Preskočiť na obsah
Maturant
Plán a všetky okruhy

Okruh 13 · Funkcie

Aritmetická postupnosť

Postupnosť, v ktorej sa každý ďalší člen líši od predošlého o to isté číslo.

asi 60 min · 6 častí · 21 úloh

0 z 6 častí · 0 z 21 úloh

V skratke

  1. Rozdiel dvoch susedných členov je stále rovnaký: an+1−an=da_{n+1} - a_n = d.
  2. nn-tý člen vypočítaš ako an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d, medzi ľubovoľnými dvoma členmi platí ar=as+(r−s)da_r = a_s + (r-s)d.
  3. Súčet prvých nn členov je sn=n2(a1+an)=n2(2a1+(n−1)d)s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right).
  4. Každý člen okrem prvého je aritmetickým priemerom susedných členov: an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}.
  5. Pri d>0d > 0 postupnosť rastie, pri d<0d < 0 klesá a pri d=0d = 0 je konštantná.
  6. Tri po sebe idúce členy si označ a−da - d, aa, a+da + d, ich súčet je potom 3a3a.
Časť 1prečítaná

Čo je aritmetická postupnosť

Aritmetická postupnosť
Postupnosť {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} je aritmetická práve vtedy, keď existuje d∈Rd \in \mathbb{R} také, že pre všetky n∈Nn \in \mathbb{N} platí an+1=an+da_{n+1} = a_n + d.
Diferencia
Číslo dd je diferencia aritmetickej postupnosti. V aritmetickej postupnosti je rozdiel každých dvoch susedných členov an+1−ana_{n+1} - a_n konštantný a rovná sa práve dd.

Členy aritmetickej postupnosti sú čísla a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n−1)d, …a_1,\ \allowbreak a_1 + d,\ \allowbreak a_1 + 2d,\ \allowbreak \dots,\ \allowbreak a_1 + (n-1)d,\ \allowbreak \dots

Časť 2prečítaná

Vzorce, ktoré platia

nn-tý člen
an=a1+(n−1) d\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)\,d
Vzťah medzi ľubovoľnými členmi ara_r a asa_s
ar=as+(r−s) d\displaystyle a_r = a_s + (r-s)\,d

Od známeho člena sa tak dostaneš k inému aj bez výpočtu a1a_1. Napríklad a10=a4+6da_{10} = a_4 + 6d.

Súčet prvých nn členov
sn=a1+a2+⋯+an=n2 (a1+an)\displaystyle s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)
Súčet, keď nepoznáš posledný člen
sn=n2 (2a1+(n−1) d)\displaystyle s_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)\,d\bigr)

Dostaneš ho, keď do predošlého vzorca dosadíš an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d.

Člen ako aritmetický priemer
an=an−1+an+12(n≠1)\displaystyle a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \qquad \allowbreak (n \neq 1)

Každý člen okrem prvého je aritmetickým priemerom susedných členov, odtiaľ názov aritmetická postupnosť.

Časť 3prečítaná

Graf a monotónnosť

Grafom aritmetickej postupnosti je množina izolovaných bodov, ktoré ležia na priamke. Vzorec pre nn-tý člen totiž môžeš zapísať ako an=nd+(a1−d)a_n = nd + (a_1 - d), čo je lineárna funkcia premennej nn.

DiferenciaPostupnosť je
d>0d > 0rastúca
d<0d < 0klesajúca
d=0d = 0konštantná
d>0d > 0
rastúca
d<0d < 0
klesajúca
d=0d = 0
konštantná
Časť 4prečítaná

Rekurentné určenie

Aritmetickú postupnosť môžeš určiť aj rekurentne, teda pomocou predchádzajúceho člena:

an=an−1+daleboan+1=an+d\displaystyle a_n = a_{n-1} + d \qquad \allowbreak \text{alebo} \qquad \allowbreak a_{n+1} = a_n + d
Časť 5prečítaná

Užitočné triky pri úlohách

Členy rovnako vzdialené od stredu
  • Ak r+s=p+qr + s = p + q, tak ar+as=ap+aqa_r + a_s = a_p + a_q. Napríklad a1+a8=a2+a7=a4+a5a_1 + a_8 = a_2 + a_7 = a_4 + a_5.
  • Všeobecnejšie pre 1≤s<n1 \leq s < n platí an=an−s+an+s2a_n = \frac{a_{n-s} + a_{n+s}}{2}, napríklad a5=a2+a82a_5 = \frac{a_2 + a_8}{2}.
Časť 6prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad
Prvý člen a diferencia z dvoch členov

V aritmetickej postupnosti je a3=7a_3 = 7 a a8=22a_8 = 22. Urči a1a_1 a dd.

