Okruh 11 · Funkcie

Goniometrické funkcie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens na jednotkovej kružnici, ich grafy, vlastnosti a goniometrické rovnice.

asi 120 min · 8 častí · 12 úloh

0 z 8 častí · 0 z 12 úloh

V skratke

Na jednotkovej kružnici je $\sin x$ druhá súradnica ( $y_M$ ) a $\cos x$ prvá súradnica ( $x_M$ ) bodu $M$ , preto sú obe z intervalu $\langle -1; 1 \rangle$ .
$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ pre $\cos x \neq 0$ a $\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ pre $\sin x \neq 0$ .
Sínus a kosínus majú periódu $2\pi$ , tangens a kotangens periódu $\pi$ .
Kosínus je párna funkcia, sínus, tangens a kotangens sú nepárne.
Hodnoty pre $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{2}$ musíš vedieť naspamäť: sínus postupne $\frac{\sqrt{0}}{2}$ , $\frac{\sqrt{1}}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{4}}{2}$ , kosínus naopak.
Rovnicu riešiš substitúciou za argument: nájdeš riešenia v jednej perióde, pripočítaš $2k\pi$ (sínus, kosínus) alebo $k\pi$ (tangens, kotangens) a vyjadríš $x$ .

Časť 1prečítaná

Periodické funkcie

Periodická funkcia: Funkcia $f$ sa nazýva periodická, ak existuje také číslo $p > 0$ , že pre každé $x \in \mathrm{D}(f)$ a každé celé číslo $k$ patrí do $\mathrm{D}(f)$ aj $x + kp$ a platí $f(x) = f(x + p) = f(x + kp)$ . Číslo $p$ sa nazýva perióda funkcie.
Primitívna perióda: Najmenšie kladné číslo $p$ , ktoré je periódou periodickej funkcie, je jej primitívna perióda. Keď je $p$ perióda, sú periódami aj čísla $2p$ , $3p$ a ďalšie násobky.

Graf periodickej funkcie sa pravidelne opakuje po intervaloch, ktorých dĺžka je perióda $p$ . Priebeh funkcie je na každom intervale $(np; (n+1)p)$ , kde $n \in \mathbb{Z}$ , rovnaký. Preto ti stačí poznať graf na jednom takom intervale a potom ho len „kopírovať“ doľava aj doprava.

Časť 2prečítaná

Definícia goniometrických funkcií

Goniometrické funkcie vyjadrujú vzťah medzi veľkosťami ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku a pomermi dĺžok strán tohto trojuholníka.

Pravouhlý trojuholník

\displaystyle \sin\alpha = \frac{a}{c}, \qquad \allowbreak \cos\alpha = \frac{b}{c}

V pravouhlom trojuholníku s preponou $c$ leží odvesna $a$ oproti uhlu $\alpha$ a odvesna $b$ pri ňom. Sínus je pomer protiľahlej odvesny a prepony, kosínus pomer priľahlej odvesny a prepony.

\displaystyle \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}, \qquad \allowbreak \operatorname{cotg}\alpha = \frac{b}{a}

Tangens je pomer protiľahlej a priľahlej odvesny, kotangens pomer priľahlej a protiľahlej odvesny.

Pravouhlý trojuholník poslúži len pre ostré uhly. Pre ľubovoľné reálne číslo $x$ definuješ goniometrické funkcie pomocou jednotkovej kružnice.

Jednotková kružnica: Kružnica so stredom v bode $S[0; 0]$ a polomerom $1$ . Jej dĺžka je $2\pi$ .

Každému reálnemu číslu $x$ priradíš bod $M[x_M; y_M]$ jednotkovej kružnice tak, že orientovaný uhol s počiatočným ramenom $SJ$ a koncovým ramenom $SM$ má veľkosť $x$ v oblúkovej miere (na obrázku je to uhol $\alpha$ ). Kladné $x$ nanášaš od bodu $J[1; 0]$ proti smeru hodinových ručičiek, záporné v smere hodinových ručičiek.

