Okruh 10 · Funkcie

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Funkcie $a^x$ a $\log_a x$ : ich grafy a vlastnosti, vety o logaritmoch a riešenie rovníc a nerovníc.

asi 120 min · 8 častí · 28 úloh

0 z 8 častí · 0 z 28 úloh

V skratke

Funkcie $y = a^x$ a $y = \log_a x$ (pre $a > 0$ , $a \neq 1$ ) sú navzájom inverzné, ich grafy sú súmerné podľa priamky $y = x$ .
Pri $a > 1$ sú obe funkcie rastúce, pri $0 < a < 1$ klesajúce.
$a^x > 0$ pre každé $x$ a graf prechádza bodom $[0; 1]$ . Logaritmus existuje len pre kladné čísla a jeho graf prechádza bodom $[1; 0]$ .
$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$ , pričom $\log_a 1 = 0$ a $\log_a a = 1$ .
Vety: $\log_a (rs) = \log_a r + \log_a s$ , $\log_a \frac{r}{s} = \log_a r - \log_a s$ , $\log_a r^s = s \cdot \log_a r$ .
Prechod k inému základu: $\log_r t = \frac{\log t}{\log r}$ .
V nerovnici so základom z intervalu $(0; 1)$ otoč znak a nezabudni na podmienky: argument logaritmu musí byť kladný.

Časť 1prečítaná

Exponenciálna funkcia

Exponenciálna funkcia: Exponenciálna funkcia so základom $a$ je funkcia daná rovnicou $y = a^x$ , kde $a > 0$ a $a \neq 1$ .

\displaystyle f\colon\ y = a^x, \qquad \allowbreak a > 0,\ \allowbreak a \neq 1

Číslo $a$ je základ exponenciálnej funkcie. Pre danú funkciu je konštantný, premenná $x$ je v exponente.

Časť 2prečítaná

Graf a vlastnosti exponenciálnej funkcie

Vlastnosti exponenciálnej funkcie závisia od toho, či je základ väčší ako $1$ , alebo leží medzi $0$ a $1$ .

y = a^x

pre

a > 1

$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}^+ = (0; \infty)$
je prostá
je rastúca: pre všetky $x_1, x_2 \in \mathrm{D}(f)$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
je zdola ohraničená (dolným ohraničením je každé číslo $d \leq 0$ ), zhora ohraničená nie je
nemá maximum ani minimum
graf prechádza bodom $[0; 1]$ , to je jeho jediný priesečník s osou $y$

Graf funkcie y = 2 na x pre x od -3 do 3,3: rastúca krivka, ktorá sa vľavo blíži k osi x, prechádza bodmi [0; 1], [1; 2], [2; 4] a [3; 8].

y = a^x

pre

0 < a < 1

$\mathrm{D}(f) = \mathbb{R}$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}^+ = (0; \infty)$
je prostá
je klesajúca: pre všetky $x_1, x_2 \in \mathrm{D}(f)$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
je zdola ohraničená (dolným ohraničením je každé číslo $d \leq 0$ ), zhora ohraničená nie je
nemá maximum ani minimum
graf prechádza bodom $[0; 1]$ , to je jeho jediný priesečník s osou $y$

Graf funkcie y = 0,5 na x pre x od -3 do 4: klesajúca krivka, prechádza bodmi [-3; 8], [-1; 2], [0; 1] a [1; 0,5] a vpravo sa blíži k osi x.

Graf exponenciálnej funkcie leží celý nad osou $x$ . Blíži sa k nej (pri $a > 1$ vľavo, pri $0 < a < 1$ vpravo), ale nikdy ju nepretne. Os $x$ je jeho asymptota.

Časť 3prečítaná

Posúvanie a preklápanie grafov

Z grafu základnej funkcie $y = a^x$ alebo $y = \log_a x$ dostaneš grafy ďalších funkcií posunutím a preklopením. Pravidlá sú pre obe funkcie rovnaké.

