Preskočiť na obsah
Maturant
Plán a všetky okruhy

Okruh 14 · Funkcie

Geometrická postupnosť

Postupnosť, v ktorej dostaneš každý ďalší člen vynásobením predošlého tým istým číslom.

asi 60 min · 6 častí · 21 úloh

0 z 6 častí · 0 z 21 úloh

V skratke

  1. Každý ďalší člen dostaneš vynásobením predošlého kvocientom: an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q, pričom a1≠0a_1 \neq 0 a q≠0q \neq 0.
  2. nn-tý člen je an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, medzi ľubovoľnými dvoma členmi platí ar=as⋅qr−sa_r = a_s \cdot q^{r-s}.
  3. Súčet prvých nn členov je sn=a1⋅qn−1q−1s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} pre q≠1q \neq 1 a sn=n⋅a1s_n = n \cdot a_1 pre q=1q = 1.
  4. Tri susedné členy xx, yy, zz spĺňajú y2=x⋅zy^2 = x \cdot z. Absolútna hodnota člena je geometrickým priemerom jeho susedov.
  5. Dve rovnice s neznámymi a1a_1 a qq medzi sebou vydeľ. Prvý člen sa vykráti a ostane rovnica len pre qq.
  6. Pri a1>0a_1 > 0 je postupnosť pre q>1q > 1 rastúca, pre 0<q<10 < q < 1 klesajúca a pre q<0q < 0 sa znamienka členov striedajú.
Časť 1prečítaná

Čo je geometrická postupnosť

Geometrická postupnosť
Postupnosť {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} je geometrická práve vtedy, keď existuje číslo qq také, že pre každé n∈Nn \in \mathbb{N} platí an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q, pričom a1≠0a_1 \neq 0 a q≠0q \neq 0.
Kvocient
Číslo qq je kvocient geometrickej postupnosti. Podiel každých dvoch susedných členov an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} je stály a rovná sa práve qq.

Každý ďalší člen dostaneš tak, že predošlý vynásobíš kvocientom. Členy geometrickej postupnosti sú teda čísla a1, a1q, a1q2, …, a1qn−1, …a_1,\ \allowbreak a_1 q,\ \allowbreak a_1 q^2,\ \allowbreak \dots,\ \allowbreak a_1 q^{n-1},\ \allowbreak \dots

Časť 2prečítaná

Vzorce pre členy

nn-tý člen
an=a1⋅q n−1\displaystyle a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

Každý člen vyjadríš pomocou prvého člena a kvocientu.

Vzťah medzi ľubovoľnými členmi ara_r a asa_s
ar=as⋅q r−s\displaystyle a_r = a_s \cdot q^{\,r-s}

Napríklad a9=a4⋅q5a_9 = a_4 \cdot q^5. Takto z dvoch známych členov rýchlo dostaneš kvocient.

Člen ako geometrický priemer
∣an∣=an−1⋅an+1tedaan2=an−1⋅an+1\displaystyle |a_n| = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \qquad \allowbreak \text{teda} \qquad \allowbreak a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}

Platí pre n≥2n \geq 2. Absolútna hodnota každého člena okrem prvého sa rovná geometrickému priemeru jeho susedných členov, odtiaľ názov geometrická.

Časť 3prečítaná

Súčet prvých nn členov

Súčet pre q≠1q \neq 1
sn=a1+a2+⋯+an=a1⋅qn−1q−1=a1⋅1−qn1−q\displaystyle s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
Súčet pre q=1q = 1
sn=n⋅a1\displaystyle s_n = n \cdot a_1

Všetky členy sú rovnaké, takže ich len sčítaš.

Súčet pomocou prvého a posledného člena
sn=an⋅q−a1q−1,q≠1\displaystyle s_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}, \quad \allowbreak q \neq 1

Vznikne zo vzorca pre súčet, lebo a1qn=an⋅qa_1 q^n = a_n \cdot q. Hodí sa, keď poznáš prvý aj posledný člen.