  1. Použi vzťah ar=as+(r−s)da_r = a_s + (r-s)d pre r=8r = 8 a s=3s = 3:
  2. a8=a3+5d  ⇒  22=7+5d  ⇒  d=3\displaystyle a_8 = a_3 + 5d \;\Rightarrow\; 22 = 7 + 5d \;\Rightarrow\; d = 3
  3. Prvý člen dostaneš, keď sa od a3a_3 vrátiš o dva kroky späť:
  4. a1=a3−2d=7−6=1\displaystyle a_1 = a_3 - 2d = 7 - 6 = 1

Výsledok: a1=1a_1 = 1, d=3d = 3

Riešený príklad
Počet a súčet členov

Urči súčet všetkých dvojciferných čísel deliteľných štyrmi.

  1. Hľadané čísla 12,16,20,…,9612, 16, 20, \dots, 96 tvoria aritmetickú postupnosť s a1=12a_1 = 12 a d=4d = 4.
  2. Počet členov zistíš z podmienky an=96a_n = 96:
  3. 96=12+(n−1)⋅4  ⇒  n−1=21  ⇒  n=22\displaystyle 96 = 12 + (n-1)\cdot 4 \;\Rightarrow\; n - 1 = 21 \;\Rightarrow\; n = 22
  4. Teraz použi vzorec pre súčet:
  5. s22=222 (12+96)=11⋅108=1188\displaystyle s_{22} = \frac{22}{2}\,(12 + 96) = 11 \cdot 108 = 1188

Výsledok: Súčet je 11881188.

Riešený príklad
Tri čísla so súčtom a súčinom

Tri čísla tvoria aritmetickú postupnosť. Ich súčet je 1515 a súčin 8080. Urči ich.

  1. Označ ich a−da - d, aa, a+da + d. Zo súčtu dostaneš 3a=153a = 15, teda a=5a = 5.
  2. (5−d)⋅5⋅(5+d)=80  ⇒  25−d2=16  ⇒  d=±3\displaystyle (5 - d)\cdot 5 \cdot (5 + d) = 80 \;\Rightarrow\; 25 - d^2 = 16 \;\Rightarrow\; d = \pm 3
  3. Pre d=3d = 3 vyjdú čísla 2,5,82, 5, 8, pre d=−3d = -3 tie isté čísla v opačnom poradí. Skúška: 2+5+8=152 + 5 + 8 = 15 a 2⋅5⋅8=802 \cdot 5 \cdot 8 = 80.

Výsledok: 2,5,82, 5, 8 (alebo 8,5,28, 5, 2)