Exponenciálna funkcia

\displaystyle y = \pm\, a^{\,b \cdot x \pm c} \pm d

Logaritmická funkcia

\displaystyle y = \pm \log_a (b \cdot x \pm c) \pm d

Číslo $c$ posúva graf v smere osi $x$ : pri $x + c$ o $c$ doľava, pri $x - c$ o $c$ doprava.
Číslo $d$ posúva graf v smere osi $y$ : pri $+d$ o $d$ hore, pri $-d$ o $d$ dole.
Mínus pred mocninou alebo pred logaritmom preklopí graf podľa osi $x$ .
Záporné $b$ preklopí graf podľa osi $y$ .

Časť 4prečítaná

Logaritmus a logaritmická funkcia

Logaritmická funkcia: Logaritmická funkcia so základom $a$ je funkcia inverzná k exponenciálnej funkcii $y = a^x$ . Je daná rovnicou $y = \log_a x$ , kde $a > 0$ a $a \neq 1$ .

Definícia logaritmu

\displaystyle y = \log_a x \quad \allowbreak \Leftrightarrow \quad \allowbreak x = a^y

Logaritmus čísla $x$ pri základe $a$ je exponent, na ktorý treba umocniť $a$ , aby vyšlo $x$ . Z rovnosti $x = a^y$ vieš vyjadriť aj základ: $a = x^{\frac{1}{y}}$ pre $y \neq 0$ .

Číslo $a$ je základ logaritmu, pre danú funkciu je konštantný. Logaritmus je definovaný len pre kladné $x$ , lebo $a^y > 0$ pre každé $y$ .

Platí pre každý základ

$\log_a a = 1$ , lebo $a^1 = a$
$\log_a 1 = 0$ , lebo $a^0 = 1$

Časť 5prečítaná

Graf a vlastnosti logaritmickej funkcie

y = \log_a x

pre

a > 1

(inverzná k

y = a^x

)

$\mathrm{D}(f) = (0; \infty)$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$
je rastúca a prostá
nemá maximum ani minimum
je neohraničená (zdola ani zhora)
graf pretína os $x$ v bode $[1; 0]$

Graf funkcie y = log so základom 2 z x pre x od 0 do 5: rastúca krivka, ktorá sa pri x blízkom 0 blíži k osi y, prechádza bodmi [0,5; -1], [1; 0], [2; 1] a [4; 2].

y = \log_a x

pre

0 < a < 1

(inverzná k

y = a^x

)

$\mathrm{D}(f) = (0; \infty)$ , $\mathrm{H}(f) = \mathbb{R}$
je klesajúca a prostá
nemá maximum ani minimum
je neohraničená (zdola ani zhora)
graf pretína os $x$ v bode $[1; 0]$

Graf funkcie y = log so základom 0,5 z x pre x od 0 do 4: klesajúca krivka, ktorá sa pri x blízkom 0 blíži k osi y, prechádza bodmi [0,5; 1], [1; 0], [2; -1] a [4; -2].

Napríklad $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ je inverzná k funkcii $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ . Graf logaritmickej funkcie leží celý vpravo od osi $y$ a blíži sa k nej, ale nikdy ju nepretne. Os $y$ je jeho asymptota.

Časť 6prečítaná

Prirodzený a dekadický logaritmus

Eulerovo číslo: Eulerovo číslo $e \doteq 2{,}718$ je iracionálne číslo, ktoré sa často používa ako základ exponenciálnej a logaritmickej funkcie.

Funkcia $y = e^x$ je taká exponenciálna funkcia, ktorej derivácia v každom bode $x$ sa rovná jej funkčnej hodnote v tomto bode: $(e^x)' = e^x$ .

Prirodzený logaritmus

\displaystyle \log_e x = \ln x

Funkcia $y = \ln x$ je inverzná k funkcii $y = e^x$ .

Grafy funkcií y = e na x (modrá, prechádza bodom [0; 1] a rastie) a y = ln x (zelená, prechádza bodom [1; 0] a rastie). Grafy sú súmerné podľa priamky y = x.

Dekadický logaritmus

\displaystyle \log_{10} x = \log x

Logaritmus so základom $10$ sa píše bez základu.