Časť 4prečítaná

Rekurentné určenie

Geometrickú postupnosť môžeš zadať aj rekurentne, teda pomocou predchádzajúceho člena:

an=an−1⋅qaleboan+1=an⋅q\displaystyle a_n = a_{n-1} \cdot q \qquad \allowbreak \text{alebo} \qquad \allowbreak a_{n+1} = a_n \cdot q
Rekurentné určenie postupnosti
Postupnosť je určená rekurentne, keď poznáš jej prvý člen (alebo niekoľko prvých členov) a vzťah, z ktorého vypočítaš nasledujúci člen pomocou predchádzajúcich.
Príklad rekurentného určenia
a1=2,a2=4,an+2=an+an+12pre n=1,2,3,…\displaystyle a_1 = 2, \quad \allowbreak a_2 = 4, \quad \allowbreak a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2} \quad \allowbreak \text{pre } n = 1, 2, 3, \dots

Každý ďalší člen je priemerom dvoch predošlých: a3=3a_3 = 3, a4=72a_4 = \frac{7}{2}, a5=134a_5 = \frac{13}{4}, …\dots Táto postupnosť nie je geometrická, ukazuje len, ako rekurentné určenie funguje vo všeobecnosti.

Časť 5prečítaná

Graf a monotónnosť

Grafom geometrickej postupnosti s kvocientom q>0q > 0, q≠1q \neq 1 je množina izolovaných bodov, ktoré ležia na exponenciálnej krivke. Vzorec pre nn-tý člen totiž môžeš zapísať ako an=a1q⋅qna_n = \frac{a_1}{q} \cdot q^n, teda body ležia na grafe funkcie y=a1q⋅qxy = \frac{a_1}{q} \cdot q^x.

KvocientPostupnosť (pre a1>0a_1 > 0)
q>1q > 1rastúca
q=1q = 1konštantná (stacionárna), všetky členy sú rovnaké
0<q<10 < q < 1klesajúca
q<0q < 0oscilujúca, znamienka členov sa striedajú
q>1q > 1
rastúca
q=1q = 1
konštantná (stacionárna), všetky členy sú rovnaké
0<q<10 < q < 1
klesajúca
q<0q < 0
oscilujúca, znamienka členov sa striedajú

Pri oscilujúcej postupnosti rozlišuješ, či sa členy blížia k nule. Pre −1<q<0-1 < q < 0 sa ich absolútne hodnoty zmenšujú a postupnosť osciluje zbiehavo k nule. Pre q<−1q < -1 sa absolútne hodnoty zväčšujú a postupnosť osciluje rozbiehavo. Pri q=−1q = -1 sa členy striedajú medzi a1a_1 a −a1-a_1.

Časť 6prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad
Prvý člen a kvocient z dvoch členov

V geometrickej postupnosti je a2=6a_2 = 6 a a5=48a_5 = 48. Urči a1a_1, qq a s6s_6.

  1. Členy a5a_5 a a2a_2 spája vzťah a5=a2⋅q3a_5 = a_2 \cdot q^3.
  2. 48=6⋅q3  ⇒  q3=8  ⇒  q=2\displaystyle 48 = 6 \cdot q^3 \;\Rightarrow\; q^3 = 8 \;\Rightarrow\; q = 2
  3. Prvý člen je a1=a2q=62=3a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{2} = 3. Súčet šiestich členov:
  4. s6=a1⋅q6−1q−1=3⋅64−12−1=189\displaystyle s_6 = a_1 \cdot \frac{q^6 - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{64 - 1}{2 - 1} = 189

Výsledok: a1=3a_1 = 3, q=2q = 2, s6=189s_6 = 189.

Riešený príklad
Sústava rovníc: vydeľ a prvý člen zmizne

V geometrickej postupnosti platí a1+a3=10a_1 + a_3 = 10 a a2+a4=20a_2 + a_4 = 20. Urči a1a_1 a qq.

  1. Obe rovnice prepíš pomocou a1a_1 a qq:
  2. a1(1+q2)=10a1q(1+q2)=20\displaystyle a_1 (1 + q^2) = 10 \qquad \allowbreak a_1 q (1 + q^2) = 20
  3. Druhú rovnicu vydeľ prvou. Výraz a1(1+q2)a_1(1 + q^2) sa vykráti, lebo nie je nulový:
  4. q=2010=2\displaystyle q = \frac{20}{10} = 2
  5. Dosaď do prvej rovnice: a1⋅(1+4)=10a_1 \cdot (1 + 4) = 10, teda a1=2a_1 = 2.

Výsledok: a1=2a_1 = 2, q=2q = 2, postupnosť je 2,4,8,16,…2, 4, 8, 16, \dots

Riešený príklad
Zložené úročenie

Na účet uložíš 20002000 € s ročným úrokom 33 %. Úrok sa každý rok pripíše k vkladu. Koľko budeš mať na účte po štyroch rokoch?

  1. Každý rok sa suma na účte vynásobí číslom 1+3100=1,031 + \frac{3}{100} = 1{,}03. Sumy po jednotlivých rokoch tvoria geometrickú postupnosť s kvocientom q=1,03q = 1{,}03.
  2. 2000⋅1,034≈2251,02\displaystyle 2000 \cdot 1{,}03^4 \approx 2251{,}02

Výsledok: Po štyroch rokoch budeš mať približne 2251,022251{,}02 €.

