Okruh 17 · Planimetria

Trojuholník

Trojuholník a jeho prvky: výšky, ťažnice, kružnica opísaná a vpísaná, obsah, Pytagorova, sínusová a kosínusová veta.

asi 100 min · 8 častí · 20 úloh

0 z 8 častí · 0 z 20 úloh

V skratke

Súčet vnútorných uhlov je $180^\circ$ a každá strana je kratšia ako súčet zvyšných dvoch: $a + b > c$ .
Ťažisko delí každú ťažnicu v pomere $2 : 1$ od vrcholu, stredná priečka je polovicou strany, s ktorou je rovnobežná.
Stred opísanej kružnice je priesečník osí strán, $r = \frac{abc}{4S}$ . Stred vpísanej je priesečník osí uhlov, $\rho = \frac{S}{s}$ .
Obsah: $S = \frac{a \cdot v_a}{2} = \frac{1}{2}\,ab\sin\gamma = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , kde $s = \frac{O}{2}$ .
Sínusová veta $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2r$ : strana a dva uhly alebo dve strany a uhol oproti jednej z nich (pozor na dve riešenia).
Kosínusová veta $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ : tri strany alebo dve strany a uhol, ktorý zvierajú.

Časť 1prečítaná

Trojuholník a jeho prvky

Trojuholník: Máš tri rôzne body $A$ , $B$ , $C$ , ktoré neležia na jednej priamke. Trojuholník $ABC$ je prienik troch polrovín $ABC$ , $ACB$ a $BCA$ . Polrovina $ABC$ je polrovina s hraničnou priamkou $AB$ , v ktorej leží bod $C$ , podobne aj ďalšie dve.
Vrchol a strana: Body $A$ , $B$ , $C$ sú vrcholy trojuholníka. Vrchol je priesečník dvoch priamok, na ktorých ležia strany trojuholníka. Úsečky $AB$ , $BC$ a $AC$ sú strany trojuholníka, každá je daná dvoma vrcholmi a jej dĺžka je vzdialenosť týchto vrcholov. Zjednotenie všetkých troch strán je obvod (hranica) trojuholníka.

Označenie

Strana oproti vrcholu $A$ je $a = |BC|$ , oproti vrcholu $B$ je $b = |AC|$ a oproti vrcholu $C$ je $c = |AB|$ .
Vnútorné uhly pri vrcholoch $A$ , $B$ , $C$ označuješ $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .

Trojuholník ABC. Strana a leží oproti vrcholu A, strana b oproti vrcholu B a strana c oproti vrcholu C. Pri vrcholoch A, B, C sú vyznačené vnútorné uhly α, β, γ.

Súčet vnútorných uhlov

\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Vonkajší uhol: Vonkajší uhol pri vrchole $A$ je vedľajší uhol k vnútornému uhlu $\alpha$ , teda $\alpha' = 180^\circ - \alpha$ . Rovná sa súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných dvoch vrcholoch: $\alpha' = \beta + \gamma$ .

Trojuholníková nerovnosť

\displaystyle a + b > c, \qquad \allowbreak a + c > b, \qquad \allowbreak b + c > a

Každá strana je kratšia ako súčet zvyšných dvoch strán. Z troch dĺžok zostrojíš trojuholník práve vtedy, keď platia všetky tri nerovnosti.

Strany a uhly

Oproti dlhšej strane leží väčší uhol a oproti väčšiemu uhlu dlhšia strana.
Oproti zhodným stranám ležia zhodné uhly.