Časť 7prečítaná

Vety o logaritmoch

Pre každý základ $a > 0$ , $a \neq 1$ platia tieto vety:

I. Logaritmus súčinu

\displaystyle \log_a (r \cdot s) = \log_a r + \log_a s

Platí pre $r, s \in \mathbb{R}^+$ .

II. Logaritmus podielu

\displaystyle \log_a \frac{r}{s} = \log_a r - \log_a s

Platí pre $r, s \in \mathbb{R}^+$ .

III. Logaritmus mocniny

\displaystyle \log_a r^s = s \cdot \log_a r

Platí pre $r \in \mathbb{R}^+$ a $s \in \mathbb{R}$ .

Prechod k inému základu

\displaystyle \log_r t = \frac{\log_s t}{\log_s r}

Platí pre $t > 0$ a pre kladné základy $r$ , $s$ rôzne od $1$ .

Časť 8prečítaná

Rovnice a nerovnice: riešené príklady

Ako postupovať

Urči podmienky: argument každého logaritmu musí byť kladný, výraz pod párnou odmocninou nezáporný a menovateľ nenulový.
Obe strany zapíš ako mocniny (alebo logaritmy) s rovnakým základom, prípadne zaveď substitúciu, napríklad $t = a^x$ alebo $t = \log_a x$ .
Porovnaj exponenty alebo argumenty. Funkcie $a^x$ aj $\log_a x$ sú prosté, takže z $a^u = a^v$ vyplýva $u = v$ .
V nerovnici pri základe $a > 1$ znak nerovnosti ostane, pri $0 < a < 1$ sa otočí.
Výsledok porovnaj s podmienkami.

Riešený príklad

Exponenciálna rovnica so substitúciou

Rieš rovnicu $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$ .

Platí $4^x = (2^x)^2$ . Označ $t = 2^x$ , pričom $t > 0$ .
$\displaystyle t^2 - 6t + 8 = 0 \;\Rightarrow\; (t - 2)(t - 4) = 0 \;\Rightarrow\; t_1 = 2,\ \allowbreak t_2 = 4$
Obe hodnoty sú kladné. Z $2^x = 2$ máš $x = 1$ , z $2^x = 4 = 2^2$ máš $x = 2$ .

Výsledok: $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$

Riešený príklad

Exponenciálna nerovnica so základom menším ako 1

Rieš nerovnicu $\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 1} > 4$ .

Číslo $4$ zapíš ako mocninu so základom $\frac{1}{2}$ : $4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$ .
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
Základ $\frac{1}{2}$ je z intervalu $(0; 1)$ , funkcia je klesajúca, preto sa znak nerovnosti otočí:
$\displaystyle x - 1 < -2 \;\Rightarrow\; x < -1$

Výsledok: $x \in (-\infty; -1)$

Riešený príklad

Logaritmická nerovnica s podmienkami

Rieš nerovnicu $\log_{0{,}5} (x - 1) > \log_{0{,}5} (5 - x)$ .

Podmienky: $x - 1 > 0$ a $5 - x > 0$ , teda $x \in (1; 5)$ .
Základ $0{,}5$ je menší ako $1$ , logaritmická funkcia je klesajúca, preto pre argumenty platí opačná nerovnosť:
$\displaystyle x - 1 < 5 - x \;\Rightarrow\; 2x < 6 \;\Rightarrow\; x < 3$
Prienik s podmienkami je interval $(1; 3)$ .

Výsledok: $x \in (1; 3)$

Precvičovanie

Úlohy

Najprv počítaj sám, až potom si pozri výsledok. Vyriešenú úlohu si odškrtni. 0 z 28

Over, či platí:

\left(\frac{6}{19}\right)^{3{,}3} < \left(\frac{6}{19}\right)^{2{,}6}

Platí. Základ

\frac{6}{19}

je z intervalu

(0; 1)

, funkcia je klesajúca a

3{,}3 > 2{,}6

Over, pre ktoré

a > 0

platí:

a^{\frac{\sqrt{3}}{2}} < \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{13}{2}}}

Pravú stranu zapíš ako jednu mocninu a porovnaj exponenty.