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 21

1.
Zisti, či sú dané postupnosti geometrické:
  1. a)
    {2n−13}n=1∞\left\{\frac{2n-1}{3}\right\}_{n=1}^{\infty}
  2. b)
    {nn+1}n=1∞\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=1}^{\infty}
  3. c)
    {2n⋅32−n}n=1∞\left\{2^n \cdot 3^{2-n}\right\}_{n=1}^{\infty}
  4. d)
    {43n}n=1∞\left\{4^{3n}\right\}_{n=1}^{\infty}
Vypočítaj podiel an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} a pozri sa, či závisí od nn.
  • a)Nie je. Podiel an+1an=2n+12n−1\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{2n-1} závisí od nn, napríklad a2a1=3\frac{a_2}{a_1} = 3, ale a3a2=53\frac{a_3}{a_2} = \frac{5}{3}.
  • b)Nie je. Podiel an+1an=(n+1)2n(n+2)\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} závisí od nn.
  • c)Je. 2n⋅32−n=9⋅(23)n2^n \cdot 3^{2-n} = 9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n, teda q=23q = \frac{2}{3} a a1=6a_1 = 6.
  • d)Je. 43n=64n4^{3n} = 64^n, teda q=64q = 64 a a1=64a_1 = 64.
2.
Vypočítaj prvý člen a kvocient geometrickej postupnosti, ak:
  1. a)
    a4=16a_4 = 16, a9=−12a_9 = -\frac{1}{2}
  2. b)
    a3=2a_3 = 2, a7=18a_7 = 18
  3. c)
    a4+a5=−34a_4 + a_5 = -\frac{3}{4} a 8a6−8a4=38a_6 - 8a_4 = 3
  4. d)
    a5−a2=709a_5 - a_2 = \frac{70}{9} a a3−a4=203a_3 - a_4 = \frac{20}{3}
Pri a) a b) použi ar=as⋅qr−sa_r = a_s \cdot q^{r-s}. Pri c) a d) prepíš obe rovnice pomocou a1a_1 a qq a vydeľ ich, a1a_1 sa vykráti.
  • a)a1=−128a_1 = -128, q=−12q = -\frac{1}{2}
  • b)a1=23a_1 = \frac{2}{3}, q=3q = \sqrt{3} alebo q=−3q = -\sqrt{3}
  • c)a1=−4a_1 = -4, q=12q = \frac{1}{2}
  • d)a1=9a_1 = 9, q=−23q = -\frac{2}{3} alebo a1=3227a_1 = \frac{32}{27}, q=−32q = -\frac{3}{2}
3.
V geometrickej postupnosti je q=2q = 2, an=49 152a_n = 49\,152 a sn=98 301s_n = 98\,301. Urči a1a_1 a nn.
Pri q=2q = 2 platí sn=a1(2n−1)=2an−a1s_n = a_1(2^n - 1) = 2a_n - a_1, odtiaľ hneď dostaneš a1a_1.
a1=3a_1 = 3, n=15n = 15
4.
V geometrickej postupnosti je a1=2a_1 = 2 a a20=100a_{20} = 100. Urči qq a s20s_{20}.
Z a20=a1⋅q19a_{20} = a_1 \cdot q^{19} dostaneš q19=50q^{19} = 50. Súčet počítaj s presným qq, napríklad ako s20=a20⋅q−a1q−1s_{20} = \frac{a_{20} \cdot q - a_1}{q - 1}.
q=5019≈1,23q = \sqrt[19]{50} \approx 1{,}23, s20≈528,65s_{20} \approx 528{,}65
5.
V geometrickej postupnosti so štyrmi členmi je súčet dvoch krajných členov 195195 a súčet dvoch vnútorných členov 6060. Urči túto postupnosť.
Rovnice a1(1+q3)=195a_1(1 + q^3) = 195 a a1q(1+q)=60a_1 q(1 + q) = 60 vydeľ. Pomôže rozklad 1+q3=(1+q)(1−q+q2)1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2).
3,12,48,1923, 12, 48, 192 (pre a1=3a_1 = 3, q=4q = 4) alebo 192,48,12,3192, 48, 12, 3 (pre a1=192a_1 = 192, q=14q = \frac{1}{4})
6.
Vypočítaj prvých šesť členov geometrickej postupnosti, ak platí a3=8a_3 = 8 a a7=128a_7 = 128.
Z a7=a3⋅q4a_7 = a_3 \cdot q^4 dostaneš q4=16q^4 = 16, teda dve možnosti pre qq.
