Okruh 16 · Planimetria

Kružnica a kruh

Kružnica, kruh a ich časti: obvod, obsah, oblúk, výsek, odsek, medzikružie a vzájomné polohy kružníc a priamok.

asi 70 min · 7 častí · 18 úloh

0 z 7 častí · 0 z 18 úloh

V skratke

Kružnicu $k(S; r)$ tvoria body vo vzdialenosti presne $r$ od stredu $S$ , kruh $K(S; r)$ body vo vzdialenosti najviac $r$ .
Dĺžka kružnice je $o = 2\pi r$ , obsah kruhu $S = \pi r^2$ .
Oblúk a výsek so stredovým uhlom $\alpha$ sú $\frac{\alpha}{360^\circ}$ z celku: $l = \frac{2\pi r}{360^\circ}\cdot\alpha$ , $S = \frac{\pi r^2}{360^\circ}\cdot\alpha = \frac{l\cdot r}{2}$ .
Obsah odseku je obsah výseku mínus obsah trojuholníka: $S = \frac{\pi r^2}{360^\circ}\cdot\alpha - \frac{1}{2}r^2\sin\alpha$ .
Obsah medzikružia je $S = \pi(r_2^2 - r_1^2)$ , nie $\pi(r_2 - r_1)^2$ .
Pri tetive pomáha pravouhlý trojuholník: $\left(\frac{t}{2}\right)^2 + x^2 = r^2$ , kde $x$ je vzdialenosť stredu od tetivy.
Polohu dvoch kružníc určíš porovnaním strednej vzdialenosti $c$ so súčtom $r_1 + r_2$ a rozdielom $r_1 - r_2$ polomerov.

Časť 1prečítaná

Kružnica a kruh

Kružnica: Kružnica $k$ so stredom $S$ a polomerom $r$ je množina všetkých bodov $X$ v rovine, ktoré majú od pevného bodu $S$ vzdialenosť $|SX| = r$ , kde $r \in \mathbb{R}$ , $r > 0$ . Zapisuješ ju $k(S; r)$ .
Kruh: Kruh $K$ so stredom $S$ a polomerom $r$ je množina všetkých bodov $Y$ v rovine, ktoré majú od pevného bodu $S$ vzdialenosť $|SY| \leq r$ , kde $r \in \mathbb{R}$ , $r > 0$ . Zapisuješ ho $K(S; r)$ .

Kruh so stredom S. Vyznačená je kružnica (hranica kruhu), kruh (celá plocha), polomery SA a SB s dĺžkou r, priemer CD s dĺžkou d, tetiva AB, kružnicový oblúk AB a stredový uhol α s vrcholom v strede S medzi polomermi SA a SB.

Čo všetko na kružnici rozlišuješ

Stred $S$ je pevný bod, od ktorého meriaš vzdialenosť.
Polomer je vzdialenosť $r = |SX|$ stredu od ľubovoľného bodu $X$ kružnice. Polomerom voláme aj úsečku $SX$ .
Tetiva je úsečka, ktorá spája dva rôzne body kružnice.
Priemer je najdlhšia tetiva. Prechádza stredom a má dĺžku $d = 2r$ .
Kružnicový oblúk je časť kružnice medzi dvoma jej bodmi.
Stredový uhol je uhol s vrcholom v strede $S$ , ktorého ramená prechádzajú krajnými bodmi oblúka.

Dĺžka kružnice (obvod kruhu)

\displaystyle o = 2\pi r = \pi d

Obsah kruhu

\displaystyle S = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}

Časť 2prečítaná

Kružnicový oblúk a kruhový výsek

Kruhový výsek: Kruhový výsek je prienik kruhu a uhla, ktorého vrcholom je stred kruhu.

Kruh K so stredom S. Kruhový výsek je vyfarbená časť ohraničená polomermi SA, SB a oblúkom AB s dĺžkou l. Stredový uhol pri vrchole S je α.