Časť 2prečítaná

Druhy trojuholníkov

Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla

Trojuholník	Vnútorné uhly
ostrouhlý	všetky uhly sú ostré, z intervalu $(0^\circ; 90^\circ)$ , teda $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$
pravouhlý	práve jeden uhol je pravý, má veľkosť $90^\circ = \frac{\pi}{2}$
tupouhlý	práve jeden uhol je tupý, z intervalu $(90^\circ; 180^\circ)$ , teda $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

ostrouhlý

všetky uhly sú ostré, z intervalu

(0^\circ; 90^\circ)

, teda

\left(0; \frac{\pi}{2}\right)

pravouhlý

práve jeden uhol je pravý, má veľkosť

90^\circ = \frac{\pi}{2}

tupouhlý

práve jeden uhol je tupý, z intervalu

(90^\circ; 180^\circ)

, teda

\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)

Prepona a odvesny: V pravouhlom trojuholníku je strana oproti pravému uhlu prepona a zvyšné dve strany sú odvesny. Prepona je najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka.

Podľa dĺžok strán

Trojuholník	Strany
rovnoramenný	dve strany (ramená) majú rovnakú dĺžku, tretia strana je základňa; uhly, ktoré zvierajú ramená so základňou, sú zhodné
rovnostranný	všetky tri strany majú rovnakú dĺžku; je aj rovnouhlý, každý vnútorný uhol má veľkosť $60^\circ = \frac{\pi}{3}$
rôznostranný	každá strana má inú dĺžku

rovnoramenný

dve strany (ramená) majú rovnakú dĺžku, tretia strana je základňa; uhly, ktoré zvierajú ramená so základňou, sú zhodné

rovnostranný

všetky tri strany majú rovnakú dĺžku; je aj rovnouhlý, každý vnútorný uhol má veľkosť

60^\circ = \frac{\pi}{3}

rôznostranný

každá strana má inú dĺžku

Časť 3prečítaná

Výška, ťažnica a stredná priečka

Výška: Výška trojuholníka je úsečka, ktorá spája vrchol s pätou kolmice spustenej z tohto vrcholu na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana. Jej dĺžka je vzdialenosť vrcholu od protiľahlej strany. Výšky na strany $a$ , $b$ , $c$ označuješ $v_a$ , $v_b$ , $v_c$ .
Ortocentrum: Výšky trojuholníka (presnejšie priamky, na ktorých ležia) sa pretínajú v jednom bode $V$ . Tento bod je ortocentrum.

Trojuholník ABC s tromi výškami na strany a, b, c. Každá výška je kolmá na protiľahlú stranu a všetky tri sa pretínajú v ortocentre V.

Ťažnica: Ťažnica je úsečka, ktorá spája stred strany s protiľahlým vrcholom. Stredy strán označuješ $S_a$ , $S_b$ , $S_c$ a ťažnice na tieto strany $t_a$ , $t_b$ , $t_c$ .
Ťažisko: Ťažnice sa pretínajú v jednom bode $T$ , v ťažisku. Ťažisko delí každú ťažnicu v pomere $2 : 1$ : dlhšia časť je medzi vrcholom a ťažiskom, kratšia medzi ťažiskom a stredom strany.

Ťažisko na ťažnici

t_a

\displaystyle |AT| = \frac{2}{3}\,t_a, \qquad \allowbreak |TS_a| = \frac{1}{3}\,t_a

Trojuholník ABC so stredmi všetkých troch strán. Tri ťažnice spájajú tieto stredy s protiľahlými vrcholmi a pretínajú sa v ťažisku T.

Stredná priečka: Stredná priečka je úsečka, ktorá spája stredy dvoch strán trojuholníka. Každý trojuholník má tri stredné priečky.

Platí

Stredná priečka je rovnobežná s treťou stranou trojuholníka.
Dĺžka strednej priečky je polovica dĺžky strany, s ktorou je rovnobežná.

Stredná priečka rovnobežná so stranou

c

\displaystyle S_aS_b \parallel AB, \qquad \allowbreak |S_aS_b| = \frac{c}{2}

Trojuholník ABC so stredmi strán S1 na strane a, S2 na strane b a S3 na strane c. Stredná priečka p1 spája S2 a S1 a je rovnobežná so stranou c, priečka p2 spája S2 a S3 a je rovnobežná so stranou a, priečka p3 spája S1 a S3 a je rovnobežná so stranou b.