Platí pre

a \in (0; 1)

. Pravá strana je

a^{-\frac{31}{6}}

\frac{\sqrt{3}}{2} > -\frac{31}{6}

, takže funkcia

a^x

musí byť klesajúca.

Urči, v akom vzťahu musia byť

m

n

, aby platilo:

(\sqrt{13} + 2)^m > (\sqrt{13} + 2)^n

m > n

, lebo základ

\sqrt{13} + 2

je väčší ako

1

a funkcia je rastúca.

18.

Na základe vlastností exponenciálnej funkcie urči, ktoré z nasledujúcich mocnín sú väčšie ako

1

, ktoré sa rovnajú

1

a ktoré sú menšie ako

1

\displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}};\ \ \allowbreak \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{3}{7}};\ \ \allowbreak 2{,}18^{0{,}1};\ \ \allowbreak 0{,}45^{0{,}4};\ \ \allowbreak \left(\frac{41}{40}\right)^{0{,}2};\ \ \allowbreak \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{1{,}001}};\ \ \allowbreak \left(\frac{\pi + 1}{4}\right)^{-2}

Pri základe väčšom ako

1

je mocnina s kladným exponentom väčšia ako

1

a so záporným menšia ako

1

. Pri základe z intervalu

(0; 1)

je to naopak.

Väčšie ako

1

\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{3}{7}}

2{,}18^{0{,}1}

\left(\frac{41}{40}\right)^{0{,}2}

. Menšie ako

1

\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}

0{,}45^{0{,}4}

\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{1{,}001}}

\left(\frac{\pi + 1}{4}\right)^{-2}

. Žiadna sa nerovná

1

19.

Urči, ktorý zo vzťahov

0 < a < 1

a > 1

platí, ak:

a)
$a^{\frac{2}{5}} < a^{\frac{7}{3}}$
b)
$a^{\frac{21}{6}} < a^{\frac{1}{6}}$

Porovnaj exponenty. Ak väčšiemu exponentu zodpovedá väčšia mocnina, funkcia

a^x

je rastúca.

a) $a > 1$
b) $0 < a < 1$

20.

Urči, pre ktoré čísla

a

je funkcia:

a)
$f\colon y = \left(\frac{2a - 1}{3}\right)^x$ rastúca
b)
$g\colon y = (a^2 - a - 41)^x$ klesajúca

Funkcia

y = c^x

je rastúca pre

c > 1

a klesajúca pre

0 < c < 1

. V časti b) rieš

0 < a^2 - a - 41 < 1

a) $a \in (2; \infty)$
b) $a \in \left(-6; \frac{1 - \sqrt{165}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{165}}{2}; 7\right)$ , približne $(-6; -5{,}92) \cup (6{,}92; 7)$

21.

Rozhodni, ktoré z čísel je väčšie:

a)
$3{,}7^{-0{,}3}$ , $3{,}7^{-0{,}7}$
b)
$\left(\frac{e}{3}\right)^{2{,}4}$ , $\left(\frac{e}{3}\right)^{2{,}7}$

Zisti, či je základ väčší ako

1

(funkcia rastie), alebo menší ako

1

(funkcia klesá). Pamätaj, že

e \doteq 2{,}718 < 3

a) $3{,}7^{-0{,}3} > 3{,}7^{-0{,}7}$
b) $\left(\frac{e}{3}\right)^{2{,}4} > \left(\frac{e}{3}\right)^{2{,}7}$

22.