Dĺžka kružnicového oblúka

\displaystyle l = \frac{2\pi r}{360^\circ}\cdot \alpha

Uhol $\alpha$ dosádzaš v stupňoch.

Obsah kruhového výseku

\displaystyle S = \frac{\pi r^2}{360^\circ}\cdot \alpha = \frac{l \cdot r}{2}

Časť 3prečítaná

Kruhový odsek a tetiva

Kruhový odsek: Kruhový odsek je prienik kruhu a polroviny, ktorej hraničná priamka má od stredu kruhu vzdialenosť menšiu ako polomer kruhu.

Kruh K so stredom S, tetiva AB a polomery SA, SB so stredovým uhlom α. Kruhový odsek je vyfarbená časť medzi tetivou AB a oblúkom AB.

Obsah kruhového odseku

\displaystyle S = \frac{\pi r^2}{360^\circ}\cdot \alpha - \frac{1}{2}\,r^2 \sin\alpha

Od obsahu kruhového výseku odčítaš obsah trojuholníka $ABS$ , ktorý je $\frac{1}{2}\,r^2\sin\alpha$ .

Tetiva a jej vzdialenosť od stredu

Kolmica zo stredu $S$ na tetivu $AB$ prechádza stredom tetivy, teda tetivu rozpolí.
Ak je $t$ dĺžka tetivy a $x$ vzdialenosť stredu od tetivy, z pravouhlého trojuholníka platí $\left(\frac{t}{2}\right)^2 + x^2 = r^2$ .
Výška menšieho kruhového odseku je $v = r - x$ .

Časť 4prečítaná

Medzikružie

Medzikružie: Uvažuj dve sústredné kružnice so stredom $S$ a polomermi $r_1 < r_2$ . Medzikružie je množina všetkých bodov $X$ v rovine, pre ktoré platí $r_1 \leq |SX| \leq r_2$ .

Obsah medzikružia

\displaystyle S = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi\,(r_2^2 - r_1^2)

Časť 5prečítaná

Vzájomná poloha kružnice a priamky

Vzájomnú polohu kružnice a priamky skúmaš podľa počtu ich spoločných bodov. Môžu mať dva, jeden alebo žiadny spoločný bod.

Sečnica je priamka $p$ , ktorá má s kružnicou $k(S; r)$ dva spoločné body.
Dotyčnica je priamka, ktorá má s kružnicou $k(S; r)$ jediný spoločný bod $T$ . Bod $T$ voláme bod dotyku (dotykový bod). Dotyčnicu zvyčajne označuješ $t$ .
Nesečnica je priamka $p$ , ktorá nemá s kružnicou $k(S; r)$ žiadny spoločný bod.

Ako to rozhodneš podľa vzdialenosti stredu od priamky

Vzdialenosť $\|Sp\|$	Priamka $p$ je	Spoločné body
$\|Sp\| < r$	sečnica	$2$
$\|Sp\| = r$	dotyčnica	$1$
$\|Sp\| > r$	nesečnica	$0$

|Sp| < r

Priamka $p$ je: sečnica
Spoločné body: $2$

|Sp| = r

Priamka $p$ je: dotyčnica
Spoločné body: $1$

|Sp| > r

Priamka $p$ je: nesečnica
Spoločné body: $0$

Časť 6prečítaná

Vzájomná poloha dvoch kružníc

Aj vzájomnú polohu dvoch kružníc $k_1(S_1; r_1)$ a $k_2(S_2; r_2)$ skúmaš podľa počtu ich spoločných bodov.

0 bodov: kružnice nemajú žiadny spoločný bod. Buď $k_2$ leží mimo $k_1$ , alebo $k_2$ leží vo vnútri $k_1$ .
1 bod: kružnice sa dotýkajú, dotyk môže byť vonkajší alebo vnútorný.
2 body $A$ , $B$ : kružnice sa v bodoch $A$ , $B$ pretínajú.
Nekonečne veľa bodov: kružnice splývajú, $k_1 = k_2$ .