Časť 4prečítaná

Kružnica opísaná a vpísaná

Kružnica opísaná: Kružnica opísaná trojuholníku prechádza všetkými tromi vrcholmi. Jej stred $O$ je priesečník osí strán trojuholníka a polomer $r$ je vzdialenosť stredu $O$ od ľubovoľného vrcholu.

Trojuholník ABC a kružnica k, ktorá mu je opísaná. Osi strán prechádzajú stredmi strán a pretínajú sa v strede kružnice O. Polomer r spája stred O s vrcholom A.

Polomer opísanej kružnice

\displaystyle r = \frac{abc}{4S}

$S$ je obsah trojuholníka.

\displaystyle r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}

Tento vzťah vyplýva zo sínusovej vety.

Kružnica vpísaná: Kružnica vpísaná trojuholníku sa dotýka všetkých troch strán. Jej stred je priesečník osí vnútorných uhlov trojuholníka a polomer $\rho$ je dĺžka kolmice zostrojenej zo stredu na ľubovoľnú stranu, teda vzdialenosť stredu od strany.

Trojuholník ABC a kružnica k, ktorá mu je vpísaná. Osi vnútorných uhlov α, β, γ sa pretínajú v strede kružnice O. Polomer (na obrázku r) je kolmica zo stredu O na stranu c.

Polomer vpísanej kružnice

\displaystyle \rho = \frac{S}{s}, \qquad \allowbreak s = \frac{O}{2} = \frac{a + b + c}{2}

$S$ je obsah trojuholníka, $O$ jeho obvod a $s$ polovica obvodu.

Úseky pri dotykových bodoch

Dotykové body vpísanej kružnice rozdelia strany na úseky. Oba úseky pri vrchole $A$ majú dĺžku $s - a$ , pri vrchole $B$ dĺžku $s - b$ a pri vrchole $C$ dĺžku $s - c$ .

Časť 5prečítaná

Obvod a obsah

Obvod

\displaystyle O = a + b + c

Obvod je súčet dĺžok všetkých strán trojuholníka.

Obsah zo strany a výšky

\displaystyle S = \frac{a \cdot v_a}{2} = \frac{b \cdot v_b}{2} = \frac{c \cdot v_c}{2}

Obsah je polovica súčinu dĺžky strany a k nej prislúchajúcej výšky.

Obsah z dvoch strán a uhla medzi nimi

\displaystyle S = \frac{1}{2}\,ab\sin\gamma = \frac{1}{2}\,ac\sin\beta = \frac{1}{2}\,bc\sin\alpha

Herónov vzorec

\displaystyle S = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}, \qquad \allowbreak s = \frac{O}{2}

Použiješ ho, keď poznáš všetky tri strany.

Časť 6prečítaná

Pytagorova veta

Pytagorova veta: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Nad odvesnou a je štvorec s obsahom a², nad odvesnou b štvorec s obsahom b² a nad preponou c štvorec s obsahom c².

Pravý uhol pri vrchole

C

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2

Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín odvesien: $\text{prepona}^2 = \text{odvesna}_1^2 + \text{odvesna}_2^2$ .

Časť 7prečítaná

Sínusová a kosínusová veta

Sínusová veta

\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2r

$r$ je polomer kružnice opísanej trojuholníku.

Sínusovú vetu použiješ, keď poznáš

jednu stranu a dva uhly,
dve strany a uhol oproti jednej z nich.

Kosínusová veta

\displaystyle \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \end{aligned}

\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Kosínusovú vetu použiješ, keď poznáš

všetky tri strany (vypočítaš uhly),
dve strany a uhol, ktorý zvierajú (vypočítaš tretiu stranu).

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Najväčší uhol zo strán

Strany trojuholníka sú v pomere $a : b : c = 2 : 3 : 4$ . Urči jeho najväčší uhol.