2,4,8,16,32,642, 4, 8, 16, 32, 64 (pre q=2q = 2) alebo 2,−4,8,−16,32,−642, -4, 8, -16, 32, -64 (pre q=−2q = -2)
7.
Ak k číslam 22, 1616 a 5858 pripočítaš to isté číslo, dostaneš prvé tri členy geometrickej postupnosti. Urči toto číslo a napíš prvých šesť členov tejto postupnosti.
Ak pripočítané číslo je xx, musí platiť (16+x)2=(2+x)(58+x)(16 + x)^2 = (2 + x)(58 + x).
Číslo je 55, postupnosť 7,21,63,189,567,17017, 21, 63, 189, 567, 1701 (q=3q = 3).
8.
Medzi čísla 11 a 33 vlož tri čísla tak, aby vznikla geometrická postupnosť.
Vznikne päť členov s a1=1a_1 = 1 a a5=3a_5 = 3, teda q4=3q^4 = 3.
1, 34, 3, 334, 31,\ \allowbreak \sqrt[4]{3},\ \allowbreak \sqrt{3},\ \allowbreak \sqrt[4]{3^3},\ \allowbreak 3 alebo 1, −34, 3, −334, 31,\ \allowbreak -\sqrt[4]{3},\ \allowbreak \sqrt{3},\ \allowbreak -\sqrt[4]{3^3},\ \allowbreak 3
9.
Aký je súčet prvých piatich členov geometrickej postupnosti, ktorej členy a2a_2, a3a_3, a4a_4 vzniknú tak, že od čísel 3333, 4545, 6363 odčítaš to isté číslo?
Ak odčítané číslo je xx, platí (45−x)2=(33−x)(63−x)(45 - x)^2 = (33 - x)(63 - x).
s5=211s_5 = 211 (odčítané číslo je 99, postupnosť je 16,24,36,54,8116, 24, 36, 54, 81 s q=32q = \frac{3}{2})
10.
Je daná geometrická postupnosť 12, 32, 3, 36, …\frac{1}{2},\ \allowbreak \sqrt{\frac{3}{2}},\ \allowbreak 3,\ \allowbreak 3\sqrt{6},\ \allowbreak \dots Vypočítaj s6s_6.
Kvocient je q=a2a1=232=6q = \frac{a_2}{a_1} = 2\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6}. Výsledok usmerni rozšírením zlomku výrazom 6+1\sqrt{6} + 1.
s6=432(6+1)s_6 = \frac{43}{2}\left(\sqrt{6} + 1\right)
11.
Medzi korene rovnice x2−66x+128=0x^2 - 66x + 128 = 0 vlož štyri čísla tak, aby spolu s koreňmi rovnice tvorili geometrickú postupnosť.
Korene sú prvý a šiesty člen, teda a6=a1⋅q5a_6 = a_1 \cdot q^5.
2,4,8,16,32,642, 4, 8, 16, 32, 64 (korene sú 22 a 6464, q=2q = 2; v opačnom poradí 64,32,16,8,4,264, 32, 16, 8, 4, 2 s q=12q = \frac{1}{2})
12.
Napíš prvých šesť členov geometrickej postupnosti, pre ktorú platí:
a1−a2+a3=9a4−a5+a6=72\displaystyle a_1 - a_2 + a_3 = 9 \qquad \allowbreak a_4 - a_5 + a_6 = 72
Druhá rovnica je prvá vynásobená číslom q3q^3: a4−a5+a6=q3(a1−a2+a3)a_4 - a_5 + a_6 = q^3(a_1 - a_2 + a_3).
3,6,12,24,48,963, 6, 12, 24, 48, 96
13.
Kváder, ktorého hrany tvoria geometrickú postupnosť, má povrch S=78S = 78 cm2^2. Súčet hrán, ktoré prechádzajú jedným vrcholom, je 1313 cm. Urči objem kvádra.
Pre hrany aa, bb, cc platí ac=b2ac = b^2, takže ab+bc+ac=b(a+b+c)ab + bc + ac = b(a + b + c). Z povrchu a súčtu hrán potom hneď dostaneš bb.
Hrany sú 11 cm, 33 cm a 99 cm, objem je V=27V = 27 cm3^3.
14.
Jazdec sa rozhodol kúpiť koňa a zaplatiť zaň 10 00010\,000 Sk. S predavačom sa dohodol, že za prvý klinec v podkove zaplatí 11 halier, za druhý 22 haliere, za tretí 44 haliere atď. Bola to výhodná kúpa, keď každá podkova je pripevnená piatimi klincami?
