Okruh 12 · Funkcie

Postupnosti

Postupnosť ako funkcia na prirodzených číslach: ako ju zadať, nakresliť a zistiť, či je monotónna a ohraničená.

asi 60 min · 6 častí · 17 úloh

0 z 6 častí · 0 z 17 úloh

V skratke

Postupnosť je funkcia definovaná na prirodzených číslach. Jej hodnoty $a_1, a_2, a_3, \dots$ sú členy postupnosti.
Postupnosť zadáš vzorcom pre $n$ -tý člen, napríklad $a_n = 2n - 1$ , alebo rekurentne: prvým členom a vzťahom, ktorý vyjadrí $a_{n+1}$ pomocou predchádzajúcich členov.
Graf postupnosti tvoria izolované body $[n; a_n]$ , nespájajú sa čiarou.
Monotónnosť zistíš zo znamienka rozdielu $a_{n+1} - a_n$ : stále kladný znamená rastúcu, stále záporný klesajúcu postupnosť.
Ohraničená postupnosť má všetky členy medzi dvoma číslami: $d \leq a_n \leq h$ pre všetky $n \in \mathbb{N}$ .
Striedanie znamienok zapíšeš pomocou $(-1)^n$ alebo $(-1)^{n+1}$ .

Časť 1prečítaná

Čo je postupnosť

Postupnosť: Postupnosť je funkcia, ktorej definičným oborom je množina všetkých prirodzených čísel $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ alebo jej časť $\{1, 2, 3, \dots, k\}$ .

Postupnosť	Definičný obor
nekonečná	všetky prirodzené čísla $\{1, 2, 3, \dots, n, \dots\}$
konečná	len čísla $\{1, 2, 3, \dots, k\}$ , postupnosť má $k$ členov

nekonečná

všetky prirodzené čísla

\{1, 2, 3, \dots, n, \dots\}

konečná

len čísla

\{1, 2, 3, \dots, k\}

, postupnosť má

k

členov

Člen postupnosti: Jednotlivé hodnoty postupnosti sú jej členy. Hodnotu postupnosti $a$ v čísle $n \in \mathbb{N}$ nazývame $n$ -tý člen postupnosti a označujeme ju $a(n)$ alebo $a_n$ .

Nekonečnú postupnosť zapisuješ $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ , stručne aj $\{a_n\}$ . Číslo $n$ hovorí, na ktorom mieste člen stojí: $a_1$ je prvý člen, $a_2$ druhý a tak ďalej.

Časť 2prečítaná

Ako sa postupnosť zadáva

Predpis postupnosti je spravidla zadaný jedným z dvoch spôsobov: vzorcom alebo rekurentne.

Zadanie vzorcom: Vzorec vyjadruje $n$ -tý člen $a_n$ priamo pomocou $n$ . Napríklad postupnosť všetkých nepárnych prirodzených čísel má vzorec $a_n = 2n - 1$ , $n \in \mathbb{N}$ , a stručne ju zapíšeš $\{2n - 1\}_{n=1}^{\infty}$ .
Rekurentné zadanie: Zadáš prvý člen (alebo niekoľko prvých členov) postupnosti a rekurentný vzťah, ktorý vyjadruje člen $a_{n+1}$ pomocou predchádzajúcich členov.

Nepárne čísla

1, 3, 5, 7, \dots

zadané rekurentne

\displaystyle a_1 = 1, \qquad \allowbreak a_{n+1} = a_n + 2

Ako nájsť vzorec z prvých členov

Hľadaj zvlášť pravidlo pre čitateľ, menovateľ a znamienko.
Čísla, ktoré rastú alebo klesajú stále o to isté číslo $d$ , majú tvar $dn + c$ , napríklad $3, 5, 7, 9, \dots$ je $2n + 1$ . Mocniny dvojky $2, 4, 8, 16, \dots$ zapíšeš $2^n$ .
Striedanie znamienok zapíšeš pomocou $(-1)^n$ , ak prvý člen je záporný, alebo $(-1)^{n+1}$ , ak je kladný.
Vzorec si vždy over dosadením $n = 1, 2, 3$ .