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 21

1.
Zisti, či je postupnosť {5n−12}n=1∞\left\{\frac{5n-1}{2}\right\}_{n=1}^{\infty} aritmetická.
Vypočítaj rozdiel an+1−ana_{n+1} - a_n a pozri sa, či závisí od nn.
Áno, je aritmetická: an+1−an=52a_{n+1} - a_n = \frac{5}{2} pre každé nn, teda a1=2a_1 = 2 a d=52d = \frac{5}{2}.
2.
Je daná postupnosť {2n2n−1}n=1∞\left\{\frac{2n}{2n-1}\right\}_{n=1}^{\infty}. Urči jej prvých päť členov.
Postupne dosaď n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5.
2, 43, 65, 87, 1092,\ \allowbreak \frac{4}{3},\ \allowbreak \frac{6}{5},\ \allowbreak \frac{8}{7},\ \allowbreak \frac{10}{9}
3.
Urči prvý člen a diferenciu aritmetickej postupnosti, v ktorej platí:
  1. a)
    a4=9, a10=21a_4 = 9,\ \allowbreak a_{10} = 21
  2. b)
    a3=2a4, a2=−a8a_3 = 2a_4,\ \allowbreak a_2 = -a_8
  3. c)
    a2−a1=6, a20−a18=15a_2 - a_1 = 6,\ \allowbreak a_{20} - a_{18} = 15
Každý člen vyjadri pomocou a1a_1 a dd, napríklad a4=a1+3da_4 = a_1 + 3d, a vyrieš sústavu dvoch rovníc.
  • a)a1=3, d=2a_1 = 3,\ \allowbreak d = 2
  • b)Obe podmienky znamenajú to isté, a5=0a_5 = 0, takže úloha nemá jediné riešenie. Vyhovuje každá postupnosť s a1=−4da_1 = -4d, kde d∈Rd \in \mathbb{R}, napríklad a1=−4a_1 = -4, d=1d = 1.
  • c)Taká postupnosť neexistuje: z prvej podmienky je d=6d = 6, z druhej 2d=152d = 15, teda d=7,5d = 7{,}5. Prvý člen by sa z rozdielov členov aj tak určiť nedal.
4.
V aritmetickej postupnosti, v ktorej a1=−85a_1 = -85 a d=4d = 4, urči prvý kladný člen.
Hľadaj najmenšie prirodzené nn, pre ktoré −85+(n−1)⋅4>0-85 + (n-1)\cdot 4 > 0.
a23=3a_{23} = 3
5.
Urči aritmetickú postupnosť, v ktorej platí a1+a5=30a_1 + a_5 = 30 a a3+a4=36a_3 + a_4 = 36.
Dostaneš sústavu 2a1+4d=302a_1 + 4d = 30, 2a1+5d=362a_1 + 5d = 36.
a1=3a_1 = 3, d=6d = 6, teda an=6n−3a_n = 6n - 3: 3,9,15,21,27,…3, 9, 15, 21, 27, \dots
6.
V aritmetickej postupnosti platí a2+a6=−10a_2 + a_6 = -10 a a3a5=37\frac{a_3}{a_5} = \frac{3}{7}. Urči dd, a6a_6 a s20s_{20}.
Z druhej podmienky dostaneš 7a3=3a57a_3 = 3a_5. Obe podmienky prepíš pomocou a1a_1 a dd.
d=−2d = -2, a6=−9a_6 = -9, s20=−360s_{20} = -360 (pritom a1=1a_1 = 1)
7.
Urči, pre ktoré čísla xx je postupnosť {nxn+1}n=1∞\left\{\frac{nx}{n+1}\right\}_{n=1}^{\infty} rastúca a pre ktoré klesajúca.
Vypočítaj an+1−ana_{n+1} - a_n, uprav na jeden zlomok a zisti, kedy je kladný a kedy záporný.
an+1−an=x(n+1)(n+2)a_{n+1} - a_n = \frac{x}{(n+1)(n+2)}, takže postupnosť je rastúca pre x>0x > 0 a klesajúca pre x<0x < 0. Pre x=0x = 0 je konštantná.
8.
Nájdi rekurentné určenie postupnosti {1n(n+1)}n=1∞\left\{\frac{1}{n(n+1)}\right\}_{n=1}^{\infty}.
Táto postupnosť nie je aritmetická. Vypočítaj podiel an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} a nezabudni na prvý člen.
a1=12a_1 = \frac{1}{2}, an+1=nn+2⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+2}\cdot a_n pre každé n∈Nn \in \mathbb{N}
9.
Zisti súčet prirodzených čísel 1+2+3+4+5+6+7+⋯+1001 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + \dots + 100.
Je to aritmetická postupnosť s a1=1a_1 = 1, a100=100a_{100} = 100.
50505050
10.
Urči prvých šesť členov aritmetickej postupnosti, ak s5=s6=60s_5 = s_6 = 60.
Zo s6=s5+a6s_6 = s_5 + a_6 vyplýva a6=0a_6 = 0.
20,16,12,8,4,020, 16, 12, 8, 4, 0 (teda a1=20a_1 = 20, d=−4d = -4)
11.
Osem čísel tvorí aritmetickú postupnosť. Urči ich, ak vieš, že súčet prostredných členov je 4141 a súčin krajných je 114114.