Najväčší uhol leží oproti najdlhšej strane, teda je to uhol $\gamma$ . Strany zapíš ako $a = 2k$ , $b = 3k$ , $c = 4k$ , kde $k > 0$ .
Z kosínusovej vety $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ vyjadri $\cos\gamma$ a dosaď:
$\displaystyle \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4k^2 + 9k^2 - 16k^2}{2 \cdot 2k \cdot 3k} = \frac{-3k^2}{12k^2} = -\frac{1}{4}$
Číslo $k$ sa vykrátilo, uhol teda nezávisí od skutočnej dĺžky strán. Kosínus je záporný, preto je $\gamma$ tupý uhol: $\gamma = \arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$ .

Výsledok: $\gamma \doteq 104{,}48^\circ$ , teda asi $104^\circ 29'$

Riešený príklad

Herónov vzorec a polomery kružníc

Trojuholník má strany $a = 13$ cm, $b = 14$ cm a $c = 15$ cm. Vypočítaj jeho obsah, polomer vpísanej kružnice a polomer opísanej kružnice.

Polovica obvodu je $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ cm. Obsah vypočítaš Herónovým vzorcom:
$\displaystyle S = \sqrt{21 \cdot (21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\ \text{cm}^2$
Polomer vpísanej kružnice:
$\displaystyle \rho = \frac{S}{s} = \frac{84}{21} = 4\ \text{cm}$
Polomer opísanej kružnice:
$\displaystyle r = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{cm}$

Výsledok: $S = 84$ cm $^2$ , $\rho = 4$ cm, $r = 8{,}125$ cm

Riešený príklad

Sínusová veta

V trojuholníku $ABC$ je $c = 10$ cm, $\alpha = 40^\circ$ a $\beta = 60^\circ$ . Vypočítaj zvyšný uhol a strany.

Tretí uhol: $\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$ . Poznáš jednu stranu a uhly, preto použi sínusovú vetu $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}$ .
$\displaystyle a = \frac{c \cdot \sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{10 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \doteq 6{,}53\ \text{cm}$
$\displaystyle b = \frac{c \cdot \sin\beta}{\sin\gamma} = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \doteq 8{,}79\ \text{cm}$
Kontrola: oproti najväčšiemu uhlu $\gamma$ leží najdlhšia strana $c$ a oproti najmenšiemu uhlu $\alpha$ najkratšia strana $a$ .

Výsledok: $\gamma = 80^\circ$ , $a \doteq 6{,}53$ cm, $b \doteq 8{,}79$ cm

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 20

Zisti veľkosti všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku, v ktorom

\alpha' = 61^\circ 12'

\gamma = 101^\circ 23'

\alpha'

je vonkajší uhol pri vrchole

A

, preto

\alpha = 180^\circ - \alpha'

. Potom skontroluj, či je súčet

\alpha + \gamma

menší ako

180^\circ

Taký trojuholník neexistuje. Vnútorný uhol by bol

\alpha = 180^\circ - 61^\circ 12' = 118^\circ 48'

\alpha + \gamma = 220^\circ 11' > 180^\circ

, takže na uhol

\beta

nič nezostane.

Narysuj trojuholník, ak poznáš:

a)
$a = 5$ cm, $\beta = 31^\circ$ , $b = 6$ cm
b)
$\alpha = 83^\circ$ , $c = 5$ cm, $\beta = 42^\circ$

a) Narysuj stranu

BC

s dĺžkou

5

cm a pri vrchole

B

uhol

31^\circ

. Vrchol

A

je priesečník ramena tohto uhla s kružnicou

k(C; 6\ \text{cm})

. Daný uhol leží oproti dlhšej strane

b > a

, preto je priesečník jediný a úloha má jedno riešenie (kontrola:

c \doteq 9{,}71

cm). b) Narysuj stranu

AB

s dĺžkou

5

cm, pri vrchole

A

uhol

83^\circ

a pri vrchole

B

uhol

42^\circ

v tej istej polrovine. Vrchol

C

je priesečník ramien,

\gamma = 55^\circ

(kontrola:

a \doteq 6{,}06

cm,

b \doteq 4{,}08

cm).