Jednotková kružnica so stredom S v začiatku sústavy súradníc, bodmi J[1; 0] na osi x a J1[0; 1] na osi y. Bod M na kružnici má súradnice xM a yM, pri strede je uhol alfa. V bode J je zvislá dotyčnica, v bode J1 vodorovná dotyčnica. Priamka SM pretína zvislú dotyčnicu v bode K a vodorovnú v bode N.

Sínus: Funkcia, ktorá každému $x \in \mathbb{R}$ priradí $y$ -ovú súradnicu bodu $M$ , teda $\sin x = y_M$ .
Kosínus: Funkcia, ktorá každému $x \in \mathbb{R}$ priradí $x$ -ovú súradnicu bodu $M$ , teda $\cos x = x_M$ .

Body $K$ a $N$ sú priesečníky priamky $SM$ s dotyčnicami k jednotkovej kružnici v bodoch $J[1; 0]$ a $J_1[0; 1]$ .

Tangens: Funkcia, ktorá každému $x \in \mathbb{R} - \{\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}\}$ priradí veľkosť úsečky $JK$ so znamienkom, teda $y$ -ovú súradnicu bodu $K$ .
Kotangens: Funkcia, ktorá každému $x \in \mathbb{R} - \{k\pi;\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}\}$ priradí veľkosť úsečky $J_1N$ so znamienkom, teda $x$ -ovú súradnicu bodu $N$ .

Iná definícia tangensu

\displaystyle \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}

Tangens je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu $x$ , pre ktoré platí $\cos x \neq 0$ , priradí číslo $\frac{\sin x}{\cos x}$ .

Iná definícia kotangensu

\displaystyle \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}

Kotangens je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu $x$ , pre ktoré platí $\sin x \neq 0$ , priradí číslo $\frac{\cos x}{\sin x}$ .

Z definície na jednotkovej kružnici vyplýva

$-1 \leq \sin x \leq 1$ a $-1 \leq \cos x \leq 1$ , lebo bod $M$ leží na kružnici s polomerom $1$ .
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , čo je Pytagorova veta pre bod $M$ a jeho súradnice.

Časť 3prečítaná

Hodnoty vybraných uhlov

Hodnoty goniometrických funkcií vybraných uhlov

Uhol	V stupňoch	$\sin x$	$\cos x$	$\operatorname{tg} x$	$\operatorname{cotg} x$
$0$	$0^\circ$	$0$	$1$	$0$	nedef.
$\frac{\pi}{6}$	$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$	$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$\frac{\pi}{3}$	$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$90^\circ$	$1$	$0$	nedef.	$0$
$\pi$	$180^\circ$	$0$	$-1$	$0$	nedef.
$\frac{3\pi}{2}$	$270^\circ$	$-1$	$0$	nedef.	$0$
$2\pi$	$360^\circ$	$0$	$1$	$0$	nedef.

0

V stupňoch: $0^\circ$
$\sin x$: $0$
$\cos x$: $1$
$\operatorname{tg} x$: $0$
$\operatorname{cotg} x$: nedef.

\frac{\pi}{6}

V stupňoch: $30^\circ$
$\sin x$: $\frac{1}{2}$
$\cos x$: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{tg} x$: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operatorname{cotg} x$: $\sqrt{3}$

\frac{\pi}{4}

V stupňoch: $45^\circ$
$\sin x$: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x$: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\operatorname{tg} x$: $1$
$\operatorname{cotg} x$: $1$

\frac{\pi}{3}

V stupňoch: $60^\circ$
$\sin x$: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x$: $\frac{1}{2}$
$\operatorname{tg} x$: $\sqrt{3}$
$\operatorname{cotg} x$: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

\frac{\pi}{2}

V stupňoch: $90^\circ$
$\sin x$: $1$
$\cos x$: $0$
$\operatorname{tg} x$: nedef.
$\operatorname{cotg} x$: $0$

\pi

V stupňoch: $180^\circ$
$\sin x$: $0$
$\cos x$: $-1$
$\operatorname{tg} x$: $0$
$\operatorname{cotg} x$: nedef.

\frac{3\pi}{2}

V stupňoch: $270^\circ$
$\sin x$: $-1$
$\cos x$: $0$
$\operatorname{tg} x$: nedef.
$\operatorname{cotg} x$: $0$

2\pi

V stupňoch: $360^\circ$
$\sin x$: $0$
$\cos x$: $1$
$\operatorname{tg} x$: $0$
$\operatorname{cotg} x$: nedef.

