Okruh 15 · Planimetria

Základné rovinné útvary – lineárne útvary

Body, priamky, roviny a uhly, vzťahy medzi nimi, uhly v kružnici a vzdialenosti v rovine.

asi 90 min · 8 častí · 20 úloh

0 z 8 častí · 0 z 20 úloh

V skratke

Dve priamky v rovine sú rovnobežné (rôzne alebo totožné) alebo rôznobežné. Mimobežné môžu byť len v priestore.
Ostrý uhol má menej ako $90^\circ$ , pravý $90^\circ$ , tupý medzi $90^\circ$ a $180^\circ$ , priamy $180^\circ$ a plný $360^\circ$ .
Vrcholové, súhlasné a striedavé uhly sú zhodné, vedľajšie uhly majú spolu $180^\circ$ .
Stredový uhol je dvojnásobkom obvodového uhla nad tým istým oblúkom: $\omega = 2\gamma$ . Obvodový uhol nad priemerom je pravý.
Vzdialenosť bodu od priamky meriaš po kolmici, v súradniciach $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .
Úsečku v pomere $m : n$ rozdelíš pomocnou úsečkou s $m + n$ rovnakými dielmi a rovnobežkami.

Časť 1prečítaná

Rovinný útvar, bod a priamka

Rovinný útvar: Rovinný útvar je každý útvar, ktorý je podmnožinou roviny, napríklad bod, priamka, polpriamka, úsečka, rovina alebo polrovina.
Bod: Bod je bezrozmerný geometrický útvar. Označuješ ho veľkými písmenami $A$ , $B$ , $C$ , …
Priamka: Priamka je jednorozmerný geometrický útvar. Označuješ ju malými písmenami $a$ , $b$ , $p$ , … alebo dvoma jej bodmi, napríklad $XY$ .

Vzájomná poloha dvoch priamok

p

q

Priamky sú	Zápis	Spoločné body
rovnobežné rôzne	$p \parallel q,\ \allowbreak p \neq q$	žiadne, $p \cap q = \emptyset$
rovnobežné totožné (splývajú)	$p \parallel q,\ \allowbreak p = q$	všetky, $p \cap q = p$
rôznobežné	$p \nparallel q$	jediný priesečník $P$ , $p \cap q = \{P\}$
mimobežné (len v priestore)	$p \nparallel q$	žiadne, $p \cap q = \emptyset$

rovnobežné rôzne

Zápis: $p \parallel q,\ \allowbreak p \neq q$
Spoločné body: žiadne, $p \cap q = \emptyset$

rovnobežné totožné (splývajú)

Zápis: $p \parallel q,\ \allowbreak p = q$
Spoločné body: všetky, $p \cap q = p$

rôznobežné

Zápis: $p \nparallel q$
Spoločné body: jediný priesečník $P$ , $p \cap q = \{P\}$

mimobežné (len v priestore)

Zápis: $p \nparallel q$
Spoločné body: žiadne, $p \cap q = \emptyset$

Časť 2prečítaná

Polpriamka a úsečka

Polpriamka: Polpriamka $\mapsto AB$ je množina všetkých bodov $X$ priamky $AB$ , pre ktoré bod $A$ neleží medzi bodmi $B$ a $X$ . Bod $A$ je začiatok polpriamky.

Každý bod $V$ rozdelí priamku na dve opačné polpriamky. Polpriamky $VA$ a $VB$ sú opačné, ak bod $V$ leží medzi bodmi $A$ a $B$ .

Úsečka: Ak sú $A \neq B$ dva body priamky $p$ , úsečka $AB$ je prienik dvoch polpriamok: $AB = \mapsto AB \cap \mapsto BA$ . Patria do nej body $A$ , $B$ a všetky body, ktoré ležia medzi nimi.
Dĺžka úsečky: Dĺžka (veľkosť) úsečky $AB$ je vzdialenosť bodov $A$ a $B$ . Zapisuješ ju $|AB|$ .
Stred úsečky: Stred úsečky $AB$ je bod $S$ tejto úsečky, ktorý ju rozdelí tak, že platí $|AS| = |SB|$ .
Os úsečky: Os úsečky $AB$ je priamka, ktorá prechádza stredom $S$ úsečky $AB$ a je na ňu kolmá.

Časť 3prečítaná

Rovina a polrovina

Rovina: Rovina je dvojrozmerný geometrický útvar.

