM| = 60^\circ

Nad úsečkou

KM

zostroj množinu bodov, z ktorých vidieť

KM

pod uhlom

60^\circ

(dva kružnicové oblúky), a to isté nad úsečkou

LM

. Hľadané body sú priesečníky týchto oblúkov okrem bodu

M

. Polpriamky

XK

XL

zvierajú s

XM

60^\circ

, takže buď splynú, alebo je

XM

osou uhla

KXL

s veľkosťou

120^\circ

. Druhá možnosť tu riešenie nemá, preto

X

leží na priamke

KL

Množina má jediný bod

X

. Leží na polpriamke

KL

za bodom

L

|LX| = \frac{|LM|}{\sqrt{3}}

, pri

|KL| = 5

cm a

|LM| = 3

cm teda

|LX| = \sqrt{3} \doteq 1{,}73

cm.

Body

K

L

M

N

sú obrazy čísel

4

9

7

12

na číselníku hodín. Dokáž, že úsečky

KL

MN

sú na seba kolmé.

Nech

S

je stred číselníka a

Z

priesečník úsečiek

KL

MN

. Medzi číslami

9

12

je stredový uhol

|\sphericalangle LSN| = 90^\circ

, preto obvodový uhol

|\sphericalangle LKN| = 45^\circ

. Podobne

|\sphericalangle MSK| = 90^\circ

(čísla

4

7

), teda

|\sphericalangle MNK| = 45^\circ

. V trojuholníku

NZK

je potom

|\sphericalangle NZK| = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ

Charakterizuj štvoruholníky: štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec a lichobežník.

Pozri teóriu a prehľad štvoruholníkov. Pri každom uveď, aké má strany, uhly a uhlopriečky, podľa čoho je súmerný a ako vypočítaš jeho obvod a obsah.

V kosoštvorci s obsahom

S = 864

^2

je jedna uhlopriečka o

12

cm kratšia ako druhá. Urči dĺžky uhlopriečok a stranu kosoštvorca.

Zo vzorca

S = \frac{u_1 u_2}{2}

dostaneš rovnicu

u_1\,(u_1 - 12) = 1728

. Stranu vypočítaš z polovíc uhlopriečok Pytagorovou vetou.

u_1 = 48

cm,

u_2 = 36

cm,

a = 30

10.

Obdĺžnik má obvod

o = 46

cm a uhlopriečku

u = 17

cm. Vypočítaj jeho obsah.

Platí

a + b = 23

a^2 + b^2 = 17^2

. Použi

(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

S = 120

^2

(strany majú

15

cm a

8

cm)

11.

Kosoštvorec má uhlopriečky

u_1 = 6

cm a

u_2 = 8

cm. Vypočítaj jeho vnútorné uhly.

Uhlopriečky sú osami uhlov a rozdelia kosoštvorec na pravouhlé trojuholníky s odvesnami

3

cm a

4

cm. Platí

\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{4}

\alpha = \gamma \doteq 73{,}74^\circ

\beta = \delta \doteq 106{,}26^\circ

12.

Pravidelný šesťuholník je vpísaný do kružnice s polomerom

r

a)
Odvoď vzorec pre obvod a obsah pravidelného šesťuholníka (platí $r = a$ ).
b)
Akú dlhú stranu má pravidelný šesťuholník, ktorého obsah je $S = 93{,}42$ cm $^2$ ?

Spojnice stredu s vrcholmi rozdelia šesťuholník na šesť rovnostranných trojuholníkov so stranou

a = r

. Každý z nich má obsah

\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2

a) $o = 6r$ , $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,r^2$
b) $a \doteq 6$ cm

13.

Rovnoramenný lichobežník má dolnú základňu

c = 2{,}9

cm, výšku

v = 7{,}5

cm a uhol

\alpha = 35^\circ

. Vypočítaj jeho obsah a obvod.