„nedef.“ znamená, že funkcia pre tento uhol nie je definovaná.

Hodnoty pre ďalšie uhly odvodíš z jednotkovej kružnice. Napríklad bod pre uhol $\frac{5\pi}{6}$ je súmerný s bodom pre $\frac{\pi}{6}$ podľa osi $y$ , preto $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ a $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Časť 4prečítaná

Funkcie sínus a kosínus

Pripomeň si: funkcia $f$ je párna, ak pre každé $x \in \mathrm{D}(f)$ platí $f(-x) = f(x)$ , a nepárna, ak $f(-x) = -f(x)$ . Definičný obor musí byť v oboch prípadoch súmerný podľa nuly. Vo všetkých vzťahoch nižšie je $k$ ľubovoľné celé číslo.

Graf funkcie y = sin x na intervale od mínus pí polovíc po 2 pí. Prechádza začiatkom sústavy súradníc, maximum 1 má v bode pí polovíc, os x pretína v bodoch 0, pí a 2 pí a minimum mínus 1 má v bode 3 pí polovíc.

Vlastnosti funkcie

y = \sin x

$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(f) = \langle -1; 1 \rangle$
nepárna: $\sin(-x) = -\sin x$ , graf je súmerný podľa začiatku sústavy súradníc
ohraničená
rastúca na intervaloch $(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$
klesajúca na intervaloch $(\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$
maximum $1$ v bodoch $x = (4k+1)\frac{\pi}{2}$ , teda $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
minimum $-1$ v bodoch $x = (4k-1)\frac{\pi}{2}$ , teda $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$
nulové body $x = k\pi$
perióda $2\pi$

Graf funkcie y = cos x na intervale od mínus pí polovíc po 2 pí. Maximum 1 má v bode 0, os x pretína v bodoch mínus pí polovíc, pí polovíc a 3 pí polovíc a minimum mínus 1 má v bode pí.

Vlastnosti funkcie

y = \cos x

$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(f) = \langle -1; 1 \rangle$
párna: $\cos(-x) = \cos x$ , graf je súmerný podľa osi $y$
ohraničená
rastúca na intervaloch $(-\pi + 2k\pi; 2k\pi)$
klesajúca na intervaloch $(2k\pi; \pi + 2k\pi)$
maximum $1$ v bodoch $x = 2k\pi$
minimum $-1$ v bodoch $x = (2k-1)\pi$ , teda $x = \pi + 2k\pi$
nulové body $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
perióda $2\pi$

Časť 5prečítaná

Funkcie tangens a kotangens

Graf funkcie y = tg x. Tvoria ho rastúce vetvy medzi zvislými asymptotami x = mínus pí polovíc, pí polovíc a 3 pí polovíc. Vetvy pretínajú os x v bodoch 0, pí a 2 pí.

Vlastnosti funkcie

y = \operatorname{tg} x

$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{(2k+1)\frac{\pi}{2};\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}\}$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$
nepárna: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$
nie je ohraničená
rastúca na každom intervale $(-\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)$ , klesajúca nie je
nemá maximum ani minimum
nulové body $x = k\pi$
perióda $\pi$

Graf funkcie y = cotg x. Tvoria ho klesajúce vetvy medzi zvislými asymptotami x = 0, pí a 2 pí. Vetvy pretínajú os x v bodoch mínus pí polovíc, pí polovíc a 3 pí polovíc.

Vlastnosti funkcie

y = \operatorname{cotg} x

$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R} - \{k\pi;\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}\}$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$
nepárna: $\operatorname{cotg}(-x) = -\operatorname{cotg} x$
nie je ohraničená
klesajúca na každom intervale $(k\pi; \pi + k\pi)$ , rastúca nie je
nemá maximum ani minimum
nulové body $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
perióda $\pi$

Priamky $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sú asymptoty grafu tangensu a priamky $x = k\pi$ asymptoty grafu kotangensu. Graf sa k nim približuje, ale nikdy ich nepretne.