Rovinu môžeš označiť

gréckym písmenom, napríklad $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , …
tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke (sú nekolineárne): $\leftrightarrow ABC$ ,
priamkou a bodom, ktorý na nej neleží: $\leftrightarrow pA$ , kde $A \notin p$ ,
dvoma rôznymi priamkami: $\leftrightarrow pq$ , kde $p \neq q$ .

Polrovina: Ak bod $C$ neleží na priamke $p$ , polrovina $\mapsto pC$ je množina všetkých bodov $X$ roviny, pre ktoré žiadny bod priamky $p$ nie je vnútorným bodom úsečky $CX$ . Sú to teda body na tej istej strane priamky $p$ ako bod $C$ a body priamky $p$ .

Platí

Priamka $p$ rozdelí rovinu na dve navzájom opačné polroviny.
Priamka $p$ je hranica (hraničná priamka) oboch polrovín.
Každý bod roviny, ktorý neleží na hraničnej priamke, je vnútorným bodom práve jednej z oboch polrovín.

Časť 4prečítaná

Uhol a druhy uhlov

Uhol: Uhol $AVB$ , zapisuješ $\sphericalangle AVB$ , je prienik dvoch polrovín $\mapsto VAB$ a $\mapsto VBA$ . Bod $V$ je vrchol uhla, polpriamky $VA$ a $VB$ sú jeho ramená.
Konvexný uhol: Konvexný uhol je uhol $AVB$ z definície vyššie. Jeho veľkosť je najviac $180^\circ$ .
Nekonvexný (konkávny) uhol: Nekonvexný uhol vznikne zjednotením polrovín opačných k polrovinám $\mapsto VAB$ a $\mapsto VBA$ . Má tie isté ramená ako konvexný uhol $AVB$ a jeho veľkosť je väčšia ako $180^\circ$ .

Dva uhly s rovnakými ramenami: vľavo konvexný uhol (oblúk vnútri menšej časti), vpravo nekonvexný, čiže konkávny uhol (oblúk okolo väčšej časti).

Druhy uhlov podľa veľkosti

Uhol	Čo platí	Veľkosť
nulový	ramená splývajú, $VA = VB$ ; okrem bodov ramena neobsahuje žiadne ďalšie body roviny	$0^\circ$
ostrý	konvexný uhol menší ako pravý	$0^\circ < \alpha < 90^\circ$
pravý	je zhodný so svojím vedľajším uhlom, je to polovica priameho uhla	$90^\circ$
tupý	konvexný uhol väčší ako pravý	$90^\circ < \alpha < 180^\circ$
priamy	ramená $VA$ a $VB$ sú opačné polpriamky	$180^\circ$
plný	ramená splývajú, $VA = VB$ , a vnútri sú všetky ostatné body roviny; je to doplnok nulového uhla v rovine	$360^\circ$

nulový

Čo platí: ramená splývajú, $VA = VB$ ; okrem bodov ramena neobsahuje žiadne ďalšie body roviny
Veľkosť: $0^\circ$

ostrý

Čo platí: konvexný uhol menší ako pravý
Veľkosť: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$

pravý

Čo platí: je zhodný so svojím vedľajším uhlom, je to polovica priameho uhla
Veľkosť: $90^\circ$

tupý

Čo platí: konvexný uhol väčší ako pravý
Veľkosť: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$

priamy

Čo platí: ramená $VA$ a $VB$ sú opačné polpriamky
Veľkosť: $180^\circ$

plný

Čo platí: ramená splývajú, $VA = VB$ , a vnútri sú všetky ostatné body roviny; je to doplnok nulového uhla v rovine
Veľkosť: $360^\circ$

Ďalšie pomenovania

Kosý uhol je uhol, ktorý nie je nulový, pravý, priamy ani plný.
Dutý uhol je uhol, ktorý je menší ako priamy uhol.

Časť 5prečítaná

Dvojice uhlov a os uhla

Vrcholové uhly: Vrcholové uhly sú dva uhly, ktorých ramená sú navzájom opačné polpriamky. Vrcholové uhly sú zhodné.

Dve rôznobežky sa pretínajú. Uhly α a β ležia pri priesečníku oproti sebe, sú to vrcholové uhly a platí α ≅ β.

Vedľajšie (susedné) uhly: Vedľajšie uhly sú dva uhly, ktoré majú jedno rameno spoločné a ich druhé ramená sú opačné polpriamky. Súčet vedľajších uhlov je priamy uhol: $\alpha + \beta = 180^\circ$ .