Časť 3prečítaná

Graf postupnosti

Grafom postupnosti je množina navzájom izolovaných bodov $A_1, A_2, A_3, \dots$ , pričom bod $A_n$ má súradnice $[n; a_n]$ , kde $n \in \mathbb{N}$ a $a_n \in \mathbb{R}$ .

Postupnosť môžeš znázorniť v karteziánskej sústave súradníc alebo na číselnej osi. Na číselnej osi vyznačíš len hodnoty jej členov.

Vľavo graf postupnosti v sústave súradníc: izolované body A1 [1; 1], A2 [2; 1,5] a A3 [3; 2], na vodorovnej osi je n, na zvislej an. Vpravo tie isté členy a1 = 1, a2 = 1,5 a a3 = 2 ako body na číselnej osi.

Časť 4prečítaná

Monotónnosť

Postupnosť $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ je	ak pre všetky $n \in \mathbb{N}$ platí
rastúca	$a_{n+1} > a_n$
klesajúca	$a_{n+1} < a_n$
neklesajúca	$a_{n+1} \geq a_n$
nerastúca	$a_{n+1} \leq a_n$
konštantná	$a_{n+1} = a_n$

rastúca

a_{n+1} > a_n

klesajúca

a_{n+1} < a_n

neklesajúca

a_{n+1} \geq a_n

nerastúca

a_{n+1} \leq a_n

konštantná

a_{n+1} = a_n

Monotónna postupnosť: Postupnosti rastúce, klesajúce, neklesajúce a nerastúce sa súhrnne nazývajú monotónne postupnosti.

Platí

Každá rastúca postupnosť je aj neklesajúca a každá klesajúca postupnosť je aj nerastúca.
Konštantná postupnosť je zároveň neklesajúca aj nerastúca.

Ako zistiť, či je postupnosť monotónna

Vypočítaj rozdiel $a_{n+1} - a_n$ a uprav ho na čo najjednoduchší tvar. Člen $a_{n+1}$ dostaneš, keď vo vzorci nahradíš $n$ výrazom $n + 1$ .
Ak je rozdiel kladný pre každé $n \in \mathbb{N}$ , postupnosť je rastúca. Ak je záporný pre každé $n$ , je klesajúca.
Ak je rozdiel pre každé $n$ väčší alebo rovný nule, postupnosť je neklesajúca. Ak je menší alebo rovný nule, je nerastúca.
Ak je rozdiel pre niektoré $n$ kladný a pre iné záporný, postupnosť nie je monotónna.

Časť 5prečítaná

Ohraničenosť

Zdola ohraničená postupnosť: Postupnosť $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ je zdola ohraničená, ak existuje také číslo $d \in \mathbb{R}$ , že pre všetky $n \in \mathbb{N}$ platí $a_n \geq d$ .
Zhora ohraničená postupnosť: Postupnosť $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ je zhora ohraničená, ak existuje také číslo $h \in \mathbb{R}$ , že pre všetky $n \in \mathbb{N}$ platí $a_n \leq h$ .
Ohraničená postupnosť: Postupnosť, ktorá je súčasne ohraničená zdola aj zhora, je ohraničená. Pre všetky $n \in \mathbb{N}$ potom platí $d \leq a_n \leq h$ .

Niekedy sa ohraničenosť zapisuje s ostrými nerovnosťami $a_n > d$ a $a_n < h$ . Znamená to isté: keď platí $a_n \geq d$ , platí aj $a_n > d - 1$ .

Platí

Rastúca aj neklesajúca postupnosť je zdola ohraničená svojím prvým členom: $a_n \geq a_1$ .
Klesajúca aj nerastúca postupnosť je zhora ohraničená svojím prvým členom: $a_n \leq a_1$ .
Postupnosť, ktorá nie je ohraničená zdola alebo nie je ohraničená zhora, nie je ohraničená.

Časť 6prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Monotónnosť a ohraničenosť

Zisti, či je postupnosť $\left\{\frac{3n+1}{n+2}\right\}_{n=1}^{\infty}$ monotónna a či je ohraničená.