Vypočítaj obsah a obvod rovnoramenného trojuholníka, ak poznáš dĺžku strednej priečky rovnobežnej so základňou

p_a = 3

cm a dĺžku výšky na ňu kolmej

v_a = 7

cm.

Základňa je dvakrát dlhšia ako stredná priečka,

a = 6

cm. Výška na základňu ju rozdelí na polovice, rameno vypočítaš z Pytagorovej vety:

b = c = \sqrt{3^2 + 7^2}

S = \frac{a \cdot v_a}{2} = 21

^2

O = 6 + 2\sqrt{58} \doteq 21{,}23

Narysuj trojuholník, keď poznáš dĺžku ťažnice

t_b = 6

cm, stranu

c = 4

cm a uhol medzi ťažnicou a stranou

c

\varepsilon = 47^\circ

Narysuj stranu

AB

s dĺžkou

4

cm. Pri vrchole

B

narysuj uhol

47^\circ

a na jeho rameno nanes

|BS_b| = 6

cm, bod

S_b

je stred strany

b

. Vrchol

C

leží na polpriamke

AS_b

za bodom

S_b

a platí

|S_bC| = |AS_b|

. Kontrola:

b \doteq 8{,}78

cm,

a \doteq 9{,}72

cm.

Narysuj trojuholník tak, aby trojuholníky, ktoré vzniknú predelením trojuholníka výškou

v_c

, mali pomer obsahov

2 : 3

, keď

a = 6{,}5

cm a

\beta = 73^\circ

Narysuj stranu

BC

s dĺžkou

6{,}5

cm a pri vrchole

B

uhol

73^\circ

. Z bodu

C

spusti kolmicu na rameno uhla, jej päta

P

je päta výšky

v_c

(

|BP| = a\cos\beta \doteq 1{,}90

cm,

v_c \doteq 6{,}22

cm). Oba menšie trojuholníky majú spoločnú výšku

v_c

, preto sa ich obsahy majú ako úseky

|BP| : |PA|

. Pre pomer

2 : 3

nanes za bod

P

úsek

|PA| = \frac{3}{2}\,|BP| \doteq 2{,}85

cm a dostaneš vrchol

A

(

c \doteq 4{,}75

cm). Ak pomer obsahov vezmeš v opačnom poradí, je

|PA| = \frac{2}{3}\,|BP| \doteq 1{,}27

cm.

Narysuj trojuholník, keď je daný vrchol

C

, ťažisko

T

a stred strany

a

(body si zvoľ ľubovoľne).

Stred strany

a

označ

S_a

. Body

C

T

S_a

nesmú ležať na jednej priamke. Vrchol

B

leží na polpriamke

CS_a

za bodom

S_a

|S_aB| = |CS_a|

. Ťažisko leží na ťažnici

AS_a

a delí ju v pomere

2 : 1

, preto vrchol

A

leží na polpriamke

S_aT

za bodom

T

a platí

|TA| = 2\,|S_aT|

Zisti veľkosti strán trojuholníka, keď vieš, že obvod

O = 176

m a polomer vpísanej kružnice je

\rho = 12

Zo vzťahu

\rho = \frac{S}{s}

, kde

s = \frac{O}{2} = 88

m, vypočítaš obsah. Na tri neznáme strany však máš len dve podmienky (obvod a obsah).

Strany sa jednoznačne určiť nedajú, takých trojuholníkov je nekonečne veľa. Určiť sa dá len obsah

S = \rho \cdot s = 12 \cdot 88 = 1056

^2

. Zadaniu vyhovuje napríklad trojuholník so stranami

44

52

m a

80

m, ale aj rovnoramenný trojuholník so stranami

\doteq 73{,}3

73{,}3

m a

29{,}4

Zisti veľkosti zvyšných uhlov a strán trojuholníka, ak

c = 20

cm,

\alpha = 45^\circ

a = 15

cm.