Základňa

c

je kratšia základňa (lichobežník je nakreslený hore nohami), uhol

\alpha

je pri dlhšej základni

a

. Z pravouhlého trojuholníka pri ramene platí

\frac{a - c}{2} = \frac{v}{\operatorname{tg}\alpha}

a rameno je

b = \frac{v}{\sin\alpha}

a \doteq 24{,}32

cm,

b \doteq 13{,}08

cm,

S \doteq 102{,}08

^2

o \doteq 53{,}37

cm (so zaokrúhlenými medzivýsledkami vyjde

53{,}38

cm)

14.

Lichobežník

ABCD

má obsah

S = 7{,}2

^2

a základne

|AB| = 1{,}4

cm a

|CD| = 0{,}6

cm. Vypočítaj obsah trojuholníka

ACD

Z obsahu lichobežníka vypočítaj výšku

v

. Trojuholník

ACD

má základňu

CD

a tú istú výšku

v

S_{ACD} = 2{,}16

^2

15.

Výška a rovnobežné strany lichobežníka sú v pomere

v : a : c = 2 : 3 : 5

, jeho obsah je

S = 512

^2

. Vypočítaj výšku a rovnobežné strany.

Označ

v = 2k

a = 3k

c = 5k

a dosaď do vzorca pre obsah lichobežníka. Dostaneš

8k^2 = 512

v = 16

cm,

a = 24

cm,

c = 40

16.

Obdĺžnik má uhlopriečku

u = 34

cm. Ak sa každá jeho strana zväčší o

4

cm, zväčší sa jeho obsah o

200

^2

. Urči rozmery obdĺžnika.

Z rovnice

(a + 4)(b + 4) = ab + 200

dostaneš

a + b = 46

. Spolu s

a^2 + b^2 = 34^2

vypočítaš

ab

a potom strany.

30

cm a

16

17.

Lichobežník má vrchnú základňu

c = 33

cm a výšku

v = 15

cm. Ďalšie tri jeho strany sú rovnaké. Vypočítaj obvod lichobežníka.

Rovnaké ramená znamenajú rovnoramenný lichobežník. Označ

x

dĺžku ostatných troch strán. Z pravouhlého trojuholníka pri ramene platí

x^2 = 15^2 + \left(\frac{33 - x}{2}\right)^2

o = 84

cm (druhá základňa aj ramená majú po

17

cm)

18.

Obvod obdĺžnika je

82

m, dĺžka jeho uhlopriečky je

29

m. Urči rozmery obdĺžnika.

Platí

a + b = 41

a^2 + b^2 = 29^2

20

m a

21

19.

Ktorý

x

-uholník má

54

uhlopriečok?

Rieš rovnicu

\frac{x\,(x - 3)}{2} = 54

dvanásťuholník (

x = 12

)

20.

Na obdĺžnikovej ploche s rozmermi

12

m a

10

m chceme mať obdĺžnikový kvetinový záhon s rozlohou

8

^2

tak, aby jeho okraje boli rovnako vzdialené od okrajov plochy. Vypočítaj rozmery záhona.

Ak je vzdialenosť okrajov

x

, záhon má rozmery

12 - 2x

10 - 2x

. Koreň, pri ktorom by vyšla záporná dĺžka, nevyhovuje.

4

m a

2

m (okraje záhona sú

4

m od okrajov plochy)

21.

Dva mnohouholníky majú spolu

24

strán a

109

uhlopriečok. Koľko strán má každý z nich?

Rieš sústavu

m + n = 24

\frac{m\,(m - 3)}{2} + \frac{n\,(n - 3)}{2} = 109

13

11

strán (trinásťuholník a jedenásťuholník)

22.

Obvod kosoštvorca je

104

cm, obsah

480

^2

. Urči dĺžky uhlopriečok.

Strana je

a = 26

cm. Platí

ef = 960

\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 = 26^2

, teda

e^2 + f^2 = 2704

. Vypočítaj

(e + f)^2

(e - f)^2

e = 20

cm a

f = 48

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.