Stredná vzdialenosť: Stredná vzdialenosť dvoch kružníc je vzdialenosť ich stredov $S_1$ a $S_2$ , označuješ ju $c = |S_1S_2|$ .
Sústredné kružnice: Kružnice sú sústredné, ak majú spoločný stred, $S_1 = S_2$ .

Prehľadná tabuľka

Poloha kružníc	Stredná vzdialenosť	$k_1 \cap k_2$
ležia mimo seba	$c > r_1 + r_2$	$\emptyset$
vonkajší dotyk	$c = r_1 + r_2$	$\{T\}$
pretínajú sa v dvoch rôznych bodoch	$r_1 - r_2 < c < r_1 + r_2$	$\{A, B\}$
vnútorný dotyk	$c = r_1 - r_2$	$\{T\}$
jedna leží vo vnútri druhej	$c < r_1 - r_2$	$\emptyset$
sústredné kružnice (jedna vo vnútri druhej)	$c = 0$	$\emptyset$

ležia mimo seba

Stredná vzdialenosť: $c > r_1 + r_2$
$k_1 \cap k_2$: $\emptyset$

vonkajší dotyk

Stredná vzdialenosť: $c = r_1 + r_2$
$k_1 \cap k_2$: $\{T\}$

pretínajú sa v dvoch rôznych bodoch

Stredná vzdialenosť: $r_1 - r_2 < c < r_1 + r_2$
$k_1 \cap k_2$: $\{A, B\}$

vnútorný dotyk

Stredná vzdialenosť: $c = r_1 - r_2$
$k_1 \cap k_2$: $\{T\}$

jedna leží vo vnútri druhej

Stredná vzdialenosť: $c < r_1 - r_2$
$k_1 \cap k_2$: $\emptyset$

sústredné kružnice (jedna vo vnútri druhej)

Stredná vzdialenosť: $c = 0$
$k_1 \cap k_2$: $\emptyset$

V tabuľke je $r_1 \geq r_2$ a v posledných troch riadkoch $r_1 > r_2$ . Ak $c = 0$ a $r_1 = r_2$ , kružnice splývajú.

1. Kružnice ležia mimo seba: $c > r_1 + r_2$ .

Kružnice k1 a k2 ležia mimo seba. Úsečka S1S2 dĺžky c je dlhšia ako súčet polomerov r1 a r2.

2. Vonkajší dotyk: $c = r_1 + r_2$ , kružnice majú jediný spoločný bod $T$ .

Kružnice k1 a k2 sa zvonka dotýkajú v bode T. Bod T leží na úsečke S1S2, ktorej dĺžka c je súčet polomerov r1 a r2.

3. Pretínajú sa: $r_1 - r_2 < c < r_1 + r_2$ , spoločné body sú $A$ a $B$ .

Kružnice k1 a k2 sa pretínajú v bodoch A a B. Stredy S1, S2 a bod A tvoria trojuholník so stranami r1, r2 a c.

4. Vnútorný dotyk: $c = r_1 - r_2$ , menšia kružnica sa dotýka väčšej zvnútra v bode $T$ .

Menšia kružnica k2 leží vo vnútri väčšej kružnice k1 a dotýka sa jej v bode T. Stredy S1, S2 a bod T ležia na jednej priamke, c je rozdiel polomerov r1 a r2.

5. Jedna leží vo vnútri druhej: $c < r_1 - r_2$ , kružnice nemajú spoločný bod.

Menšia kružnica k2 so stredom S2 leží celá vo vnútri väčšej kružnice k1 so stredom S1 a nedotýka sa jej.

6. Sústredné kružnice: $c = 0$ , teda $S_1 = S_2$ .

Sústredné kružnice k1 a k2 so spoločným stredom S1 = S2 a polomermi r1 > r2.