Prostredné členy sú a4a_4 a a5a_5. Platí a1+a8=a4+a5=41a_1 + a_8 = a_4 + a_5 = 41 a a1⋅a8=114a_1 \cdot a_8 = 114, takže a1a_1 a a8a_8 sú korene rovnice t2−41t+114=0t^2 - 41t + 114 = 0.
3,8,13,18,23,28,33,383, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38 (pre d=5d = 5) alebo tie isté čísla v opačnom poradí (pre d=−5d = -5)
12.
Strany pravouhlého trojuholníka tvoria aritmetickú postupnosť. Dlhšia odvesna má 2424 cm. Vypočítaj obvod trojuholníka.
Strany označ a−da - d, aa, a+da + d, kde a+da + d je prepona, a použi Pytagorovu vetu. Vyjde a=4da = 4d.
o=72o = 72 cm (strany majú 1818 cm, 2424 cm a 3030 cm)
13.
V trojuholníku tvoria uhly aritmetickú postupnosť. Urči ostatné uhly, ak najmenší uhol má veľkosť 20∘20^\circ.
Uhly sú 20∘20^\circ, 20∘+d20^\circ + d, 20∘+2d20^\circ + 2d a ich súčet je 180∘180^\circ.
60∘60^\circ a 100∘100^\circ
14.
Ako dlho by padal kameň do bane v Južnej Amerike hlbokej 25002500 m, ak vieme, že v prvej sekunde preletí 4,9044{,}904 m a za každú ďalšiu sekundu o 9,8089{,}808 m viac?
Dráhy v jednotlivých sekundách tvoria aritmetickú postupnosť s a1=4,904a_1 = 4{,}904 a d=9,808d = 9{,}808. Rieš rovnicu sn=2500s_n = 2500, vyjde sn=4,904 n2s_n = 4{,}904\, n^2.
Približne 22,622{,}6 s. Za 2222 s preletí 2373,5362373{,}536 m, za 2323 s už 2594,2162594{,}216 m.
15.
Hrany kvádra tvoria tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Aké sú veľké, ak ich súčet je 2424 cm a objem kvádra je 312312 cm3^3?
Hrany označ a−da - d, aa, a+da + d. Zo súčtu je a=8a = 8, z objemu 8 (64−d2)=3128\,(64 - d^2) = 312.
33 cm, 88 cm a 1313 cm
16.
O koľko je väčší súčet prvých 100100 párnych prirodzených čísel ako súčet prvých 100100 nepárnych prirodzených čísel?
Párne čísla sú 2,4,…,2002, 4, \dots, 200, nepárne 1,3,…,1991, 3, \dots, 199. Každé párne číslo je o 11 väčšie ako nepárne pred ním.
O 100100, lebo 10 100−10 000=10010\,100 - 10\,000 = 100.
17.
Oceľové rúry sa skladajú do vrstiev tak, že rúry hornej vrstvy zapadajú do medzier dolnejšej vrstvy. Koľko rúr najmenej je nutné položiť do najspodnejšej vrstvy, ak sa má celkovo uložiť 7878 rúr? Hore je jedna rúra.
Vo vrstvách zhora nadol je 1,2,3,…,n1, 2, 3, \dots, n rúr. Rieš n(n+1)2=78\frac{n(n+1)}{2} = 78.
1212 rúr, lebo 1+2+⋯+12=781 + 2 + \dots + 12 = 78.
18.
Na časti strechy tvaru lichobežníka sú poukladané strešné krytiny tak, že pri odkvape je ich 100100 kusov a v každej nasledujúcej rade o 11 kus menej než v predchádzajúcej, až v poslednej pri hrebeni strechy je ich 8585. Koľko kusov strešnej krytiny je na tejto strane strechy?
Radov je 100−85+1=16100 - 85 + 1 = 16, potom použi vzorec pre súčet.
14801480 kusov
19.
Koľko je trojciferných čísel deliteľných číslom 2323? Koľko ich nie je deliteľných číslom 2323?
Najmenší trojciferný násobok 2323 je 115115, najväčší 989989. Trojciferných čísel je spolu 900900.
Deliteľných je 3939, nedeliteľných 861861.
20.
Koľko je trojciferných čísel deliteľných číslom 77?
Nájdi najmenší a najväčší trojciferný násobok 77 a zisti počet členov postupnosti s d=7d = 7.
128128 (od 105105 po 994994)
21.
Aritmetická postupnosť {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty}, pre ktorú platí a1=2a_1 = 2, má vlastnosť S1+S2+S3+S4=50S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 50, kde Si=a1+a2+⋯+aiS_i = a_1 + a_2 + \dots + a_i, i=1,2,3,…i = 1, 2, 3, \dots Urči a50a_{50}.
Platí S1=a1S_1 = a_1, S2=2a1+dS_2 = 2a_1 + d, S3=3a1+3dS_3 = 3a_1 + 3d, S4=4a1+6dS_4 = 4a_1 + 6d.
a50=149a_{50} = 149 (diferencia d=3d = 3)

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.