Zo sínusovej vety

\sin\gamma = \frac{c \sin\alpha}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

. Daný uhol

\alpha

leží oproti kratšej z daných strán (

a < c

), preto vyhovujú oba uhly

\gamma

s týmto sínusom. Potom

\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma

a stranu

b

dopočítaš sínusovou alebo kosínusovou vetou.

Úloha má dve riešenia. Prvé:

\gamma \doteq 70{,}53^\circ

\beta \doteq 64{,}47^\circ

b = 10\sqrt{2} + 5 \doteq 19{,}14

cm. Druhé:

\gamma \doteq 109{,}47^\circ

\beta \doteq 25{,}53^\circ

b = 10\sqrt{2} - 5 \doteq 9{,}14

cm.

Zisti veľkosť uhla

\gamma

, ak strany trojuholníka sú v pomere

a : b : c = 4 : 3 : 6

Strany zapíš ako

4k

3k

6k

a dosaď do kosínusovej vety pre uhol

\gamma

. Číslo

k

sa vykráti.

\cos\gamma = -\frac{11}{24}

\gamma \doteq 117{,}28^\circ

(asi

117^\circ 17'

)

10.

Urči vzdialenosť bodov

A

B

v lichobežníku

ABCD

, ak vieš, že body

C

D

ležiace na rovnobežke s

AB

sú od seba vzdialené

2000

m a uhly na obrázku majú veľkosť

\alpha = 52^\circ 40'

\gamma = 86^\circ 40'

\beta = 42^\circ 1'

\delta = 81^\circ 15'

Lichobežník ABCD so základňami AB (hľadaná dĺžka x) a DC (2000 m) a s uhlopriečkami AC a BD. Pri vrchole D je uhol α medzi stranou DC a uhlopriečkou DB a uhol γ medzi stranou DC a ramenom DA. Pri vrchole C je uhol β medzi stranou CD a uhlopriečkou CA a uhol δ medzi stranou CD a ramenom CB.

V trojuholníku

ADC

poznáš stranu

DC

a uhly

\gamma

\beta

, sínusovou vetou vypočítaš

|AD|

. V trojuholníku

BDC

poznáš

DC

a uhly

\alpha

\delta

, vypočítaš

|BD|

. Nakoniec v trojuholníku

ABD

poznáš

|AD|

|BD|

a uhol medzi nimi

\gamma - \alpha = 34^\circ

, preto použi kosínusovú vetu.

|AD| \doteq 1714{,}9

|BD| \doteq 2744{,}1

|AB| \doteq 1633{,}5

m. Výsledok

1636{,}8

m by vyšiel pre

\gamma = 86^\circ 50'

. Pozor, zadanie samo sebe odporuje: s týmito uhlami nemajú body

A

B

od priamky

DC

rovnakú vzdialenosť (

\doteq 1712

m a

\doteq 2182

m), takže

AB

v skutočnosti nie je rovnobežná s

DC

. Na výpočet

|AB|

rovnobežnosť nepotrebuješ.

11.

Zisti vzdialenosť bodov

X

B

v pravouhlom trojuholníku

ABC

s pravým uhlom pri vrchole

A

, pričom

X \in AB

|AX| = 30

m a

|\sphericalangle XCB| = 15^\circ

Načrtni si obrázok. Okrem pravého uhla pri vrchole

A

nepoznáš žiadnu stranu ani ďalší uhol trojuholníka

ABC

, takže chýba jeden údaj. Ak doplníš

|AC| = 30

m, je trojuholník

AXC

pravouhlý rovnoramenný,

|\sphericalangle ACX| = 45^\circ

, teda

|\sphericalangle ACB| = 60^\circ

|AB| = |AC| \cdot \operatorname{tg} 60^\circ

V tomto znení sa

|XB|

vypočítať nedá. Ak doplníš

|AC| = 30

m, vyjde

|AB| = 30\sqrt{3}

m a

|XB| = 30\,(\sqrt{3} - 1) \doteq 21{,}96

12.