Prehľad vlastností

Vlastnosť	$\sin x$	$\cos x$	$\operatorname{tg} x$	$\operatorname{cotg} x$
Definičný obor	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$	$x \neq k\pi$
Obor hodnôt	$\langle -1; 1 \rangle$	$\langle -1; 1 \rangle$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Párnosť	nepárna	párna	nepárna	nepárna
Ohraničenosť	ohraničená	ohraničená	nie je ohraničená	nie je ohraničená
Extrémy	max. $1$ , min. $-1$	max. $1$ , min. $-1$	nemá	nemá
Perióda	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$	$\pi$

Definičný obor

$\sin x$: $\mathbb{R}$
$\cos x$: $\mathbb{R}$
$\operatorname{tg} x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\operatorname{cotg} x$: $x \neq k\pi$

Obor hodnôt

$\sin x$: $\langle -1; 1 \rangle$
$\cos x$: $\langle -1; 1 \rangle$
$\operatorname{tg} x$: $\mathbb{R}$
$\operatorname{cotg} x$: $\mathbb{R}$

Párnosť

$\sin x$: nepárna
$\cos x$: párna
$\operatorname{tg} x$: nepárna
$\operatorname{cotg} x$: nepárna

Ohraničenosť

$\sin x$: ohraničená
$\cos x$: ohraničená
$\operatorname{tg} x$: nie je ohraničená
$\operatorname{cotg} x$: nie je ohraničená

Extrémy

$\sin x$: max. $1$ , min. $-1$
$\cos x$: max. $1$ , min. $-1$
$\operatorname{tg} x$: nemá
$\operatorname{cotg} x$: nemá

Perióda

$\sin x$: $2\pi$
$\cos x$: $2\pi$
$\operatorname{tg} x$: $\pi$
$\operatorname{cotg} x$: $\pi$

Časť 6prečítaná

Posúvanie a úprava grafov

Grafy funkcií ako $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) + 1$ nekreslíš bod po bode. Vychádzaš zo základného grafu a postupne ho posúvaš, naťahuješ alebo preklápaš.

Čo sa stane s grafom

$y = a \cdot f(x)$ : graf sa v smere osi $y$ natiahne (pri $|a| > 1$ ) alebo stlačí (pri $|a| < 1$ ). Pri $a < 0$ sa navyše preklopí podľa osi $x$ .
$y = f(bx)$ , $b > 0$ : graf sa v smere osi $x$ zhustí (pri $b > 1$ ) alebo zriedi (pri $b < 1$ ).
$y = f(x - c)$ : graf sa posunie o $c$ doprava (pri $c > 0$ ) alebo o $|c|$ doľava (pri $c < 0$ ).
$y = f(x) + d$ : graf sa posunie o $d$ nahor (pri $d > 0$ ) alebo o $|d|$ nadol (pri $d < 0$ ).
$y = |f(x)|$ : časti grafu pod osou $x$ preklopíš nad os $x$ .
$y = f(-x)$ : graf preklopíš podľa osi $y$ . Pri nepárnej funkcii je to to isté ako $y = -f(x)$ , napríklad $\sin(-x) = -\sin x$ .

Všeobecný tvar

\displaystyle y = a \cdot \sin[b(x - c)] + d

Obor hodnôt je $\langle d - |a|; d + |a| \rangle$ a perióda $\frac{2\pi}{|b|}$ . To isté platí pre kosínus. Tangens a kotangens majú periódu $\frac{\pi}{|b|}$ a obor hodnôt $\mathbb{R}$ .

Časť 7prečítaná

Goniometrické rovnice a nerovnice

V goniometrickej rovnici je neznáma v argumente goniometrickej funkcie. Goniometrické funkcie sú periodické, preto má taká rovnica (ak má riešenie) nekonečne veľa riešení. Zapisuješ ich pomocou periódy a celého čísla $k \in \mathbb{Z}$ .