Polpriamka vychádza z bodu na priamke a rozdelí priamy uhol na dva vedľajšie uhly α a β, pre ktoré platí α + β = 180°.

Súhlasné uhly: Súhlasné uhly sú dva uhly, ktorých prvé ramená ležia na jednej priamke a druhé ramená sú rovnobežné, pričom príslušné ramená oboch uhlov majú rovnaký (súhlasný) smer. Súhlasné uhly sú zhodné.

Dve rovnobežky pretína priečka. Uhol α pri dolnej rovnobežke a uhol β pri hornej rovnobežke ležia na tej istej strane priečky aj rovnobežiek, sú to súhlasné uhly a platí α ≅ β.

Striedavé uhly: Striedavé uhly sú dva uhly, ktorých prvé ramená ležia na jednej priamke a druhé ramená sú rovnobežné, pričom príslušné ramená oboch uhlov majú opačný smer. Striedavé uhly sú zhodné.

Dve rovnobežky pretína priečka. Uhol α je nad dolnou rovnobežkou vpravo od priečky, uhol β pod hornou rovnobežkou vľavo od priečky, sú to striedavé uhly a platí α ≅ β.

Os uhla: Os uhla je polpriamka so začiatkom vo vrchole uhla, ktorá rozdelí uhol na dva zhodné uhly.

Riešený príklad

Uhly pri rovnobežkách

Rovnobežky $p$ a $q$ pretína priečka $r$ . Jeden z uhlov, ktoré zviera priečka $r$ s priamkou $p$ , má veľkosť $52^\circ$ . Urči veľkosti všetkých ôsmich uhlov, ktoré vzniknú pri oboch priesečníkoch.

Pri priesečníku s priamkou $p$ má vrcholový uhol k uhlu $52^\circ$ tiež $52^\circ$ . Zvyšné dva uhly sú k nemu vedľajšie:
$\displaystyle 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$
Pri priesečníku s priamkou $q$ vzniknú tie isté veľkosti, lebo každý uhol pri $q$ je súhlasný s niektorým uhlom pri $p$ a súhlasné uhly sú zhodné.

Výsledok: Štyri uhly majú $52^\circ$ a štyri uhly majú $128^\circ$ .

Časť 6prečítaná

Stredový a obvodový uhol

Stredový uhol: Stredový uhol je uhol $ASB$ , ktorého vrchol je stred $S$ kružnice $k$ a ramená prechádzajú bodmi $A$ a $B$ kružnice. Prislúcha ku kružnicovému oblúku $AB$ , ktorý leží v tomto uhle. Zvyčajne ho označuješ $\omega$ .
Obvodový uhol: Obvodový uhol je uhol $AVB$ , ktorého vrchol $V$ leží na kružnici, a to na opačnom oblúku, ako je oblúk prislúchajúci stredovému uhlu $\omega = \sphericalangle ASB$ . Ku každému stredovému uhlu prislúcha nekonečne veľa obvodových uhlov, zvyčajne ich označuješ $\gamma$ .

Veta o stredovom a obvodovom uhle

\displaystyle \omega = 2\gamma

Stredový uhol je dvojnásobkom obvodového uhla, ktorý prislúcha k tomu istému oblúku.

Čo z toho vyplýva

Všetky obvodové uhly nad tým istým oblúkom sú zhodné.
Obvodový uhol nad priemerom kružnice je pravý (Tálesova veta), lebo prislúchajúci stredový uhol je priamy, teda $180^\circ$ .
Ak vrcholy trojuholníka ležia na kružnici, každý jeho vnútorný uhol je polovica stredového uhla nad protiľahlým oblúkom.

Riešený príklad

Trojuholník na ciferníku

Na ciferníku hodiniek spoj body pri číslach $12$ , $2$ a $6$ . Vypočítaj vnútorné uhly vzniknutého trojuholníka.