Člen $a_{n+1}$ dostaneš, keď za $n$ dosadíš $n + 1$ : $a_{n+1} = \frac{3n+4}{n+3}$ . Vypočítaj rozdiel susedných členov.
$\displaystyle a_{n+1} - a_n = \frac{3n+4}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}$
$\displaystyle = \frac{3n^2 + 10n + 8 - (3n^2 + 10n + 3)}{(n+2)(n+3)} = \frac{5}{(n+2)(n+3)} > 0$
Rozdiel je kladný pre každé $n \in \mathbb{N}$ , preto je postupnosť rastúca. Je teda zdola ohraničená prvým členom $a_1 = \frac{4}{3}$ .
$\displaystyle \frac{3n+1}{n+2} = \frac{3(n+2) - 5}{n+2} = 3 - \frac{5}{n+2} < 3$
Všetky členy sú menšie ako $3$ , takže postupnosť je ohraničená aj zhora.

Výsledok: Postupnosť je rastúca a ohraničená, pre všetky $n \in \mathbb{N}$ platí $\frac{4}{3} \leq a_n < 3$ .

Riešený príklad

Vzorec z prvých členov

Napíš vzťah pre $n$ -tý člen postupnosti, ktorá začína členmi $\frac{1}{2},\ \allowbreak -\frac{2}{4},\ \allowbreak \frac{3}{8},\ \allowbreak -\frac{4}{16}, \dots$

Čitatele sú $1, 2, 3, 4$ , teda $n$ .
Menovatele sú $2, 4, 8, 16$ , teda mocniny dvojky $2^n$ .
Znamienka sa striedajú a prvý člen je kladný, preto použiješ $(-1)^{n+1}$ : pre $n = 1$ je $(-1)^2 = 1$ , pre $n = 2$ je $(-1)^3 = -1$ .
$\displaystyle a_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n}{2^n}$
Skúška: $a_3 = (-1)^4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$ a $a_4 = (-1)^5 \cdot \frac{4}{16} = -\frac{4}{16}$ , sedí.

Výsledok: $a_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n}{2^n}$

Riešený príklad

Rekurentné určenie postupnosti

Urči rekurentne postupnosť $\{n^2\}_{n=1}^{\infty}$ .

Prvý člen je $a_1 = 1^2 = 1$ .
Zisti, o koľko sa líšia dva susedné členy:
$\displaystyle a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$
Odtiaľ $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ . Skúška: $a_2 = 1 + 3 = 4$ a $a_3 = 4 + 5 = 9$ , sedí.

Výsledok: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ pre všetky $n \in \mathbb{N}$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 17

Nájdi prvých päť členov postupnosti, ktorá je daná vzťahom

a_n = (-1)^n \cdot \frac{n}{n + 1}

Do predpisu postupne dosaď

n = 1, 2, 3, 4, 5

. Činiteľ

(-1)^n

je pri nepárnom

n

rovný

-1

a pri párnom

1

, preto sa znamienka striedajú.

-\frac{1}{2},\ \allowbreak \frac{2}{3},\ \allowbreak -\frac{3}{4},\ \allowbreak \frac{4}{5},\ \allowbreak -\frac{5}{6}

V postupnosti

a_n = 3 - 2n

vypočítaj

a_{n+1}

a_n + 1

a_{k-1}

Pri

a_{n+1}

a_{k-1}

dosaď do vzorca namiesto

n

výraz

n + 1

, resp.

k - 1

. Výraz

a_n + 1

je člen

a_n

zväčšený o

1

a_{n+1} = 1 - 2n

a_n + 1 = 4 - 2n

a_{k-1} = 5 - 2k

Napíš vzťah pre

n

-tý člen postupnosti, ktorá začína členmi:

a)
$3, 6, 9, 12, 15, \dots$
b)
$5, 7, 9, 11, 13, \dots$
c)
$-1, -3, -5, -7, -9, \dots$
d)
$\frac{2}{3},\ \allowbreak \frac{4}{3},\ \allowbreak \frac{8}{3},\ \allowbreak \frac{16}{3},\ \allowbreak \frac{32}{3}, \dots$
e)
$\frac{1}{3},\ \allowbreak \frac{2}{9},\ \allowbreak \frac{3}{27},\ \allowbreak \frac{4}{81},\ \allowbreak \frac{5}{243}, \dots$
f)
$-\frac{3}{2},\ \allowbreak -\frac{2}{4},\ \allowbreak -\frac{1}{8},\ \allowbreak \frac{0}{16},\ \allowbreak \frac{1}{32},\ \allowbreak \frac{2}{64}, \dots$
g)
$\frac{1}{2 \cdot 3},\ \allowbreak \frac{4}{3 \cdot 4},\ \allowbreak \frac{9}{4 \cdot 5},\ \allowbreak \frac{16}{5 \cdot 6},\ \allowbreak \frac{25}{6 \cdot 7}, \dots$
i)
$a - b,\ \allowbreak 2a - \frac{b}{2},\ \allowbreak 3a - \frac{b}{4},\ \allowbreak 4a - \frac{b}{8},\ \allowbreak 5a - \frac{b}{16}, \dots$
j)
$1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0, \dots$
k)
$-\frac{1}{2}\log 2,\ \allowbreak \frac{1}{4}\log 5,\ \allowbreak -\frac{1}{6}\log 8,\ \allowbreak \frac{1}{8}\log 11,\ \allowbreak -\frac{1}{10}\log 14, \dots$

Hľadaj zvlášť pravidlo pre čitateľ, menovateľ a znamienko a vzorec over dosadením

n = 1, 2, 3

. Správnych zápisov môže byť viac.

a) $a_n = 3n$
b) $a_n = 2n + 3$
c) $a_n = -(2n - 1) = 1 - 2n$
d) $a_n = \frac{2^n}{3}$
e) $a_n = \frac{n}{3^n}$
f) $a_n = \frac{n - 4}{2^n}$
g) $a_n = \frac{n^2}{(n+1)(n+2)}$
i) $a_n = na - \frac{b}{2^{n-1}}$
j) $a_n = \frac{n\,(1 - (-1)^n)}{2}$ , teda $a_n = n$ pre nepárne $n$ a $a_n = 0$ pre párne $n$
k) $a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2n} \log(3n - 1)$

Zisti, či sú dané postupnosti monotónne:

a)
$\left\{\frac{3n-1}{2}\right\}_{n=1}^{\infty}$
b)
$\left\{1 - \frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$
c)
$\left\{\frac{2n+3}{3n+1}\right\}_{n=1}^{\infty}$
d)
$\{1 - n^2\}_{n=1}^{\infty}$
e)
$\{n^2 - 10n + 1\}_{n=1}^{\infty}$
f)
$\{9n - 9n^2 - 2\}_{n=1}^{\infty}$

Vypočítaj rozdiel

a_{n+1} - a_n

, uprav ho a urči jeho znamienko pre všetky

n \in \mathbb{N}

a)Rastúca, $a_{n+1} - a_n = \frac{3}{2} > 0$ .
b)Rastúca, $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)} > 0$ .
c)Klesajúca, $a_{n+1} - a_n = -\frac{7}{(3n+1)(3n+4)} < 0$ .
d)Klesajúca, $a_{n+1} - a_n = -(2n + 1) < 0$ .
e)Nie je monotónna. Rozdiel $a_{n+1} - a_n = 2n - 9$ je záporný pre $n \leq 4$ a kladný pre $n \geq 5$ , napríklad $a_4 = -23$ , $a_5 = -24$ , $a_6 = -23$ .
f)Klesajúca, $a_{n+1} - a_n = -18n < 0$ .