Načrtni grafy funkcií:

a)
$f\colon y = -\left(\frac{1}{3}\right)^{2 - x} + 2$
b)
$f\colon y = |\log_4 x|$
c)
$f\colon y = |\log_5 (3 - x)|$

a) Uprav

\left(\frac{1}{3}\right)^{2 - x} = 3^{x - 2}

. Graf

y = 3^x

posuň o

2

doprava, preklop podľa osi

x

a posuň o

2

hore. Funkcia klesá, asymptota je

y = 2

, graf prechádza bodmi

\left[0; \frac{17}{9}\right]

[2; 1]

[3; -1]

a os

x

pretína v

x = 2 + \log_3 2 \doteq 2{,}63

. b) Časť grafu

y = \log_4 x

pod osou

x

(pre

0 < x < 1

) preklop nad ňu. Najnižší bod je

[1; 0]

, graf prechádza aj bodmi

\left[\frac{1}{4}; 1\right]

\left[2; \frac{1}{2}\right]

[4; 1]

. c)

\mathrm{D}(f) = (-\infty; 3)

, asymptota je

x = 3

. Graf

y = \log_5 (3 - x)

klesá a os

x

pretína v bode

[2; 0]

, jeho časť pod osou

x

(pre

2 < x < 3

) preklop nad ňu. Graf prechádza aj bodmi

[-2; 1]

[0; \log_5 3]

, kde

\log_5 3 \doteq 0{,}68

Nakresli grafy funkcií:

a)
$f_1\colon y = 0{,}3^x$
b)
$f_2\colon y = -0{,}3^{|x|}$
c)
$f_3\colon y = 3 - 0{,}3^{x + 2}$

a) Klesajúca exponenciálna funkcia, os

x

je asymptota, graf prechádza bodmi

\left[-1; \frac{10}{3}\right]

[0; 1]

[1; 0{,}3]

. b) Pre

x \geq 0

nakresli

y = -0{,}3^x

(graf z časti a) preklopený podľa osi

x

) a pre

x < 0

ho prenes súmerne podľa osi

y

. Najnižší bod je

[0; -1]

, graf prechádza bodmi

[-1; -0{,}3]

[1; -0{,}3]

a zdola sa blíži k osi

x

. c) Graf z časti a) posuň o

2

doľava, preklop podľa osi

x

a posuň o

3

hore. Funkcia rastie, asymptota je

y = 3

, graf prechádza bodmi

[-2; 2]

[0; 2{,}91]

a os

x

pretína v

x = -2 + \log_{0{,}3} 3 \doteq -2{,}91

Vypočítaj:

25^x = \frac{1}{5}

Obe strany zapíš ako mocniny čísla

5

x = -\frac{1}{2}

Vypočítaj:

3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27 = 0

Zaveď substitúciu

t = 3^x

, dostaneš kvadratickú rovnicu.

x_1 = 2

x_2 = 1

Vypočítaj:

2^{3x} + 2^{3x - 1} + 2^{3x - 2} + 2^{3x - 3} = 120

Vyber pred zátvorku

2^{3x - 3}

, v zátvorke ostane

8 + 4 + 2 + 1 = 15

x = 2

Vypočítaj:

\sqrt{3^{x - 56}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x - 60}} = 162

Platí

\sqrt{3^{x - 56}} = 3^2 \cdot \sqrt{3^{x - 60}}

. Vyber

\sqrt{3^{x - 60}}

pred zátvorku.

x = 68

Nájdi všetky

x \in \mathbb{R}

, pre ktoré platí:

a)
$(0{,}4)^{\frac{6 - 5x}{2 + 5x}} < \frac{25}{4}$
b)
$16^x > 0{,}125$
c)
$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x + 2}} \geq 3^{-x}$
d)
$6^{4x + 1} - 6 > 1290$
e)
$8^{\sqrt{8^x}} > 4096$

Obe strany zapíš ako mocniny s rovnakým základom, napríklad

\frac{25}{4} = 0{,}4^{-2}

0{,}125 = 2^{-3}

. Pri základe z intervalu

(0; 1)

sa znak nerovnosti otočí. V časti c) nezabudni na podmienku

x \geq -2

a na to, že

\sqrt{x + 2} \geq 0

a) $x \in (-\infty; -2) \cup \left(-\frac{2}{5}; \infty\right)$
b) $x \in \left(-\frac{3}{4}; \infty\right)$
c) $x \in \langle 2; \infty)$
d) $x \in \left(\frac{3}{4}; \infty\right)$
e) $x \in \left(\frac{4}{3}; \infty\right)$

10.