Ciferník je kružnica rozdelená na $12$ rovnakých oblúkov. Každému z nich prislúcha stredový uhol $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ .
Uhol pri čísle $12$ leží nad oblúkom od $2$ po $6$ , ktorý má $4$ diely, teda stredový uhol $120^\circ$ :
$\displaystyle \gamma_{12} = \frac{4 \cdot 30^\circ}{2} = 60^\circ$
Uhol pri čísle $2$ leží nad oblúkom od $6$ po $12$ so $6$ dielmi ( $180^\circ$ ) a uhol pri čísle $6$ nad oblúkom od $12$ po $2$ s $2$ dielmi ( $60^\circ$ ):
$\displaystyle \gamma_{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ, \qquad \allowbreak \gamma_{6} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
Kontrola: $60^\circ + 90^\circ + 30^\circ = 180^\circ$ . Uhol pri čísle $2$ je pravý aj podľa Tálesovej vety, lebo body $12$ a $6$ tvoria priemer.

Výsledok: Uhol pri čísle $12$ má $60^\circ$ , pri čísle $2$ má $90^\circ$ a pri čísle $6$ má $30^\circ$ .

Časť 7prečítaná

Kolmice a vzdialenosť

Kolmice: Ak priamky $p$ a $q$ zvierajú uhol $90^\circ$ , sú to kolmice (kolmé priamky) a zapisuješ $p \perp q$ . Ich priesečník je päta kolmice.

Vzdialenosť dvoch bodov na číselnej osi

\displaystyle d = |AB| = |x_B - x_A|

Body $A$ a $B$ ležia na osi a majú súradnice $x_A$ a $x_B$ .

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

\displaystyle |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Pre body $A[x_A; y_A]$ a $B[x_B; y_B]$ v súradnicovej sústave.

Vzdialenosť bodu od priamky: Vzdialenosť bodu $A$ od priamky $p$ je dĺžka úsečky $AP$ , kde bod $P$ je priesečník priamky $p$ a kolmice na $p$ vedenej bodom $A$ .

Vzdialenosť bodu od priamky v súradniciach

\displaystyle d(X_0, p) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Pre bod $X_0[x_0; y_0]$ a priamku $p\colon ax + by + c = 0$ .

Vzdialenosť rovnobežných priamok: Vzdialenosť rovnobežných priamok $p$ a $q$ je vzdialenosť bodov $A$ a $B$ , v ktorých ľubovoľná kolmica $k$ na tieto priamky pretína priamky $p$ a $q$ .

Riešený príklad

Vzdialenosť bodu od priamky

Vypočítaj vzdialenosť bodu $A[2; -1]$ od priamky $p\colon 3x - 4y + 5 = 0$ .

Do vzorca dosadíš $a = 3$ , $b = -4$ , $c = 5$ , $x_0 = 2$ a $y_0 = -1$ :
$\displaystyle d(A, p) = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + 5|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$

Výsledok: $d(A, p) = 3$

Časť 8prečítaná

Rozdelenie úsečky v danom pomere

Úsečku $AB$ vieš rozdeliť v danom pomere, napríklad $2 : 3$ (zapísanom aj ako $\frac{2}{3}$ ), len pravítkom a rovnobežkami, bez merania jej dĺžky.

Postup pre pomer

2 : 3

Sčítaj obe čísla pomeru: $2 + 3 = 5$ .
Z bodu $A$ narysuj pod ľubovoľným uhlom k úsečke $AB$ pomocnú úsečku $AC$ a rozdeľ ju na $5$ rovnakých častí (napríklad $|AC| = 5$ cm, jedna časť má $1$ cm).
Spoj bod $C$ s bodom $B$ .
Deliacimi bodmi úsečky $AC$ veď rovnobežky s priamkou $CB$ . Tieto rovnobežky rozdelia úsečku $AB$ na $5$ rovnakých častí.
Rovnobežka cez druhý deliaci bod (počítané od $A$ ) pretne úsečku $AB$ v bode, ktorý ju delí v pomere $2 : 3$ .

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 20

Vieš, že v rovnoramennom trojuholníku má rameno dĺžku

10

cm. Akú dĺžku môže mať jeho základňa?

Použi trojuholníkovú nerovnosť: základňa musí byť kratšia ako súčet oboch ramien, teda

|AB| < 10 + 10

|AB| \in (0; 20)

V trojuholníku

ABC

poznáš ťažnice

t_a = 9

cm a

t_b = 6

cm. Aké hodnoty môže nadobúdať strana

a

Ťažisko

T

delí každú ťažnicu v pomere

2 : 1

, preto

|BT| = 4

cm a

|TA_1| = 3

cm, kde

A_1

je stred strany

BC

. V trojuholníku

BTA_1

|BA_1| = \frac{a}{2}

, použi preň trojuholníkovú nerovnosť:

4 - 3 < \frac{a}{2} < 4 + 3

a \in (2; 14)

V danej kružnici

k

zostroj dva ľubovoľné priemery

AB

CD

. Označ

\alpha

uhol, ktorý zvierajú priamky

AB

CD

. Dokáž, že dotyčnice ku kružnici

k

v krajných bodoch daných priemerov zvierajú tiež uhol

\alpha

Nech

S

je stred kružnice a

\sphericalangle ASC = \alpha

(ak treba, vymeň označenie bodov

C

D

). Dotyčnice v bodoch

A

C

sú kolmé na polomery

SA

SC

. Ak sa pretínajú v bode

P

, štvoruholník

ASCP

má pri

A

C

pravé uhly, takže

\sphericalangle APC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha

. Vedľajší uhol k nemu má veľkosť

\alpha

, a preto dotyčnice zvierajú uhol

\alpha

. Dotyčnice v bodoch

A

B

(aj v

C

D

) sú rovnobežné, takže pre ostatné dvojice dotyčníc platí to isté.

Nad stranami

AB

AC

trojuholníka

ABC

sú zostrojené rovnostranné trojuholníky

ABH

ACK

tak, že majú s trojuholníkom

ABC

spoločné len strany

AB

AC

. Dokáž, že

|CH| = |BK|

Porovnaj trojuholníky

AHC

ABK

. Platí

|AH| = |AB| = c

|AC| = |AK| = b

a uhly pri vrchole

A

sú rovnaké:

\sphericalangle HAC = \sphericalangle BAK = \alpha + 60^\circ

. Podľa vety sus sú tieto trojuholníky zhodné, preto sú zhodné aj ich tretie strany:

|CH| = |BK|

V trojuholníku

ABC

narysuj všetky tri stredné priečky. Trojuholník

ABC

sa rozdelí na štyri trojuholníky, ktoré sú podobné s trojuholníkom

ABC

. Dokáž to a podobnosť zapíš.

Stredná priečka je rovnobežná so stranou trojuholníka a má polovičnú dĺžku:

|B_1C_1| = \frac{a}{2}

|A_1C_1| = \frac{b}{2}

|A_1B_1| = \frac{c}{2}

. Každý zo štyroch trojuholníkov má strany

\frac{a}{2}

\frac{b}{2}

\frac{c}{2}

, preto je podobný s

\triangle ABC

podľa vety sss.

A_1

B_1

C_1

sú stredy strán

BC

CA

AB

, tak

\triangle AC_1B_1 \sim \triangle C_1BA_1 \sim \triangle B_1A_1C \sim \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC

s koeficientom podobnosti

k = \frac{1}{2}

. Štyri malé trojuholníky sú navzájom zhodné (veta sss).

Do rovnostranného trojuholníka

ABC

so stranou

a

je vpísaný štvorec. Vypočítaj dĺžku strany štvorca.

Jedna strana štvorca leží na strane

AB

. Horná strana štvorca odreže trojuholník podobný s

\triangle ABC

, preto

\frac{x}{a} = \frac{v - x}{v}

, kde

v = \frac{a\sqrt{3}}{2}

je výška trojuholníka.

Strana štvorca je

x = a\,(2\sqrt{3} - 3) \doteq 0{,}464\,a

Danej kružnici vpíš a opíš pravidelný šesťuholník. Dokáž, že oba šesťuholníky sú podobné, a vypočítaj pomer podobnosti.

Pravidelné šesťuholníky majú všetky uhly

120^\circ

a všetky strany rovnaké, preto sú podobné. Strana vpísaného šesťuholníka je

r

. Opísaný šesťuholník sa skladá z rovnostranných trojuholníkov, ktorých výška je

r

, preto pre jeho stranu

s

platí

r = \frac{s\sqrt{3}}{2}

Opísaný a vpísaný šesťuholník sú v pomere

\frac{2\sqrt{3}}{3} : 1

(strany

\frac{2\sqrt{3}}{3}\,r

r

Sú dané kružnice

k_1(O_1; 4 \text{ cm})

k_2(O_2; 2 \text{ cm})

|O_1O_2| = 9

cm. Vypočítaj vzdialenosť stredov rovnoľahlosti daných kružníc

k_1

k_2

Oba stredy rovnoľahlosti ležia na priamke

O_1O_2

a ich vzdialenosti od

O_1

O_2

sú v pomere polomerov

4 : 2

. Vnútorný stred

S_2

leží medzi stredmi:

|O_1S_2| = 6

cm,

|S_2O_2| = 3

cm. Vonkajší stred

S_1

leží za menšou kružnicou:

|S_1O_1| = 2\,|S_1O_2|

, odtiaľ

|S_1O_2| = 9

cm.

|S_1S_2| = 12

V akom pomere sú obsahy dvoch podobných trojuholníkov?