Vypočítaj obsah trojuholníka, keď poznáš uhol, ktorý zvierajú strany

b

c

\alpha = 106^\circ 42'

, obvod trojuholníka

O = 82

cm a vieš, že dĺžky strán sú v pomere

a : b : c = 7 : 5 : 3

Z obvodu a pomeru vyjde

15k = 82

, teda

a = \frac{574}{15}

cm,

b = \frac{82}{3}

cm a

c = \frac{82}{5}

cm. Obsah potom vypočítaš vzorcom

S = \frac{1}{2}\,bc\sin\alpha

. Skontroluj však uhol

\alpha

kosínusovou vetou.

Zadanie si odporuje: pre strany v pomere

7 : 5 : 3

vychádza

\cos\alpha = -\frac{1}{2}

, teda

\alpha = 120^\circ

, a nie

106^\circ 42'

. S daným uhlom dostaneš

S = \frac{1}{2}\,bc\sin\alpha \doteq 214{,}7

^2

, zo samotných strán (Herónov vzorec) vyjde

S = \frac{1681\sqrt{3}}{15} \doteq 194{,}1

^2

13.

Narysuj kružnicu vpísanú trojuholníku s ťažnicou

t_b = 6{,}3

cm, stranou

b = 4

cm a uhlom medzi stranami

b

c

\alpha = 60^\circ

Narysuj stranu

AC

s dĺžkou

4

cm a jej stred

S_b

. Pri vrchole

A

narysuj uhol

60^\circ

. Vrchol

B

je priesečník ramena uhla s kružnicou

k(S_b; 6{,}3\ \text{cm})

. Stred vpísanej kružnice je priesečník osí vnútorných uhlov a polomer je jeho vzdialenosť od ľubovoľnej strany. Kontrola:

c \doteq 7{,}06

cm,

a \doteq 6{,}13

cm,

\rho \doteq 1{,}42

cm.

14.

Narysuj trojuholník

ABC

, keď vieš, že polomer opísanej kružnice je

r = 6

cm a uhol

\beta = 100^\circ

Zo sínusovej vety

b = 2r\sin\beta

. Narysuj kružnicu

k(O; 6\ \text{cm})

a na nej tetivu

AC

s touto dĺžkou, stredový uhol je

|\sphericalangle AOC| = 2 \cdot (180^\circ - 100^\circ) = 160^\circ

. Vrchol

B

potom môže byť ktorýkoľvek bod kratšieho oblúka

AC

okrem bodov

A

C

Trojuholník nie je určený jednoznačne. Z údajov vieš len

b = 2r\sin\beta = 12 \sin 100^\circ \doteq 11{,}82

cm. Vrchol

B

môže ležať kdekoľvek na kratšom oblúku

AC

opísanej kružnice, takže riešení je nekonečne veľa.

15.

Narysuj vpísanú aj opísanú kružnicu trojuholníku z úlohy 8.

Stred opísanej kružnice je priesečník osí strán, stred vpísanej kružnice je priesečník osí vnútorných uhlov. Trojuholník so stranou

20

cm sa na papier nezmestí, rysuj ho zmenšený, napríklad v mierke

1 : 2

. Kontrola pre prvé riešenie úlohy 8 (

b \doteq 19{,}14

cm):

r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \doteq 10{,}61

cm a

\rho = \frac{S}{s} = 5

cm. Pre druhé riešenie (

b \doteq 9{,}14

cm) je polomer

r

rovnaký a

\rho = 10 - 5\sqrt{2} \doteq 2{,}93

cm.

16.

Vyjadri dĺžku telesovej uhlopriečky kocky.

Najprv vypočítaj stenovú uhlopriečku

u_s = a\sqrt{2}

. Telesová uhlopriečka je prepona pravouhlého trojuholníka s odvesnami

a

u_s

, preto

u^2 = a^2 + 2a^2

u = a\sqrt{3}

, kde

a

je dĺžka hrany kocky

17.