Časť 7prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Oblúk a výsek

Kruhový výsek má polomer $r = 6$ cm a stredový uhol $\alpha = 150^\circ$ . Vypočítaj dĺžku jeho oblúka a jeho obsah.

Výsek je $\frac{150^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{12}$ celého kruhu.
$\displaystyle l = \frac{2\pi\cdot 6}{360^\circ}\cdot 150^\circ = 5\pi \doteq 15{,}71\ \text{cm}$
$\displaystyle S = \frac{\pi\cdot 6^2}{360^\circ}\cdot 150^\circ = 15\pi \doteq 47{,}12\ \text{cm}^2$
Kontrola druhým vzorcom: $S = \frac{l\cdot r}{2} = \frac{5\pi\cdot 6}{2} = 15\pi$ .

Výsledok: $l = 5\pi \doteq 15{,}71$ cm, $S = 15\pi \doteq 47{,}12$ cm $^2$

Riešený príklad

Kruhový odsek

Tetiva kružnice s polomerom $10$ cm má dĺžku $10$ cm. Vypočítaj obsah menšieho kruhového odseku, ktorý táto tetiva určuje, a jeho výšku.

Trojuholník $ABS$ má všetky strany dlhé $10$ cm, je rovnostranný. Stredový uhol je preto $\alpha = 60^\circ$ .
$\displaystyle S = \frac{\pi\cdot 10^2}{360^\circ}\cdot 60^\circ - \frac{1}{2}\cdot 10^2\cdot \sin 60^\circ = \frac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3}$
$\displaystyle S \doteq 52{,}36 - 43{,}30 = 9{,}06\ \text{cm}^2$
Vzdialenosť stredu od tetivy vypočítaš z pravouhlého trojuholníka: $x = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3} \doteq 8{,}66$ cm.
Výška odseku je $v = r - x = 10 - 5\sqrt{3} \doteq 1{,}34$ cm.

Výsledok: $S = \frac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3} \doteq 9{,}06$ cm $^2$ , $v = 10 - 5\sqrt{3} \doteq 1{,}34$ cm

Riešený príklad

Poloha dvoch kružníc

Kružnice $k_1$ a $k_2$ majú polomery $r_1 = 5$ cm a $r_2 = 3$ cm. Urči ich vzájomnú polohu, ak je ich stredná vzdialenosť a) $c = 9$ cm, b) $c = 8$ cm, c) $c = 4$ cm, d) $c = 2$ cm, e) $c = 1$ cm.

Najprv si vypočítaj súčet a rozdiel polomerov, s nimi porovnáš $c$ .
$\displaystyle r_1 + r_2 = 8\ \text{cm}, \qquad \allowbreak r_1 - r_2 = 2\ \text{cm}$
a) $9 > 8$ , kružnice ležia mimo seba. b) $c = 8 = r_1 + r_2$ , majú vonkajší dotyk. c) $2 < 4 < 8$ , pretínajú sa v dvoch bodoch.
d) $c = 2 = r_1 - r_2$ , majú vnútorný dotyk. e) $1 < 2$ , kružnica $k_2$ leží vo vnútri $k_1$ .

Výsledok: a) mimo seba, b) vonkajší dotyk, c) pretínajú sa, d) vnútorný dotyk, e) $k_2$ leží vo vnútri $k_1$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 18

Stredná vzdialenosť dvoch kružníc, ktoré sa dotýkajú zvonka, je

12

cm a súčet obsahov oboch kruhov je

80\pi

^2

. Urči polomery týchto kružníc.

Pri vonkajšom dotyku platí

r_1 + r_2 = 12

. Druhá rovnica je

\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = 80\pi

r_1 = 4

cm a

r_2 = 8

cm (alebo naopak)

Kruh s polomerom

R = 28

cm rozdeľ sústrednou kružnicou tak, aby obsahy vzniknutých častí boli rovnaké. Vypočítaj polomer

r

menšej sústrednej kružnice.