Pri podobnosti s koeficientom

k

sa každá dĺžka, aj strana a výška, zmení

k

-krát. Obsah

\frac{a \cdot v_a}{2}

sa preto zmení

k^2

-krát.

Obsahy sú v pomere

k^2

, kde

k

je koeficient podobnosti:

S_1 : S_2 = k^2 : 1

10.

Je daný obdĺžnik

ABCD

. Označ

S

stred strany

AB

. Z bodu

B

zostroj kolmicu na úsečku

SC

, jej pätu označ

B_1

. Vypočítaj pomer dĺžok úsečiek

|SB_1| : |B_1C|

. Úlohu rieš:

a)
pre $a = 6$ cm, $b = 4$ cm,
b)
všeobecne.

Trojuholník

SBC

je pravouhlý s pravým uhlom pri

B

BB_1

je jeho výška na preponu. Podľa Euklidovej vety o odvesne platí

|SB|^2 = |SC| \cdot |SB_1|

|BC|^2 = |SC| \cdot |B_1C|

, kde

|SB| = \frac{a}{2}

|BC| = b

a) $9 : 16$
b) $a^2 : 4b^2$

11.

Je daná kružnica. Kružnici opíš a vpíš štvorec. Urči pomer dĺžok strán a pomer obsahov týchto dvoch štvorcov.

Strana opísaného štvorca sa rovná priemeru

2r

. Uhlopriečka vpísaného štvorca je priemer, preto jeho strana je

r\sqrt{2}

Vpísaný a opísaný štvorec: pomer strán

\sqrt{2} : 2

, pomer obsahov

1 : 2

12.

Je daná kružnica

k(S; 3 \text{ cm})

. Zvoľ bod

M

tak, aby platilo

|SM| = 9

cm. Z bodu

M

zostroj dotyčnice ku kružnici

k

, body dotyku označ

T_1

T_2

. Vypočítaj:

a)
dĺžku úsečky $MT_1$ ,
b)
dĺžku úsečky $T_1T_2$ ,
c)
vzdialenosť stredu $S$ od úsečky $T_1T_2$ .

Polomer

ST_1

je kolmý na dotyčnicu, takže

\triangle ST_1M

je pravouhlý s preponou

SM

. Tetiva

T_1T_2

je kolmá na

SM

a jej polovica je výška tohto trojuholníka. Vzdialenosť

x

stredu

S

T_1T_2

dostaneš z Euklidovej vety o odvesne:

|ST_1|^2 = |SM| \cdot x

a) $|MT_1| = 6\sqrt{2}$ cm
b) $|T_1T_2| = 4\sqrt{2}$ cm
c) $1$ cm

13.

Je daný obdĺžnik

ABCD

|AB| = 8

cm,

|BC| = 6

cm. Označ

A_1

pätu kolmice zostrojenej z bodu

A

na úsečku

BD

A_2

pätu kolmice zostrojenej z bodu

A_1

na úsečku

AB

. Vypočítaj dĺžky úsečiek:

a)
$BD$ ,
b)
$DA_1$ ,
c)
$BA_1$ ,
d)
$AA_1$ ,
e)
$A_1A_2$ .

V pravouhlom trojuholníku

ABD

AA_1

výška na preponu

BD

. Použi Pytagorovu vetu a Euklidove vety. Úsečku

A_1A_2

dostaneš z podobnosti trojuholníkov

A_1A_2B

DAB

\frac{|A_1A_2|}{|AD|} = \frac{|BA_1|}{|BD|}

a) $|BD| = 10$ cm
b) $|DA_1| = 3{,}6$ cm
c) $|BA_1| = 6{,}4$ cm
d) $|AA_1| = 4{,}8$ cm
e) $|A_1A_2| = 3{,}84$ cm

14.

Na ciferníku hodiniek vyznač trojuholník, ktorý spája body zodpovedajúce číslam

11

8

4

. Vypočítaj jeho vnútorné uhly.