Vypočítaj výslednú silu, ak ťaháme teleso s hmotnosťou

50

kg silou

600

N po naklonenej rovine s uhlom

25^\circ

vzhľadom na vodorovnú rovinu. Trenie zanedbaj,

F_g = m \cdot g

g = 9{,}81\ \text{m} \cdot \text{s}^{-2}

Ťažnú silu ber rovnobežne s naklonenou rovinou. Tiaž

F_g = 50 \cdot 9{,}81 = 490{,}5

N rozlož na zložku kolmú na rovinu

F_g\cos 25^\circ

, ktorú vyrovná sila, ktorou tlačí podložka na teleso, a na zložku rovnobežnú s rovinou

F_g \sin 25^\circ \doteq 207{,}3

N, ktorá pôsobí proti ťažnej sile.

F = 600 - 490{,}5 \cdot \sin 25^\circ \doteq 392{,}7

N, pôsobí rovnobežne s naklonenou rovinou smerom hore. Ak sčítaš len ťažnú silu a tiaž kosínusovou vetou (uhol medzi nimi je

115^\circ

), vyjde

\doteq 593{,}16

N. To však nie je výsledná sila, lebo chýba sila, ktorou tlačí podložka.

18.

Vypočítaj plochu jednej steny štvorstena s pravidelnou podstavou, ak jeho hrana má veľkosť

a = 5

cm a výška je

v = 7

cm.

Ide o pravidelný trojboký ihlan s podstavnou hranou

a

a výškou

v

. Päta výšky je v strede podstavy, ktorý je od každej podstavnej hrany vzdialený

\rho = \frac{a\sqrt{3}}{6}

. Výška bočnej steny je

v_s = \sqrt{v^2 + \rho^2}

a bočná stena je trojuholník so stranou

a

a výškou

v_s

Bočná stena:

v_s = \frac{\sqrt{1839}}{6} \doteq 7{,}15

cm,

S = \frac{a \cdot v_s}{2} \doteq 17{,}87

^2

. Podstava má obsah

\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 \doteq 10{,}83

^2

19.

Vypočítaj pomer obsahov trojuholníkov, ak vieš, že dve strany zvierajúce uhol

45^\circ

majú v prvom trojuholníku pomer

2 : 1

a v druhom

3 : 7

Použi vzorec

S = \frac{1}{2}\,ab\sin\gamma

. Strany prvého trojuholníka sú

2k

k

, strany druhého

3m

7m

. Pomer obsahov vyjde

\frac{2k^2}{21m^2}

, teda závisí od

k

m

Pomer sa jednoznačne určiť nedá, lebo pomer strán nehovorí nič o ich skutočnej dĺžke. Ak sú pomerové jednotky v oboch trojuholníkoch rovnaké (

k = m

), je

S_1 : S_2 = 2 : 21

20.

Narysuj trojuholník

ABC

, ak vieš, že polomer vpísanej kružnice je

\rho = 4

cm, dĺžka strany

b = 7

cm a dotykový bod rozdeľuje úsečku

b

v pomere

2 : 3

Dotykový bod

T

rozdelí stranu na úseky

|AT| = 2{,}8

cm a

|CT| = 4{,}2

cm. Postup konštrukcie by bol: strana

AC

, bod

T

, kolmica v bode

T

, na nej stred vpísanej kružnice vo vzdialenosti

4

cm, kružnica a dotyčnice z bodov

A

C

, ich priesečník je vrchol

B

. Pred rysovaním over uhly:

\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{4}{2{,}8}

\operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} = \frac{4}{4{,}2}

Taký trojuholník neexistuje. Vyšlo by

\alpha \doteq 110{,}0^\circ

\gamma \doteq 87{,}2^\circ

, spolu viac ako

180^\circ

, takže sa dotyčnice z bodov

A

C

nad stranou

AC

nepretnú. Trojuholník by existoval len pre

\rho < \sqrt{2{,}8 \cdot 4{,}2} \doteq 3{,}43

cm.

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.