Kôň má štyri podkovy, teda 2020 klincov. Ceny klincov tvoria geometrickú postupnosť s a1=1a_1 = 1 halier a q=2q = 2. Pamätaj, že 11 Sk má 100100 halierov.
Nebola. Za 2020 klincov zaplatí 220−1=1 048 5752^{20} - 1 = 1\,048\,575 halierov, čiže 10 485,7510\,485{,}75 Sk. Koňa preplatil o 485,75485{,}75 Sk (asi 16,1216{,}12 €).
15.
Brigádnik súhlasil, že bude pracovať, ak jeho mzda bude za prvý deň 11 Sk, za druhý deň 22 Sk, za tretí deň 44 Sk atď. Koľko dní takto pracoval, ak zarobil 40954095 Sk?
Zárobok za nn dní je 1+2+4+⋯+2n−1=2n−11 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1.
1212 dní, lebo 212−1=40952^{12} - 1 = 4095.
16.
Na koľko percent úrok treba uložiť sumu 10 00010\,000 €, aby si po piatich rokoch mal na účte 25 00025\,000 €?
Pri úroku pp % sa suma každý rok vynásobí číslom q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100}, takže 10 000⋅q5=25 00010\,000 \cdot q^5 = 25\,000.
Približne na 2020 % ročne, presnejšie p=100⋅(2,55−1)≈20,11p = 100 \cdot \left(\sqrt[5]{2{,}5} - 1\right) \approx 20{,}11 %.
17.
Strany trojuholníka aa, bb, cc tvoria (v tomto poradí) tri za sebou idúce členy geometrickej postupnosti. Aké sú veľké, ak je jeho obvod 4242 a b=8b = 8?
Platí ac=b2=64ac = b^2 = 64 a a+c=42−8=34a + c = 42 - 8 = 34. Nezabudni overiť trojuholníkovú nerovnosť.
Úloha nemá riešenie. Vyšli by strany 22, 88, 3232 (alebo 3232, 88, 22), ale tie nesplnia trojuholníkovú nerovnosť, lebo 2+8<322 + 8 < 32.
18.
Súčet troch po sebe idúcich členov geometrickej postupnosti je 2121, súčet druhých mocnín tých istých členov je 189189. Urči tieto členy.
Označ členy aa, aqaq, aq2aq^2. Využi rozklad 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)(1 - q + q^2) a druhú rovnicu vydeľ prvou.
3,6,123, 6, 12 (alebo v opačnom poradí 12,6,312, 6, 3)
19.
V geometrickej postupnosti je a1=5a_1 = 5 a a3=52a_3 = \frac{5}{2}. Urči kvocient a a9a_9.
q=22q = \frac{\sqrt{2}}{2} alebo q=−22q = -\frac{\sqrt{2}}{2}, v oboch prípadoch a9=516a_9 = \frac{5}{16}
20.
V geometrickej postupnosti je q=−12q = -\frac{1}{2} a s11=683s_{11} = 683. Urči a1a_1 a a11a_{11}.
Dosaď do s11=a1⋅1−q111−qs_{11} = a_1 \cdot \frac{1 - q^{11}}{1 - q}.
a1=1024a_1 = 1024, a11=1a_{11} = 1
21.
Urči postupnosti rekurentným vzorcom:
  1. a)
    {n0}n=1∞\left\{n^0\right\}_{n=1}^{\infty}
  2. b)
    {3n}n=1∞\left\{3^n\right\}_{n=1}^{\infty}
  3. c)
    {2n+1}n=1∞\left\{2n + 1\right\}_{n=1}^{\infty}
  4. d)
    {log⁡xn}n=1∞\left\{\log x^n\right\}_{n=1}^{\infty}
Vypočítaj rozdiel alebo podiel susedných členov an+1a_{n+1} a ana_n. Nezabudni uviesť aj prvý člen.
  • a)a1=1a_1 = 1, an+1=ana_{n+1} = a_n
  • b)a1=3a_1 = 3, an+1=3ana_{n+1} = 3a_n
  • c)a1=3a_1 = 3, an+1=an+2a_{n+1} = a_n + 2
  • d)Pre x>0x > 0: a1=log⁡xa_1 = \log x a an+1=an+log⁡xa_{n+1} = a_n + \log x, pre x≠1x \neq 1 aj an+1=n+1n ana_{n+1} = \frac{n+1}{n}\,a_n.

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.