Postup pri riešení rovnice

Argument nahraď novou premennou, napríklad pri $\cos(3x + \frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ označ $a = 3x + \frac{5\pi}{6}$ .
Vyrieš základnú rovnicu, napríklad $\cos a = -\frac{1}{2}$ , v jednej perióde. Pomôže ti jednotková kružnica a tabuľka hodnôt.
Pripočítaj periódu: $2k\pi$ pri sínuse a kosínuse, $k\pi$ pri tangense a kotangense.
Vráť sa k pôvodnej premennej a vyjadri $x$ . Keď delíš, vydeľ aj periódu.
Ak je zadaný interval, vyber len riešenia, ktoré doň patria. Za $k$ dosadzuj postupne $0, \pm 1, \pm 2, \dots$

Koľko riešení hľadáš v jednej perióde

Rovnica $\sin x = c$ s $c \in (-1; 1)$ má v jednej perióde dve riešenia: $x_1$ a $\pi - x_1$ .
Rovnica $\cos x = c$ s $c \in (-1; 1)$ má v jednej perióde dve riešenia: $x_1$ a $-x_1$ (čiže $2\pi - x_1$ ).
Rovnica $\operatorname{tg} x = c$ aj $\operatorname{cotg} x = c$ má pre každé $c \in \mathbb{R}$ v jednej perióde práve jedno riešenie, stačí k nemu pripočítať $k\pi$ .

Rovnice, ktoré sa oplatí vedieť naspamäť

Rovnica	Riešenie, $k \in \mathbb{Z}$
$\sin x = 0$	$x = k\pi$
$\sin x = 1$	$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$\sin x = -1$	$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$
$\cos x = 0$	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\cos x = 1$	$x = 2k\pi$
$\cos x = -1$	$x = \pi + 2k\pi$
$\operatorname{tg} x = 0$	$x = k\pi$
$\operatorname{cotg} x = 0$	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

\sin x = 0

x = k\pi

\sin x = 1

x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi

\sin x = -1

x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi

\cos x = 0

x = \frac{\pi}{2} + k\pi

\cos x = 1

x = 2k\pi

\cos x = -1

x = \pi + 2k\pi

\operatorname{tg} x = 0

x = k\pi

\operatorname{cotg} x = 0

x = \frac{\pi}{2} + k\pi

Keď je v rovnici goniometrická funkcia v druhej mocnine, použi substitúciu $t = \sin x$ (alebo $t = \cos x$ , $t = \operatorname{tg} x$ ) a vyrieš kvadratickú rovnicu. Pri sínuse a kosínuse zahoď korene, ktoré nie sú v $\langle -1; 1 \rangle$ .

Goniometrickú nerovnicu vyriešiš na jednej perióde pomocou jednotkovej kružnice alebo grafu a potom k hraniciam intervalu pripočítaš periódu. Napríklad $\cos x > 0$ platí pre $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Rovnako hľadáš definičný obor funkcie s goniometrickou funkciou: výraz pod odmocninou musí byť nezáporný a menovateľ zlomku nesmie byť nula.

Časť 8prečítaná

Riešené príklady

Riešený príklad

Rovnica so zloženým argumentom

Rieš rovnicu $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ .

Označ argument $a = 2x - \frac{\pi}{3}$ a vyrieš základnú rovnicu $\cos a = \frac{1}{2}$ .
Kosínus má hodnotu $\frac{1}{2}$ pre $a = \frac{\pi}{3}$ a, keďže je párny, aj pre $a = -\frac{\pi}{3}$ . Pripočítaš periódu kosínusu $2k\pi$ :
$\displaystyle a_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \qquad \allowbreak a_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \qquad \allowbreak k \in \mathbb{Z}$
Vráť sa k neznámej $x$ :
$\displaystyle 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\Rightarrow\; 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\Rightarrow\; x_1 = \frac{\pi}{3} + k\pi$
$\displaystyle 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\Rightarrow\; 2x = 2k\pi \;\Rightarrow\; x_2 = k\pi$
Keď delíš dvomi, vydelíš aj periódu: z $2k\pi$ je $k\pi$ .

Výsledok: $x \in \{\frac{\pi}{3} + k\pi;\ \allowbreak k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$

Riešený príklad

Rovnica so substitúciou

Rieš rovnicu $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ .

Zaveď substitúciu $t = \sin x$ , pričom $t \in \langle -1; 1 \rangle$ . Dostaneš kvadratickú rovnicu:
$\displaystyle 2t^2 + t - 1 = 0 \;\Rightarrow\; t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$
Korene sú $t_1 = \frac{1}{2}$ a $t_2 = -1$ . Oba ležia v intervale $\langle -1; 1 \rangle$ , takže riešiš dve základné rovnice:
$\displaystyle \sin x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \;\lor\; x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
$\displaystyle \sin x = -1 \;\Rightarrow\; x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$

Výsledok: $x \in \{\frac{\pi}{6} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{5\pi}{6} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$

Riešený príklad

Nerovnica s tangensom

Rieš nerovnicu $\operatorname{tg} x \geq 1$ .

Tangens má periódu $\pi$ , preto stačí nerovnicu vyriešiť na intervale $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ , kde je tangens definovaný a rastúci.
Rovnosť $\operatorname{tg} x = 1$ nastane pre $x = \frac{\pi}{4}$ . Tangens na tomto intervale rastie, preto $\operatorname{tg} x \geq 1$ platí pre $x \in \langle \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ .
Bod $\frac{\pi}{2}$ do riešenia nepatrí, lebo v ňom tangens nie je definovaný. Nakoniec pripočítaš k obom hraniciam periódu $k\pi$ .

Výsledok: $x \in \langle \frac{\pi}{4} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)$ , $k \in \mathbb{Z}$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 12

Urči definičné obory funkcií:

a)
$f_1: y = \sqrt{\sin x}$
b)
$f_2: y = \sqrt{\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$
c)
$f_3: y = \sqrt{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}$
d)
$g_1: y = \sqrt{\cos x}$
e)
$g_2: y = \sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$
f)
$g_3: y = \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2} - x)}$

Výraz pod odmocninou musí byť nezáporný, takže riešiš nerovnicu, napríklad

\sin x \geq 0

. Pri

f_3

g_3

si nakresli graf funkcie pod odmocninou alebo využi, že

\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x

\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x

a) $x \in \langle 2k\pi; \pi + 2k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$
b) $x \in \langle \frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$
c) $x \in \langle -\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$
d) $x \in \langle -\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$
e) $x \in \langle -\frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{\pi}{6} + 2k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$
f) $x \in \langle 2k\pi; \pi + 2k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$

Zostroj graf funkcie:

a)
$f: y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$
b)
$g: y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$
c)
$h: y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$
d)
$i: y = 1 + |\cos x|$

a) Graf

y = \cos x

posuň o

\frac{\pi}{3}

doprava a natiahni

2

-krát v smere osi

y

. Maximum

2

je v bodoch

\frac{\pi}{3} + 2k\pi

, nulové body sú

\frac{5\pi}{6} + k\pi

. b) Graf

y = \sin x

posuň o

\frac{\pi}{3}

doprava a natiahni

2

-krát. Nulové body sú

\frac{\pi}{3} + k\pi

, maximum je v

\frac{5\pi}{6} + 2k\pi

. c) Graf

y = \cos x

posuň o

\frac{\pi}{3}

doľava. Maximum je v

-\frac{\pi}{3} + 2k\pi

, nulové body sú

\frac{\pi}{6} + k\pi

. d) Časti grafu

y = \cos x

pod osou

x

preklop nahor a celý graf posuň o

1

nahor. Obor hodnôt je

\langle 1; 2 \rangle

a perióda

\pi

Rieš rovnice v intervale

(0; 2\pi)

a)
$\operatorname{cotg}(2x - \frac{\pi}{4}) = -1$
b)
$\operatorname{tg}(-x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

Najprv nájdi všetky riešenia s periódou

k\pi

a potom dosaď za

k

celé čísla. Krajné body

0

2\pi

do otvoreného intervalu nepatria.

a) $x \in \{\frac{\pi}{2};\ \allowbreak \pi;\ \allowbreak \frac{3\pi}{2}\}$
b) $x \in \{\frac{5\pi}{6};\ \allowbreak \frac{11\pi}{6}\}$

Nájdi definičný obor funkcie

g

a zisti, či je párna alebo nepárna. Svoje tvrdenie zdôvodni.