Napíš prvých

5

členov postupnosti danej rekurentným vzťahom

a_{n+1} = 2a_n - 3a_{n-1}

a_1 = 0

a_2 = 1

Do vzťahu postupne dosaď

n = 2

n = 3

n = 4

: napríklad

a_3 = 2a_2 - 3a_1

0, 1, 2, 1, -4

Dané postupnosti urči rekurentne:

a)
$\left\{\frac{1}{n(n+1)}\right\}_{n=1}^{\infty}$
b)
$\{n(n+1)\}_{n=1}^{\infty}$
c)
$\{\log 3^n\}_{n=1}^{\infty}$

Vypočítaj

a_1

a potom rozdiel

a_{n+1} - a_n

alebo podiel

\frac{a_{n+1}}{a_n}

a vyjadri z neho

a_{n+1}

. Rekurentných vzťahov môže byť viac, svoj si over dosadením.

a) $a_1 = \frac{1}{2}$ , $a_{n+1} = \frac{n}{n+2} \cdot a_n$
b) $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = a_n + 2(n+1)$
c) $a_1 = \log 3$ , $a_{n+1} = a_n + \log 3$ , lebo $\log 3^n = n \log 3$

Postupnosti, ktoré sú dané rekurentne, vyjadri vzťahom pre

n

-tý člen:

a)
$a_{n+1} = 2 - a_n$ , $a_1 = 0$
b)
$a_{n+1} = a_n + 2$ , $a_1 = 3$

Vypočítaj niekoľko prvých členov, nájdi v nich pravidlo a over ho dosadením do rekurentného vzťahu.

a) $a_n = 1 + (-1)^n$ , členy sú $0, 2, 0, 2, \dots$
b) $a_n = 2n + 1$

Zisti, či sú dané postupnosti ohraničené:

a)
$\{3n + 5\}_{n=1}^{\infty}$
b)
$\{5 - 2n\}_{n=1}^{\infty}$
c)
$\left\{\frac{n+1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$
d)
$\left\{\frac{2n}{n+1} + \frac{4n+3}{5n+3}\right\}_{n=1}^{\infty}$
e)
$\left\{5 + \frac{3}{2n}\right\}_{n=1}^{\infty}$
f)
$\{(-1)^n \cdot (3n + 4)\}_{n=1}^{\infty}$

Hľadaj čísla

d

h

, pre ktoré platí

d \leq a_n \leq h

. Keď je

n

v čitateli aj v menovateli, pomôže čiastočné delenie. Pri monotónnej postupnosti je jednou hranicou jej prvý člen.

a)Nie je ohraničená. Je zdola ohraničená, $a_n \geq 8$ , ale zhora nie, členy rastú nad všetky medze.
b)Nie je ohraničená. Je zhora ohraničená, $a_n \leq 3$ , ale zdola nie.
c)Ohraničená, $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ , teda $1 < a_n \leq 2$ .
d)Ohraničená. Prvý sčítanec $\frac{2n}{n+1} = 2 - \frac{2}{n+1}$ leží v intervale $\langle 1; 2)$ a druhý $\frac{4n+3}{5n+3} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5(5n+3)}$ v intervale $\left(\frac{4}{5}; \frac{7}{8}\right\rangle$ , preto napríklad $\frac{9}{5} < a_n < \frac{23}{8}$ .
e)Ohraničená, $5 < a_n \leq \frac{13}{2}$ .
f)Nie je ohraničená zdola ani zhora. Členy sú $-7, 10, -13, 16, \dots$ a ich absolútna hodnota $3n + 4$ rastie nad všetky medze.

Napíš prvých päť členov postupností a načrtni ich grafy:

a)
$\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$
b)
$\left\{\cos\frac{n\pi}{2}\right\}_{n=1}^{\infty}$

Do grafu zakresli izolované body

[n; a_n]

a nespájaj ich čiarou. Pri

\cos\frac{n\pi}{2}

ti pomôže jednotková kružnica s uhlami

\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \dots

a) $1,\ \allowbreak \frac{1}{2},\ \allowbreak \frac{1}{3},\ \allowbreak \frac{1}{4},\ \allowbreak \frac{1}{5}$
b) $0, -1, 0, 1, 0$

10.

Napíš prvý, piaty a desiaty člen postupností:

a)
$\left\{\frac{3n}{2}\right\}_{n=1}^{\infty}$
b)
$\{\log_n n\}_{n=1}^{\infty}$

Pri logaritme si všímaj základ: musí byť kladný a rôzny od

1

a) $a_1 = \frac{3}{2}$ , $a_5 = \frac{15}{2}$ , $a_{10} = 15$
b)Prvý člen neexistuje, lebo logaritmus so základom $1$ nie je definovaný. Pre $n \geq 2$ je $\log_n n = 1$ , teda $a_5 = a_{10} = 1$ .