Menší kruh má mať polovicu obsahu celého kruhu:

\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi R^2

r = \frac{28}{\sqrt{2}} = 14\sqrt{2} \doteq 19{,}8

Kruh s polomerom

R

je rozdelený sústrednou kružnicou s polomerom

r

. Pomer obsahu vnútorného kruhu k obsahu medzikružia je rovnaký ako pomer obsahu medzikružia k obsahu vonkajšieho kruhu. Urči polomer

r

Zostav rovnicu

\frac{r^2}{R^2 - r^2} = \frac{R^2 - r^2}{R^2}

, uprav ju na

r^4 - 3R^2r^2 + R^4 = 0

a rieš substitúciou

a = r^2

. Koreň, pri ktorom by bolo

r > R

, nevyhovuje.

r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\,R = \frac{R\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}}{2} \doteq 0{,}618\,R

Vypočítaj polomer kružnice, ak je daná dĺžka jej tetivy

t = 16

cm a výška príslušného kruhového odseku

v = 5

cm. Vypočítaj tiež obsah odseku.

Z pravouhlého trojuholníka platí

r^2 = 8^2 + (r - 5)^2

. Stredový uhol

\alpha

zistíš zo vzťahu

\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{8}{r}

r = 8{,}9

cm,

\alpha \doteq 128^\circ

, obsah odseku

S \doteq 57{,}29

^2

Tri rovnaké kružnice (

r = 8

cm) sa navzájom dotýkajú. Urči obsah plochy ležiacej medzi kružnicami.

Stredy kružníc tvoria rovnostranný trojuholník so stranou

16

cm. Od jeho obsahu odčítaj tri kruhové výseky so stredovým uhlom

60^\circ

S = 64\sqrt{3} - 32\pi = 32\,(2\sqrt{3} - \pi) \doteq 10{,}32

^2

Rovnoramenný trojuholník má

a = 10

cm,

b = c = 13

cm. Do trojuholníka je vpísaná kružnica. Zisti, koľko percent z obsahu trojuholníka tvorí obsah kruhu.

Výška na základňu je

12

cm, obsah trojuholníka

60

^2

. Polomer vpísanej kružnice je

\rho = \frac{S}{s}

, kde

s

je polovica obvodu.

\rho = \frac{10}{3}

cm, obsah kruhu

\frac{100\pi}{9} \doteq 34{,}91

^2

tvorí asi

58{,}18

% obsahu trojuholníka

Výška kruhového odseku je

2

cm, stredový uhol

\alpha = 60^\circ

. Vypočítaj jeho obsah

S

a dĺžku oblúka

o

Vzdialenosť stredu od tetivy je

r - 2

a z pravouhlého trojuholníka platí

\cos 30^\circ = \frac{r - 2}{r}

r = 8 + 4\sqrt{3} \doteq 14{,}93

cm,

S \doteq 20{,}19

^2

o = \frac{\pi r}{3} \doteq 15{,}63

Okolo kruhového záhona je cestička široká

40

cm. Záhon má priemer

3

20

cm. Vypočítaj obsah cestičky.

Záhon má polomer

160

cm, záhon aj s cestičkou

200

cm. Cestička je medzikružie.

S = \pi\,(200^2 - 160^2) = 14\,400\pi \doteq 45\,239

^2

, teda asi

4{,}5

^2

Prvé koleso súkolesia ozubených kolies má

60

zubov. Druhé koleso zapadajúce do prvého kolesa má

42

zubov. Tretie koleso zapadajúce do druhého kolesa má

15

zubov. Prvé koleso sa otočí sedemkrát. Koľkokrát sa otočí tretie koleso?

Pri siedmich otáčkach prvého kolesa prejde záberom

7 \cdot 60 = 420

zubov. Rovnaký počet zubov prejde aj na druhom a na treťom kolese.

Tretie koleso sa otočí

28

-krát.