Rieš v

\mathbb{R}

a)
$5^{2x + 1} > 5^x + 4$
b)
$2^{x + 2} - 2^{x + 1} + 2^{x - 1} - 2^{x - 2} \leq 9$
c)
$4^x - 2^{2(x - 1)} + 8^{\frac{2(x - 2)}{3}} > 52$
d)
$x^2 \cdot 2^{2x} + 9(x + 2) \cdot 2^x + 8x^2 \leq (x + 2) \cdot 2^{2x} + 9x^2 \cdot 2^x + 8x + 16$

a) Zaveď substitúciu

t = 5^x

, pričom

t > 0

. b), c) Všetky mocniny zapíš so základom

2

a vyber spoločnú mocninu pred zátvorku. d) Všetko prenes na jednu stranu a rozlož na súčin

(x^2 - x - 2)(2^{2x} - 9 \cdot 2^x + 8) \leq 0

a) $x \in (0; \infty)$
b) $x \in (-\infty; 2\rangle$
c) $x \in (3; \infty)$
d) $x \in \langle -1; 0\rangle \cup \langle 2; 3\rangle$

11.

Urči definičný obor funkcie:

a)
$y = \log_5 (x - 1) \cdot \sqrt{x - 4}$
b)
$y = \log \frac{x}{|x + 3|}$

Argument logaritmu musí byť kladný a výraz pod odmocninou nezáporný.

a) $\mathrm{D} = \langle 4; \infty)$
b) $\mathrm{D} = (0; \infty)$

12.

Over, či platí:

a)
$\log_9 14 \leq \log_{0{,}4} 14$
b)
$\log_{0{,}1} 3 > \log_2 3$

Pre

x > 1

\log_a x

kladný pri

a > 1

a záporný pri

0 < a < 1

a)Neplatí: $\log_9 14 > 0 > \log_{0{,}4} 14$ , teda $\log_9 14 > \log_{0{,}4} 14$ .
b)Neplatí: $\log_{0{,}1} 3 < 0 < \log_2 3$ .

13.

Nakresli grafy funkcií:

a)
$f_1\colon y = \log_3 (x + 1)$
b)
$f_2\colon y = -\log_{0{,}5} (x + 2) + 3$

a) Graf

y = \log_3 x

posuň o

1

doľava. Funkcia rastie, asymptota je

x = -1

a graf prechádza bodmi

[0; 0]

[2; 1]

. b) Platí

-\log_{0{,}5} t = \log_2 t

, takže

y = \log_2 (x + 2) + 3

. Graf

y = \log_2 x

posuň o

2

doľava a o

3

hore. Funkcia rastie, asymptota je

x = -2

a graf prechádza bodmi

[-1; 3]

[0; 4]

14.

Uprav:

a)
$4 \log_6 3 + 5 \log_6 2 - \log_6 12$
b)
$\log 20^3 - \log 2 + \log 10^{-1}$

Pomocou viet o logaritmoch zlúč všetko do jedného logaritmu.

a) $3$
b) $\log 400$

15.

Vyjadri

t

zo vzťahu:

\displaystyle m = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}

Vydeľ rovnicu číslom

m_0

a obe strany zlogaritmuj.

t = T \cdot \frac{\log \frac{m}{m_0}}{\log \frac{1}{2}} = T \cdot \log_2 \frac{m_0}{m}

16.

Vypočítaj

x

\displaystyle \log_6 x = \frac{2}{5}\left[4 \log_6 11 - \frac{1}{6} \log_6 4 + \log_6 5\right]

Pravú stranu pomocou viet o logaritmoch zapíš ako jeden logaritmus

\log_6 (\ldots)

x = \left(\frac{11^4 \cdot 5}{\sqrt[6]{4}}\right)^{\frac{2}{5}} = \left(\frac{73\,205}{\sqrt[3]{2}}\right)^{\frac{2}{5}} \doteq 80{,}48

17.