\displaystyle g: y = \frac{\sin x}{\sqrt{2} + 2\cos x}

Menovateľ nesmie byť nula, teda

\cos x \neq -\frac{\sqrt{2}}{2}

. Potom vypočítaj

g(-x)

a porovnaj ho s

g(x)

\mathrm{D}(g) = \mathbb{R} - \{\frac{3\pi}{4} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{5\pi}{4} + 2k\pi;\ \allowbreak k \in \mathbb{Z}\}

. Funkcia je nepárna: definičný obor je súmerný podľa nuly a

g(-x) = \frac{\sin(-x)}{\sqrt{2} + 2\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\sqrt{2} + 2\cos x} = -g(x)

Dokáž, že v každom pravouhlom trojuholníku s odvesnami

a

b

platí:

\displaystyle \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2ab}{b^2 - a^2}

Uhol

\alpha

leží oproti odvesne

a

, takže

\sin\alpha = \frac{a}{c}

\cos\alpha = \frac{b}{c}

. Použi

\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}

, dosaď a skráť

c^2

. Vzťah má zmysel len pre

a \neq b

, inak je

2\alpha = 90^\circ

Dokáž, že v každom pravouhlom trojuholníku platí:

\displaystyle \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha + \cos\beta}{\sin\beta + \cos\alpha}

Vyjadri všetky hodnoty pomocou strán. Odvesna

a

je oproti uhlu

\alpha

a pri uhle

\beta

, preto

\sin\alpha = \cos\beta = \frac{a}{c}

\sin\beta = \cos\alpha = \frac{b}{c}

. Zlomok sa zjednoduší na

\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} = \operatorname{tg}\alpha

Daná je funkcia

f: y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) + 1

a)
Urči definičný obor $\mathrm{D}(f)$ , obor hodnôt $\mathrm{H}(f)$ a periódu danej funkcie a nájdi tie hodnoty $x \in \mathrm{D}(f)$ , v ktorých funkcia nadobúda extrémy.
b)
Načrtni graf funkcie $f$ .
c)
Vyrieš rovnicu $|f(x)| = 1$ .

Pri b) posuň graf

y = \cos x

\frac{\pi}{3}

doprava, natiahni ho

2

-krát v smere osi

y

a posuň o

1

nahor. Pri c) rieš zvlášť

f(x) = 1

, teda

\cos(x - \frac{\pi}{3}) = 0

, a

f(x) = -1

, teda

\cos(x - \frac{\pi}{3}) = -1

a) $\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(f) = \langle -1; 3 \rangle$ , perióda $2\pi$ . Maximum $3$ v bodoch $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ , minimum $-1$ v bodoch $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
c) $x \in \{\frac{5\pi}{6} + k\pi;\ \allowbreak \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$

Načrtni grafy funkcií:

a)
$y = 3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$
b)
$y = -0{,}5\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 2$
c)
$y = -\operatorname{tg} x + 2$
d)
$y = \operatorname{cotg}(x - \frac{\pi}{3})$
e)
$y = \sin(-x)$
f)
$y = |\sin x|$
g)
$y = |\cos(x + \frac{\pi}{4})|$

a) Uprav na

y = 3\cos[2(x - \frac{\pi}{6})] + 1

: perióda

\pi

, posun o

\frac{\pi}{6}

doprava, obor hodnôt

\langle -2; 4 \rangle

, maximum v bodoch

\frac{\pi}{6} + k\pi

. b) Graf

y = \sin x

posuň o

\frac{\pi}{4}

doľava, stlač na polovicu, preklop podľa osi

x

a posuň o

2

nadol, obor hodnôt je

\langle -2{,}5; -1{,}5 \rangle

. c) Graf

y = \operatorname{tg} x

preklop podľa osi

x

a posuň o

2

nahor, funkcia klesá na každom intervale

(-\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)

. d) Graf

y = \operatorname{cotg} x

posuň o

\frac{\pi}{3}

doprava, asymptoty sú

x = \frac{\pi}{3} + k\pi

. e)

\sin(-x) = -\sin x

, graf sínusu preklop podľa osi

x

. f), g) Časti grafu pod osou

x

preklop nad ňu, perióda je

\pi

Rieš rovnice:

a)
$\sin x = \frac{1}{2}$
b)
$\cos x = -1$
c)
$\operatorname{cotg} x = -\sqrt{3}$

Nájdi na jednotkovej kružnici body s danou súradnicou a pripočítaj periódu.

a) $x \in \{\frac{\pi}{6} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
b) $x \in \{\pi + 2k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
c) $x \in \{\frac{5\pi}{6} + k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$

10.