10.

Akú dĺžku má tetiva

AB

, ktorej vzdialenosť od stredu

S

kružnice

k(S; 10\ \text{cm})

sa rovná

8

cm? Pozri náčrt.

Kružnica k so stredom S a priamka, ktorá ju pretína v bodoch A a B. Zo stredu S vedie kolmica na priamku AB.

Polovica tetivy, vzdialenosť

8

cm a polomer

10

cm tvoria pravouhlý trojuholník.

|AB| = 12

11.

Do kruhovej striebornej medaily s priemerom

10

cm je vpísaný zlatý kríž, ktorý pozostáva z

5

rovnakých štvorcov. Aký je obsah striebornej časti? Počítaj s

\pi = 3{,}14

Kríž tvorí stredný štvorec a štyri štvorce okolo neho. Jeho krajné vrcholy ležia na kružnici s polomerom

5

cm, preto

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{3a}{2}\right)^2 = 5^2

28{,}5

^2

(štvorec má stranu

\sqrt{10}

cm, kríž obsah

50

^2

; s presným

\pi

vyjde

25\pi - 50 \doteq 28{,}54

^2

)

12.

Akú dráhu opíše hrot minútovej ručičky hodín dlhej

6

cm za

20

minút, ak vieme, že začiatočná poloha ručičky s konečnou zvierajú navzájom uhol

120^\circ

Hrot opíše kružnicový oblúk s polomerom

6

cm a stredovým uhlom

120^\circ

l = 4\pi \doteq 12{,}57

13.

Akú plochu kruhu zaberajú kvety vysadené v kruhovom výseku s polomerom

3

m a stredovým uhlom

45^\circ

S = \frac{9\pi}{8} \doteq 3{,}53

^2

14.

Dve sústredné kružnice tvoria medzikružie šírky

10

cm. Polomer menšej kružnice je

20

cm. Vypočítaj obsah medzikružia.

S = \pi\,(30^2 - 20^2) = 500\pi \doteq 1\,570{,}8

^2

15.

Koleso ťažnej veže má priemer

3

m. O koľko metrov vystúpi kabína výťahu, keď sa koleso otočí tým istým smerom

15

-krát?

Pri jednej otáčke sa navinie lano s dĺžkou obvodu kolesa

o = \pi d

15 \cdot 3\pi = 45\pi \doteq 141{,}37

16.

Vypočítaj obsah vyfarbenej časti štvorca so stranou

4

cm.

Štvorec so stranou 4 cm. Z každého vrcholu je nakreslená štvrťkružnica s polomerom 2 cm, ktorá spája stredy dvoch susedných strán. Vyfarbená je časť v strede štvorca ohraničená týmito štyrmi oblúkmi.

Štyri štvrťkruhy s polomerom

2

cm majú spolu taký obsah ako jeden kruh s polomerom

2

cm. Odčítaj ho od obsahu štvorca.

S = 16 - 4\pi \doteq 3{,}43

^2

\pi = 3{,}14

vyjde

3{,}44

^2

)

17.

Vypočítaj polomer kružnice, ktorej dĺžka je o

7

cm väčšia ako obvod pravidelného šesťuholníka, ktorý je do tejto kružnice vpísaný.

Strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kružnice sa rovná polomeru, preto má šesťuholník obvod

6r

. Rieš rovnicu

2\pi r = 6r + 7

r = \frac{7}{2\pi - 6} \doteq 24{,}7

18.

Strana rovnostranného trojuholníka je

a = 6

cm. Urči obsah medzikružia ohraničeného vpísanou a opísanou kružnicou tohto trojuholníka.

Výška trojuholníka je

v = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a = 3\sqrt{3}

cm. Polomer opísanej kružnice je

\frac{2}{3}v

, polomer vpísanej

\frac{1}{3}v

S = \pi\left((2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2\right) = 9\pi \doteq 28{,}27

^2

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.