Urči, pre ktoré

x

platí nerovnosť:

\log_5 x + \frac{1}{\log_5 x} > 2

Podmienky:

x > 0

x \neq 1

. Substitúcia

t = \log_5 x

vedie na nerovnicu

\frac{(t - 1)^2}{t} > 0

x \in (1; 5) \cup (5; \infty)

18.

Rieš:

a)
$\log_{\frac{1}{5}} \frac{4 - 3x}{x} \geq -1$
b)
$\log_{0{,}1} (x - 6) < 2$
c)
$\log_{0{,}2} (x - 3) > \log_{0{,}2} x - \log_{0{,}2} 2$
d)
$\log_7 \frac{2x - 6}{2x - 1} > 0$
e)
$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 2x + 4) > -2$
f)
$\log_4 (3^x - 1) \cdot \log_{\frac{1}{4}} \frac{3^x - 1}{16} \leq \frac{3}{4}$

Najprv urči podmienky (argument každého logaritmu je kladný). Potom odstráň logaritmus, pri základe z intervalu

(0; 1)

otoč znak nerovnosti a výsledok porovnaj s podmienkami. V časti f) označ

t = \log_4 (3^x - 1)

, potom

\log_{\frac{1}{4}} \frac{3^x - 1}{16} = 2 - t

a) $x \in \left\langle \frac{1}{2}; \frac{4}{3}\right)$
b) $x \in (6{,}01; \infty)$
c) $x \in (3; 6)$
d) $x \in \left(-\infty; \frac{1}{2}\right)$
e) $x \in (0; 2)$
f) $x \in (0; 1\rangle \cup \langle 2; \infty)$

19.

Rieš sústavu rovníc:

\displaystyle \begin{aligned} xy &= 40 \\ x^{\log y} &= 4 \end{aligned}

\displaystyle xy = 40

\displaystyle x^{\log y} = 4

Obe rovnice zlogaritmuj:

\log x + \log y = \log 40 = 1 + \log 4

\log x \cdot \log y = \log 4

. Čísla

\log x

\log y

sú potom korene rovnice

z^2 - (1 + \log 4)\,z + \log 4 = 0

[x; y] = [10; 4]

alebo

[x; y] = [4; 10]

20.

Nakresli graf inverznej funkcie k funkcii

f\colon y = 2^{2x - 6}

a napíš jej predpis.

V predpise vymeň

x

y

a vyjadri

y

. Graf

f^{-1}

je súmerný s grafom

f

podľa priamky

y = x

f^{-1}\colon y = \frac{1}{2} \log_2 x + 3

, čiže

y = \log_4 x + 3

\mathrm{D}(f^{-1}) = (0; \infty)

. Graf rastie, prechádza bodmi

[1; 3]

[4; 4]

a os

y

je jeho asymptota.

21.

Zisti základ logaritmu:

\log_x 27 = \log_x \frac{1}{3} + 1

Prenes

\log_x \frac{1}{3}

na ľavú stranu a použi vetu o logaritme podielu.

x = 81

22.

Rieš rovnicu:

10 \cdot x^{\log x} - 6^{\log x} = 5 \log x + 2

Označ

t = \log x

. Potom

x^{\log x} = \left(10^t\right)^t = 10^{t^2}

a rovnica má tvar

10^{t^2 + 1} = 6^t + 5t + 2

. Ľavá strana je pre každé

t

väčšia ako pravá. Podľa výsledkov zo zdroja túto úlohu riešiť netreba.

V tomto znení rovnica nemá v

\mathbb{R}

riešenie.

23.

Rieš rovnicu:

(10^x - 6)^{\log x} = \log x^3 + 4

Podmienky:

x > 0

10^x - 6 > 0

, teda

x > \log 6

. Pravú stranu uprav na

3 \log x + 4

. V tomto znení sa rovnica nedá vyriešiť presne, len približne numericky. Podľa výsledkov zo zdroja túto úlohu riešiť netreba.

Hotovo s okruhom?

Okruh máš hotový

Keď teórii rozumieš a úlohy ti idú, označ okruh ako hotový. Plán do maturity sa podľa toho prepočíta.

V pláne sa ti posunie ďalší okruh.