Susedné čísla ciferníka vymedzujú oblúk so stredovým uhlom

30^\circ

. Každý vnútorný uhol je obvodový uhol, teda polovica stredového uhla nad protiľahlým oblúkom. Napríklad uhol pri čísle

11

leží nad oblúkom od

4

8

4

dielmi:

\frac{4 \cdot 30^\circ}{2} = 60^\circ

Pri čísle

11

je uhol

60^\circ

, pri čísle

8

uhol

75^\circ

a pri čísle

4

uhol

45^\circ

15.

Na ciferníku hodiniek vyznač dve úsečky, ktoré vzniknú spojením bodov zodpovedajúcich číslam

1

5

a číslam

8

4

. Dokáž, že tieto úsečky sú navzájom kolmé.

Spoj ešte body

1

8

. Obvodový uhol pri bode

1

medzi úsečkami

1

–

8

1

–

5

leží nad oblúkom od

5

8

, ktorý má

3

diely po

30^\circ

, preto má

\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ

. Obvodový uhol pri bode

8

medzi úsečkami

8

–

1

8

–

4

leží nad oblúkom od

1

4

, tiež s

3

dielmi, a má tiež

45^\circ

. V trojuholníku, ktorý tvoria body

1

8

a priesečník oboch úsečiek, je preto tretí uhol

180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ

16.

V pravidelnom osemuholníku

ABCDEFGH

vyznač štvoruholník

BDEH

. Vypočítaj veľkosti jeho vnútorných uhlov.

Osemuholníku opíš kružnicu. Každej strane prislúcha oblúk so stredovým uhlom

45^\circ

a vnútorný uhol štvoruholníka je obvodový uhol nad protiľahlým oblúkom. Napríklad uhol pri

B

leží nad oblúkom

D\,E\,F\,G\,H

4

dielmi:

\frac{4 \cdot 45^\circ}{2} = 90^\circ

Pri vrchole

B

90^\circ

, pri

D

112{,}5^\circ

, pri

E

90^\circ

a pri

H

67{,}5^\circ

17.

Do kružnice je vpísaný trojuholník

ABC

, ktorého vrcholy delia kružnicu na tri oblúky v pomere

2 : 3 : 7

. Vypočítaj veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka.

Oblúky majú stredové uhly

\frac{2}{12}

\frac{3}{12}

\frac{7}{12}

360^\circ

, teda

60^\circ

90^\circ

210^\circ

. Uhol pri vrchole je polovica stredového uhla nad protiľahlým oblúkom.

30^\circ

45^\circ

105^\circ

18.

V pravouhlom trojuholníku s preponou

c

je daná odvesna

a = 4

cm a ťažnica

t_a = 6

cm. Vypočítaj ťažnicu

t_b

Pravý uhol je pri vrchole

C

. Ťažnica

t_a

je prepona pravouhlého trojuholníka s odvesnami

b

\frac{a}{2}

t_a^2 = b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2

, odtiaľ

b^2 = 32

. Potom

t_b^2 = a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2

t_b = 2\sqrt{6} \doteq 4{,}90

19.

Nájdi v kocke

ABCDEFGH

k priamke

AB

a)
aspoň tri priamky, ktoré sú s ňou rôznobežné,
b)
dve rovnobežné priamky,
c)
dve mimobežné priamky.

Kocka má dolnú podstavu

ABCD

a hornú

EFGH

, bod

E

je nad bodom

A

. Rôznobežky majú s priamkou

AB

spoločný bod, napríklad prechádzajú bodom

A

alebo

B

. Rovnobežky ležia s

AB

v jednej rovine a nemajú s ňou spoločný bod. Mimobežky s

AB

v jednej rovine neležia.

a)napríklad $AC$ , $AE$ , $AG$ , $BC$
b)napríklad $EF$ a $DC$ (aj $HG$ )
c)napríklad $HC$ a $DF$ (aj $CG$ , $EH$ )

20.

Zostroj priesečnicu rovín

BCG

AEO

v kocke

ABCDEFGH

. Bod

O

je stred steny

BCGF

Bod

O

leží v oboch rovinách. Rovina

AEO

obsahuje priamku

AE

, ktorá je rovnobežná s priamkou

BF

, a preto aj s rovinou

BCG

. Priesečnica je preto rovnobežná s

AE

a prechádza bodom

O

Priesečnica je priamka, ktorá prechádza bodom

O

a je rovnobežná s hranou

AE

. Pretína hrany

BC

FG

v ich stredoch.

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.