11.

Rozhodni, či je každý člen postupnosti

a_n = n^2 - n + 17

prvočíslo.

Skús nájsť

n

, pri ktorom sa dá z výrazu

n^2 - n + 17

vybrať spoločný deliteľ, napríklad

n = 17

Nie. Členy

a_1

až

a_{16}

sú prvočísla, ale

a_{17} = 17^2 - 17 + 17 = 17^2 = 289

je zložené číslo.

12.

Postupnosť je daná rekurentne:

a_1 = 5

a_2 = 4

a_{n+1} = \frac{4}{3}(a_n + a_{n-1})

. Vypočítaj prvých šesť členov, odhadni vzorec pre

n

-tý člen a dokáž jeho správnosť.

Odhadnúť vzorec len z vypočítaných čísel je tu ťažké. Hľadaj ho v tvare

a_n = q^n

: po dosadení do vzťahu dostaneš

3q^2 - 4q - 4 = 0

, teda

q = 2

alebo

q = -\frac{2}{3}

. Vzorec má potom tvar

a_n = A \cdot 2^n + B \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^n

a čísla

A

B

určíš z

a_1 = 5

a_2 = 4

. Správnosť dokáž matematickou indukciou, ktorá tu začína dvoma členmi

a_1

a_2

Prvých šesť členov je

5,\ \allowbreak 4,\ \allowbreak 12,\ \allowbreak \frac{64}{3},\ \allowbreak \frac{400}{9},\ \allowbreak \frac{2368}{27}

. Vzorec pre

n

-tý člen je

a_n = 11 \cdot 2^{n-3} + \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-3}

. Dôkaz indukciou: pre

n = 1

n = 2

vzorec dáva

\frac{11}{4} + \frac{9}{4} = 5

\frac{11}{2} - \frac{3}{2} = 4

. Ak platí pre

a_{n-1}

a_n

, tak

\frac{4}{3}(a_n + a_{n-1}) = 11 \cdot 2^{n-2} + \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-2} = a_{n+1}

13.

Nájdi rekurentné určenie postupností:

a)
$\{n(n+1)\}_{n=1}^{\infty}$
b)
$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=1}^{\infty}$

Vypočítaj

a_1

a potom rozdiel

a_{n+1} - a_n

alebo podiel

\frac{a_{n+1}}{a_n}

. Pri b) si všimni, že

2 - a_n = \frac{n+2}{n+1}

a) $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = a_n + 2(n+1)$
b) $a_1 = \frac{1}{2}$ , $a_{n+1} = \frac{1}{2 - a_n}$ , prípadne $a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} \cdot a_n$

14.

Vzorcom vyjadri

n

-tý člen postupnosti, ktorá je daná rekurentne:

a)
$a_{n+1} = -a_n$ , $a_1 = 1$
b)
$a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1}$ , $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$

Vypočítaj niekoľko prvých členov. Pri b) si všimni, že vzťah sa dá prepísať na

a_{n+1} - a_n = a_n - a_{n-1}

, susedné členy sa teda líšia stále o to isté číslo.

a) $a_n = (-1)^{n+1}$
b) $a_n = n$

15.

Zisti, či je postupnosť

\{-2n + 3\}_{n=1}^{\infty}

rastúca alebo klesajúca.

Klesajúca, lebo

a_{n+1} - a_n = -2 < 0

16.

Zisti, či je postupnosť

\left\{\frac{n+1}{2n+3}\right\}_{n=1}^{\infty}

rastúca alebo klesajúca.

Zlomky v rozdiele

a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{2n+5} - \frac{n+1}{2n+3}

preveď na spoločného menovateľa.

Rastúca, lebo

a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(2n+3)(2n+5)} > 0

17.

Je postupnosť

a_n = \sin n

ohraničená?

Áno, je ohraničená, pre všetky

n \in \mathbb{N}

platí

-1 \leq \sin n \leq 1

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.