Rieš rovnice:

a)
$\sin 3x = 1$
b)
$\cos 10x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
c)
$\cos \frac{5}{2}x = 0$
d)
$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
e)
$\cos(3x + \frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$
f)
$\operatorname{tg}(4x - 3) = 1$
g)
$\operatorname{cotg}(\frac{\pi}{6} - x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
h)
$\sin(1 - x) = 0$
i)
$\sqrt{2}\cos(4\pi + 2x) = -1$
j)
$\sin(4x - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2}$

Argument nahraď novou premennou a vyrieš základnú rovnicu. Pri f) a h) je v argumente číslo bez

\pi

(to sú radiány), preto je v riešení samotné číslo, napríklad

\frac{3}{4}

. Pri i) využi, že

\cos(4\pi + 2x) = \cos 2x

a) $x \in \{\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
b) $x \in \{\frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{5};\ \allowbreak \frac{7\pi}{40} + \frac{k\pi}{5}\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
c) $x \in \{\frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5}\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
d) $x \in \{\frac{\pi}{4} + k\pi;\ \allowbreak \frac{\pi}{2} + k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
e) $x \in \{\frac{11\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3};\ \allowbreak \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
f) $x \in \{\frac{3}{4} + \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
g) $x \in \{\frac{5\pi}{6} + k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
h) $x \in \{1 + k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
i) $x \in \{\frac{3\pi}{8} + k\pi;\ \allowbreak \frac{5\pi}{8} + k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
j)Rovnica nemá riešenie, $x \in \emptyset$ , lebo $\sqrt{2} > 1$ .

11.

Rieš rovnice:

a)
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
b)
$4\sin^2 x - 2\sin x = \sqrt{3}(-1 + 2\sin x)$
c)
$\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 2 = 0$
d)
$2\sin^2 x - \sin x = 0$
e)
$4\cos^3 x = \cos x$

Použi substitúciu

t = \cos x

t = \sin x

alebo

t = \operatorname{tg} x

. V b) uprav rovnicu na

(2\sin x - 1)(2\sin x - \sqrt{3}) = 0

. V e) vyber

\cos x

pred zátvorku a nedeľ ním.

a) $x \in \{2k\pi;\ \allowbreak \frac{2\pi}{3} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\}$ , čo môžeš zapísať aj ako $x \in \{\frac{2k\pi}{3}\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
b) $x \in \{\frac{\pi}{6} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{5\pi}{6} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{\pi}{3} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
c) $x \in \{\frac{3\pi}{4} + k\pi;\ \allowbreak x_0 + k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$ , kde $x_0 = \operatorname{arctg} 2 \doteq 1{,}1071$ (na kalkulačke v radiánoch)
d) $x \in \{k\pi;\ \allowbreak \frac{\pi}{6} + 2k\pi;\ \allowbreak \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$
e) $x \in \{\frac{\pi}{2} + k\pi;\ \allowbreak \frac{\pi}{3} + k\pi;\ \allowbreak \frac{2\pi}{3} + k\pi\}$ , $k \in \mathbb{Z}$

12.

Rieš nerovnice:

a)
$\sin x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$
b)
$\operatorname{tg} x \leq -1$
c)
$\sin x < 0$
d)
$\operatorname{cotg} x > -1$

Vyznač si riešenie na jednotkovej kružnici alebo na grafe v jednej perióde a pripočítaj periódu. Pri tangense a kotangense daj pozor na body, kde funkcia nie je definovaná.

a) $x \in \langle \frac{\pi}{3} + 2k\pi; \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$
b) $x \in (\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{3\pi}{4} + k\pi \rangle$ , $k \in \mathbb{Z}$
c) $x \in (\pi + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi)$ , $k \in \mathbb{Z}$
d) $x \in (k\pi; \frac{3\pi}{4} + k\pi)$ , $k \in \mathbb{Z}$

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.